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Clase 8-02-2024 Tema 5. Teorema de Thales y Teorema de Pitágoras - Contenido educativo

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Subido el 8 de febrero de 2024 por Diego R.

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Pues comenzamos con una nueva clase dedicada a la geometría plana y en este caso vamos a centrarnos en el teorema de Tales y el teorema de Pitágoras. 00:00:00
Este material que tenéis en pantalla lo encontráis en el aula virtual, en el tema 5, aquí está el que pone el teorema de Tales y de Pitágoras. 00:00:14
Hay un cuestionario sobre estos contenidos que vamos a ver hoy, de hecho vamos a hacer algunos ejercicios de este cuestionario y aquí en ¿Cómo sabes si un trángulo es acutángulo? 00:00:22
pues también viene una pequeña infografía que luego pondremos en pantalla, ¿vale? 00:00:32
Y unos problemas con el teorema de Pitágoras y que es un poquito trastear fuera de los que son, digamos, calificables o evaluables. 00:00:38
Y dejamos los movimientos en el plano para la semana que viene. 00:00:49
Entonces, la semana pasada, si recordáis, nos centramos en las figuras planas y vimos también cuál será el área de las figuras planas, entre otras. 00:00:52
Hoy vamos a ver aplicaciones del teorema de Tales y del teorema de Pitágoras que vamos a conocer hoy, algunos de ellos aplicados ¿a qué? al cálculo de áreas, ¿vale? 00:01:04
En primer lugar, vamos a hablar un poco de semejanzas, ¿vale? 00:01:14
Pero vamos a poner un ejercicio. 00:01:20
Por ejemplo, ¿de dónde surge el teorema de Tales que ahora vamos a hablar? 00:01:22
Tales era un matemático, filósofo, historiador, geógrafo, de todo un poco, del siglo VI y VII. 00:01:26
Y él lo que hizo, ¿vale? que es un poco la base del teorema, fue el intentar medir con un palo. 00:01:38
Fijaos, aquí hay un palo, ¿sí? 00:01:49
Aquí hay una pirámide, pues uno de los experimentos que él hizo fue intentar calcular la altura de la pirámide, ¿cómo? 00:01:52
Comparándolo, de alguna forma, con la sombra que da este palo. 00:02:03
¿Por qué? Porque en un mismo momento, en dos puntos cercanos, ¿qué sucede? 00:02:09
Que la inclinación de los rayos del Sol sobre la pirámide es la misma inclinación que sobre este palo. 00:02:15
Y esto nos va a llevar a triángulos semejantes. 00:02:23
Porque si pensáis, la altura de la pirámide y lo que es el palo están perpendiculares con respecto al suelo. 00:02:26
Es decir, el suelo y esa vertical forman 90 grados. 00:02:32
Si además el rayo del Sol forma el mismo ángulo, miento del pico de la pirámide, o con la parte superior del palo, 00:02:38
el ángulo es el mismo, dos ángulos son iguales. 00:02:47
Pues vamos a ver que si en un triángulo hay dos ángulos iguales. 00:02:50
iguales, el tercero tiene que ser también igual. Son triángulos que al final son semejantes y eso 00:02:52
quiere decir que sus lados mantienen unas proporciones, como si hago una fotocopia y 00:02:58
amplio o disminuyo, que también veremos hoy las escalas. Bueno, aquí viene un poquito explicado 00:03:03
y desarrollado. Figuras semejantes, que era lo que comentaba. Al final es que yo puedo aumentar 00:03:11
o disminuir el tamaño global de la figura de tal forma que no se pierden ni las formas, 00:03:20
no se pierden los ángulos y se mantienen las proporciones entre todos los lados o si son 00:03:25
curvos, en fin, entre todos los elementos de la figura. Como decía, visualmente es como si yo 00:03:32
cojo y hago una fotocopia ampliando o reduciendo. Digamos que tú vas a coger la misma imagen, 00:03:38
más grande o más pequeña, según esa escala que elijamos. Si nos fijamos en... 00:03:45
en polígonos, ¿vale? Dos polígonos van a ser semejantes, dice, si sus lados correspondientes son 00:03:50
proporcionales y sus ángulos son iguales. Es decir, los ángulos no cambian, son los mismos, porque si no 00:03:57
cambiaría la figura, ¿vale? Pensar una cruz, una cruz, que son al final dos líneas que son 00:04:03
perpendiculares. Los ángulos que generan al cortarse son de 90 grados. Si los ángulos al 00:04:09
ampliar o reducir esa figura se giran un poquito, ya no son de 90 grados, ya no es una cruz. 00:04:16
Ya estarían inclinados, ¿vale? Luego se tienen que mantener esos ángulos. Incluso aquí podéis 00:04:20
encontrar cómo poder construir figuras que sean semejantes. Con todo esto nos vamos a ir al 00:04:26
teorema de Tales. El teorema de Tales nos dice que si yo tengo dos rectas que se cortan en un punto, 00:04:34
es decir, dos rectas que son secantes, en este dibujo que tenemos serían estas que 00:04:41
tienen como varios colorines. Tanto el que va hacia arriba como el que va hacia abajo. 00:04:48
Tanto el que va hacia abajo en horizontal, ¿vale? Que las llama R y S. Dice, tengo dos rectas que se cortan en un punto. 00:04:50
Yo puedo prolongarlas, pero para entenderlo, si os fijáis, me lo deja como con el punto de, con el vértice, 00:04:57
que es el punto de corte de las dos rectas, ¿vale? Y solo me deja una rama, la rama, digamos, de la derecha. 00:05:03
Y dice, sobre esas dos rectas yo voy a trazar distintas rectas que cortan a ambas rectas, a R y a S, 00:05:09
esta de aquí, que sean paralelas. ¿Veis que hay como tres? 00:05:17
Hay rectas que son negras, paralelas, ¿sí? Que cortan a las otras dos, ¿vale? 00:05:20
Pues estamos en esa situación de partida, ¿vale? Dice, en esta situación, ¿qué es lo que sucede? 00:05:25
Que como estas rectas que he dibujado son paralelas, ¿vale? Me va a trocear, por decirlo de alguna forma, 00:05:31
a mis dos rectas secantes en segmentos que van a ser proporcionales. 00:05:39
Aquí se ve con colores, ¿vale? Y si bien puede tener un nombre, dice, el verde es el P, A, 00:05:44
en el que va por arriba y por abajo es el P, A, y eso que tiene como un acento, ¿vale? 00:05:49
Se llama prima en matemáticas, P, A'. ¿Vale? Pues esos dos segmentos van a guardar la misma proporción 00:05:54
que si yo cojo el siguiente, el azul, el que va de A a B y de A' a B'. 00:06:02
