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Discusión de un sistema de ecuaciones. Tma de Rouché-Frobenius. Resolución por CRAMER. - Contenido educativo

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Subido el 15 de octubre de 2025 por Roberto A.

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Hoy es 15 de octubre, Santa Teresa. Vamos a hacer con el teorema de Rochefrobeni una discusión del ejemplo que puse para entregar hace ya dos o tres semanas, 00:00:01
que era x más y más z igual a, luego teníamos ax más 2y menos z igual a 3a y luego teníamos 2x más ai menos z igual a 6, ¿vale? 00:00:24
Entonces, yo tengo que estudiar y discutir este sistema que ya vimos que lo resolvimos y demás por el método de Gauss 00:00:46
que era un poquito tostón y demás 00:00:53
entonces nosotros aquí 00:00:55
siempre lo que hacemos en este tipo de ejercicio 00:00:56
¿vale? es, nos creamos 00:00:59
la matriz 00:01:01
la matriz de coeficiente 00:01:02
y la matriz ampliada, entonces aquí sería 00:01:05
un 1, un 1 y un 1 00:01:07
a 2 menos 00:01:09
1 y aquí 2 00:01:11
a y menos 1, ¿estamos de acuerdo? 00:01:13
¿sí? y luego la 00:01:16
matriz ampliada que es 00:01:17
exactamente igual 00:01:19
1, 1, 1, pero añadimos también los términos 00:01:20
independientes, ¿vale? ¿De acuerdo? Entonces, el teorema 00:01:26
de Roche-Frobenius, ¿qué me decía el teorema de Roche-Frobenius? Que si el rango 00:01:36
de A es igual al rango de B y además es igual al número de incógnitas 00:01:40
¿cuántas incógnitas tenemos aquí, chavales? Tres. 00:01:44
Esta matriz es 3 por 3. ¿Cuál es el rango máximo que puede tener A? 00:01:48
Tres. Esta matriz es 3 por 4. ¿Cuál es el rango máximo 00:01:51
que puede tener ampliada 00:01:55
entonces, en este caso de aquí 00:01:57
si el rango de A es igual 00:02:00
al rango de B y además igual 00:02:01
al número de incógnitas 00:02:04
que es 3, es decir, todos son 3 00:02:05
tenemos un sistema compatible 00:02:07
determinado y la solución es única 00:02:09
¿vale? y lo vamos a hallar por 00:02:11
el método de Kramer 00:02:13
¿de acuerdo? 00:02:15
si los dos tienen la A y la A ampliada 00:02:16
tienen el mismo rango, pero es 00:02:19
distinto, el número de incógnitas 00:02:21
es decir, los dos tienen rango 2 00:02:23
O los dos tienen rango 1, como es distinto de 3, sistema compatible pero indeterminado. Hay infinitas soluciones, ¿de acuerdo? ¿Sí? Y si tuvieran distinto rango, el A y la A ampliada, estamos en un sistema incompatible que no tiene solución. ¿Vale? ¿Sí? Venga. 00:02:25
Pues entonces, ¿cómo voy a proceder? Pues yo directamente voy allá del tirón, ¿vale? El tirón, el determinante de la A sin ampliar. ¿Por qué? Porque si yo hallo el determinante y yo lo igualo a cero, si yo hallo los valores de A que me hacen cero el determinante, ¿qué puedo decir para esos valores de A? 00:02:45
que su rango es menor que 3 00:03:10
¿estos estamos de acuerdo 00:03:13
todos? y entonces 00:03:15
para aquellos valores que no 00:03:17
anulen el determinante 00:03:19
¿cuánto va a ser el rango de A sí o sí? 00:03:20
¿cuánto va a ser el rango de 00:03:25
A sí o sí? 00:03:27
¿la has escuchado? pero no tienes ni idea 00:03:29
vamos, la has escuchado en nada 00:03:31
¿eso lo tenemos claro o no? 00:03:33
¿María? 00:03:36
¿sí o no? ¿seguro? ¿Ana? 00:03:37
venga 00:03:40
Si yo voy a hallar el determinante de A, ¿vale? 00:03:40
Entonces, yo me va a quedar en función de las A. 00:03:46
Ve que hay dos A ahí, ¿no? 00:03:49
Entonces, yo luego lo voy a igualar a cero. 00:03:51
Entonces, voy a forzar igualándolo a cero. 00:03:54
Voy a hallar qué valores de A me anulan el determinante. 00:03:57
Entonces, para esos valores de A, como me hacen cero el determinante, 00:04:02
yo puedo decir que el rango no es 3. 00:04:07
el rango será 1 o el rango será 2 00:04:09
pero el rango 3 no es 00:04:12
¿de acuerdo? entonces 00:04:13
¿qué es lo que ocurre? que para todos los valores 00:04:15
de A que no sean 00:04:17
iguales a los que me anulan 00:04:19
el determinante 00:04:21
yo voy a decir que ya es 00:04:23
un sistema compatible determinado ¿por qué? 00:04:25
porque el rango de A si no es 00:04:27
0 el determinante ¿cuánto va a ser? 00:04:29
si no es 0 el determinante 00:04:32
para los valores de A 00:04:33
que no es 0 el determinante ¿cuánto 00:04:37
es el rango de A? 00:04:39
¿Tres? 00:04:42
No tenéis ni idea. 00:04:43
Chavales, voy a hacer el determinante por Sarru, ¿vale? 00:04:46
Esto me queda un menos dos. 00:04:49
Esto me queda más A al cuadrado, ¿vale? 00:04:52
Y esto me queda un menos dos. 00:04:55
Y le resto la otra, que me queda un cuadro. 00:04:58
Corregidme si me equivoco, ¿vale? 00:05:01
Un menos A y un menos A. 00:05:03
¿Lo he hecho bien o no? 00:05:07
Venga. 00:05:09
Pues entonces, esto agrupo. Esto es menos 4 más a al cuadrado y esto es menos 4 más 2a. ¿Estáis de acuerdo conmigo o no? Y esto es a al cuadrado más 2a menos 8. 00:05:09
Y no me suena nada, pero bueno, puede ser. 00:05:26
¿Está bien? Vale. 00:05:29
Entonces, ¿qué ocurre? 00:05:30
