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Representación de funciones. Dominios - Contenido educativo

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Subido el 2 de marzo de 2026 por Roberto A.

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Buenos días, 27 de febrero del 2026. Empezamos tema nuevo, que es el tema 11, que es la representación 00:00:00
de funciones. Representación de funciones. Entonces, chavales, ¿qué ocurre con el tema 00:00:12
de representación de funciones. 00:00:31
¿Ya? 00:00:42
Si queréis, la puerta está abierta. 00:00:45
Me refiero. 00:00:47
Representación de funciones, chavales. 00:00:48
Es un tema que ya se vio 00:00:50
en primero. Entonces, en la PAO 00:00:52
como tal, no creo 00:00:54
que... Yo no lo he visto nunca 00:00:56
que te pidan una representación 00:00:58
entera de funciones. 00:01:00
Más que nada porque es un estudio 00:01:02
bastante tedioso, bastante largo. 00:01:04
A ver, ¿que te lo pueden pedir? Que lo pueden pedir, ¿de acuerdo? Pero yo creo que no, lo que tenemos que tener muy claro, y yo sí os recomiendo que hagáis las fichas que están subidas en el aula virtual, es lo que os comento. 00:01:06
Aquí en el aula virtual, echarle, por favor, un vistazo aquí en el tema 11, que es representación gráfica de funciones, ¿vale? Estos apuntes de representación gráfica de funciones, la verdad que están bastante bien, ¿de acuerdo? Y, de hecho, vamos a ver nosotros una serie de cositas porque lo que vamos a centrarnos en este tema es en estudiar dominios, en estudiar puntos de corte, que vais a ver que es súper fácil los puntos de corte. 00:01:21
Vamos a ver sobre todo asíntotas, que eso sí lo preguntan mucho en la PAO. Las asíntotas lo preguntan mogollón. Y luego la paridad, ¿vale? Si veis, chavales, aquí en las fichas, bueno, aquí ejercicios de dominio, aquí he subido, son 18 páginas, ¿vale? 00:01:47
Como siempre, no nos da tiempo a hacer todos los ejercicios, ¿vale? 00:02:08
Que es lo malo de segundo. 00:02:16
Digo, pero lo que sí me gustaría es eso. 00:02:18
Aquí están resueltos mogollón de ejercicios. 00:02:21
Entonces, los que nos dé tiempo aquí, bien. 00:02:24
Los que no, hacedlo ustedes en casa. 00:02:26
Dime. 00:02:29
No. 00:02:30
Esto no entra en la recuperación, ¿vale? 00:02:31
Entonces, chavales, echarle un vistazo, ¿vale? 00:02:35
Vamos a hacer lo máximo posible, pero por desgracia no nos da tiempo a hacer todo lo habido y por haber. Y volvemos a lo mismo. Aquí es importante saber que es una asíntota, saber que cuando son el dominio tenemos que saber la paridad e imparidad y aplicarlo. 00:02:37
Entonces, teniendo los conocimientos que es un dominio o cuando en función, nunca mejor dicho, de la función, tenemos que tener en cuenta para descartar puntos del dominio, inclusive intervalos, pues eso lo tenemos que hacer. 00:02:57
Inecuaciones, inecuaciones, chavales, pertenece a primero. Yo voy a hacer tan solo una inecuación de fracciones, ¿vale? Entonces, eso lo tenéis que saber o tenéis que repasar. 00:03:12
¿De acuerdo? Yo voy a hacer una nada más, porque corresponde a primero. 00:03:27
Entonces, las fichas de asíntota, esto también hacerlo. 00:03:30
Y si tenéis dudas, que parte vimos aquí nosotros cuando hicimos los límites y demás, ¿vale? 00:03:35
Entonces, lo que sí os recomiendo muchísimo es que poco a poco vayáis haciendo ustedes la representación de todas estas funciones. 00:03:46
Hay mogollón, hay mogollón. ¿Hay que hacerlas todas? Pues evidentemente no, pero es recomendable porque si tú haces todas estas, te encuentras todo el espectro posible de funciones. Entonces aquí te va orientando un poco, pues eso, la función, el dominio, los puntos de corte, las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, la monotonía, ¿de acuerdo? 00:03:54
que es el crecimiento de crecimiento 00:04:16
y extremos relativos, la curvatura 00:04:18
que es la segunda derivada 00:04:20
los puntos de inflexión, que no siempre 00:04:21
hay puntos de inflexión 00:04:24
la curvatura y luego ya el dibujo 00:04:26
nosotros cuando tenemos toda esta 00:04:28
información de aquí, lo que nos 00:04:30
permite hacer es un esbozo 00:04:32
que se llama, ¿vale? un esbozo con Z 00:04:34
yo voy a decir a partir de ahora 00:04:36
lo digo porque me he encontrado, chavales, en el examen 00:04:37
casi gracioso 00:04:40
yo lo he escrito siempre bien, yo digo 00:04:41
borsano, pero es 00:04:44
bolzano, ¿vale? 00:04:45
con L 00:04:47
entonces me lo he encontrado 00:04:48
me lo he encontrado no solo en uno 00:04:51