Lo mismo con el rojo, todos esos cortes. Ser proporcional es que si yo los pongo en forma de división, 00:06:07
en forma de cociente, la longitud del segmento P, A... 00:06:15
dividido entre la del P, A', que es la de abajo, esa división debe de ser igual que si yo divido los dos segmentos azules 00:06:19
o si yo divido los dos segmentos rojos, ¿vale? Que sea igual quiere decir que mantienen la misma razón de proporcionalidad, 00:06:27
¿vale? La misma semejanza. Bien, esta es la base. En los ejercicios que vamos a ver más adelante, 00:06:37
en la aplicación del teorema de Tales, es que en situaciones donde se puede aplicar el teorema de Tales, 00:06:43
porque yo tengo dos rectas que se cortan, y al final hay unas rectas paralelas, ¿vale?, que cortan a las otras dos, 00:06:48
puedo aplicar el teorema de Tales, y aunque aquí veis tres igualdades, podría poner 18 igualdades, 00:06:54
pero pensar una única igualdad, una única igualdad, me afecta a cuatro segmentos. 00:06:59
Si yo conozco tres, y hablo de que son proporcionales, puedo calcular el cuarto, eso ya lo hemos hecho en proporcionalidad y en fracciones, 00:07:05
que al final era lo de multiplicar el club, ¿vale? 00:07:15
Luego, al final, nos va a llevar aquí a calcular el lado que no conozco. 00:07:18
Aquí tenéis algunos ejemplos desarrollados, ¿vale? Este, bueno, pues, es el mismo de antes, pero con longitudes, 00:07:25
y aquí veis que dice, si yo divido lo que mide el azul 2,17 entre 3,06, si divido 2,17 entre 3,06, 00:07:34
y si divido 3,27 entre 4,61, esas divisiones, todas ellas me dan 0,71. 00:07:42
Aquí viene otra figura que parece un poco más compleja, y podéis decir, aquí, en esa figura yo no veo el teorema de Tales. 00:07:48
Si yo prolongo los lados que no son paralelos, este de arriba, que pone 24 centímetros, si yo lo prolongo hacia la izquierda, 00:07:57
y luego el que viene como de abajo hacia arriba, esto, te lo prolongo para arriba, ahí se cortarían en un punto. 00:08:04
Luego tengo dos rectas secantes, y luego tengo tres rectas que son paralelas, luego al final todos esos segmentos van a ser proporcionales. 00:08:10
¿Vale? 00:08:18
Y aquí tenemos algunos ejercicios, pero me voy a ir mejor a ejercicios de aquí, del cuestionario, que quizás lo veamos, a ver, mejor, este de aquí, ¿vale? 00:08:21
Lo voy a dibujar mientras en el papel, para hacer esto. 00:08:34
Vamos a copiar los datos, 10 centímetros, 4. 00:08:44
14, y X. 00:08:49
Y vamos a pasar con la cámara. 00:08:51
Esta es la situación de antes, da igual cómo se llamen las rectas, R, S, da igual. 00:08:56
Si os fijáis, estos dos, si yo los alargo, va a llegar a un punto en el cual se van a cortar, aunque no esté dibujado. 00:09:00
Estas rectas son paralelas, luego puedo aplicar teorema de Tales. 00:09:09
Pues este segmento, y este de aquí abajo, deben de mantener la misma proporción, 00:09:13
que es el 4 y el X, que son las mismas regiones, es decir, que 10 partido 14 debe de ser proporcional a 4 partido X. 00:09:18
¿Por qué? Porque puedo aplicar el teorema de Tales, se reúnen las condiciones, ¿vale? 00:09:28
¿Puedo calcular el lado que yo no conozco? Sí. 00:09:33
¿Cómo? Multiplicando. 00:09:36
¿Quién es X? X es 14 por 4, y todo ello dividido entre 10. 00:09:37
Es decir, 56 entre 10. 00:09:46
Lo que es lo mismo, 5,6. 00:09:48
Si estos son centímetros, pues este será también centímetros. 00:09:52
Volviendo al aula virtual, 5,6. 00:09:58
Nos dice el ejercicio que usemos el punto como separación decimal. 00:10:03
Es decir, me pone 5 coma, que ponga 5 punto. 00:10:06
Pues 5,6. 00:10:09
Y le damos a comprobar, y nos dice que sí, que está correcto. 00:10:11
¿Vale? 00:10:16
Bueno, podemos encontrarnos... 00:10:18
O sea, ¿para aplicar este teorema simplemente una regla de 3? 00:10:23
Sí. Lo difícil es plantearlo. Luego en la resolución no deja de ser una regla de 3, sí. 00:10:32
O una multiplicación de cruz. 00:10:38
¿Vale? 00:10:40
Si tuviéramos, por ejemplo, imaginar esta situación. 00:10:41
¿Vale? 00:10:46
Esta de aquí. 00:10:47
Yo tengo aquí dos rectas que son secantes. 00:10:48
Sí, se cortan en un punto, ¿no? 00:10:53
Tengo dos rectas que son paralelas. 00:10:55
Sí. 00:10:58
Y puede haber hasta como dos triángulos, fijaros. 00:10:59
Un triángulo más chiquitito y otro más grande. 00:11:01
Lo único que va a compartir que uno esté encajado dentro del otro, ¿no? 00:11:06
Si yo sé que esto mide... 00:11:11
Me lo invento, ¿vale? 00:11:13
6, esto mide 4. 00:11:14
Y el de aquí arriba mide... 00:11:16
X y el de abajo mide 8. 00:11:18
¿Puedo aplicar el teorema de tales? 00:11:23
Sí. 00:11:25
En este caso, ¿qué tengo? 00:11:27
Que 6 partido 4 va a ser igual a qué? 00:11:28
A X partido 8. 00:11:32
Luego X será 6 por 8 entre 4. 00:11:34
48 entre 4, lo que es lo mismo, 12. 00:11:39
12. 00:11:46
Si no, debe ser por 8, 48. 00:11:48
Sí, creo que sí. 00:11:50
¿Lo vemos? 00:11:53
También tenemos ejercicios que vienen aquí en el aula virtual. 00:11:55
Que mirad, nos dice... 00:11:59
En un determinado momento del día, al situarme junto a un poste, 00:12:00
mis compañeros de clase realizan las siguientes medidas. 00:12:06
Y dice que mi altura es de 1,75 metros. 00:12:09
1,75 metros. 00:12:16
1,75 metros. 00:12:17
Que la sombra que yo proyecto en el suelo, mi sombra es de 3 metros. 00:12:18
Y tenemos un poste o una farola que es más alta, que yo no sé qué altura tiene, 00:12:24
pero sabemos que proyecto una sombra de 12 metros. 00:12:29
¿Cuál es la altura del poste? 00:12:33
Pues... 00:12:38
Esta es la situación. 00:12:38
Como es a la misma hora del día, el rayo de sol, por así decir, 00:12:41
es... 00:12:47
El mismo en ambas figuras. 00:12:48
Este ángulo es el mismo, ¿vale? 00:12:51
Este ángulo es el mismo. 00:12:53
Esto es un triángulo rectángulo aquí. 00:12:56
Triángulo rectángulo. 00:12:57
Tengo dos lados iguales. 00:12:58
El tercero tiene que ser igual. 00:13:00
Estamos hablando de triángulos que van a ser semejantes. 00:13:02
¿Vale? 00:13:05
Aplico el teorema de Tales. 00:13:06
O sea, yo podría encajar el pequeñito aquí en esta esquina. 00:13:08
Podría encajarlo. 00:13:11
¿Vale? 00:13:12