Mi determinante de la matriz A, 00:05:31
el determinante de la matriz A, 00:05:35
es siempre A cuadrado más 2A menos 8. 00:05:37
¿Vale? Siempre. 00:05:41
¿De acuerdo? Es el determinante. 00:05:43
¿Qué ocurre? 00:05:44
Que yo, ¿qué voy a forzar? 00:05:45
Si el determinante de A es igual a 0, 00:05:47
¿qué significa esto? 00:05:51
Que el rango de A es menor que 3 estrictos, ¿vale? 00:05:53
Si el determinante de la matriz es 0, ¿qué significa? 00:05:59
Que hay combinaciones lineales entre ellas. 00:06:06
Y entonces no hay 3 filas o 3 columnas que son linealmente independientes, ¿lo entendéis? 00:06:09
Si el determinante es 0 es porque hay combinaciones lineales entre ellas. 00:06:15
no hay 3 filas o 3 columnas que sean linealmente independientes 00:06:19
por lo tanto el rango no puede ser 3 00:06:24
puede ser 1, puede ser 0 00:06:26
puede ser 1, puede ser 2, pero 3 no lo es 00:06:29
¿vale? entonces, si yo hago que el determinante 00:06:32
de A sea 0, eso que implica 00:06:35
que A cuadrado más 2A menos 8 00:06:38
es igual a 0, ¿lo veis o no? 00:06:42
¿y ahora esto qué es? una ecuación de segundo grado 00:06:45
¿Sí o no? Menos b más menos b al cuadrado más 4ac, ¿vale? 4 por 8 es 32, partido de 2a. 00:06:47
Entonces, lo que estamos haciendo, chavales, es hallar los valores de a que me anulan el determinante, ¿vale? 00:06:59
Entonces, esto es igual a menos 2, más menos la raíz de 36 es un 6, esto es un 2, 00:07:08
y que me queda aquí, esto es 00:07:14
4 medios 00:07:16
y esto es menos 8 medios 00:07:17
no me sale igual 00:07:20
la otra vez también salía el 2 y el menos 4 00:07:24
antes salía 0 00:07:29
y menos 2 00:07:30
a menos que haya 00:07:32
escogido otro 00:07:34
vamos, si el sistema 00:07:36
es así, está bien copiado 00:07:41
esto desde luego está así 00:07:42
Pero cuando nosotros lo discutimos, es que el que discutimos era este, el copetín. 00:07:44
Era otro, yo me refería a otro que era aquí a menos 2, en la i. 00:07:49
¿Vale? Pero bueno, ya que estamos en este, lo resolvemos así. 00:07:54
Entonces, ¿qué ocurre? 00:07:56
Que si a es igual a 2 o a es igual a menos 4, ¿lo veis? 00:07:58
¿Qué ocurre con el determinante? 00:08:04
Si a vale 2 o a vale menos 4, ¿qué ocurre? 00:08:06
Que el determinante de a es igual a 0, ¿sí o no? 00:08:10
¿Lo veis o no? 00:08:14
Porque yo lo que he hecho, yo tengo aquí siempre para todos los valores 00:08:17
Y entonces como el determinante de A es 0 00:08:21
El rango de A, el rango de A sé que es menor que 3 00:08:23
Y ahora lo voy a estudiar 00:08:28
¿Vale? De hecho yo tengo 3 casos 00:08:30
¿Qué 3 casos tendría? 00:08:32
Yo tendría el caso de que A es distinto de 2 00:08:33
Y A es distinto de menos 4 00:08:38
¿Vale? 00:08:41
Tendría el caso de que a valga 2 y el caso de que a valga menos 4. 00:08:45
Dime. 00:08:49
Yo hago siempre el determinante de la matriz de coeficiente, de la matriz a. 00:08:50
Una vez que yo lo tengo, lo igualo a 0. 00:08:57
Y entonces voy a obtener los valores del parámetro que me hacen 0 ese determinante. 00:08:59
Entonces yo ya sé que para los dos valores que son a igual a 2 y a igual a menos 4, 00:09:07
mi determinante es 0 00:09:12
entonces yo lo único que puedo decir 00:09:14
que el rango de la A es menor que 3 estrictos 00:09:16
¿de acuerdo? 00:09:20
es menor que 3 estrictos 00:09:21
¿vale? 00:09:23
y entonces 00:09:25
yo no sé cuánto va a valer el rango 00:09:25
cuando A vale 2 y A vale menos 4 00:09:28
de hecho lo vamos a hacer 00:09:30
porque son los otros dos casos 00:09:31
voy a discutir el sistema 00:09:33
y voy a resolverlo 00:09:39
la pregunta es como lo que habíamos hecho 00:09:40
Discuto y resuelvo el sistema. ¿Vale? Entonces, ¿qué ocurre? Que si la A no vale 2 y la A no vale menos 4, ¿el determinante vale 0? 00:09:42
No, el determinante no vale 0. ¿Lo veis? ¿Sí o no? Si A es distinto de 2 y A es distinto de menos 4, yo ya sé que el determinante de A es distinto de 0. 00:09:52
Por lo tanto, ¿el rango de A cuánto vale? El rango de A vale 3. ¿Lo veis? ¿Sí o no? Y si el rango de A vale 3, ¿cuánto vale el rango de la A ampliada? También vale lo mismo. ¿Por qué? Porque el rango de la A ampliada no puede ser nunca 4 porque es una matriz 3x4. ¿Lo veis? ¿Sí o no? 00:10:05
Y además, ¿coincide con el número de incógnitas? Número de incógnitas. ¿Y esto qué me dice el teorema de Roche-Frobenio? Efectivamente. Entonces yo pongo aquí, por el teorema de Roche-Frobenio, ¿alguien da francés aquí? Entonces lo digo bien. 00:10:30
Teorema de Roche-Frobenio, ¿vale? Es un sistema compatible, compatible, determinado, ¿vale? Y tenemos una solución única. 00:10:56
¿Todo el mundo ha visto el procedimiento? Es que siempre es igual, dime. 00:11:21
A ver, yo te voy a poner que lo discutes 00:11:24
que tú lo quieres, sí, a ver, si yo te 00:11:31
pregunto, discute y resuelve el sistema 00:11:33
tú eliges el método 00:11:35
que tú quieras 00:11:37
Gauss, la cuenta 00:11:38
la vieja que yo no te la recomiendo en un 3x3 00:11:41
este método de aquí 00:11:44
¿vale? Tú puedes hacer 00:11:46
