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Ejemplo de factorización de un polinomio con raíces fraccionarias - Contenido educativo

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Subido el 7 de marzo de 2021 por Andrés B.

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Ejemplo de factorización de un polinomio cuyas raíces son fraccionarias

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Vamos a hacer ahora un ejemplo un poquito más avanzado. No es algo que os vaya a pedir este año, pero para que sepáis, porque hay algo que funciona un poco distinto, para que veáis un poco cómo es. 00:00:03
Ya habréis notado la diferencia de este ejemplo con respecto a los que os estoy haciendo este año, es que aquí tenemos un término independiente que es 1, pero tenemos un coeficiente principal que es 4. 00:00:21
Entonces, cuando hagamos las raíces de ese polinomio, ¿qué forma van a tener? 00:00:32
Van a tener la forma, recuerdo, de los divisores de este número, es decir, de 1 o de menos 1, entre los divisores de 4. 00:00:36
De manera que los divisores van a ser, es decir, los posibles raíces van a ser más menos uno, más menos un medio, más menos un cuarto, ¿vale? 00:00:46
¿Vale? Claro, esto nos obligaría a hacer Ruffini con estos números, ¿vale? 00:01:04
Aunque, como siempre os digo, probad primero con los más pequeños y con los más enteros, 00:01:09
son los más fáciles de hacer Ruffini con ellos, ¿vale? 00:01:14
Entonces vamos a empezar a hacer Ruffini primero con el 1. 00:01:17
4, 4, menos 1 y menos 1. 00:01:22
Vale, bueno, probemos con este entonces. 00:01:28
Bajo el 4, 4 por 1 es 4, 4 más 4 es 8, 8 por 1 es 8, menos 1 más 8 es 7, 7 por 1 es 7, y menos 1 más 7 es 6. 00:01:32
El resto no es 0, así que x igual a 1 no es una raíz de ese polinomio. 00:01:44
Vamos a probar con x igual a menos 1. 4, 4, menos 1 y menos 1. 00:01:49
Es decir, vamos a probar a dividir este polinomio entre x más 1. 00:01:57
Bajo el 4, 4 por menos 1, menos 4 00:02:00
4 menos 4, 0 00:02:04
0 por menos 1, 0 00:02:06
Menos 1 más 0, menos 1 00:02:07
Y menos 1 por menos 1, 1 00:02:09
Menos 1 más 1, 0 00:02:11
Ahora sí el resto es 0 00:02:14
Es decir, ya hemos encontrado 00:02:16
Y hemos tenido suerte 00:02:17
Una raíz que es x igual a menos 1 00:02:19
Que es entera, afortunadamente 00:02:23
Porque ya veréis 00:02:25
que cuando no tenemos ese caso 00:02:27
pues se complica bastante la cosa 00:02:32
porque tienes que hacer rufino con una fracción 00:02:34
que siempre es un poquito más complicado 00:02:35
porque tienes que multiplicar y dividir las dos cosas 00:02:37
vale 00:02:39
entonces 00:02:41
¿qué conclusión tenemos de momento? 00:02:43
pues que el polinomio Q de X 00:02:45
que es 4X cubo más 4X cuadrado 00:02:47
menos X menos 1 00:02:50
se puede escribir como 00:02:52
factor X más 1 00:02:54
por el factor 4x cuadrado menos 1, ¿vale? 00:02:56
Más 0x menos 1, que sería este, ¿vale? 00:03:02
Bien, ahora podríamos hacer Ruffini con este número 00:03:05
y probar de nuevo con el menos 1 y si no funciona con alguna de estas, ¿vale? 00:03:12
Desde luego con el menos 1 no va a funcionar porque tendríamos, 00:03:19
Si x es igual a menos 1, fijaos que este factor sería 4 por 1, que sería 4, menos 1, 3, entonces no es 0, con lo cual no va a ser. 00:03:22
Van a ser probablemente uno de estos dos, ¿no? Bueno, quiero decir, de estos cuatro, porque aquí hay cuatro raíces posibles. 00:03:37
¿Qué ocurre? Que como tenemos un polinomio de grado 2, podemos resolver la ecuación de segundo grado 00:03:44
4x al cuadrado menos 1 igual a 0, ¿vale? 00:03:51
Y si esa ecuación tiene solución real, pues tendremos en la solución la raíz del polinomio, o raíces, ¿vale? 00:03:58
Raíz o raíces, puede tener 2, porque es de grado 2 00:04:10
y por lo tanto sería mucho más fácil 00:04:13
que tener que hacerlo 00:04:16
bueno, pues vamos a resolver esta ecuación 00:04:17
como es una ecuación de segundo grado 00:04:20
que no tiene valor de b 00:04:22