La altura va a ser igual a la altura. 00:13:15
Y la sombra va a ser igual. 00:13:17
La sombra. 00:13:18
¿Altura? 00:13:20
1,75 va a ser a X. 00:13:21
Como la sombra, que es 3, 00:13:26
va a ser a la otra sombra, que es 12. 00:13:28
Siempre, si yo arriba pongo, en este caso, los datos de la persona, 00:13:34
o en la altura de la persona, 00:13:40
aquí voy a poner la sombra de la persona. 00:13:41
Es decir, si arriba pongo los datos de una figura, 00:13:45
los tengo que mantener. 00:13:48
No puedo, en la primera fracción, pongo arriba lo de la persona 00:13:49
y en el segundo pongo lo del posterior arriba. 00:13:53
¿Vale? 00:13:55
¿Forma de resolverlo? 00:13:56
Pues otra regla de 3X, que es 1,75 por 12 entre 3. 00:13:57
Lo que dé. 00:14:03
¿Vale? 00:14:04
¿Sí? 00:14:05
Creo que da 7. 00:14:06
Así a ojo, pero bueno. 00:14:09
12 entre 3, 4. 00:14:12
Y 4 por 1, 75, sí. 00:14:13
Da 7 metros. 00:14:15
Pues bueno. 00:14:16
Resolvemos. 00:14:18
Y decimos 7 metros. 00:14:22
Comprobar. 00:14:24
Correcto. 00:14:26
Este cuarto es lo mismo. 00:14:27
Dice, un árbol arroja una sombra de 4 metros. 00:14:28
Árbol y sombra. 00:14:32
Perpendicular al suelo y sombra. 00:14:33
Y un bastón colocado verticalmente a su lado proyecta una sombra de 0,4. 00:14:37
El bastón mide 1 metro. 00:14:41
¿Cuál es la altura del árbol? 00:14:43
Es lo mismo. 00:14:44
Bastón y su sombra. 00:14:46
Conozco. 00:14:47
Conozco la altura y la sombra. 00:14:47
El árbol no conozco la altura, X. 00:14:49
Y la sombra, pues me dice que es 4 metros. 00:14:52
Y es lo mismo. 00:14:54
Aplicar igualmente el teorema de Tales. 00:14:55
¿Vale? 00:14:58
Otro ejercicio que es más de lo mismo. 00:14:59
Dice, si la sombra de Julio mide 1,80 metros. 00:15:01
O sea, Julio mide 1,80 metros y la sombra es de 0,6. 00:15:04
¿Cuánto mide su hermana Lucía si en el mismo instante su sombra es de 0,4? 00:15:08
Si os fijáis, siempre me dice en el mismo instante. 00:15:13
Esa es la manera de saber cómo. 00:15:15
¿Eh? 00:15:17
Esa es la manera de saber cómo. 00:15:17
Cuando tiene el mismo instante. 00:15:18
Claro, ese mismo instante. 00:15:19
¿Para qué? 00:15:21
Para que los rayos del sol sean los mismos. 00:15:22
Claro, la sombra no es la misma a las 12 de la mañana que a las 6 de la tarde. 00:15:24
Pero a la misma hora, en un mismo lugar. 00:15:27
¿Vale? 00:15:30
Digamos que el rayo es el mismo. 00:15:31
Son rayos paralelos. 00:15:34
¿Vale? 00:15:36
Bueno. 00:15:38
Con todo esto y algunas cosas ya las he comentado antes. 00:15:40
¿Qué nos encontramos? 00:15:42
Unos criterios para saber cuándo. 00:15:45
Los dos triángulos son semejantes. 00:15:47
Dos triángulos van a ser semejantes si tienen los tres lados iguales. 00:15:50
Los tres ángulos iguales y los tres lados son proporcionales. 00:15:54
¿Vale? 00:15:59
Dos figuras. 00:15:59
Lo que yo decía. 00:16:00
Una más pequeña y otra más grande. 00:16:02
Los ángulos son iguales, no pierden la forma. 00:16:04
Pero los lados, si yo los divido dos a dos según la posición, 00:16:06
nos da siempre la misma razón. 00:16:09
¿Vale? 00:16:12
El mismo cociente. 00:16:12
Por lo tanto, si yo sé que dos triángulos, 00:16:14
tienen dos lados iguales, 00:16:17
pues automáticamente son semejantes. 00:16:18
¿Por qué? 00:16:20
Porque los tres ángulos tienen que sumar 180. 00:16:20
Si dos son iguales, 00:16:22
el tercero es lo que me queda hasta 180. 00:16:25
Si los tres ángulos son iguales, 00:16:28
yo ya sé que van a ser semejantes. 00:16:30
La figura será, digamos, más grande o más pequeña. 00:16:32
Pero se mantiene la forma. 00:16:34
¿Vale? 00:16:36
También, dos triángulos son semejantes 00:16:37
cuando sus tres lados son proporcionales. 00:16:39
Yo no conozco los ángulos, pero si yo sé que 00:16:41
la división, el cociente, 00:16:43
de sus lados dos a dos, 00:16:45
me da siempre el mismo número al dividirlo, 00:16:46
¿vale? 00:16:49
Quiere decir que esos dos triángulos 00:16:51
también van a ser proporcionales. 00:16:53
Y, dos triángulos son semejantes 00:16:55
si tienen un ángulo igual 00:16:57
y sus lados contiguos, 00:16:59
es decir, los lados que forman el ángulo, 00:17:01
son proporcionales también. 00:17:03
¿Vale? 00:17:05
Y en los triángulos rectángulos, 00:17:07
que es un caso particular, 00:17:09
ese rectángulo ya tenemos un ángulo igual, 00:17:11
que es el de 90 grados. 00:17:13
Pues, nos dice, 00:17:15
¿cuántos triángulos rectángulos son semejantes 00:17:16
si tienen iguales uno de sus ángulos agudos? 00:17:18
Es lo mismo, es decir, que tengo dos ángulos iguales, 00:17:20
el de 90 y el agudo. 00:17:22
¿Vale? 00:17:24
También, dos triángulos rectángulos son semejantes 00:17:26
si tienen dos lados proporcionales. 00:17:28
Claro, ya tienen igual 00:17:30
el ángulo de 90 grados. 00:17:32
Es una aplicación de la anterior. 00:17:34
¿Vale? 00:17:36
Bueno, aquí viene el ejercicio, 00:17:38
como los que hemos hecho de largo. 00:17:40
Lo que hemos aplicado es esto, ¿vale? 00:17:42
Si lo usamos, 00:17:44
geométricamente vendría a ser esta. 00:17:46
¿Vale? 00:17:48
Donde, al final, el triángulo que es más pequeño 00:17:50
encaja en el otro. 00:17:52
Además, aquí no son triángulos rectángulos. 00:17:54
En el caso nuestro de un muro, 00:17:56
un poste, un bastón, 00:17:58
la pirámide, la altura, 00:18:00
son perpendiculares, son de 90 grados. 00:18:02
¿Vale? Pero al final, 00:18:04
lo que sucede es que tú lo puedes encajar 00:18:06
o lo puedes meter dentro. 00:18:08
Eso es para el teorema de Thales. 00:18:10
Eso es para el teorema de Thales. 00:18:12
Sobre escalas, planos y mapas. 00:18:14
Sobre escalas, planos y mapas. 00:18:16
Habéis visto muchos mapas, 00:18:18
como los que podéis usar en sociales, 00:18:20
por ejemplo, donde en pequeñito 00:18:22
nos pone los mapas de carretera. 00:18:24
Ahora está todo con el móvil, 00:18:26
pero antes que lo manejábamos en papel, 00:18:28
te venía uno o dos puntos, un millón. 00:18:30
Uno o dos puntos, 00:18:32
quinientos mil. 00:18:34
¿Qué quiere decir? 00:18:36
Un plano o un mapa lo que intenta es 00:18:38
representar en un trocito de papel 00:18:40
