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Representación de funciones racionales I - Contenido educativo
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Bueno, pues hoy vamos a explicar cómo representar funciones racionales.
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Vamos a comenzar con este ejemplo.
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Vamos a representar la función x cuadrado más 3x más 11 partido de x más 1.
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Bueno, en este caso vamos a seguir exactamente los mismos pasos que vimos para las funciones polinómicas,
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exceptuando las ramas infinitas.
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El apartado de ramas infinitas ahora lo que vamos a estudiar es las asíntotas de la función,
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aunque ya conocemos cómo se calcula.
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Entonces, siguiendo paso por paso, en el primero sería el dominio.
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El dominio de la función, en este caso, son todos los reales menos el menos 1,
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que es el que anula el denominador, luego no es del dominio.
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La función va a ser continua en todos los reales menos en x igual a menos 1,
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que ya veremos que ahí presenta un asíntota vertical, ¿vale?
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Eso ya lo sabemos.
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luego va a ser continua en todos los reales menos a y
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en x igual a menos 1 tendrá una discontinuidad de salto infinito
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en el paso número 2 estudiamos los puntos de corte con los ejes
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como siempre en el eje x hacemos la y igual a 0
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la función tiene que ser 0
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esta fracción algebraica es 0 si solo si el numerador es 0
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¿Vale? Una fracción es nula si solo si su numerador es nulo
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Si resolvemos esta ecuación de segundo grado
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x es igual a menos b más menos la raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4ac partido de 2a
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Pues resulta que no pertenece a los reales, no hay soluciones
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Luego no hay punto de corte con el eje x
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No hay corte con el eje x
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Vamos a ver qué sucede con el eje y
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El eje Y, ya sabéis que tenemos que obligar a que la X sea 0
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De tal forma que obtenemos que Y es 11 partido por 1, 11
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Luego ese es el punto de corte, el 0, 11, ¿vale?
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Ese es el punto de corte con el eje
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En el 3 vamos a estudiar crecimiento y decrecimiento
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Y los puntos singulares, ¿vale?
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Los posibles máximos, mínimos, puntos de inflexión, etc.
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¿Qué ocurre?
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Que ahora no tenemos un polinomio, ahora tenemos una fracción algebraica
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Entonces derivarlo se vuelve un poco más tedioso
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Derivada del de arriba, 2x más 3
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Por el de abajo sin derivar, x más 1
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Menos la de arriba, la función de arriba
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Por la derivada del de abajo
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Todo ello partido del cuadrado de la de abajo
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Bueno, si me pongo aquí a hacer cuentas
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¿Vale?
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Si me pongo a hacer cuentas para no alargar el vídeo
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ya os digo que esto sale, x cuadrado más 2x menos 8 partido de x más 1 todo al cuadrado, ¿vale?
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Igualo a 0, para calcular los posibles máximos y mínimos,
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igualar una fracción a 0 es lo mismo que igualar su numerador a 0.
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Una ecuación de segundo grado que podemos hacer por la fórmula
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o podemos acordarnos de que se puede obtener así, ¿vale?
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Por las fórmulas de Cardano-Vieta, 4 por menos 2 son menos 8, 4 menos 2 son 2, ¿vale?
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Entonces las dos soluciones son x igual a menos 4 y x igual a 2.
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Si calculáis f de menos 4, que yo ya no me voy a entretener en hacer aquí los cálculos, sale menos 5.
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Y si calculáis f de 2, pues sale 7.
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calculamos la tablita, ponemos aquí los dos valores
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pero ahora hay una novedad que no poníamos en los polinomios
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ahora vamos a incluir el valor que no pertenece al dominio
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porque el valor que no pertenece al dominio
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normalmente supone un corte en la función
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aquí ya sabemos que hay una asíntota vertical
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luego puede ocurrir que pasen cosas a un lado y al otro del corte
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y que nos las estemos perdiendo
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entonces vamos a añadir también el valor menos 1
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que es este menos 1, ¿vale? El que no pertenece al dominio. Vamos a ver también que suceda a un lado y al otro de él, porque es un corte en la función y, bueno, pues puede ocurrir que pasen cosas distintas a un lado o al otro
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y nos la estemos perdiendo si no lo ponemos ahí, ¿vale? Entonces, ponemos la factorización. Fijaos que aquí, para poner la derivada, voy a prescindir de este valor, ¿vale?
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Voy a prescindir de este valor, voy a prescindir de este, ¿vale? Estoy poniendo la expresión de la derivada, pero voy a prescindir de este valor, del denominador, vamos, voy a prescindir del denominador porque como está al cuadrado, pues siempre va a ser positivo, entonces ahora cuando haga el cuadrito, cuando haga el cuadro, simplemente me voy a fijar en el numerador, ¿vale? Por eso pongo aquí solo el x más 4 por el x menos 2, insisto, porque este ya siempre es positivo, entonces no va a influir en el signo que tenga la derivada.
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A la izquierda del menos 4 esto es negativo, a la izquierda del menos 1, entre el menos 4 y el menos 1 esto es positivo, aquí es positivo y aquí es positivo.
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A la izquierda del menos 4 esto es negativo, entre el menos 4 y el menos 1 también, entre el menos 1 y el 2 esto es negativo y a partir del 2 es positivo.
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Con lo cual, la derivada aquí va a ser positiva, aquí negativa, aquí negativa y aquí positiva.
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Luego la función va a ser creciente, decreciente, decreciente y creciente.
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Es decir, f de x crece en menos infinito menos 4 unión 2 infinito y decrece en menos 4 2.
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Bueno, mejor dicho, ya estoy yo adelantando acontecimientos.
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Menos 4, menos 1, porque en menos 1 no existe la función, unión, menos 1, 2, ¿vale?
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A la luz de la tabla podemos asegurar que menos 4, menos 5 va a ser un máximo y 2, 7 va a ser un mínimo.
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Bueno, ahora seguimos en el siguiente vídeo estudiando la concavidad y la convexidad.
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- Autor/es:
- Marta Pastor
- Subido por:
- Marta P.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
- Visualizaciones:
- 21
- Fecha:
- 17 de mayo de 2021 - 11:14
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES LUIS DE GONGORA
- Duración:
- 06′ 53″
- Relación de aspecto:
- 0.75:1
- Resolución:
- 1440x1920 píxeles
- Tamaño:
- 28.04 MBytes