me lo he encontrado en dos 00:04:53
borsanos, entonces 00:04:54
hombre, perdonarme por el acento 00:04:56
en ese sentido, pero que siempre 00:05:01
que lo he escrito, lo he escrito 00:05:03
lo he escrito bien, ¿vale? 00:05:04
tenéis un 00:05:08
aillo porque es 00:05:09
bolzano 00:05:10
igual que aquí, es un esbozo 00:05:11
un esbozo, ¿vale? 00:05:14
a mí me sale más fácil decir esbozo 00:05:16
y entonces es un esbozo 00:05:18
con Z y lo que nos permite 00:05:20
todo este estudio de aquí 00:05:22
todo este estudio de aquí 00:05:23
lo que me permite, chavales, al final 00:05:26
con los límites 00:05:28
las asíntotas 00:05:30
la gente llorando por la calle y demás 00:05:31
lo que me permite a mí es 00:05:33
más o menos tener una idea 00:05:35
de cómo se comporta mi función 00:05:38
¿Vale? ¿Qué es lo que ocurre? Que los ejercicios estos se tardan, se tardan, ¿vale? Pero lo bueno es que son tan sumamente completos que vemos pues de todo, ¿no? Vemos simetría, vemos límites porque las asíntotas son todos límites, vemos desde luego primera derivada, máximos y mínimos y crecimiento y decrecimiento. 00:05:40
vemos también, chavales, curvatura, que es la segunda derivada, 00:06:04
que volvemos a lo mismo. 00:06:09
Muchas veces la curvatura no merece la pena hacerla, ¿vale? 00:06:10
No merece la pena hacer la curvatura, 00:06:16
sobre todo cuando tenemos funciones que la segunda derivada, 00:06:18
dices tú, voy a tardar más en hacer la segunda derivada que tal. 00:06:23
Entonces, lo bueno de todo esto, 00:06:27
de si ustedes hacéis todos estos ejercicios 00:06:31
que ya os digo, haremos 00:06:33
alguno, pero por desgracia no nos da tiempo 00:06:35
hacerlos todos, ¿vale? 00:06:37
Es que 00:06:39
es tan sumamente completo 00:06:40
que yo creo que suplen todos los 00:06:42
ejercicios de la PAU 00:06:45
que hay respecto a este tema. 00:06:47
Porque te van a pedir muchas veces, pues eso, 00:06:49
crecimiento y decrecimiento, monotonía, 00:06:51
máximos relativos, puntos singulares, 00:06:53
curvatura inclusive también 00:06:56
o puntos de inflexión. Y sobre todo 00:06:57
lo que piden muchos son las asíntotas. 00:06:59
Que esto también es de primero de bachillerato. Entonces, vamos a ir una mejita ligero porque luego de este tema lo que nos queda ya son integrales. Después de este vienen integrales, que primero vamos a ver las integrales indefinidas, que chavales, ahí sí o sí, aunque yo os pasaré una tabla, sí que sí necesito que controléis bastante las derivadas porque es el proceso inverso. 00:07:01
Hablando con Javier, porque integrales, yo creo que os lo conté. 00:07:25
A mí, por ejemplo, en la academia, cuando yo me examinaba de la oposición de matemática, 00:07:28
me decían, ejercicio que aparezca una integral, olvídate, olvídate. 00:07:33
Porque hay integrales que hay que fumárselo más grande para poderla hacer. 00:07:38
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? 00:07:42
Que el espejo de integrales es tan sumamente grande que ojalá tuviéramos tiempo para trabajarlas bien. 00:07:44
Entonces, lo que sí me ha dicho Javier es que nos centremos en integrales, pues las inmediatas, que no todas van a ser inmediatas, pero de dos o tres tipos que son las que normalmente piden en la EBAU, ¿vale? 00:07:50
Entonces, yo lo que intentaré hacer, pues, la mayor ejercicio de la PAO y sobre ello, pues, explicaré los métodos de integración. Con eso pasaré también una hoja, una hoja resumen bastante completita, ¿vale? De posibles, porque hay cambios de variables. Es que lo malo es que muchas veces una misma integral se puede hacer de distintos tipos. 00:08:05
Y luego ya la última parte es la integral definida, que eso sí os va a preguntar, que de hecho muchos ejercicios que hemos hecho últimamente, estos de optimización y demás, siempre luego tienen una serie de apartados que al final lo que te piden es la integral, la integral definida, que es al final hallar el área, ¿vale? 00:08:27
Entonces, bueno, vamos a empezar con representación de funciones y continuamos, ¿vale? 00:08:45
Entonces, chavales, para representación de funciones nosotros tenemos que saber una serie de puntos. 00:08:51
El punto principal es el dominio de una función. 00:08:58
Y aquí también tengo que hacer una aclaración. 00:09:01
Normalmente, cuando nosotros decimos una f de x, aunque parezca de perogruyo, 00:09:04
Esta es una función real de variable real y esto es súper importante, ¿vale? 00:09:08
Es una función real de variable real. ¿Y eso qué significa? 00:09:17
Una función real de variable real. 00:09:22
