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Trigonometría: 45.Coseno 2 - Contenido educativo

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Subido el 3 de diciembre de 2007 por EducaMadrid

1753 visualizaciones

- Extensión a toda la recta real. Máximos, ceros, mínimos.
Funciones cosenoidales.
- Comparación de las funciones seno y coseno.

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Aunque en el vídeo anterior hemos hecho la representación gráfica de la función coseno entre 0 y 2pi, 00:00:00
desde luego la función puede definirse para cualquier número real. 00:00:08
Y eso es lo que pretendemos hacer ahora. 00:00:14
Vamos a ver la representación gráfica de la función coseno en un intervalo más amplio 00:00:17
para hacernos una idea de qué ocurre cuando la función la definimos ya para cualquier número real. 00:00:22
Esta sería la función coseno que hemos dibujado antes pero en pequeñito, 00:00:31
es decir, esta es la representación gráfica de la función coseno entre 0 y 2pi. 00:00:35
Como podemos dar más de una vuelta en la circunferencia, 00:00:42
si continuamos barriendo ángulos nos encontraríamos que esto es lo que pasaría, 00:00:44
es decir, volvería a repetirse la función hacia la derecha. 00:00:50
Y por supuesto podríamos continuar hacia la derecha. 00:00:55
Como también existen los ángulos negativos, 00:01:00
podríamos ampliar hacia la parte izquierda del eje la función coseno. 00:01:02
Y eso sería lo que ocurriría si damos una vuelta a la circunferencia en el sentido negativo. 00:01:09
Si damos otra vuelta, eso es lo que pasaría. 00:01:16
De manera que esta es la forma que tiene la función coseno para todo R. 00:01:19
Podemos haceros una idea de cómo continuaría hacia la izquierda y hacia la derecha. 00:01:25
Vemos que es una función periódica, 00:01:30
vemos que sus valores se repiten y que se repiten de 2pi en 2pi radiales. 00:01:32
Aquí tendríamos 2pi y vemos cómo se va repitiendo, 00:01:38
la misma forma de dibujarla nos hace ver esto, 00:01:43
vemos cómo se va repitiendo cada 2pi radiales esta función coseno. 00:01:46
Entonces ya podemos plantearnos que podemos definir la función coseno 00:01:53
para cualquier número real sobre el eje X, 00:01:57
podemos considerar cualquier número real sobre este eje 00:02:00
y las imágenes van a estar entre menos 1 y 1. 00:02:04
Vamos a estudiar un poquito más en detalle ahora la función 00:02:09
y nos vamos a fijar en los ceros de la función coseno. 00:02:12
Aquí habría un cero en pi medios, 00:02:16
aquí habría otro cero en 3pi medios, 00:02:19
otro cero en 5pi medios y en 7pi medios. 00:02:22
Esta es la parte positiva del eje y por supuesto continuarían hacia la derecha. 00:02:27
La parte negativa, menos pi medios, menos 3pi medios, menos 5pi medios, menos 7pi medios. 00:02:32
Podemos generalizar esto y es fácil darnos cuenta de que cualquier múltiplo entero de pi medios 00:02:41
será un cero para la función coseno. 00:02:47
Vamos a estudiar ahora los máximos, 00:02:52
aquí habría uno en cero, para X igual a cero, 00:02:55
la función coseno tiene un máximo, 00:02:59
en 2pi hay otro máximo 00:03:03
y en 4pi, vemos que a partir del cero son múltiplos pares, 00:03:08
cero, 2pi, 4pi, 6pi, así continuaría hacia la derecha 00:03:13
y hacia la izquierda, menos 2pi, menos 4pi. 00:03:18
También podemos generalizar qué ocurriría hacia la izquierda. 00:03:26
Vamos a ver ahora los mínimos, 00:03:32
aquí tenemos pi, 3pi, menos pi y menos 3pi. 00:03:35
Ya es cuestión nuestra estudiar la generalización de qué ocurre, 00:03:43
es decir, qué pasa hacia la derecha y hacia la izquierda, 00:03:47
cuando vamos a encontrarnos más mínimos de esta función. 00:03:50
Pero esta es una idea que, con lo que acabamos de ver, 00:03:54
es suficiente para el nivel de secundaria 00:03:56
y lo que se pretende es comprender cómo se generaliza esto. 00:03:59
Ahora, igual que con el seno, vamos a ver cómo se pueden obtener gráficas 00:04:07
a partir de la función coseno. 00:04:12
Por ejemplo, la función Y igual a 2 coseno de X 00:04:14
se obtendría multiplicando por 2 los valores de Y en la función coseno. 00:04:19
De manera que, si dibujamos nuestros ejes, eje X y eje Y, 00:04:24