algo que es muy grande. 00:18:42
En un folio, claro, tenemos 00:18:44
todas las carreteras que tenemos 00:18:46
desde la Cabrera hacia Madrid. 00:18:48
desde la Cabrera hacia Madrid. 00:18:50
Si de aquí a Madrid tenemos 60 kilómetros, 00:18:52
Si de aquí a Madrid tenemos 60 kilómetros, 00:18:54
en un folio están concentrados en 30 o 40 centímetros. 00:18:56
en un folio están concentrados en 30 o 40 centímetros. 00:18:58
Pero hay que mantener las formas, los ángulos, 00:19:00
que las distancias sean proporcionales. 00:19:02
que las distancias sean proporcionales. 00:19:04
¿Qué relación existe? 00:19:06
Si yo cojo y miro en el plano, 00:19:08
entre dos puntos del plano 00:19:10
hay tres centímetros en línea recta, 00:19:12
hay tres centímetros en línea recta, 00:19:14
yo podría preguntarme 00:19:16
en línea recta cuál sería la distancia real 00:19:18
entre esos dos mismos puntos. 00:19:20
La clave está 00:19:22
en lo que es la escala. 00:19:24
Ese uno o dos puntos, un millón, 00:19:26
me dice que una unidad 00:19:28
de la representación, 00:19:30
del plano, 00:19:32
es igual a un millón de unidades 00:19:34
en la realidad. 00:19:36
Un centímetro del plano 00:19:38
es igual a un millón de centímetros 00:19:40
en la realidad. 00:19:42
Esto me va a ayudar también a plantearlo 00:19:44
como proporcionalidad. 00:19:46
Por ejemplo, 00:19:48
me voy al papel. 00:19:50
Una escala es 00:20:00
uno entre, por ejemplo, 00:20:02
cien mil. 00:20:04
Yo tengo un plano 00:20:06
con esta escala. 00:20:08
Tengo dos puntos entre cien mil. 00:20:10
No deja de ser una división. 00:20:12
Y una división es una fracción. 00:20:14
Es uno partido 00:20:16
cien mil. 00:20:18
Esta es mi escala. 00:20:20
Pero realmente aquí lo que tengo es que 00:20:22
yo arriba pongo una medida del plano 00:20:24
y abajo pongo una medida de la 00:20:26
realidad. 00:20:28
Y todo lo que está representado al final 00:20:32
tiene que mantener esas proporciones. 00:20:34
Luego hablamos de proporcionalidad. 00:20:36
Luego si yo tengo la escala uno cien mil 00:20:38
cinco centímetros 00:20:40
del plano 00:20:44
¿cuánto es en la realidad? 00:20:46
X, ¿no? 00:20:48
Esto no deja 00:20:50
de ser una proporción. 00:20:52
Conozco tres datos. 00:20:54
¿Puedo calcular el cuarto? 00:20:56
Sí. Pues en este caso yo veo que aquí 00:20:58
multiplico por cinco, pues aquí va a ser 00:21:00
por cinco va a ser quinientos mil. 00:21:02
Se me hacen muchas más cuentas. 00:21:04
Yo multiplico en cruz y divido entre el tercero. 00:21:06
¿Vale? Y me sale que X es 00:21:08
quinientos mil centímetros. 00:21:10
El único pero es que 00:21:12
quinientos mil centímetros 00:21:14
¿vosotros sabéis cuánto es? 00:21:16
Así dice, sí. 00:21:18
Quinientos mil centímetros es como de aquí 00:21:20
a Navalafuente. O no, es como de aquí 00:21:22
a Madrid. ¿Es mucho? ¿Es poco? 00:21:24
Pues para poder entenderlo 00:21:26
lo suyo será pasarlo a una 00:21:28
unidad que entendemos. O bien a metros 00:21:30
o bien a kilómetros, para que sea más entendible. 00:21:32
¿Vale? Para pasar 00:21:34
de centímetros a metros, si recordáis 00:21:36
hay dos lugares. 00:21:38
¿Vale? Decímetro y metro. 00:21:40
Y si quiero pasar a kilómetros 00:21:42
son cinco lugares en total. 00:21:44
De centímetro decímetro metro 00:21:46
decámetro hectómetro 00:21:48
y kilómetro. Cinco lugares 00:21:50
pues si yo cojo y digo que divido 00:21:52
entre diez 00:21:54
elevado a cinco 00:21:56
corro la coma cinco 00:21:58
lugares y me dice que esto es igual 00:22:00
a cinco kilómetros. 00:22:02
Se entiende mejor cinco kilómetros 00:22:06
que no quinientos mil centímetros. 00:22:08
Pues yo ya sé que en ese mapa 00:22:10
un centímetro de la realidad 00:22:12
perdón, un centímetro del plano 00:22:14
se corresponde ¿con qué? 00:22:16
Con cinco kilómetros de la realidad. 00:22:18
Tenemos un plano 00:22:20
de escala uno 00:22:22
doscientos mil. 00:22:24
Dos lugares A y B 00:22:28
dos lugares A y B 00:22:30
distan 00:22:32
en la realidad 00:22:34
en la realidad 00:22:36
no sé 00:22:38
diez kilómetros 00:22:40
en el plano 00:22:42
¿cuánto va a ser? 00:22:44
Pues yo ya tengo 00:22:46
uno partido 00:22:48
doscientos mil 00:22:50
mi escala. 00:22:52
Y ahora digo, oye, plano realidad 00:22:54
¿qué conozco? 00:22:56
¿la realidad la conozco? 00:22:58
¿la medida del plano no la conozco? 00:23:00
Pues la medida del plano va a ser X. 00:23:02
Y abajo pongo los diez kilómetros. 00:23:04
Lo único, si yo abajo pongo 00:23:06
diez kilómetros, arriba 00:23:08
¿qué voy a tener que poner? 00:23:10
Bueno, el resultado que me va a dar 00:23:12
¿qué son? Kilómetros, ¿no? 00:23:14
Puedo hacerlo con diez kilómetros 00:23:16
me va a dar cero coma cero cero 00:23:18
lo que sea, pero si yo 00:23:20
espero un resultado 00:23:22
que al ser un plano 00:23:24
va a venir dado en centímetros 00:23:26
¿qué debería de hacer? 00:23:28
Pasar primero todo a 00:23:30
centímetros. 00:23:32
Podéis trabajar en kilómetros 00:23:34
pongo diez kilómetros y hacéis la cuenta 00:23:36
pero luego hay que pasarlo a algo que sea 00:23:38
más, si no tenéis calculadora 00:23:40
cuando dividáis diez entre doscientos mil 00:23:42
pues ya con el cero coma cero cero cero 00:23:44
más de uno se va a liar. 00:23:46
Diez kilómetros a centímetros 00:23:48
es multiplicar por 00:23:50
¿sí? 00:23:52
Ahí está. 00:23:54
Es multiplicar 00:23:56
por diez elevado a cinco. 00:23:58
Son cinco lugares lo que lleva desde kilómetro a centímetro. 00:24:00
Es decir, yo tenía 00:24:02
un diez, tenía cinco ceros 00:24:04
uno, dos, tres, cuatro y cinco. 00:24:06
Se me queda en un millón de 00:24:08
centímetros. 00:24:10
Diez kilómetros es un millón 00:24:12
de centímetros. 00:24:14
Pues ya lo pongo aquí. 00:24:16
Estos son centímetros. 00:24:18
Pues lo calculo 00:24:20
lo multiplico y divido. 00:24:22
¿Quién es X? Pues X será 00:24:24
un millón 00:24:26
entre 00:24:28
doscientos mil. 00:24:30
Y esta división 00:24:32
me da 00:24:34
cinco centímetros. 00:24:36
Dos. 00:24:38
¿Sí? 00:24:40
Bueno, todo esto viene por aquí 00:24:44