Las x, que normalmente es una función de x, la x siempre tiene que tomar un valor real, ¿de acuerdo? 00:09:25
Dice, y el año pasado, complejo. Entonces, ya, el mundo de los complejos es otra liga, ¿de acuerdo? Entonces, aquí es súper importante saber que estamos en los números reales. 00:09:32
Entonces, antes de nada, chavales, en distintas operaciones que habéis ido viendo a lo largo de vuestra vida en las matemáticas, por ejemplo, a la hora de sumar no tenemos ningún problema, ¿no? 00:09:44
No tenemos ninguna restricción a la hora de restar, tampoco. 00:09:55
A la hora de multiplicar, yo creo que tampoco. 00:09:58
Entonces, ¿cuándo venía un problema a la hora de dividir? 00:10:00
Efectivamente, división por cero. 00:10:05
Eso al final nos da un número, una indeterminación, 00:10:08
normalmente un más menos infinito, 00:10:12
y entonces eso no es un valor real. 00:10:14
Entonces la división por cero. 00:10:16
¿Por qué digo esto? 00:10:18
Porque nosotros, siempre que tengamos un cociente 00:10:19
o tengamos una fracción, 00:10:23
nunca el denominador puede ser cero, ¿vale? 00:10:25
Entonces, el denominador nunca puede ser cero, ¿de acuerdo? 00:10:28
¿Qué otras cosas, chavales, qué operaciones hacíamos 00:10:39
en las cuales siempre decíamos no tiene solución real? 00:10:42
Las raíces negativas, me dice... 00:10:47
Efectivamente, ahí, muy bien. 00:10:51
raíces de índice par 00:10:55
de radicando negativo. 00:10:57
¿Vale, chavales? 00:11:10
Porque una raíz de índice par 00:11:11
de un número negativo sí existe. 00:11:13
¿Vale? 00:11:15
Por ejemplo, 00:11:16
¿existe la raíz cuarta de menos 16? 00:11:17
No tiene solución real. 00:11:24
¿Vale? 00:11:26
No tiene solución real. 00:11:27
Pero chavales, ¿existe la raíz cúbica de menos 8? ¿Cuánto vale? Menos 2, ¿vale? Muy bien, menos 2, ¿de acuerdo? Entonces, ¿qué es lo que ocurre? Yo, súper importante, ¿vale? Cuando yo tenga una raíz, el radicando, y aquí, chavales, el radicando, la raíz de 0, ¿cuánto vale? ¿Existe o no existe? 00:11:32
Ah, terapia, efectivamente 00:11:58
Que tenéis duda, usad la calculadora 00:12:02
Hay gente que tiene duda 00:12:05
¿La raíz de 0 existe? ¿La raíz de 0 no existe? 00:12:06
Me voy al calculator 00:12:10
Y entonces pongo raíz de 0 00:12:11
Y me sale 0 00:12:13
¿Vale? Me sale 0 00:12:15
Entonces el radicando tiene que ser 00:12:16
Mayor o igual que 0 00:12:19
Cuando el índice es par, ¿vale? 00:12:23
Y luego, otra cosa que tampoco permitía 00:12:29
los números negativos, no sé si os acordáis 00:12:32
inclusive el cero tampoco lo 00:12:35
permitía, los logaritmos 00:12:36
muy bien, los logaritmos 00:12:39
¿vale? 00:12:42
el argumento 00:12:44
tiene que ser 00:12:46
y aquí 00:12:52
chavales, estrictamente 00:12:54
estrictamente positivo 00:12:55
estrictamente positivo 00:12:57
¿eso qué significa? que no puede ser 00:13:03
logaritmo de cero, igual 00:13:05
tengo dudas, me voy a 00:13:07
Calculator, pongo logaritmo de 0 y me sale error o más error, depende de vuestra calculadora, ¿vale? O me sale una E o me sale más error o lo que sea, ¿vale, chavales? 00:13:09
Entonces, esto que parece de perogrullo y que nos lo han contado durante toda la educación secundaria, incluso en primero de bachillerato, pues es lo que nosotros tenemos que tener en cuenta, básicamente, para las, lo diré, 00:13:20
Para las, se me ha ido la olla, para las, para el dominio, perdonad, ¿vale? Entonces, chavales, estos apuntes de aquí, la verdad que están bastante bien porque están muy resumidos, ¿vale? 00:13:37
Entonces, chavales, en el dominio, en el dominio, chavales, nosotros, las funciones polinómicas, ¿vale? Y aquí es muy importante que sepamos que es una función polinómica, el dominio es todo R, es el puntazo que tienen, chavales, las funciones polinómicas, ¿vale? 00:13:53
Entonces, las funciones polinómicas, chavales, súper importantes, son de este tipo, ¿vale? Son de este tipo. Es decir, yo siempre tengo las x elevado a un exponente y tiene un coeficiente multiplicando, ¿de acuerdo? 00:14:13
Entonces, una función, una resta, una función cuadrática, una función elevada al cubo, a la cuarta y demás, es una función polinómica. Entonces, lo bueno de las funciones polinómicas es que su dominio es todo lo real, ¿vale? 00:14:30
Entonces, por ejemplo, si a mí me dicen yo tengo la función f de x es igual a 5x a la cuarta menos 3x cubo más x menos 10, 00:14:47
¿esto es una función polinómica, chavales? 00:14:59
Sí, ¿no? Y entonces yo qué digo, pues que el dominio de f de x es igual a todo r por ser f de x una función polinómica, ¿vale, chavales? 00:15:01