el método que tú quieras, este suele ser 00:11:48
mucho más rápido, lo que pasa que 00:11:51
no siempre, depende un poco de 00:11:52
cómo tengamos el sistema, ¿vale? 00:11:54
De hecho, si yo ya tengo un sistema medio escalonado, 00:11:56
a lo mejor me puedo tirar por el método de Gauss. 00:11:59
Ahora vamos, un momentillo, Rodrigo. 00:12:03
¿Vale? 00:12:05
Entonces, si yo no te pongo nada, 00:12:05
tú eliges el método que tú quieres. 00:12:09
En la pago no te dicen nada, 00:12:10
tú eliges el método que tú estés más cómoda. 00:12:12
Ahora, si yo te digo, resuelve y discute el sistema 00:12:14
por el método de Gauss, 00:12:16
no te queda más remedio que hacerlo por el método de Gauss. 00:12:17
Este método suele ser más rápido, ¿vale? 00:12:21
Y además, yo es que quería hacer otro 00:12:24
El que teníamos 00:12:26
La primera ecuación es x más y menos z 00:12:27
Pero luego había una menos 2, tío 00:12:30
Había una menos 2 por ahí 00:12:32
Ah, vale 00:12:34
El de 0 y el 2, ¿no? 00:12:36
Vale, ¿y qué pasa? 00:12:38
Que lo he copiado mal 00:12:40
La primera es 00:12:41
Es la única diferencia, ¿no? 00:12:42
Vale 00:12:47
Si os acordáis, vamos 00:12:48
Aquí sería un menos, ¿vale? 00:12:50
Y entonces ya nos saldría otros dos valores, que me salía a igual a 0 y a igual a 2, ¿vale? 00:12:52
Entonces aquí, si tú lo haces por el determinante, el a igual a 0 y el a igual a 2 te va a salir del tirón, 00:12:58
pero vimos que lo resolví, estaba subiendo el aula virtual e incluso tengo un vídeo explicándolo, 00:13:05
que el a menos 2, y yo creo que lo hice en clase también, el a menos 2 me daba cuenta posteriori, ¿sabes? 00:13:12
mientras que aquí ya lo tengo del tirón, ¿vale? 00:13:19
¿Sí o no? 00:13:23
¿Entendéis que la otra vez que muchos de ustedes, 00:13:24
como me lo copiasteis el ejercicio, 00:13:27
pues me pusisteis que a mí me ocupó 4 o 5 caras 00:13:29
y hay gente que le ocupó media cara a ese ejercicio, 00:13:32
que es imposible que te ocupe media cara por el método de Gauss, ¿vale? 00:13:35
¿Qué ocurre? 00:13:42
Que el a menos 2, el a igual a 2, 00:13:43
solamente cuando tú ya despejabas la i detectaba 00:13:45
que la a igual a 2 te anulaba el valor de i, ¿de acuerdo? 00:13:49
Sin embargo, aquí si lo haces por el determinante del tirón tienes el a igual a 0 y el a igual a 2, ¿vale? 00:13:54
Entonces, el primer caso, chavales, es, lo primero, cogemos el determinante. 00:14:01
El determinante va a quedar en función de la a si hay parámetros. 00:14:06
Si no hay parámetros, tú ahí también puedes resolverlo sin parámetros, ¿vale? 00:14:11
Que ahora es lo que vamos a hacer para el caso de a igual a 2 y a igual a menos 4, ¿vale? Ahora lo vamos a analizar. Pero yo ya sí sé que si yo igualo a 0 el determinante y obtengo los valores de a que me anulan el determinante, todos los valores que no me anulan el determinante, acojone su rango 3 porque el determinante es distinto de 0. 00:14:15
Y si el determinante es distinto de 0 es que las tres filas, las tres columnas son linealmente independientes. ¿De acuerdo? ¿Lo veis? Entonces, el rango para estos valores, cuando no es 2 y cuando no es menos 4, el determinante tampoco es 0. 00:14:39
el rango de la matriz A es 3 00:14:55
por lo tanto también es el rango de la matriz 00:14:57
ampliada y además coincide con el número de incógnitas 00:15:00
y por el teorema de Roset-Frobenius me dice 00:15:04
que si el rango de A es igual al rango de B y además es igual 00:15:07
al número de incógnitas, resulta que es un sistema 00:15:10
compatible determinado y la solución es única 00:15:12
¿vale? dime hija 00:15:15
si, claro, claro, todavía no hemos llegado 00:15:17
de hecho lo que voy a explicar ahora que es el método de Kramer 00:15:21
¿Vale? El método de Kramer 00:15:24
¿Vale? Luego 00:15:27
Vamos a resolverlo 00:15:28
Para a igual a 2 00:15:33
Y vamos a resolverlo para a igual a menos 4 00:15:34
¿Vale? ¿Sí? 00:15:37
Venga, pues entonces 00:15:39
Chavales, me voy a copiar 00:15:41
Esta parte de aquí 00:15:44
¿Veis que esto realmente es mecánico? 00:15:45
¿Vale? A ver si lo copio bien 00:15:48
Para que se me ha colado esto 00:15:50
Vale, entonces chavales 00:15:57
¿Qué ocurre? ¿Cómo es el método de Kramer? Yo ya estoy en el caso, ¿verdad? Corregirme si me equivoco, si A es distinto de 2 y A es distinto de menos 4, ¿no? Vale. Pues entonces, yo sé que es sistema compatible determinado con solución única, ¿sí o no? 00:16:01
¿Vale? Os lo digo desde ya y sé que me va a pasar en el examen 00:16:18
Esto de aquí no me lo pongáis nunca 00:16:21
A menos que tú me hayas puesto aquí 00:16:24
Sistema compatible determinado 00:16:27
Y luego me pones entre paréntesis esto 00:16:29
¿Vale? Luego ya sí puedo utilizar las iniciales 00:16:31
Pero no me pongáis las iniciales sin haber declarado antes lo que es 00:16:35
¿Vale? ¿Sí o no? 00:16:39
Venga, solución única 00:16:42
¿De acuerdo? 00:16:44
Entonces, ¿cómo se hace el método de Kramer? 00:16:44
¿Cómo se hace el método de Kramer? 00:16:47
Pues fijaros, tenemos que hallar unos cuantos de determinantes, ¿vale? 00:16:50