explicado, pero creo que como 00:24:46
mejor se ve es con 00:24:48
con ejemplos. 00:24:50
En el cuestionario 00:24:52
del aula virtual también tenemos 00:24:54
dos ejercicios que son 00:24:56
de escalas. 00:24:58
Y voy a hacer 00:25:00
este primero 00:25:02
porque el segundo es como el que hemos hecho antes. 00:25:04
Conocemos la escala uno diez mil 00:25:06
la distancia entre 00:25:08
dos pueblos es de diez 00:25:10
coma seis centímetros, pues que en la realidad 00:25:12
¿a cuántos kilómetros está? 00:25:14
Este es como el de antes. Pero el primero es diferente. 00:25:16
En este primero no 00:25:18
conozco la escala. 00:25:20
Dice, la distancia en un mapa entre dos 00:25:22
pueblos 00:25:24
que en la realidad están a veintidós coma 00:25:26
cuatro kilómetros es de 00:25:28
once coma dos 00:25:30
centímetros. Once coma dos centímetros 00:25:32
en el plano 00:25:34
y veintidós coma cuatro 00:25:36
kilómetros en la realidad. 00:25:38
Y me dice que ¿cuál es la escala del mapa? 00:25:40
¿Ese uno o dos puntos 00:25:44
un número largo? 00:25:46
Esta vez me pregunta cuál es 00:25:48
la escala. Mirad. 00:25:50
La escala es uno partido algo. 00:25:54
Pero yo no sé quién es ese algo, ¿no? 00:25:56
Es uno partido 00:25:58
X. Esto es lo que 00:26:00
me pide que yo calculé. 00:26:02
Pero aunque de primeras yo vea que sólo tengo 00:26:04
dos datos, el tercero es el uno. 00:26:06
Que va a estar siempre a ser una escala. 00:26:08
Por otro lado, 00:26:10
distancia en el plano y distancia en la realidad. 00:26:12
Yo podría decir que esto es igual, que es proporcional. 00:26:14
Pero cuidado, centímetros 00:26:16
y kilómetros. 00:26:18
Debo de pasar todo a las 00:26:20
mismas unidades. 00:26:22
Me da igual pasarlo todo a centímetros que todo a kilómetros 00:26:24
porque el número este de la escala 00:26:26
pues no va a tener unas unidades. 00:26:28
Es una relación que existe. 00:26:30
¿Qué hago? ¿Paso centímetros 00:26:32
a kilómetros o kilómetros a centímetros? 00:26:34
Como queráis. Yo siempre... 00:26:36
Pasaría el grande 00:26:38
a unidades más pequeñas. 00:26:40
Porque es mejor añadir 00:26:42
ceros que no ponerte 0,00 00:26:44
es más manejable. 00:26:46
Luego yo pasaría los kilómetros a 00:26:48
centímetros. Es decir, 00:26:50
voy a multiplicar por 00:26:52
10 elevado a 5 y este lo voy a multiplicar por 00:26:54
10 elevado a 5. 00:26:56
Luego arriba me quedaría 11,2 00:26:58
y abajo 22. 00:27:00
El 4 ya es un lugar 00:27:02
que corro la coma y cuatro ceros que añado. 00:27:04
Uno, dos, tres y cuatro. 00:27:06
Ahí está. 00:27:08
Y ahora 00:27:10
calculo X. 00:27:12
A multiplicar en cruz. 00:27:14
X será 1 por 2 millones 00:27:16
240 mil 00:27:18
todo ello 00:27:20
dividido entre 00:27:22
11,2 00:27:24
¿Lo veis? 00:27:26
¿Sí? 00:27:28
Y ahora ya simplemente 00:27:30
es hacer esa división. 00:27:32
Que me sale 200 mil. 00:27:38
200 mil. Es decir, 00:27:44
la escala que os pide el ejercicio, que es 00:27:46
1, 2 puntos 00:27:48
200 mil. 00:27:50
Os pide esto. 00:27:52
Me voy a la aula virtual 00:27:56
y... 00:27:58
Eso sí, estaba bien dividido, pero aquí... 00:28:02
11,2 00:28:04
22,4 00:28:06
Yo creo que lo he saltado a un cero, ¿no? 00:28:08
Vamos a ver. 00:28:10
De las sucesiones que me da aquí. 00:28:12
A ver si lo hemos hecho bien. 00:28:14
11,2 00:28:16
22,4 00:28:18
Al multiplicar por 10 elevado a 5 00:28:20
se corre un lugar 00:28:22
y se añaden cuatro ceros, ¿no? 00:28:24
¿Sí? 00:28:26
11,2 y la división 00:28:28
vamos a hacerla de nuevo. 00:28:30
2, 4, 0 00:28:32
3 entre 00:28:34
11,2 00:28:36
Me sale 200 mil. 00:28:38
¿Vale? 00:28:40
Si... 00:28:42
Entiendo que aquí ha habido un error 00:28:44
que faltara un cero. 00:28:46
Que se querrá referir a este. 00:28:48
Pero si hacéis las cuentas 00:28:50
os falta un cero. 00:28:52
En este, con las soluciones que os da. 00:28:54
Lo importante, el procedimiento. 00:28:56
¿Vale? 00:28:58
Y con esto 00:29:00
vamos a pasar... 00:29:02
¿Sí? 00:29:04
Las escalas siempre se van a representar en 1 00:29:06
dividido por lo que... 00:29:08
Generalmente sí. 00:29:10
Este de 2, 15 mil 00:29:12
la interpretación es que dos 00:29:14
unidades del plano 00:29:16
son 15 mil de la realidad. 00:29:18
Pero generalmente eso no te lo vas a encontrar. 00:29:20
O sea, eso es lo que significaría. 00:29:22
Esta la puedes simplificar. 00:29:24
Como toda fracción, yo divido entre 2 00:29:26
numerador y denominador 00:29:28
y me queda 1 partido de 7500. 00:29:30
Esa sería 00:29:32
la idea de la escala, digamos. 00:29:34
¿Vale? 00:29:36
Lo normal es 1, 2 puntos, la unidad que sea. 00:29:38
¿Vale? 00:29:40
Bien. 00:29:42
Por aquí tenéis 00:29:44
algunas aplicaciones 00:29:46
de la semejanza de triángulos 00:29:48
y bueno, pues que podéis echarle 00:29:50
un vistacillo 00:29:52
pues un poco para ampliar conocimientos. 00:29:54
¿Vale? 00:29:56
Teorema de Pitágoras. 00:29:58
El teorema de Pitágoras 00:30:00
seguro que os suena, que lo habéis visto 00:30:02
un montón de veces y lo que nos dice 00:30:04
es que en un triángulo rectángulo 00:30:06
el triángulo rectángulo 00:30:08
es este que está aquí de color amarillo. 00:30:10
¿Vale? Tengo tres lados. 00:30:12
A, B y C. 00:30:14
Los dos lados que forman 00:30:16
el ángulo recto, el de 90 grados 00:30:18
es decir, A y B 00:30:20
los dos lados que son perpendiculares 00:30:22
se van 00:30:24
a llamar catetus. 00:30:26
Y el que está, el tercero, 00:30:28
el que está enfrente del ángulo recto 00:30:30
en este caso el C, se va a llamar 00:30:32
hipotenusa. 00:30:34
El teorema de Pitágoras 00:30:36
nos dice que la suma 00:30:38
del cuadrado de los catetos es igual 00:30:40
a la hipotenusa al cuadrado. O la suma de los catetos 00:30:42
al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado. 00:30:44
O si lo veo como letras, que A al cuadrado 00:30:46
más B al cuadrado es igual a C al cuadrado. 00:30:48
O si quiero entenderlo 00:30:50
es el 00:30:52
A al cuadrado 00:30:54
es el área de un cuadrado 00:30:56
del lado A. Si os fijáis aquí en color azul 00:30:58
tengo un lado que 00:31:00
que mide A. 00:31:02