vamos a colocar en el eje X desde menos 12 hasta 12, 00:04:30
igual que en los ejes anteriores, 00:04:34
y ahora en el eje Y necesitamos un intervalo mayor, 00:04:38
lo que hacemos ahora es colocar la función coseno, 00:04:42
esta sería la función coseno, 00:04:46
y pensar qué ocurre si ahora cada uno de los valores 00:04:48
de la función coseno lo multiplicamos por 2. 00:04:52
¿Qué ocurriría? 00:04:54
Pues esto es lo que pasaría. 00:04:56
Cada valor de la variable Y, 00:04:58
es decir, de la variable dependiente, 00:05:03
los valores de la variable dependiente, de la variable Y, 00:05:06
se multiplican todos por 2. 00:05:09
Y nos quedaría la gráfica que tenemos en rojo. 00:05:10
Continuamos este vídeo comparando ahora 00:05:15
las gráficas de la función seno y de la función coseno. 00:05:19
Resulta más o menos evidente, a poco que nos hayamos fijado, 00:05:23
que ambas gráficas tienen la misma forma. 00:05:27
Lo que vamos a hacer es trazar los ejes 00:05:31
y dibujar las dos funciones sobre los mismos ejes. 00:05:34
Pero antes vamos a colocar los valores de Y 00:05:38
Pero antes vamos a colocar los puntos que más nos interesan. 00:05:42
Como ya sabemos que las dos funciones son periódicas de periodo 2pi, 00:05:46
pues vamos a colocar de 2pi en 2pi hacia la derecha y hacia la izquierda. 00:05:49
Tenemos entonces 2pi, 4pi, menos 2pi y menos 4pi. 00:05:56
Vamos a colocar también pi y 3pi, 00:05:59
y por la parte izquierda menos pi y menos 3pi. 00:06:03
Tenemos ya los puntos más importantes. 00:06:06
Dibujamos ahora, trazamos la función seno. 00:06:09
Esta sería la función seno. 00:06:12
Vamos a trazar ahora la otra función, la función coseno. 00:06:16
A verlas juntas es más apreciable aún 00:06:21
que la forma de las dos funciones es igual. 00:06:25
Es decir, su forma es la misma. 00:06:28
Lo único que ocurre es que van como desplazadas la una con respecto a la otra. 00:06:32
Según cuál tomemos de referencia, pues se desplazará una o se desplazará otra. 00:06:37
Eso es lo que decimos aquí. 00:06:42
Apreciamos que ambas funciones tienen la misma forma. 00:06:45
Si nos fijamos, desplazando el coseno, 00:06:48
o sea, si recordamos los colores, 00:06:51
el coseno es la gráfica que está en azul. 00:06:54
Si la gráfica que está en azul la desplazamos pi medios hacia la derecha, 00:06:57
se superpondría a la gráfica roja. 00:07:01
Tendríamos entonces que la función coseno desplazada sería la función seno. 00:07:04
Ahí tenemos pi medios y eso sería lo que habría que desplazar hacia la derecha. 00:07:12
De la misma manera, si nos fijamos en el seno, 00:07:16
si desplazamos el seno ahora, es decir, la roja, 00:07:19
la desplazamos hacia la izquierda, 00:07:22
también una distancia de pi medios, 00:07:25
es decir, si tiráramos de la gráfica hacia la izquierda pi medios, 00:07:28
se montaría la gráfica roja sobre la gráfica azul, 00:07:32
de manera que se transformaría en la función coseno. 00:07:35
Todo esto se puede expresar de la manera que escribimos ahora aquí, 00:07:41
con esta fórmula. 00:07:45
La función seno se puede obtener como la función coseno de x menos pi medios, 00:07:48
que es justamente lo que acabamos de decir. 00:07:54
Y de la misma manera, seno de x más pi medios nos daría la función coseno. 00:07:57
Es importante reflexionar esto un poco, 00:08:04
fijándonos en las gráficas de las dos funciones y fijándoles 00:08:07
qué es lo que ocurre cuando movemos hacia la izquierda o hacia la derecha. 00:08:10
Valoración:
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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          • Primer Curso
Autor/es:
José Antonio Ortega
Subido por:
EducaMadrid
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
1753
Fecha:
3 de diciembre de 2007 - 12:42
Visibilidad:
Público
Enlace Relacionado:
José Antonio Ortega
Descripción ampliada:

Realizado por José Antonio Ortega, licenciado en Matemáticas por la Universidad de Granada y Profesor de Enseñanza Secundaria en el IES "Diego Gaitán" en Almogía (Málaga).

Extraído de Open Trigo.
Duración:
08′ 19″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
800x600 píxeles
Tamaño:
10.74 MBytes

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