Y fijaros cómo se hace, chavales. 00:16:56
Aquí me va a salir en función de A, ¿vale? 00:16:59
Como me salía en su momento. 00:17:02
Aquí pongo el determinante de la matriz A, ¿vale? 00:17:04
Que ya lo teníamos, ¿vale? 00:17:08
Ahí tenemos, pero eso no me va a salir el mismo resultado porque es un sistema distinto. 00:17:10
Y ahora, chavales, fijaros lo que hacemos en las X, en las Y y en las Z, ¿vale? 00:17:13
Es que no me sale. 00:17:23
Qué coraje. 00:17:24
Z para casa, el otro, ¿vale? 00:17:25
Y os tiene que salir igual. 00:17:29
Fijaros una cosita. 00:17:31
Porque esto es muy mecánico también, ¿vale? 00:17:33
¿Veis que esta es la matriz A, verdad? 00:17:35
¿Veis que esta es la matriz A? 00:17:38
Bueno, pues como la X va en esta primera columna, ¿vale? Las Y van en la segunda columna y las Z van en la tercera columna, ¿vale? 00:17:39
Entonces, yo aquí mi determinante que tengo que hallar para la X, fijaros, es, yo en la primera columna en vez de poner 1A y 2, 00:17:52
En vez de poner 1A y 2, yo tengo que poner los términos independientes. 00:18:02
¿Lo veis? 00:18:09
¿Sí? 00:18:10
Entonces, ¿yo aquí qué pongo? 00:18:11
Ya te voy a quitar esto y luego lo rodeo. 00:18:12
Pues así, ¿no? 00:18:15
Yo aquí pongo mi determinante, que es A, 3A y 6. 00:18:18
¿De acuerdo? 00:18:25
Y ahora la segunda columna y la tercera la dejo igual. 1, 2A y 1, menos 1, 1. ¿Habéis visto lo que he hecho? Lo que he hecho únicamente es, en vez del determinante de A, lo que hago es el determinante de A, pero en la primera columna pongo estos elementos de aquí. ¿Vale? Los términos independientes del sistema. 00:18:25
Dime, Raúl. 00:18:51
¿Sorry? 00:18:53
¿Esto qué está mal? 00:18:55
Es un menos uno, ¿verdad, hijo? 00:18:56
Vale, lo he hecho para ver si estabas atento. 00:18:58
Venga, gracias, hijo. 00:19:01
Vale, es un menos uno. 00:19:05
Muchas gracias. 00:19:06
¿Vale? 00:19:07
Y ahora, en la I, chavales, en la I, 00:19:07
es exactamente igual, 00:19:11
pero la primera columna sí la mantengo con el 1, el A y el 2, 00:19:13
que es la suya, ¿lo veis? 00:19:18
Pero en la segunda columna yo pongo los términos independientes y la tercera columna la dejo como está. ¿Lo veis complicado? No. Vale, esto es muy mecánico, ¿vale? Diego, ¿te enteras o no, copetín? 00:19:19
More or less 00:19:39
Easy, easy 00:19:41
Chavales, en la Z igual, ¿vale? 00:19:45
La primera columna la dejo como está 00:19:50
La segunda columna la dejo como está, ¿vale? 00:19:52
Y en la tercera columna 00:19:56
Yo pongo los términos independientes 00:19:58
¿Vale? 00:20:01
Everybody 00:20:03
Oh, yeah 00:20:03
¿Vale, chavales, o no? 00:20:05
Third thing or not third thing? 00:20:08
Powerline 00:20:11
¿Vale? 00:20:11
¿Lo entendéis, chavales? 00:20:14
En serio, esto es súper mecánico 00:20:15
Súper mecánico 00:20:17
Me da coraje no haber cogido el mismo 00:20:19
Porque ya sabíamos las soluciones 00:20:21
De antes, ¿vale? 00:20:23
Entonces nos va a salir una cosita 00:20:24
Diferente, recordamos 00:20:26
Dime, hija 00:20:28
Tenemos que hallar los tres determinantes 00:20:30
Entonces, recordadme un momentillo 00:20:33
El determinante de A, ¿cuánto era? 00:20:35
A cuadrado 00:20:36
Más 2A menos 8 00:20:37
vale chavales 00:20:40
pues entonces 00:20:42
¿cuánto valdría la x? 00:20:44
pues yo hago aquí el determinante 00:20:46
espero no equivocarme 00:20:47
menos 2a más 3a al cuadrado 00:20:49
menos 6 00:20:53
¿vale? 00:20:55
menos, esto es un 12 00:20:56
esto es menos a al cuadrado 00:20:58
y esto es 00:21:01
un menos 3a 00:21:03
no sé si me estoy equivocando, esto lo suyo es hacerlo 00:21:04
con paciencia y con talante 00:21:06
¿vale? 00:21:09
Estoy haciendo el determinante de aquí, ¿vale, Elena? 00:21:10
Entonces, esto sería A. 00:21:24
Esto sería más 4A al cuadrado, ¿verdad? 00:21:29
Lo estoy haciendo muy de cabeza. 00:21:32
A mí no me gusta hacer las cosas tan de cabeza, ¿vale? 00:21:35
Pero ¿lo entendéis ya, vale, el procedimiento? 00:21:41
Pero así como los locos, sí. 00:21:46
Así que me callo. 00:21:49
¿Alguien se me ha perdido? 00:21:58
Tabú Roquilla 00:21:59
o Hugo 00:22:02
¿no? 00:22:04
super interesante esto ¿verdad? 00:22:06
y yo cuando tú salgas por las noches se lo explica 00:22:08
a los pibitas 00:22:10
te determino poco pronto 00:22:15
¿vale chavales? 00:22:17
¿sí o no? así puedes decir 00:22:24
si sois compatibles determinados o no 00:22:25
¿vale? 00:22:27
¿habéis visto lo que he hecho o no? 00:22:29
venga me voy a la i ¿vale? 00:22:31
Entonces, ¿qué ocurre? Pues esto que es menos 3A, más 6A, menos 2A, menos, y esto es 6A. 00:22:33
Dime, hija. La X y la Y y la Z. ¡Guau! 00:22:49
La X es todo el coño este 00:22:56
La X es todo esto 00:23:00
¿Qué ocurre? 00:23:03
Si yo te pregunto 00:23:03
¿Cuánto vale? 00:23:04
Esta es la solución de la X 00:23:06
Depende de A 00:23:10
Si yo te digo 00:23:10
¿Cuánto es para A igual a 0? 00:23:11
¿Cuánto vale la X para A igual a 0? 00:23:16
Que es lo más fácil 00:23:18
¿Vale? 00:23:19
Que es 9 cuartos 00:23:25
¿Vale? 00:23:26
¿Sí o no? 00:23:28