a vale 4, c vale menos 1 00:04:24
no tengo por qué usar la fórmula 00:04:26
directamente lo que puedo hacer es despejar 00:04:27
4x cuadrado 00:04:29
es igual a 1 00:04:32
entonces x cuadrado 00:04:34
es igual a 1 cuarto 00:04:36
por lo tanto 00:04:38
como x al cuadrado es 1 cuarto 00:04:40
eso significa que x es la raíz cuadrada de un cuarto. Y la raíz cuadrada de un cuarto tiene dos soluciones, ¿vale? 00:04:42
No es ninguna sorpresa, porque tiene la solución más menos un medio, o sea, la solución más un medio y la solución menos un medio. 00:04:50
Tiene dos soluciones. Estas son las dos raíces de este polinomio, ¿vale? 00:04:58
Bien, vamos a ver qué pasa si escribo la factorización de esta manera. 00:05:05
Tendríamos x más 1, que es la que teníamos ya, ¿no? 00:05:17
Y este factor que supuestamente, si aplicamos la lógica que hemos aplicado hasta ahora, sería x más 1 medio por x menos 1 medio, ¿vale? 00:05:20
Fijaos, vamos a ver si es verdad. 00:05:36
Tendríamos x más 1, pues voy a resolver primero esto, porque como esto es una fórmula notable, suma por diferencia, 00:05:39
yo sé que es la diferencia de los cuadrados. 00:05:44
Si queréis, si no sabéis la fórmula, que deberíais saberla, cuadrados de un medio suben un cuarto, 00:05:46
pero si no sabéis la fórmula, digo que deberíais saberla, pues operáis y os daréis cuenta de que sale esto, ¿vale? 00:05:52
Sería este por este, menos este por este, más este por este, más este por este, entonces se anulan dos términos y el otro sería este por este, entonces un cuarto, ¿vale? 00:05:58
Bien, y ahora, si resuelvo esto, multiplicaría x por x cuadrado, que sería x al cubo, x por menos un cuarto sería menos x cuartos, 00:06:09
1 por x cuadrado sería más x cuadrado 00:06:20
1 por menos un cuarto sería menos un cuarto 00:06:25
Vaya, esto no se parece a esto, ¿no? 00:06:28
¿Y por qué será? 00:06:37
Pues esto ocurre porque hay un factor más 00:06:39
¿Vale? 00:06:42
Aquí no están todos los factores, aquí falta algo 00:06:44
Y, hombre, yo observando esto 00:06:46
Creo que ya puedo ver un poco qué es lo que está pasando 00:06:51
Bueno, ¿qué es lo que me está estorbando? Pues mira, vamos a comparar los dos polinomios, el original, que era este, y el que nos ha salido, que es este. 00:06:54
Pues hombre, yo veo que aquí tenemos en el denominador un 4 que no nos interesa tener, y aquí también, ¿vale? 00:07:05
Porque aquí tengo 1 y aquí tengo un cuarto, porque aquí tengo x, o menos x mejor dicho, y aquí tengo menos x cuarto. 00:07:13
Y luego, en cambio, lo que no tengo aquí es un 4, que aquí hay un 4 y aquí hay un 4. Pues es que, fijaos, si multiplicamos este polinomio, ¿vale? Este de aquí que nos ha salido por 4, obtenemos el de arriba. 00:07:20
Entonces está claro, ¿qué factor falta? El número 4, ¿vale? Es decir, si yo multiplico aquí por 4 y aquí por 4, ahora sí, todo esto, voy a borrar, a ver si me deja borrar solamente esto de aquí. 00:07:35
si, vale 00:07:53
mira, si multiplico 00:07:59
todo eso por 4 00:08:04
si multiplico esto por 4 00:08:05
ya tengo esta igualdad 00:08:12
correcta, vale 00:08:16
y esto si que me va a dar 00:08:17
fijaos, 4 por x al cubo 00:08:19
sería 4x al cubo 00:08:22
menos x cuartas por 4 00:08:24
sería menos x 00:08:27
más x cuadrado por 4 sería 00:08:28
más 4x cuadrado 00:08:31
y menos 1 cuarto por 4 sería menos 1 00:08:32
que esto escrito en otro orden 00:08:35
vale, voy a ponerlo en azul 00:08:37
sería 4x cubo 00:08:39
más 4x cuadrado 00:08:42
menos x menos 1 00:08:43
esto ya ordenado, vale 00:08:45
y esto si, esto si 00:08:47
ya lo veis, es lo mismo 00:08:49
que esto de aquí, vale 00:08:51
pongo el asterisco para que lo veáis bien 00:08:53
es lo mismo 00:08:56
Entonces, ahora sí, hemos obtenido lo mismo 00:08:56
Es decir, nos faltaba un factor, que era este 00:09:00
¿Vale? 00:09:02
Con lo cual, la solución 00:09:03
Voy a volver a escribir para que quede claro 00:09:05
Me he llevado aquí unos 00:09:06