Lo dibujo como tres cuadraditos chiquititos 00:31:04
y dice pues, ala, aquí construyo 00:31:06
un cuadrado 00:31:08
de A por A. 00:31:10
Pues su área va a ser A 00:31:12
al cuadrado. B 00:31:14
pues un cuadrado del lado B 00:31:16
su área 00:31:18
es B al cuadrado. Bien, pues la suma de este 00:31:20
más la suma de este 00:31:22
me tiene que dar el área del cuadrado 00:31:24
construido sobre el lado C. 00:31:26
Si encontréis los cuadraditos 00:31:28
te suman lo mismo 00:31:30
que están aquí en el verde. Los cuadraditos azules 00:31:32
y los naranjas es igual a los verdes. 00:31:34
En la práctica nosotros lo que vamos 00:31:36
a usar va a ser esta fórmula. 00:31:38
Al final 00:31:40
yo voy a tener tres lados 00:31:42
y en la práctica voy a tener que calcular 00:31:44
el que me falta. 00:31:46
¿Vale? 00:31:48
Aquí nos viene un poco 00:31:50
ya desarrollado y luego las aplicaciones. 00:31:52
Pero, como siempre me voy 00:31:54
al papel que yo creo que 00:31:56
se pilla mucho. 00:31:58
Todavía más pitágoras. 00:32:00
En un triángulo rectángulo 00:32:02
un lado mide 00:32:04
cuatro centímetros 00:32:06
tres centímetros 00:32:08
y este aquí enfrente yo no sé quién es. 00:32:10
Cateto, cateto 00:32:14
e hipotenusa. 00:32:16
El teorema de Pitágoras me dice que 00:32:18
la hipotenusa al cuadrado, x al cuadrado 00:32:20
es igual a la suma de 00:32:22
estos dos cuadrados. 00:32:24
De tres al cuadrado 00:32:26
más cuatro al cuadrado. 00:32:28
Aunque veamos una x y pensemos en ecuaciones 00:32:30
y alguien diga, uy es una ecuación de segundo grado. 00:32:32
No va a hacer falta 00:32:34
casi conocimientos de 00:32:36
de álgebra. 00:32:38
Porque numéricamente, fijaros, 00:32:40
la parte de la derecha enseguida se resuelve. 00:32:42
Tres al cuadrado es nueve 00:32:44
cuatro al cuadrado es dieciséis 00:32:46
o lo que es lo mismo, x al cuadrado es 00:32:48
veinticinco. 00:32:50
Yo quiero x igual 00:32:52
no x al cuadrado. 00:32:54
¿Cómo me cargo el cuadrado? 00:32:56
Con la raíz cuadrada. 00:32:58
Luego x es la raíz cuadrada de veinticinco 00:33:00
o lo que es lo mismo, cinco 00:33:02
centímetros. 00:33:04
Este es el caso en el que yo conozco 00:33:06
los dos catetos y me falta la hipotenusa. 00:33:08
Otro caso puede ser 00:33:10
un triángulo rectángulo 00:33:14
en el que la hipotenusa mide 00:33:16
diez centímetros y uno 00:33:18
de los catetos mide ocho centímetros. 00:33:20
¿Cuánto mide el tercero? 00:33:22
Pues vamos a la fórmula. Hipotenusa al cuadrado 00:33:26
diez al cuadrado es igual a los otros 00:33:28
dos al cuadrado. Ocho al cuadrado 00:33:30
más x al cuadrado. 00:33:32
Es decir, diez al cuadrado es cien. 00:33:34
Es igual a sesenta y cuatro 00:33:36
más x al cuadrado. 00:33:38
Este sesenta y cuatro lo quiero juntar con el cien, ¿no? 00:33:40
Si lo paso a la izquierda me pasa 00:33:42
restando. 00:33:44
O incluso puedo decir, bueno, pues ya 00:33:46
x al cuadrado es cien menos sesenta y cuatro. 00:33:48
¿Cien menos sesenta y cuatro? 00:33:52
Treinta y seis. 00:33:54
Y ahora ya me cargo 00:33:56
este dos, este exponente. 00:33:58
¿Cómo? Con la raíz cuadrada. 00:34:00
x será raíz cuadrada 00:34:02
de treinta y seis, o lo que es lo mismo, 00:34:04
seis centímetros. 00:34:06
Bien. 00:34:08
Seguro que alguno se pregunta que 00:34:10
ponga los números que ponga, me va a quedar 00:34:12
todo tan bonito con números 00:34:14
todos naturales. 00:34:16
¿Vale? No. Lo normal 00:34:18
es que los números al final 00:34:20
sea muy difícil encontrar tres números 00:34:22
naturales 00:34:24
que me formen esta relación. 00:34:26
Tres números, 00:34:28
tres números que verifican 00:34:30
el teorema de Pitágoras, 00:34:32
es decir, tres longitudes de lados 00:34:34
que hace que 00:34:36
esto sea un triángulo rectángulo, 00:34:38
esos tres números forman lo que se llama 00:34:40
una terna pitagórica. 00:34:42
En este caso, tres, 00:34:44
cuatro y cinco 00:34:46
es una terna pitagórica. Lo pongo así entre paréntesis. 00:34:48
¿Vale? Tres, cuatro y cinco es una terna pitagórica. 00:34:50
Eso significa que 00:34:52
se verifica 00:34:54
el teorema de Pitágoras. Y siempre, siempre 00:34:56
el número grande es la 00:34:58
hipotenusa. Siempre. 00:35:00
¿Vale? 00:35:02
Se verifica que cinco al cuadrado es igual a 00:35:04
tres al cuadrado más 00:35:06
cuatro al cuadrado. 00:35:08
Otra terna pitagórica 00:35:10
es seis, ocho, diez. 00:35:12
Que aparece en muchos ejercicios 00:35:14
como este de aquí. 00:35:16
Y ya luego tenemos que irnos 00:35:18
vamos avanzando ya a números más grandes. 00:35:20
Estos son las dos combinaciones de números 00:35:22
más pequeñas. 00:35:24
¿Vale? 00:35:26
Incluso habrá ejercicios en los cuales sí o sí 00:35:28
tienen que salir decimales. 00:35:30
Imaginad un triángulo rectángulo que a su vez 00:35:32
sea isósceles. 00:35:34
un triángulo 00:35:36
es equilátero cuando tiene tres lados iguales. 00:35:38
Es isósceles cuando tiene dos lados iguales 00:35:40
y el otro desigual. 00:35:42
Triángulo rectángulo 00:35:44
e isósceles. Sí o sí, 00:35:46
los dos catetos tienen que ser iguales. 00:35:48
Pues imaginad que yo os digo 00:35:50
que aquí yo sé 00:35:52
que 00:35:54
pues a ver 00:35:56
ocho centímetros mide la hipotenusa 00:36:00
y yo no sé cuánto mide 00:36:02
los catetos son iguales. 00:36:04
Mide lo mismo porque es isósceles. 00:36:06
Si aplico el teorema de Pitágoras 00:36:08
yo tengo que haber 00:36:10
x al cuadrado más x al cuadrado por un lado 00:36:12
catetos al cuadrado es igual a 00:36:14
ocho al cuadrado 00:36:16
una x al cuadrado 00:36:18
más otra x al cuadrado es 00:36:20
dos x al cuadrado. Esto es nuevo. 00:36:22
Dos veces x al cuadrado. 00:36:24
Y ocho al cuadrado es sesenta y cuatro. 00:36:26
Este dos que están multiplicando me molesta. 00:36:28
¿Cómo lo quito? 00:36:30
Dividiendo. 00:36:32
Luego x al cuadrado será igual a 00:36:34
sesenta y cuatro entre dos 00:36:36
o lo que es lo mismo 00:36:38
treinta y dos. ¿Quién va a ser x? 00:36:40
La raíz cuadrada de 00:36:42
treinta y dos. 00:36:44
Claro, cinco por cinco 00:36:46