pero aquí yo te estoy dando la solución 00:23:28
para todas las ae, excepto 00:23:30
para la a igual a menos 4 00:23:32
y para la a igual a 2, creo que era, ¿no? 00:23:34
sorry 00:23:39
claro 00:23:39
vale 00:23:43
era aquí un distinto, gracias 00:23:46
madre, gracias hija 00:23:48
se me ha ido la olla, estoy aquí, ¿no? 00:23:52
Resorbe 00:23:54
¿Vale? Normalmente 00:24:00
Claro, claro, si es discutir 00:24:02
A ver chavales 00:24:06
Si es discutir es lo mejor que nos puede pasar 00:24:08
Y además que nos encanta a todo el mundo discutir 00:24:10
Pero si es discutir, tú tan solo me tienes 00:24:12
Que decir si es sistema compatible 00:24:14
Determinado, si es sistema compatible indeterminado 00:24:16
O si es sistema incompatible 00:24:19
Entonces lo mejor que nos puede pasar es la discusión 00:24:20
Y la discusión es 00:24:23
todo lo mismo menos la resolución 00:24:24
lo que pasa es que ya nos llevamos un 2x1 como 00:24:26
Carrefour y ya resolvemos 00:24:28
¿vale? 00:24:30
claro 00:24:34
es que lees 00:24:34
la hostia aquí ya, sí, sí 00:24:37
¿vale? sí o no, entonces 00:24:39
si me dicen resolver, normalmente 00:24:40
chavales, chavales, en estos 00:24:42
ejercicios, ¿qué es lo que se suele hacer? 00:24:44
lo que se suele hacer 00:24:47
Katy, aquí ya, lo que 00:24:48
se suele hacer es, discute el 00:24:50
sistema, ¿vale? Discute el sistema 00:24:52
y luego te dice, resuérvelo 00:24:54
para A igual a 00:24:56
yo que sé, tu número favorito. 00:24:58
¿Vale? Y entonces tú ya 00:25:00
para tu número favorito. Claro, si 00:25:02
yo tengo la solución para todas las A 00:25:04
lo único, como ha hecho Carla antes, 00:25:06
si es para la A igual 00:25:09
a cero, pues sustituyes ahí 00:25:10
la A cero y ya la tienes. 00:25:12
¿Vale? 00:25:15
Sirving or nothing. 00:25:16
Por Sarru 00:25:16
Por Sarruquillo 00:25:32
Esta de aquí 00:25:34
Que es menos dosas 00:25:36
¿Vale? Esta de aquí es que no quiero 00:25:37
A ver 00:25:40
Aquí, menos dosas 00:25:41
¿Vale? Luego 00:25:44
esta por esta, que es 3 al cuadrado 00:25:46
por 1, 3 al cuadrado. Luego 00:25:48
estas dos, que es menos 1 por 6, menos 00:25:50
6. Y ahora, le resto 00:25:52
la diagonal secundaria 00:25:54
12. Esto es 3A 00:25:56
por menos 1, menos 3A. 00:25:58
Esto es menos A por A, menos 00:26:00
A al cuadrado. ¿Vale? 00:26:02
Mi amigo Sarru. Y aquí, ¿qué he 00:26:04
hecho? Esto es menos 00:26:06
3A. Esto es 6A 00:26:08
por 1, es 6A. Esto 00:26:10
es menos A por 2, 00:26:12
menos 2A. ¿Vale? 00:26:14
Menos, esto de aquí que es 00:26:16
6A, esto es A cuadrado 00:26:18
Por menos 1, menos A cuadrado 00:26:20
Esto es menos 6 por 1, menos 6 00:26:22
Oh yeah, you are a great person 00:26:23
Y me voy a reír yo en el examen 00:26:28
Me voy a reír yo en el examen 00:26:33
Entonces chavales, veis 00:26:35
Que esto, hasta luego 00:26:39
Mari Carmen 00:26:42
Esto es menos 5A 00:26:42
¿Vale? Entonces, ¿esto qué me queda? Me queda esto como menos 5a, ¿verdad? Menos 5a más a al cuadrado más 6, ¿vale? Partido de todo esto. 00:26:45
Entonces, ¿esto qué es? 00:26:58
a al cuadrado menos 5a más 6, ¿vale? 00:27:04
Partido, venga, de a al cuadrado más 2a menos 8. 00:27:08
¿Sí o no? 00:27:15
Y ahora, ¿para la zeta qué hacemos? 00:27:17
Lo mismo. 00:27:20
Para la zeta hacemos lo mismo. 00:27:21
¿Vale? 00:27:24
Entonces, para la zeta, el determinante, ¿cómo sería el determinante? 00:27:24
Sería 12, ¿verdad? 00:27:31
12 más ar cubo 00:27:39
12 más ar cubo más 6a 00:27:41
Mi amigo Sarru 00:27:45
Menos 00:27:47
Esto es 4a 00:27:48
Más 6a 00:27:50
Más 3a al cuadrado 00:27:52
¿Vale, chavales? 00:27:55
Y esto que es ar cubo 00:27:58
Más 3a al cuadrado 00:28:01
esto es una tilla de anones 00:28:04
menos 4A más 12 00:28:06
qué coraje 00:28:08
porque me hubiera gustado hacer otro porque teníamos 00:28:10
la solución, todo el mundo 00:28:12
más o menos 00:28:16
voy a decir yo el lunes 00:28:16
el sí o no 00:28:21
vale, ¿y cómo me he quedado? 00:28:24
muy a gusto 00:28:26
vale, entonces el sistema 00:28:27
de John, lo que quiero que aprendáis es el sistema 00:28:30
de Kramer, el sistema de Kramer 00:28:32
es súper mecánico también, ¿vale? 00:28:34
Entonces, normalmente, Kramer 00:28:37
solamente se puede utilizar, ¿vale, chavales? 00:28:38
para sistemas compatibles determinados. 00:28:41
Lo que pasa es que yo también 00:28:43
os invitaría a probarlo 00:28:45
en sistemas compatibles indeterminados, ¿vale? 00:28:47
También, también. 00:28:50
Pero bueno, ahora es otro tema, Fernando. 00:28:53
¿Vale? 00:28:55
Sí, más o menos. 00:28:56
Kramer, la X, primera columna. 00:28:58
La Y, de second one. 00:29:01
Y la Z, la tercera. 00:29:02
¿vale? donde pongo en esa 00:29:04
primera columna, segunda o tercera 00:29:06
los términos independientes 00:29:08
y además, chavales, una cosilla, a ver si me 00:29:10
estáis entendiendo bien o no 00:29:12
¿sabéis lo que es un sistema de ecuaciones 00:29:14
homogéneo? 00:29:16
¿qué era? la Carla tiene 00:29:18
la Karo y yo 00:29:20
¿qué era un sistema de ecuaciones 00:29:22
homogéneo? 00:29:24