Entonces, ahí son las más fáciles. Las funciones polinómicas, su dominio es todo R. Tienen, bueno, pueden tener, dependiendo ya si es de grado 3, tienen normalmente puntos de inflexión, tienen crecimiento, decrecimiento. Son muy potentes estas funciones, ¿vale? 00:15:18
Y después averiguar las derivadas es súper fácil, ¿de acuerdo? Averiguar las derivadas es súper fácil. Entonces, Jesús, chavales, las funciones racionales, ¿qué es una función racional? Una función racional no es nada más que otra cosa que una división, ¿vale? 00:15:42
Yo tengo un cociente y tengo un numerador y un denominador y normalmente son polinomios, por eso se pone p de x y q de x, ¿vale? Entonces, las funciones racionales son de este estilo, ¿de acuerdo? Por ejemplo, esta de aquí, x menos 3 partido de x cuadrado menos cuadro y entonces siempre se hace de la misma forma. 00:16:03
Yo no sé dividir por cero, yo no sé dividir por cero, entonces me cojo, fijaros aquí, ¿esto qué significa? Me cojo el Q de X que es el denominador, lo igualo a cero y hallo las raíces de ese polinomio. 00:16:29
Por lo tanto, el dominio serían todo r menos los valores que anulan el denominador, ¿vale? 00:16:44
Por ejemplo, imaginaros aquí f de x es, por ejemplo, 00:16:51
oye, ¿sabéis, por ejemplo, si yo te digo las raíces de un polinomio de segundo grado son 1 y 4? 00:16:56
¿Sabéis escribir directamente rápido la ecuación de segundo grado? 00:17:03
X menos, pero digo ya desarrollada, ¿no? 00:17:10
¿no? Chavales, x menos 1 es x menos 4, ¿no? Entonces, esto es más 5x menos 4. Si lo haces, 00:17:14
si no me he equivocado, ¿vale? A 1 menos 4 es 1 y 4, 1 y 4, vale. Pues se me ha ido la 00:17:23
olla, esto es un menos, ¿vale? Entonces, chavales, como aquí las soluciones son x 00:17:32
igual a 1 y x igual a 4, resulta que si yo multiplico el 1 por el 4 me tiene que dar 00:17:40
este valor de aquí. Y si yo sumo 1 y 4, que me da 5 y le cambio el signo, me tiene que 00:17:46
dar este valor de aquí. Pero esto solamente sucede, chavales, si el primer coeficiente 00:17:52
del grado mayor es 1, ¿vale? Si el coeficiente que acompaña al grado mayor, ¿de acuerdo? 00:17:59
Al grado mayor. 00:18:07
Es distinto de 1. 00:18:09
Esto lo tengo que multiplicar por ese coeficiente, ¿vale? 00:18:12
Es otra técnica también para que veáis que las soluciones que os dan son correctas, ¿de acuerdo? 00:18:16
Y aquí voy a poner lo que sea x al cubo menos 4x más 10. 00:18:24
Me lo estoy inventando. 00:18:31
Entonces, si yo tengo que tener esta función, que es una función racional, ¿vale? 00:18:32
¿Cómo hallo el dominio? Pues el dominio de f de x resulta que yo cojo x cuadrado menos 5x más 4 lo igualo a 0 y ya os digo, esto lo hacéis ustedes pero sale x igual a 1 y x igual a 4. 00:18:36
Por lo tanto, el dominio son todos los reales menos, abro llaves, súper importante, pauladís, ¿vale? 00:18:52
Abro llaves y siempre voy desde más chico a más grande, ¿vale? 00:18:59
Entonces, es el 1 y el 4. 00:19:02
Esto significa que tan solo quito, chavales, que tan solo quito esos dos puntos. 00:19:05
Que son los dos puntos que anulan el denominador, ¿vale? 00:19:10
Puntos que anulan, hasta ahora fácil, ¿verdad? 00:19:15
El denominador. 00:19:22
Ole. 00:19:24
Entonces, chavales, seguimos. 00:19:26
Las funciones radicales. 00:19:30
¿Hasta ahora todo bien? Yo creo que todo fácil, ¿no? Por el momento, ¿no? 00:19:33
Entonces, vamos a hacer esta de aquí, por ejemplo. 00:19:37
Esta de aquí, funciones radicales. 00:19:41
Funciones radicales son funciones donde hay una raíz, ¿de acuerdo? 00:19:43
Entonces, dice, las funciones del tipo raíz cuadrada de p de x, 00:19:48
siendo p de x un polinomio, son válidas siempre que el radicando sea positivo o cero, ¿de acuerdo? 00:19:51
Es decir, p de x tiene que ser mayor o igual que cero. 00:19:58
Por ejemplo, esta de aquí. Nosotros tenemos que nuestra f de x, ¿verdad? 00:20:01
f de x es raíz de x cuadrado menos 4 partido de x más 6. 00:20:06
Y entonces, ¿qué ocurre? Que yo tengo que forzar que x cuadrado menos 4, 00:20:13
Es decir, el argumento de la raíz, x más 6, tiene que ser mayor o igual que 0. 00:20:18
¿Y os acordáis cómo se resolvía esto en ecuaciones? 00:20:24
Lo se hacía con una tabla, no sé si os acordáis. 00:20:32
Entonces, el primer paso, evidentemente, es yo igualo a 0 el numerador, 00:20:35
de donde yo tengo aquí que x cuadrado es igual a 4, x es igual a más menos 2. 00:20:42
Segundo, igualo el denominador de donde tengo que x es igual a menos 6 00:20:48