veinticinco, seis por seis 00:36:48
treinta y seis 00:36:50
pues tiene que ser 00:36:52
algo intermedio, ¿no? 00:36:54
en este caso la raíz cuadrada de treinta y dos 00:36:58
es cinco por sesenta y cinco 00:37:00
pues aproximadamente 00:37:02
¿vale? Cinco por 00:37:04
sesenta y cinco centímetros. 00:37:06
Esto es lo que mediría cada uno de los catetos. 00:37:08
¿Sí? 00:37:10
Así se resuelve 00:37:12
un teorema de 00:37:14
bueno, se calcula en un triángulo o rectángulo 00:37:16
pues lados que nos faltan usando el 00:37:18
teorema de 00:37:20
de Pitágoras. 00:37:22
Luego tenemos aplicaciones en casos concretos 00:37:24
y aquí es donde nos vamos 00:37:26
al cálculo de áreas. 00:37:28
Por ejemplo, en un rectángulo 00:37:30
el área del rectángulo es 00:37:32
lado por lado. 00:37:34
Bien, si yo os digo cuánto mide A y cuánto mide B 00:37:36
que son los 00:37:38
los lados, bueno pues 00:37:40
yo automáticamente puedo calcular el área 00:37:42
A por B. Pero si yo no conozco 00:37:44
uno de los dos lados y os doy la 00:37:46
hipotenusa 00:37:48
os forzo a que calculeis lo que nos falta. 00:37:50
Por ejemplo 00:37:52
tenemos un rectángulo 00:37:54
un rectángulo 00:37:58
donde 00:38:00
yo sé que la diagonal 00:38:02
mide 00:38:04
10 centímetros y uno de sus 00:38:06
lados mide 00:38:08
8 centímetros. Calcula el área. 00:38:10
El área es 00:38:12
lado 00:38:14
por lado. Yo este no lo conozco. 00:38:16
Lo tengo que calcular. 00:38:18
No tengo la suerte de que 00:38:20
la diagonal me divide al 00:38:22
rectángulo en qué? En dos 00:38:24
triángulos. 00:38:26
Triángulos que además son rectángulos. 00:38:28
Y me da igual dibujar esta 00:38:30
diagonal que dibujar la otra. Podría haber 00:38:32
dibujado perfectamente esta otra. 00:38:34
Pues no pasa nada. 8 00:38:36
X y 10. 00:38:38
Triángulo, rectángulo. 00:38:40
¿Cómo calculo X? 00:38:42
Con el teorema de 00:38:44
Pitágoras. 00:38:46
Yo diría que la hipotenusa al cuadrado, 10 al cuadrado 00:38:48
es igual a X al cuadrado 00:38:50
más 8 al cuadrado. Y esto lo hemos 00:38:52
hecho antes, que se quedaba 6. 00:38:54
No lo repito. El desarrollo. 00:38:56
X vale 6 centímetros. 00:38:58
Una vez que yo lo he calculado. 00:39:00
¿Cuál es el área? 00:39:02
Lado por lado. 00:39:04
6 por 8, 48. 00:39:06
¿Cómo es área? Unidades 00:39:08
al cuadrado. 00:39:10
Con un cuadrado, yo no conozco 00:39:12
el lado, conozco la diagonal. 00:39:14
En un cuadrado, yo no conozco 00:39:16
más que la diagonal. 00:39:18
La diagonal mide, imaginar, también 00:39:20
10 centímetros. 00:39:22
Los lados, ¿qué sucede con ellos? 00:39:24
Que son iguales. Porque en un cuadrado 00:39:26
todos los lados son iguales. 00:39:28
X y X. 00:39:30
Pues oye, yo me saco mi triangulito 00:39:32
con X, X, 10 00:39:34
y con Pitágoras 00:39:36
calculo el lado que me falta. 00:39:38
Una vez calculado el lado, 00:39:42
fórmula del área. Lado por lado. 00:39:44
Lado al cuadrado. 00:39:46
Aquí tenéis un poquito 00:39:48
dónde encontrar el triángulo, el rectángulo 00:39:50
en distintas figuras. En algunos triángulos, mirad. 00:39:52
En un triángulo y sórceles. 00:39:54
Pues aquí encontráis, está a esta altura 00:39:56
del triángulo y sórceles. 00:39:58
En un rombo. 00:40:00
Fijaros, cuando yo trozo las diagonales 00:40:02
cómo se me forman aquí cuadraditos. 00:40:04
¿Vale? 00:40:06
Un ejercicio, por ejemplo, 00:40:08
podría ser 00:40:10
en un rombo, tenemos un rombo 00:40:12
donde 00:40:14
las diagonales, yo sé que las diagonales 00:40:16
a lo mejor he dicho que el lado, 00:40:20
los cuatro lados son iguales. 00:40:22
¿No? 00:40:24
Pues mide 10 centímetros. 00:40:26
Y una de las diagonales, 00:40:28
por ejemplo, la diagonal mayor está aquí, 00:40:30
mide 16 centímetros. 00:40:32
Calcula el área. 00:40:34
El área de un rombo, 00:40:38
su fórmula es diagonal 00:40:40
por diagonal partido de 2. 00:40:42
Una diagonal sería esta, ¿no? 00:40:44
16 centímetros. 00:40:46
Pero la otra 00:40:48
es esta que va aquí. Esta. 00:40:50
Que yo no la conozco, que no. 00:40:52
¿Qué puedo hacer? 00:40:54
Yo tengo aquí 00:40:56
un triángulo rectángulo. 00:40:58
Yo tengo cuatro triángulos rectángulos. 00:41:00
Pues con este triángulo rectángulo 00:41:02
voy a calcular lo que necesito. 00:41:04
El lado es 10. 00:41:06
Este trozo de altura, ¿cuánto mide? 00:41:08
Si toda la diagonal mide 16, 00:41:10
está partido en 2. 00:41:14
Luego esto vale 8. 00:41:16
Y con esto calculo este lado de aquí. 00:41:18
Cuidado, es la mitad de la diagonal. 00:41:20
Lo que yo calculo es la mitad de la diagonal. 00:41:22
Luego tendría que multiplicar por 2. 00:41:24
¿Vale? 00:41:26
10 al cuadrado es igual a 8 al cuadrado 00:41:28
más x al cuadrado, que es el mismo de antes. 00:41:30
¿Vale? 00:41:32
Y en este caso sale que x es 6 centímetros. 00:41:34
Si x es 6, ¿quién es la diagonal? 00:41:36
La diagonal es multiplicar por 2. 00:41:38
6 por 2 es 12. 00:41:40
La diagonal es 12 centímetros. 00:41:42
Y ahora ya calculo el área. 00:41:44
El área es diagonal por diagonal. 00:41:46
16 por 12 00:41:48
partido 00:41:50
entre 2. 00:41:52
¿No? 00:41:54
Es decir, esto son 96 centímetros al cuadrado. 00:41:56
Yo uso pitágoras para que 00:42:00
una vez que en la figura encuentro 00:42:02
triángulos o rectángulos, ¿vale? 00:42:04
Calculo el dato que me falta 00:42:06
para aplicarlo en lo que es la 00:42:08
la fórmula del cálculo del área. 00:42:10
Aquí vienen algunos, ¿vale? 00:42:12
Incluso, podríamos irnos a las 3 00:42:14
dimensiones, que no hemos llegado todavía. 00:42:16
¿Vale? 00:42:18
Pero para que veáis en la aplicación a la hora de calcular elementos 00:42:20
como 00:42:22
con estas diagonales, 00:42:24
diagonal, 00:42:26
la arista que baja, 00:42:28
la proyección 00:42:30
sobre 00:42:32
la base, esto llevado 00:42:34
al plano, 00:42:36
es un triángulo y un rectángulo porque el suelo 00:42:38
y la altura 00:42:40
son 00:42:42
perpendiculares. 00:42:44
Triángulo, rectángulo, que veis que ahí 00:42:46
hay aplicación. 00:42:48
El cuestionario 00:42:50
de la hipotenusa. 00:42:52
Pues tenéis ejercicios básicos de 00:42:54