I don't know enough from here 00:29:27
¿el qué? 00:29:28
pero antes 00:29:31
de antes. ¿Qué es un 00:29:32
sistema? 00:29:34
Efectivamente. 00:29:38
Sus términos independientes 00:29:39
son cero. Y eso 00:29:41
es un puntazo, ¿verdad? Porque 00:29:42
si yo estoy en un sistema homogéneo 00:29:44
y me da un sistema 00:29:46
compatible determinado con solución 00:29:48
única, ahora sí, 00:29:50
¿cuáles son sus soluciones únicas? 00:29:53
Cero, cero, cero. 00:29:56
Y fijaros aquí, chavales. 00:29:57
Si yo hago 00:29:59
este grammar, la misma 00:30:00
de esta, si esto es 0, 0, 0 00:30:02
¿vale? Yo pongo en este 00:30:05
determinante 0, 0, 0 00:30:06
en este determinante 0, 0, 0 00:30:08
y en este determinante 00:30:11
0, 0, 0, había una 00:30:12
propiedad que me decía 00:30:14
que un determinante con una fila o una 00:30:16
columna de 0, ¿cuánto vale el determinante? 00:30:18
0, por lo tanto la x 00:30:21
¿cuánto va a valer? 0, la y 00:30:22
¿cuánto va a valer? 0, la z 00:30:24
¿cuánto va a valer? 0 00:30:26
¿lo veis, chavales? Entonces 00:30:28
Hacen un sistema de ecuaciones homogéneos 00:30:30
que es aquel cuyo término es independiente, ¿vale? 00:30:32
Los todos, cero, todos, ¿eh? 00:30:35
Todos, cero. 00:30:38
Cuando es un sistema, coño, mañugo. 00:30:40
Cuando es un sistema compatible y determinado 00:30:42
que la solución única es la solución trivial 00:30:44
que se llama, ¿vale? 00:30:47
Solución trivial, que es la cero, cero, cero. 00:30:49
¿Kirsten? 00:30:53
Everybody. 00:30:54
¿Quién se me ha perdido? 00:30:56
trivial es que la trivial es la más fácil 00:30:56
algo trivial es algo fácil 00:31:00
o que lleva a ello 00:31:02
más fácil 00:31:04
es que como toda, si la única solución 00:31:05
es que sean cero 00:31:08
imagínate que esto es un cero, cero, cero 00:31:09
pues fíjate, cero más cero más cero es cero 00:31:12
cero más cero menos cero 00:31:14
es cero 00:31:16
cero más cero menos cero es cero 00:31:17
no copetín 00:31:20
por eso la solución no es la trivial 00:31:22
si esto fuese un cero, esto fuese un cero 00:31:24
¿Y esto puede ser un cero? 00:31:26
¿Vale? 00:31:28
Aquí, estos serían todos ceros. 00:31:29
Estos serían todos ceros. 00:31:31
Serían todos ceros. 00:31:32
X, E, Y y Z serían ceros. 00:31:33
La solución trivial. 00:31:36
¿Cuándo estamos en un sistema 00:31:38
compatible y determinado con solución? 00:31:39
¿Sí? 00:31:42
Depende de la no sé. 00:31:47
Vamos a ver. 00:31:48
En matemáticas pasa una cosa. 00:31:50
Si tú sabes la teoría matemática, 00:31:52
aquí yo, 00:31:54
no es tan complicada. 00:31:56
Lo que pasa es que no estamos acostumbrados desde ningún momento a estudiarnos la teoría matemática. Cuando tú estudias la teoría matemática, por ejemplo, en geografía e historia os aprendéis unos toshakos, en filosofía que os fumáis ahí lo más grande y demás de los toshakos, estudiáis muchas teorías, pero en matemática no estamos acostumbrados a saber la teoría. 00:31:57
Entonces, si tú sabes la teoría matemática, luego dices tú, hostia, pero si esto lo hago con la minga. ¿Vale? Y es verdad, y es verdad, porque entienden muchas cosas. El problema que yo veo de las matemáticas de los estudiantes de hoy en día es que la mayoría aprenden la mecanicidad sin saber hacer lo que están haciendo. Aplícatelo eso para cuando salga también. ¿Vale? 00:32:18
si o no chavales 00:32:45
si o no 00:32:47
que falso soy 00:32:49
venga me voy a los dos casos 00:32:51
vale 00:32:54
si o no chavales 00:32:54
el lunes voy a decir yo 00:32:56
oh my god 00:33:00
el martes 00:33:01
bueno a ver el lunes que pasa 00:33:05
entonces 00:33:08
chavales 00:33:12
Chavales, vamos al tema 00:33:13
¿Cuál era? Ahora estoy en el caso 00:33:15
De que si la A vale 00:33:17
¿Cuánto era? 00:33:19
¿2 y menos 4? Venga, pues la A vale 2 00:33:21
Entonces, ¿cómo procedo? 00:33:23
¿Cómo procedo, chavales? 00:33:25
Sí 00:33:34
¿Vale? 00:33:34
¿Estás acojonada aquí ya? 00:33:37
¿Por qué, mi herma? 00:33:39
Lo que hace 00:33:41
Claro, mi X vale 00:33:42
Tortoshaco este, la Y vale Tortoshaco este 00:33:48
La Z vale Tortoshaco este 00:33:51
Ahora vamos, let's hope 00:33:53
Claro, sería un detalle Maribel 00:33:58
Además, escúchame, además nos pasa una cosa 00:34:01
Puede ser que sea, lo que sí sé es que no va a ser 00:34:04
Sistema compatible determinado, entonces que dos cosas nos faltan 00:34:07
que puedan ser compatibles e indeterminados 00:34:10
o incompatibles 00:34:12
sí, no, ahora voy contigo 00:34:13
Raúl 00:34:17
la ampliada 00:34:18
la ampliada 00:34:21
precisamente porque el teorema de 00:34:22
Roche-Frobenius 00:34:24
juega con ella 00:34:25
y ahora es cuando cobra vital importancia 00:34:28
ahora en estos casos 00:34:31
en el sistema compatible indeterminado 00:34:32
no te aporta nada 00:34:34
realmente, te aporta para el cromer 00:34:36
¿vale? pero para el otro 00:34:38
no te aporta nada. Dime, Raúl. 00:34:40
Una vez se me da tiempo. 00:34:43
Ah, vale. Perdona, hijo. Entonces, chavales, 00:34:44
cuando estamos 00:34:46
en A igual a 2, 00:34:48