¿Vale? 00:20:56
Y entonces, chavales, ¿qué ocurre? 00:20:57
Que yo aquí, en el numerador, ¿verdad? 00:20:59
Yo tengo aquí el menos 2 y el 2, ¿verdad? 00:21:03
Y esto de aquí es una parábola 00:21:07
Una parábola donde van los cuernos 00:21:08
En esta parábola, en el cuadro menos 4 00:21:10
Para arriba o para abajo 00:21:12
Para arriba porque la a, lo que hay aquí, es positivo 00:21:13
Es feliz, es feliz, efectivamente. Y entonces, si es feliz, ¿qué ocurre? Que tenemos un mínimo, ¿verdad? Un mínimo. Entonces, aquí, chavales, de todas formas, yo aquí siempre hago lo mismo. Me voy aquí al 0. Esto que es 0 al cuadrado menos 4, esto es negativo, esto es positivo, esto es positivo. ¿Vale? 00:21:17
Lo bueno de las funciones polinómicas es eso, cada raíz, es decir, cada valor que anula la función, lo que significa es que me cambia el signo de la función, ¿de acuerdo? Siempre en las polinómicas voy a pasar de positivo a negativo a positivo cada vez que hay una raíz. 00:21:37
dime. ¿Eh? Ahora, ahora, ahora. Entonces, la de abajo, chavales, yo aquí tengo el menos 00:21:58
6, ¿vale? Y entonces, ¿qué ocurre? Esto es una recta. La recta me va a pasar o de 00:22:08
positivo a negativo o de negativo a positivo. Igual, yo me voy aquí al 0, 0 más 6 es positivo. 00:22:14
Entonces, aquí es positivo y aquí es negativo, ¿vale? Y entonces, no sé si os acordáis, 00:22:20
chavales, que aquí hacíamos una especie de tablita 00:22:24
donde yo ponía aquí el numerador, que era 00:22:29
x cuadrado menos 4, ¿vale? Estos chavales los tenéis que repasar ustedes, ¿vale? 00:22:32
Os hago una nada más. x más 6 00:22:37
y aquí ya tengo mi función 00:22:41
¿vale? Que es x cuadrado menos 4 00:22:44
partido x más 6, ¿vale? Y ahora aquí 00:22:49
Esto lo recordáis más o menos. Tengo que poner, chavales, los tres puntos. Tengo que poner el menos 6, tengo que poner el menos 2, tengo que poner el 2 y aquí pongo el más infinito. ¿Vale, chavales? 00:22:52
Y ahora, en el primero, fijaros, en el primero, desde menos infinito a menos 2, ¿cómo es? 00:23:06
Positivo o negativo. 00:23:13
Positivo, pues entonces positivo y positivo. 00:23:14
De menos 2 a 2, ¿cómo es? 00:23:18
Negativo. 00:23:20
Y de 2 a más infinito, ¿cómo es? 00:23:21
Positivo. 00:23:23
En el de abajo, desde menos infinito a menos 6, ¿cómo es? 00:23:25
Negativo. 00:23:31
Y desde menos 6 a la derecha, ¿cómo es? 00:23:31
Positivo, positivo, positivo. 00:23:33
Y ahora aquí, chavales, lo que tengo que hacer es la regla de los signos, que se aprende en primaria y se refuerza en primero de la ESO y se refuerza durante toda la ESO. Entonces, más entre menos, menos. Más entre más, más. Menos entre más, menos. Y más entre más, más. 00:23:35
Y entonces, chavales, una cosa aquí súper importante, súper importante. Aquí tengo una raíz, pero dentro de la raíz yo tengo una división, ¿de acuerdo? Una división. Entonces, ¿cuál es el valor que me anula la división? Menos 6, ¿vale? Entonces, el menos 6, chavales, no puede estar incluido nunca, ¿vale? Se pone un puntito blanco, ¿vale? No puede estar incluido. 00:23:54
Sin embargo, estos dos sí que pueden estar incluidos, ¿de acuerdo? Entonces, como tiene que ser estrictamente mayor o igual que 0, el negativo es estrictamente mayor o igual que 0, natillas. Este sí, este natillas y este sí, ¿de acuerdo? 00:24:22
Entonces, ¿cuál sería el dominio de f de x? El dominio de f de x sería desde menos 6 abierto, no es cerrado, ¿por qué no es cerrado, chavales? Porque me anula la división, ¿vale? Anula el denominador, menos 6 hasta menos 2, cerrado, muy bien, perfecto. 00:24:40
Y ahora, unión, ¿vale?, que hace la fuerza, desde el 2 a más infinito, ¿vale, chavales? Ese sería el dominio de mi función, ¿vale? Sería el dominio de mi función. Hasta ahí fácil, ¿no? 00:25:03
Lo único, chavales, os hago un ejercicio nada más, no puedo hacer más de esto, esto lo tendréis ya que saber, hacerlo por vuestra cuenta y como siempre, si tenéis alguna duda me lo decís y lo hacemos o no me sale esto o lo que sea, ¿vale? 00:25:20
¿Sí? Venga. ¿Hasta aquí bien, chavales? Pues luego de las funciones radicales, chavales, nos vamos a las funciones logarítmicas, ¿vale? 00:25:34
Entonces, las funciones logarítmicas, fijaros que además emplea la misma, las funciones logarítmicas. Las funciones logarítmicas, ¿qué es lo que ocurre? Es su argumento, ¿vale? Tiene que ser estrictamente positivo. ¿Lo veis aquí? Estrictamente positivo. Siempre. ¿Vale? El argumento tiene que ser estrictamente positivo. 00:25:50