calcular la hipotenusa de un triángulo 00:42:56
cuando los catetos miden 12 y 21. 00:42:58
Calcular el cateto que falta 00:43:00
cuando la hipotenusa mide tanto y el cateto 00:43:02
tanto. Aplicar teorema de pitágoras 00:43:04
puro y duro, ¿vale? 00:43:06
Otro, calcular 00:43:08
la longitud de la hipotenusa de un triángulo 00:43:10
o rectángulo del cateto 6 y 8. 00:43:12
Este ya está de memoria, tenéis que saber que es 10. 00:43:14
¿Vale? 00:43:16
Este puede parecer más difícil, 00:43:18
pero dice, ¿cuánto 00:43:20
mide el radio de la circunferencia de la figura? 00:43:22
El radio, pues 00:43:24
es el segmento que va desde aquí, desde el centro 00:43:26
hasta cualquier punto de la circunferencia. 00:43:28
Pues hombre, lo que puede interesarme es 00:43:30
este vértice donde toca el cuadrado. 00:43:32
¿Puedo construir de alguna forma 00:43:34
aquí algún triángulo que me 00:43:36
sirva de ayuda 00:43:38
para calcular ese radio 00:43:40
con los datos que me da? 00:43:42
La figura 00:43:46
tenemos un cuadrado 00:43:50
tenemos aquí una circunferencia, ¿no? 00:43:52
a mí me pide que calcule el radio. 00:43:56
El radio es esto, ¿no? 00:43:58
Esto, aquí. 00:44:00
Y aquí 00:44:02
trazando este 00:44:04
apotema aquí tengo un triángulo, rectángulo. 00:44:06
Entonces, claro, 00:44:08
este triángulo tiene la mitad del lado 00:44:10
y la mitad del lado. 00:44:12
Si los lados 00:44:14
median 00:44:16
12 y 00:44:18
18, 12 y 00:44:20
18, pues en vez de 12 00:44:22
será 6 y en vez de 18 será 9. 00:44:24
Y este radio que yo quiero, ¿cuánto mide? 00:44:26
Es decir, a veces hay que 00:44:30
buscar el triángulo rectángulo 00:44:32
dentro de la figura para poder calcular 00:44:34
lo que nos falta. 00:44:36
¿Vale? 00:44:38
Más ejercicios que os pueden aparecer. 00:44:42
Este aquí dice, los lados 00:44:46
de un triángulo miden 157, 00:44:48
85 y 132. 00:44:50
¿Es rectángulo? 00:44:52
¿Sí o no? Es decir, me está preguntando 00:44:54
si es una terna pitagórica. 00:44:56
¿Qué tengo que hacer con esos tres números? 00:44:58
Sustituirlos en la fórmula del teorema de Pitágoras. 00:45:00
¿No? 00:45:02
De ser rectángulo, ¿cuál sería la hipotenusa? 00:45:04
El grande. 157 00:45:08
sería la hipotenusa. 00:45:10
Pero fijaros, si me dice que no, 00:45:12
dice, no, es acutángulo 00:45:14
o es octusángulo, dice. 00:45:16
Yo sé que si no cumple la fórmula 00:45:18
no es rectángulo. 00:45:20
O sea, octusángulo 00:45:22
es que tenga un ángulo obtuso de más de 90 00:45:24
o que no lo tenga. 00:45:26
Es decir, que donde está el 90 grados 00:45:28
se haya abierto un poquito más o un poquito menos. 00:45:30
Bien. 00:45:32
Tenéis en los apuntes, 00:45:34
¿vale?, concretamente 00:45:36
aquí, cómo saber si un triángulo 00:45:38
es acutángulo, rectángulo o bien 00:45:40
octusángulo. 00:45:42
En este enlace 00:45:44
tenéis esta infografía que me dice. 00:45:46
En el caso del medio dice un triángulo 00:45:48
rectángulo cuando verifica el teorema de Pitágoras. 00:45:50
Es decir, está la igualdad. 00:45:52
Hipotenusa al cuadrado igual 00:45:54
a la suma de los cuadrados 00:45:56
de los catetos. 00:45:58
Ahora, si el número más grande al cuadrado 00:46:00
es más pequeño que la suma 00:46:02
de los otros dos cuadrados, 00:46:04
si es más pequeño, el triángulo va a ser 00:46:06
acutángulo, los tres ángulos 00:46:08
agudos. Pero si 00:46:10
el número más grande al cuadrado 00:46:12
es mayor que la suma de los otros dos cuadrados 00:46:14
va a ser 00:46:16
octusángulo. 00:46:18
¿Vale? Fijaos que digo 00:46:20
el número más grande al cuadrado, porque aquí ya no sería 00:46:22
hipotenusa. La hipotenusa sólo es 00:46:24
cuando es un triángulo rectángulo. 00:46:26
Es cuestión de terminología. 00:46:28
¿Vale? Pero aquí lo tenéis. 00:46:30
Y esto os sirve de ayuda ¿para qué? 00:46:32
Para responder si es acutángulo o bien 00:46:34
octusángulo. 00:46:36
Claro, tú coges estos tres números 00:46:40
y tú de primera dices 00:46:42
157 al cuadrado es igual a 00:46:44
85 al cuadrado más 132 al cuadrado. 00:46:46
Y haces las cuentas. 00:46:48
Claro, si te queda 00:46:50
un número más pequeño. 00:46:52
5 igual a 5. 00:46:54
Como se verifica la igualdad 00:46:56
es triángulo rectángulo. Si te queda 00:46:58
donde está 00:47:00
el número más grande al cuadrado 00:47:02
el que podría ser la hipotenusa, te queda 00:47:04
7 igual a 5. 00:47:06
No es 7 igual a 5, 7 mayor que 5. 00:47:08
El número más grande al cuadrado es más grande. 00:47:10
Pues si es más grande 00:47:12
va a ser en este caso octusángulo. 00:47:14
¿Que me queda 00:47:16
7 igual a 18? 00:47:18
No, 7 es menor que 18. 00:47:20
Va a ser acutángulo. 00:47:22
¿Si? 00:47:24
Entonces, con todo esto 00:47:26
quedarían vistos los ejercicios que 00:47:28
además tienes aquí 00:47:30
en el aula virtual. 00:47:32
El último es un triángulo y 00:47:34
los lados iguales miden 00:47:36
12 centímetros y el lado desigual mide 00:47:38
8 centímetros. 00:47:40
¿Cuánto mide la altura? 00:47:42
Vamos a hacer el dibujo de este. 00:47:44
Un triángulo y sórceles. 00:47:48
Triángulo y sórceles. 00:47:50
Este podría ser un triángulo y sórceles. 00:47:52
Donde 00:47:54
el lado igual mide 12 00:47:56
y el desigual mide 8. 00:48:00
Que yo calcule la altura. 00:48:02
La altura es el segmento que va 00:48:04
perpendicular de un vértice al lado opuesto. 00:48:06
Pues esto. 00:48:08
Esto va a ser 90 grados. 00:48:10
Ya tengo aquí un triángulo. 00:48:12
Yo quiero calcular esta altura, x. 00:48:14
Mi triángulo. 00:48:16
Y viene bien sacárselo fuera. 00:48:18
12, x. 00:48:20
¿Y esto cuánto va a ser? 00:48:22
Si todo esto mide 8, esto mide 4. 00:48:24
Aplico el teorema de Pitágoras 00:48:26
y con ello tengo la altura. 00:48:28
Sí, el 12. 00:48:32
Siempre que está enfrente del ángulo de 90 grados. 00:48:34
O mejor dicho, 00:48:36
el lado que no forma el ángulo. 00:48:38
¿Sí? 00:48:40
Pues con esto quedaría visto 00:48:42
la clase de hoy. 00:48:44
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8 de febrero de 2024 - 20:01
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