yo directamente me hago 00:34:50
mi nueva matriz donde haya 00:34:52
una A que hago. 00:34:54
Pongo un 2. 00:34:56
¿Vale? Y fijarse 00:34:59
una cosita. ¿Qué me pasa 00:35:00
con la matriz A? ¿Alguien la ha detectado? 00:35:02
¿Qué es lo que ocurre cuando yo sustituyo? 00:35:04
Son iguales el qué. 00:35:08
dime, dime, sin miedo, muy bien, perfecto, entonces, ¿ves que no el rango no es 3?, el rango no es 3, ¿lo veis?, ¿sí o no?, entonces, ahora ya, ahora ya, el rango de A, ¿qué sabemos que es?, o 1 o 2, ¿sí o no?, entonces, igual, yo cojo este menor, ¿vale?, 00:35:10
El determinante de 1 es 1, pues entonces el rango de A es mayor o igual que 1, ¿vale? 00:35:33
Sé que el rango aquí, el rango de A, es menor que 3 estrictos. 00:35:41
La única posibilidad es 0, 1 y 2. 00:35:46
Como el determinante de 1, esto es un 1 que me ha salido un mojón, ¿vale? 00:35:49
Lo voy a poner bien, ¿vale? 00:35:53
El determinante de 1 es 1, yo ya sé que el rango de A es mayor o igual que 1. 00:35:55
Y ahora me suelo ir aquí. 00:36:00
Pero fijaros, si yo hago el determinante de esto de aquí, si yo hago el determinante de 1, 1, 2, 2, ¿cuánto me sale este determinante? 0. Puedo decir yo que el rango es 1 a cojones, no tengo que buscar otros menores de orden 2, ¿vale? 00:36:02
Y de hecho, si me voy al 1, 2, 1 menos 1, ¿vale? 00:36:20
Que lo que he cogido, lo voy a poner aquí en colorado, 00:36:26
es estos dos y estos dos, ¿es un menor de orden 2? 00:36:29
Sí. 00:36:33
Hago su determinante y aquí veis que este determinante es distinto de 0, ¿sí o no? 00:36:34
Este determinante es menos 2 menos, perdona, menos 1 menos 2, 00:36:40
esto es igual a menos 3. 00:36:46
Es distinto de 0, ¿verdad? 00:36:47
como ya tengo un menor 00:36:49
de orden 2 00:36:51
con determinante distinto de 0 00:36:53
yo ya si puedo decir 00:36:55
que el rango de A 00:36:57
es 2 00:36:59
¿lo veis chavales? 00:37:01
¿si o no? 00:37:04
el rango de A es 2 00:37:05
el rango de la matriz 00:37:07
ampliada, el rango de la 00:37:09
A ampliada 00:37:11
siempre es mayor o igual que el rango 00:37:12
de A 00:37:18
entonces la ampliada 00:37:19
si os dais cuenta, la ampliada 00:37:21
¿estás bien? 00:37:23
entonces 00:37:26
si la ampliada 00:37:27
siempre va a ser 2 o 3 00:37:29
¿de acuerdo? en este caso de aquí 00:37:32
entonces si nos fijamos 00:37:33
en la ampliada y ahora Noah 00:37:35
es donde juega un papel muy importante 00:37:37
la ampliada, vemos igual 00:37:40
que aquí lo que me ha dicho, que no sé si ha sido Elena 00:37:41
o Carla, que me ha dicho que la 00:37:43
segunda y la tercera son iguales ¿verdad? 00:37:45
Entonces, a mí la tercera ecuación no me aporta absolutamente nada, nada de nada, ¿vale? Entonces, ¿yo aquí qué tendría realmente? Una matriz 2x4, ¿sí o no? Porque esta no me aporta absolutamente nada, ¿vale? 00:37:47
Entonces, ¿puede ser de rango 3? 00:38:05
No puede ser nunca de rango 3. 00:38:07
¿Lo veis? 00:38:10
¿Lo veis ahí todo el mundo o no? 00:38:11
¿Sí? 00:38:14
Tírame el chicle, Paula, por favor. 00:38:15
¿Vale? 00:38:16
Entonces, ¿qué ocurre? 00:38:17
Que el rango de A ampliada, 00:38:18
el rango de la A ampliada también es 2, 00:38:20
que es igual al rango de A, 00:38:25
pero que es distinto de 3, 00:38:28
que es el número de incógnita. 00:38:30
Y esto, chaval, le ponerlo así. 00:38:32
Porque yo lo veo y tal, pero lo veo uno de la PAU y ya os digo que eyacula con esto porque es que se lo estás dando más caído, se lo estás dando más caído. 00:38:35
Entonces, y si ya le pones por el teorema de Roche-Froben, es un sistema, si A es igual a 2, sí, sí, es un sistema que es un sistema compatible, indeterminado, infinitas soluciones, eso es lo que tú buscas por la noche, ¿vale? 00:38:45
si o no 00:39:24
he encontrado uno ya suficiente 00:39:25
siempre 00:39:27
eso es de siempre, esto es teoría 00:39:33
teoría matemática 00:39:35
teoría 00:39:36
matemática 00:39:38
nunca puede ser menor ¿vale? 00:39:40
porque es mayor 00:39:45
nunca puede ser menor que el rango de A 00:39:46
o es igual o es mayor 00:39:49
nunca puede, este de aquí no puede ser 00:39:51
menor, no sé si lo he dicho bien o me he equivocado 00:39:54
porque tiene una dimensión 00:39:56
más. Y además 00:39:59
date cuenta que aquí 00:40:01
todos los elementos de la A 00:40:02
están en la A ampliada. Entonces, si el rango 00:40:05
de la A es 2, 00:40:07
el rango de la A ampliada no puede ser 1 nunca 00:40:09
porque sus elementos, aquí 00:40:11
hay un menor de orden 2 00:40:13
con determinantes distintos de 0. 00:40:15
¿Vale? 00:40:17
Firthing o Northing. Date cuenta 00:40:19
que todos los elementos de la A 00:40:21
están en la A ampliada. 00:40:23
Entonces, yo ahora que he encontrado, yo he encontrado un menor de orden 2 cuyo determinante es distinto de 0, ¿verdad? Por lo tanto, ese rango de A es 2. Pero es que date cuenta que si yo cojo estos elementos aquí, están también. ¿Lo ves? ¿Sí o no? 00:40:24
en la ampliada, perdón, aquí 00:40:46
estos están aquí también, entonces también 00:40:47
la ampliada tiene un menor de orden 00:40:50