Y fijaros que yo ahora tengo el logaritmo de la misma fracción que tenía yo antes, la raíz, ¿os acordáis? Es la misma fracción que tengo en la raíz, es decir, yo tengo x cuadrado menos 4 partido x más 6, aquí tiene que ser estrictamente mayor que 0, ¿vale? 00:26:15
Dime, hijo. 00:26:35
¿Se puede comparar logaritmo y neperiano? 00:26:36
Sí, todos. 00:26:38
Logaritmo de cualquier base, ¿vale? 00:26:41
Logaritmo en base 1, bueno, 1 no existe. 00:26:43
Logaritmo en base 2, en 1 y medio, tal. 00:26:45
En logaritmo y neperiano, todos los logaritmos. 00:26:48
Tiene que ser el argumento estrictamente mayor que 0. 00:26:53
¿De acuerdo? 00:26:57
Entonces, ¿qué ocurre? 00:26:58
Como he hecho el estudio anterior, ¿vale? 00:26:59
Como he hecho el estudio anterior, 00:27:02
Yo aquí me cogería mi tablita, ¿vale? Yo aquí estoy haciendo follería, ¿vale? Yo aquí me cogería mi tablita, pero ¿qué ocurre, chavales? Ahora, ahora no me vale, por supuesto, el menos 6 no me vale, pero es que el 2 y el menos 2 tampoco me vale, ¿de acuerdo? 00:27:04
¿Entendéis por qué no vale ni el 2 ni el menos 2? 00:27:28
¿Lo entendéis, chavales? 00:27:30
¿Por qué no vale ni el 2 ni el menos 2? 00:27:33
Porque precisamente el 2 y el menos 2, como ha dicho Karol, me hacen 0. 00:27:40
Todo esto de aquí. 00:27:46
Y ya no es mayor, igual es estrictamente mayor que 0. 00:27:47
Y el 0 no es mayor que 0. 00:27:51
¿Entendéis cómo sí? 00:27:53
Y entonces, chavales, si f de x es igual al logaritmo, sea el que sea, ¿vale? En base a la que sea. 00:27:54
Si no pongo nada, chavales, ¿este logaritmo en qué base es? 10. ¿Y 10 qué es? La nota que vamos a sacar. Venga, of course. 00:28:02
Entonces, chavales, el dominio de f de x sería desde menos 6 abierto a menos 2 también abierto, unión, 2 abierto más infinito. 00:28:12
¿Veis la sutil diferencia? ¿Veis la sutil diferencia entre el logaritmo y la raíz? 00:28:26
Sin embargo, el estudio... 00:28:35
claro, porque me hace 00:28:42
el cero entre algo, ¿cuánto es? 00:28:44
cero, y logaritmo de cero 00:28:47
no existe, claro, perdona 00:28:48
que 00:28:51
en los logaritmos nunca he cerrado 00:28:51
porque me harían cero, de una relación 00:28:57
al logaritmo de una relación, ¿vale? 00:29:01
¿sí o no? ¿vale, chavales? 00:29:03
¿sí? 00:29:06
confiemos en que sí, ¿no? 00:29:09
entonces, chavales 00:29:12
Entonces, las funciones exponenciales. Las funciones exponenciales son un punto, ¿vale? Y esto lo voy a copiar tal cual también. Son un punto porque pasa un poco como las logarítmicas, ¿de acuerdo? 00:29:13
Las funciones exponenciales, sea la base que sea, ¿de acuerdo? Puede ser f de x igual a e elevado a x o f de x igual a 3 elevado a x o a menos x y demás, ¿vale? 00:29:26
Por ejemplo, f de x igual a, yo que sé, menos 5 elevado a x, o f de x igual a, yo que sé, a 80 elevado a menos x, lo que sea. 00:29:44
Por definición, por definición, todas las funciones exponenciales, su dominio son todos los reales, pasa como los logaritmos, ¿de acuerdo? 00:29:58
En principio, su dominio de todas estas de aquí, el dominio serían todos los reales. 00:30:09
Pero aquí fijaros lo que pone. 00:30:16
Si yo, por ejemplo, tengo 2 elevado a 1 partido de x, es decir, si f de x fuera 2 elevado a x, 00:30:19
todo el mundo debería tener claro que el dominio de f de x son todos los reales. 00:30:28
Sin embargo, si yo tengo, por ejemplo, g de x es igual a 2 elevado a 1 partido de x, 00:30:36
¿qué ocurre? Aunque sea, chavales, una exponencia, tengo en el exponente una fracción. 00:30:42
¿Lo veis? Y entonces, ¿yo sé dividir por todos los números? 00:30:51
¿Por cuál número no sé dividir? El 0. 00:30:59
Entonces, el dominio de g de x, chavales, sería todos los reales menos el 0. 00:31:02
¿Pero entendéis por qué? 00:31:10
¿Entendéis por qué? 00:31:12
Si yo, por ejemplo, tuviese h de x, a ver si me lo sabéis decir, 00:31:14
3 elevado era x cuadrado menos 4 partido x más 6, 00:31:18
¿cuál sería el dominio de h de x? 00:31:28
¿Estáis de acuerdo con el Hugo? 00:31:32
Sí, ¿verdad? 00:31:39
¿Sí? 00:31:41
Y si yo tengo aquí yo... 00:31:43
Te queremos, Hugo. 00:31:46
Esto de aquí, te cagas por la fraga. 00:31:52
¿Cuál sería el dominio? 00:31:58
Tengo que hacer la tabla. 00:32:04
La tabla de antes. 00:32:07
Esto me dejé FGHI. 00:32:08
Aquí, chavales, el dominio de y de x, no sé si lo tenéis ahí delante, es como el de la raíz. 00:32:13
Era como el de la raíz, ¿vale? 00:32:23
Que creo que era menos 6, ¿no? 00:32:25
De menos 6 a menos 2. 00:32:27
Dime, hija. 00:32:29
Yo tengo una función racional. 00:32:30
