Guía para resolver ecuaciones trascendentes y SL (4º ESO)

Muy buenas. Las ecuaciones a veces pueden parecer un auténtico rompecabezas, ¿verdad? 00:00:00

Uno de esos que no sabes por dónde coger. Pero, ¿y si en realidad tuvieran una lógica 00:00:05

súper clara? Pues eso es justo lo que vamos a hacer aquí. Vamos a meternos de lleno con 00:00:09

tres de los tipos más comunes, logarismos exponenciales y sistemas de ecuaciones, para 00:00:13

ver cómo podemos convertirlos en algo mucho más sencillo y manejable. 00:00:18

Y esta es la pregunta con la que arrancamos nuestro análisis. Es un desafío clásico, 00:00:21

un problema muy típico. La variable que buscamos está como atrapada dentro de un 00:00:26

logaritmo. Entonces, ¿cómo la sacamos de ahí? Pues vamos a ver que no es ni de lejos 00:00:31

tan complicado como parece. Este es el plan que vamos a seguir. Primero, 00:00:35

las ecuaciones logarítmicas y su importantísima prueba de validez. Después, nos pasamos a 00:00:39

las exponenciales y sus diferentes técnicas. Luego, vemos los sistemas de ecuaciones, tanto 00:00:44

desde el punto de vista del álgebra como de la geometría. Y para terminar, repasamos 00:00:50

unas reglas de oro para que todo quede bien claro. Venga, empezamos por el principio. ¿Qué hacemos 00:00:54

cuando nuestra incógnita está metida en el argumento de un logaritmo? Pues el objetivo está 00:00:59

claro, hay que despejarla. Y para eso, por suerte, tenemos un método muy, muy concreto. A ver, la 00:01:03

clave aquí es seguir siempre estos tres pasitos. Lo primero de todo, simplificar. O sea, usamos las 00:01:10

propiedades de los logaritmos y lo dejamos todo bien juntito, en un solo logaritmo a cada lado. 00:01:16

El segundo paso, resolver. 00:01:21

Aquí ya nos quitamos los logaritmos de en medio y trabajamos con la ecuación que nos queda. 00:01:23

Y tercero, y esto es súper importante de verdad, hay que verificar las soluciones. 00:01:27

Y claro, lo interesante es ver cómo funciona esto en la práctica. 00:01:32

En este ejemplo, lo primero es aplicar la propiedad de la suma para juntar los dos logaritmos en uno. 00:01:35

Después, el truco es convertir ese 5 en un logaritmo con la misma base, base 2. 00:01:40

Así, al tener un logaritmo a cada lado, podemos igualarlo de dentro y ¡listo! 00:01:44

Nos queda una ecuación de segundo grado que nos da dos posibles soluciones, 2 y menos 16. 00:01:48

Y esto nos lleva a una de las ideas más importantes de todo este tema. 00:01:54

Ojo, que un cálculo nos dé un número no significa automáticamente que sea una solución válida. 00:01:58

En matemáticas, sobre todo con logaritmos, encontrar una posible respuesta es solo la mitad del camino. 00:02:02

¿Y por qué? Pues por esta regla de oro. 00:02:07

Un logaritmo solo existe si su argumento, o sea, el número al que se aplica, que aquí es n, es estrictamente mayor que 0. 00:02:10

Y bueno, la base también tiene que ser positiva y no puede ser 1. 00:02:17

Si alguna de las soluciones que hemos encontrado incumple esto al ponerla en la ecuación original, 00:02:21

pues entonces simplemente no es una solución. 00:02:26

Y esto lo ilustra a la perfección. 00:02:29

En este otro caso, las posibles soluciones que han salido son 2 y menos 3. 00:02:31

Si probamos con x igual a 2, vemos que la ecuación funciona sin problemas. 00:02:36

Pero, ¿qué pasa si probamos con x igual a menos 3? 00:02:40

Pues que nos topamos con el logaritmo de un número negativo, de menos 3, 00:02:43

que, como acabamos de ver, no existe. Por lo tanto, el menos tres se descarta. No es una 00:02:46

solución válida. Venga, cambiamos de tercio. Pasamos ahora a otro tipo de ecuación, las 00:02:52

exponenciales. Aquí la incógnita está arriba, en el exponente. Para resolverlas no hay un método 00:02:57