¿lo ves o no? 00:40:52
venga chavales 00:40:56
no lo voy a resolver pero 00:40:57
dejadme un momentillo 00:40:58
voy a hacer el tercer caso 00:40:59
que es 00:41:03
si la A 00:41:05
vale menos 4, entonces 00:41:07
mi matriz 00:41:09
quedaría como 00:41:11
1, 1, 1 00:41:13
menos 4, 2 00:41:14
menos 1, 2, menos 4, menos 1. Y mi matriz A ampliada me quedaría como 1, 1, 1, menos 00:41:17
4, 2, menos 1, 2, menos 4, menos 1. Y aquí sería menos 4, menos 12 y 6. Sabemos que 00:41:29
El rango de la matriz A no puede ser 3 porque estamos en el caso de que A igual a menos 4 que me anulaba el determinante. 00:41:43
Yo os invito a que hagáis el determinante de A con estos valores y me tiene que dar 0. 00:41:53
Me tiene que dar 0. 00:41:59
Si lo hemos hecho bien, me tiene que quedar efectivamente 0 porque aquí vimos, no sé si os acordáis, 00:42:00
cuando hicimos la ecuación de segundo grado que nos daba aquí un 2 y aquí un menos 4, ¿vale? 00:42:09
Entonces, precisamente, para a igual a menos 4, el determinante es 0 y el rango tiene que ser menor que 3. 00:42:18
Vamos a ver, en este caso de aquí, cuál es el rango de a. 00:42:26
Entonces, volvemos a lo de siempre. Yo cojo este menor de aquí, por lo tanto, como el determinante de 1 es igual a 1, 00:42:30
eso implica que el rango de A ya es mayor o igual que 1. 00:42:38
Entonces, en este caso, tenemos que es rango 1 o rango 2. 00:42:45
Ahora me voy a ir a otro menor, a un menor de orden 2, 00:42:49
que está formado por el 1, 1, menos 4, 2. 00:42:54
Y aquí yo observo que si hago el determinante, 00:42:58
esto es igual a 2 menos menos 4, que esto es igual a 6. 00:43:02
por lo tanto yo puedo decir sin riesgo de duda que el rango de A es igual a 2 00:43:06
no puede ser 3 porque si hago el determinante, os invito a que hagáis el determinante, sale 0 00:43:13
entonces yo ya sé que el rango de A vale 2 00:43:19
pero ahora me tengo que ir a la matriz ampliada 00:43:22
la matriz ampliada, y esto es muy importante, tiene 4 columnas 00:43:26
1, 2, 3, 4 00:43:30
Y yo lo que tengo que probar es si el rango de la matriz ampliada es 2 o es 3. Al ser una matriz 3x4, el rango máximo es 3. Y como el rango de A yo sé que es 2, el rango de la matriz ampliada, esto es muy importante, el rango de la matriz ampliada siempre es mayor o igual que el rango de A. 00:43:31
Por lo tanto, las dos únicas posibilidades que tiene el rango de la matriz ampliada es que sea o 2 o 3. 00:43:54
Como yo tengo estas cuatro columnas, yo tengo cuatro posibilidades de los menores de orden 3. 00:44:01
¿Cuáles son los menores de orden 3 de la matriz ampliada? 00:44:08
Pues tengo cuatro. 00:44:15
Estoy el que está formado por las columnas 1, 2 y 3, que este yo ya sé que no es 00:44:22
porque es el determinante de A que es 0, luego sería el 1, el 2 y el 4, que es el primero que vamos a hacer, 00:44:28
luego vamos a hacer el 1, el 3 y el 4, y luego vamos a hacer un menor que está formado por las columnas 2, 3 y 4. 00:44:35
Entonces aquí es súper importante. Este lo descarto, ¿por qué? Porque es el de la matriz A, que yo ya sé que el determinante es 0. 00:44:43
Ahora me voy a este, hago el menor formado por la columna 1, 2 y 4 00:44:49
Voy a hacer su determinante, si su determinante me sale distinto de 0 00:44:57
Yo ya termino y digo que el rango de la ampliada es 3 00:45:02
¿Por qué? Porque mi matriz ampliada tiene un menor de orden 3 cuyo determinante es distinto de 0 00:45:06
Si este de aquí me sale el determinante igual a 0 00:45:14
Yo ahora tengo que probar con el determinante formado por el menor de orden 3 compuesto por la columna 1, columna 3 y columna 4. 00:45:17
¿Qué me sale distinto de 0? Pues yo ya digo que el rango de A es 3. 00:45:28
Pero si me vuelve a salir 0, este, imagínate que este es igual a 0 y este también es igual a 0, 00:45:34
entonces me tengo que ir a este último y hallar el determinante. 00:45:40
¿Que este determinante me sale distinto de 0? Pues nada, yo digo que el rango de la ampliada es 3, pero si los 3, si por lo que fuese estos 3 determinantes me salen 0, yo tengo que decir que el rango de A es 2, ¿vale? 00:45:43
Entonces lo que vamos a hacer ahora es formar el determinante compuesto por las columnas 1, 2 y 4 de mi matriz ampliada, lo voy a hacer aquí en otro valor, y entonces será el determinante de 1, menos 4, 2, la columna 2 es 1, 2, menos 4, y la 4 es menos 4, menos 12 y 6. 00:46:03
si yo hago el determinante de esto 00:46:30
¿qué obtengo? 00:46:32
tengo aquí un 12 00:46:33
tengo 4 por 4 es 16 00:46:35
y 4 es 64 00:46:38
menos 64 00:46:39
tengo aquí que esto es menos 24 00:46:41
¿vale? 00:46:45
menos 00:46:46
y ahora 00:46:47
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Idioma/s:
es
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Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
17
Fecha:
15 de octubre de 2025 - 18:23
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
46′ 49″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
470.52 MBytes

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