Yo elevada a... 00:32:34
¿Cómo? 00:32:36
Como lo primero que hemos visto. 00:32:38
la función exponencial 00:32:39
a una exponencial 00:32:48
lo puedes tener 00:32:53
pero es un muchacho impresionante 00:32:55
a este nivel no 00:32:57
a este nivel no 00:33:00
¿vale? 00:33:01
¿sí? 00:33:06
luego que lo explico 00:33:08
venga 00:33:09
Chavales, funciones trigonométricas, ¿vale? 00:33:10
Iguales, chavales, las funciones trigonométricas. 00:33:18
Y aquí fijaros una cosilla, ¿vale? 00:33:21
Las funciones, ¿sabéis cuántas razones trigonométricas tiene un ángulo? 00:33:25
¿Cuántas razones trigonométricas tiene un ángulo? 00:33:30
Seno, coseno, tangente. 00:33:36
¿Vale? ¿Vendón? Venga, razones. La cosecante de X, la secante de X y la cotangente de X. ¿Vale, chavales? ¿Sí o no? 00:33:43
Estos chavales son funciones trigonométricas, ¿de acuerdo? Pero ¿qué es lo que ocurre? ¿Qué es lo que ocurre? 00:34:04
¿Os acordáis de las funciones inversas, no? 00:34:10
Una función inversa, ¿qué creéis que hace? 00:34:14
¿Qué creéis que hace una función inversa? 00:34:17
Lo contrario de las funciones, es decir, 00:34:20
¿os acordáis que yo hablaba de las funciones 00:34:22
como si metiéramos aquí un pp? 00:34:25
¿Os acordáis? 00:34:27
Pues entonces, si yo tengo aquí, chavales, f de x 00:34:28
y yo tengo aquí f menos 1 de x, ¿vale? 00:34:33
Si yo meto aquí un 10, aquí no sé lo que me va a salir, ¿vale? 00:34:37
Pero lo que sí tengo que saber es que aquí qué número me va a salir, ¿vale? 00:34:43
Un 10, ¿vale? 00:34:48
Es decir, cuando yo tengo una función y la función tiene inversa, ¿vale? 00:34:52
Si yo en mi argumento de la x, el valor que yo quiera, ¿vale? 00:35:00
Lo meto dentro de esta función, me saca un valor y ese mismo valor, este mismo valor lo meto en la inversa, me tiene que devolver 10. 00:35:04
Y entonces, para que esto suceda, chavales, para que esto suceda, para que exista inversa, la función se llama f de x tiene que ser inyectiva. 00:35:14
Tiene que ser inyectiva eso que significa que para cada Y, para cada Y, para cada Y, f de X, tiene que existir un único X. 00:35:24
Es decir, chavales, por ejemplo, a ver si me sabéis decir, f de X igual a X al cuadrado, ¿esto es inyectivo? ¿Quién lo ha dicho? ¿Por qué no es inyectivo? 00:35:50
Porque tiene dos valores. 00:36:05
No, tiene una y para dos valores de x. 00:36:08
Dime un ejemplo. 00:36:11
Más o menos 2. 00:36:15
Claro, para f de x igual a 4, 00:36:18
yo llego aquí a través de dos valores, 00:36:22
x igual a 2 y x igual a menos 2, ¿verdad? 00:36:24
¿Por qué? 00:36:27
Porque 2 al cuadrado es 4 y menos 2 al cuadrado es 4. 00:36:28
¿Vale? 00:36:32
Y esto de aquí me interesa mucho deciros, 00:36:33
Me imagino que el año pasado os lo dirían, os lo dirían bastantes veces, sobre todo cuando hacíais, chavales, los arcosenos, los arcotangentes y sobre todo eso, los arcosenos y los arcosenos y los arcocosenos. 00:36:35
¿Por qué? Porque nosotros siempre teníamos que saber en qué cuadrante estábamos. 00:36:52
Porque precisamente estas funciones inversas, que son el arco seno y el arco coseno, siempre me van a dar un ángulo que está entre menos pi y pi. 00:36:56
¿De acuerdo? Entre menos pi y pi. 00:37:08
Y entonces luego nosotros teníamos que sumar ángulos. No sé si os acordáis del año pasado, que me imagino que no. 00:37:11
Entonces, chavales, ¿qué ocurre con las funciones trigonométricas? 00:37:17
El seno y el coseno, ¿vale? El seno y el coseno, antes lo he estado enseñando con una pregunta que me ha hecho Sendón. Chavales, fijaros aquí una cosita. El seno y el coseno. El seno y el coseno, chavales, son siempre funciones continuas. Esta es la del seno, ¿de acuerdo? Son funciones continuas. 00:37:21
Y además son funciones periódicas. ¿Por qué? Porque cada dos, cada seis y pico se vuelve a repetir. ¿Vale? Se vuelve a repetir la función. Y además, si os fijáis, los valores siempre están entre uno y menos uno. ¿Lo veis? Entre uno y menos uno. ¿De acuerdo? ¿Existe límite de esta función en el infinito? No existe, porque es oscilante. ¿Vale? Esta función siempre oscila. Es una onda. 00:37:47
Si vemos en colorado es el coseno y no sé si os dais cuenta que al final el coseno y el seno son la misma función pero desplazada, ¿vale? Es decir, si yo esta función la desplazo hacia la izquierda, pues tengo el coseno y al revés también, si yo el coseno, mejor dicho, lo desplazo hacia la derecha, tengo el seno, ¿de acuerdo? ¿Vale? 00:38:17