Voy a volver a escribir la solución para que quede claro 00:09:09
Sería 00:09:11
Que nuestro polinomio Q de X 00:09:13
Que nos decía el enunciado que es 00:09:15
4X al cubo 00:09:19
Más 4X al cuadrado 00:09:21
Menos X, menos 1 00:09:22
Es un polinomio 00:09:25
igual al producto 4 por x más 1 por x más 1 medio y por x menos 1 medio, ¿vale? 00:09:27
Esta sí sería la solución. 00:09:40
Y luego las raíces que tiene, ¿vale? 00:09:42
O sea, q de x es igual a 0 si solo si las soluciones de esta ecuación de segundo, de tercer grado, ¿vale? 00:09:45
¿Cuáles serían? 00:09:52
pues sería 00:09:53
x igual a menos 1 00:09:54
¿vale? 00:09:57
las soluciones no cambian 00:09:57
porque como el 4 está ahí multiplicando 00:09:58
da igual 00:10:00
si multiplico 4 por 0 00:10:00
sigue siendo 0 00:10:01
entonces x igual a menos 1 00:10:03
sigue siendo una solución 00:10:04
x igual a menos 1 medio 00:10:05
sigue siendo una solución 00:10:08
y x igual a más 1 medio 00:10:09
sigue siendo una solución 00:10:11
podéis comprobarlo 00:10:12
si te lo dices aquí 00:10:13
menos 1 medio 00:10:15
pues está claro que esto va a dar 0 00:10:16
y por lo tanto 00:10:17
da igual que haya un 4 00:10:18
va a seguirme dando 0 00:10:19
pero quiero decir 00:10:21
Si metéis aquí el menos un medio y el un medio, veréis que también da cero, es decir, que es correcta la factorización. Así que ya estaría lo que nos piden calculado. La solución de lo que nos piden sería esto. 00:10:22
Entonces, como digo, ha habido una complicación más, que es algo que no os esperabais, quizás, igual a algunos sí, que es que hay un factor que no tiene X, ¿vale? 00:10:39
Hay un factor que no es ni siquiera un monomio ni un polinomio, puesto que es un número, sencillamente, ¿vale? No tiene letra, no tiene X. 00:10:57
Entonces, esto puede ocurrir, y esto va a ocurrir, de hecho, siempre que tengáis un coeficiente principal distinto de 1, puesto que en esos casos vais a tener raíces que son números no enteros, números fraccionarios. 00:11:07
entonces bueno, quería poner este ejemplo 00:11:28
para que vierais que se puede complicar un poco más 00:11:31
este ejemplo 00:11:33
no sería tanto nivel de tercero de la ESO 00:11:34
sino un poquito más 00:11:37
pero porque 00:11:38
quizás este paso 00:11:41
os pueda costar un poco verlo, pero ya veis que tampoco 00:11:42
es una complicación muy grande 00:11:45
que realmente Ruffini ni siquiera lo hemos tenido 00:11:46
que hacer con las fracciones 00:11:49
podría haber puesto un ejemplo con fracciones 00:11:50
pero incluso se ha puesto un ejemplo que se puede hacer Ruffini 00:11:52
directamente 00:11:54
con la primera raíz 00:11:55
que se entera 00:11:58
y bueno, por lo demás pues 00:11:59
la única complicación, de hecho ni siquiera 00:12:03
la complicada de la conciencia de segundo grado 00:12:06
porque eso es un ejemplo fácil, que no hace falta ni usar la fórmula 00:12:07
y ya veis 00:12:10
que lo complicado es eso 00:12:12
que sale aquí un polinomio 00:12:14
que no coincide con el que teníais 00:12:16
pero es un múltiplo 00:12:18
de lo que teníais, entonces como es múltiplo 00:12:20
de lo que teníais, pues múltiplo quiere decir 00:12:22
que estamos multiplicando un número sencillamente 00:12:24
no un polinomio, pues lo multiplicáis y ya está 00:12:26
¿Vale? No tiene más complicación. Entonces, bueno, espero que alguno de este ejemplo le haya servido para que lo tengáis todo más claro y ya os digo que en el examen no voy a pediros este nivel, pero bueno, porque lo sepáis que esto existe, pues aquí lo dejo. 00:12:28
Valoración:
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Andrés Benito Platón
Subido por:
Andrés B.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
145
Fecha:
7 de marzo de 2021 - 17:22
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LUIS DE GONGORA
Duración:
12′ 49″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1092x614 píxeles
Tamaño:
56.10 MBytes

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