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? Son funciones continuas. Sin embargo, ¿cuál es la definición de tangente, chavales? La definición de tangente es seno partido de coseno. ¿Y qué ocurre con la tangente? Que no siempre es continua. De hecho, tiene infinitas, infinitas asíntotas verticales. ¿Por qué? ¿En qué valores va a tener infinitas asíntotas verticales la tangente, chavales? 00:38:40
¿En la que se anule cuál? 00:39:10
Efectivamente, muy bien, perfecto, ¿vale? 00:39:12
Si os fijáis, chavales, a ver si soy capaz, ¿vale? 00:39:15
Cada vez, voy a quitar un momentillo el seno, 00:39:19
cada vez que el coseno vale cero, 00:39:21
mi función tangente, ¿vale? 00:39:26
Mi función tangente se anula, ¿vale? 00:39:28
Se anula, no se anula, tiene una asíntota, ¿de acuerdo? 00:39:32
Entonces, la función tangente no es continua, ¿de acuerdo? 00:39:35
No es continua porque precisamente cuando el coseno es 0 es una asíntota horizontal, ¿de acuerdo? 00:39:40
Ahora, su recorrido sí que son todos los reales, el recorrido es los valores que toma la i, ¿vale? 00:39:47
El recorrido del seno y del coseno va desde menos 1 a 1 y el recorrido de la tangente sí que va desde menos infinito a más infinito, ¿vale? 00:39:53
Lo que pasa es que el dominio de la tangente no es todos los reales, ¿de acuerdo, chavales? 00:40:03
¿Sí? Y ahora fijaros una cosilla, el arcoseno de x. El arcoseno de x, si os fijáis, es esta función nada más. Esta función nada más. ¿Por qué? Porque es el único tramo, el único tramo donde el coseno es inyectivo. 00:40:09
¿De acuerdo? Porque si os fijáis, si yo hago aquí, por ejemplo, una recta paralela al eje de la CX, por ejemplo, por aquí, ¿cuántas veces corta a la gráfica roja? Infinitas veces. 00:40:37
¿Es inyectivo el coseno como tal? No es inyectivo. Sin embargo, en este tramo, desde menos 1 a 1, ¿vale? Sí que es, sí que es inyectivo porque toma aquí el coseno valores siempre diferentes. 00:40:57
¿Lo veis, chavales? ¿Veis eso o no? Entonces, el arcoseno, como es la inversa del seno, únicamente va a estar definido, chavales, en los valores en los valores en los que el coseno es inyectivo. 00:41:15
Entonces, era lo que nos pasaba el año pasado, que no sé si os recordáis, que cuando hacíais arcoseno o arcocoseno, os daba valores siempre entre menos pi medio y pi medio, entre menos 90 y 90, ¿vale? Y luego ya nosotros teníamos que sumarle 280 o sumarle 360 en función del ángulo que realmente del cuadrante donde yo esté, ¿vale, chavales? 00:41:33
Eso es súper importante saberlo. Y fijaros aquí el arco coseno. Igual, el arco coseno, chavales, es este mojón de función también, ¿de acuerdo? Esta función también, ¿de acuerdo? Porque es el tramo donde el seno es inyectivo, ¿vale? 00:42:00
Es decir, hablando en plata, donde es o estrictamente creciente o estrictamente decreciente, ¿vale? 00:42:31
¿Sí? Eso que os hagáis una idea. 00:42:39
El arcotangente de X, fijaros, cuando yo tengo la tangente, el arcotangente, por ejemplo, que es un puntazo, 00:42:43
porque el arcotangente aparece, chavales, mogollón de veces en la física, en la química, en las telecomunicaciones y demás, 00:42:52
el arcotangente, chavales, fijaros, su dominio sí sería todos los números, todos los números reales, ¿vale? 00:43:03
¿Sí? Entonces, arcotangente, seno y coseno, su dominio sí son todos los números reales. 00:43:12
¿Vale? El dominio de seno de x son todos los reales, el dominio de coseno de x son todos los reales, el dominio de arco tangente de x son todos los reales, ¿vale chavales? De las otras no. 00:43:19
Volvemos a lo mismo, chavales. 00:43:49
Si yo tengo seno de raíz de x, ¿qué ocurre? 00:43:50
¿Cuál sería el dominio de seno de raíz de x? 00:43:54
Desde cero a infinito, ¿vale? 00:44:00
Entonces, chavales, una cosilla. 00:44:03
Mira, aquí tenéis representado las funciones trigonométricas, ¿vale? 00:44:06
Y luego tenemos aquí las funciones continuas. Entonces, chavales, aquí hay ejercicios que están resueltos, pero el resultado final. Entonces, lo suyo sería que estos ejercicios lo hicierais, ¿vale? Que hicierais este ejercicio. 00:44:17
He subido también ejercicios de dominio, de puntos de corte y de asíntota, que es lo que veremos el lunes, ¿vale? 00:44:36
Puntos de corte y asíntota, ¿vale? 00:44:47
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Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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1
Fecha:
2 de marzo de 2026 - 8:51
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
44′ 56″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
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