único, sino que tenemos como una especie de caja de herramientas. Y la clave claro es saber qué 00:03:03

herramienta usar en cada caso. Y aquí está nuestro arsenal. Son tres técnicas principales. La primera 00:03:07

es la de igualar bases. Si conseguimos escribir los dos lados como una potencia del mismo 00:03:14

número, el problema está casi resuelto. La segunda es el cambio de variable, que es 00:03:19

general para cuando la ecuación se empieza a complicar. Y la tercera, un recurso que 00:03:25

no falla nunca, tomar logaritmos. Fijaos en la primera herramienta. Aquí nos 00:03:30

damos cuenta de que 81 es lo mismo que 3 elevado a 4, y que un tercio es 3 elevado a menos 00:03:35

1. Perfecto. Al hacer esto, los dos lados de la ecuación tienen la misma base, el 3, 00:03:41

y esto nos permite igualar los exponentes directamente y despejar la x de una forma 00:03:46

súper sencilla. Vamos ahora con la segunda herramienta. En esta ocasión, vemos que 4 00:03:50

elevado a x es lo mismo que 2 elevado a x al cuadrado, y esa es la pista que necesitamos 00:03:56

para hacer un cambio de variable. Llamamos z a 2 elevado a x, y de repente, la ecuación 00:04:01

se convierte en una de segundo grado de las de toda la vida. La resolvemos para z y luego, 00:04:06

muy importante, deshacemos el cambio para encontrar la x. Y, por último, la tercera herramienta. ¿Qué 00:04:11

pasa cuando no hay manera de igualar las bases? Como en este caso, entre 2 y 189. Pues nada, 00:04:17

tomamos logaritmos en los dos lados. Gracias a las propiedades de los logaritmos, el exponente 00:04:23

puede bajar multiplicando y ya podemos despejar la x sin ningún problema. Podríamos decir que 00:04:28

esta es la técnica universal. Bueno, pues dejamos ya las ecuaciones individuales y nos metemos con 00:04:33

los sistemas de ecuaciones lineales. Aquí la pregunta cambia un poco. No es sólo cuál es la 00:04:38

solución, sino, para empezar, ¿hay solución y cuántas hay? Porque cada sistema en realidad nos 00:04:44

está contando una historia. Pues resulta que un sistema de dos ecuaciones lineales se puede 00:04:49

clasificar en sólo tres tipos. El compatible determinado, que tiene una única solución. El 00:04:55

incompatible indeterminado, que, ojo, tiene infinitas soluciones, y el incompatible, que no 00:05:01

tiene ninguna. Y lo más fascinante de todo es que podemos saber de qué tipo es simplemente 00:05:06

comparando los numeritos, los coeficientes que acompañan a la X, a la Y y los que van solos. 00:05:12

Pero lo mejor es que estas clasificaciones del álgebra no son algo abstracto. Tienen una 00:05:18

representación geométrica clarísima. Solo hay que pensar que cada una de esas ecuaciones es, 00:05:23

en realidad una recta en un plano. Y esta imagen lo resume a la perfección. Un sistema con una 00:05:28

solución única son dos rectas que se cortan en un punto, y sólo uno. Un sistema con infinitas 00:05:34

soluciones son dos rectas que en realidad son la misma, una encima de la otra. Y un sistema sin 00:05:39

solución, pues son dos rectas paralelas que, por mucho que las alargues, nunca jamás se van a 00:05:45

tocar. El álgebra nos está contando la historia de la geometría. Muy bien, hemos visto un montón 00:05:50

de cosas, así que, para terminar, vamos a resumir todo lo que hemos analizado en unas pocas reglas 00:05:55

clave, unas ideas que nos sirvan de guía para enfrentarnos a este tipo de problemas. Vamos a 00:06:00

quedarnos con estas tres ideas fundamentales. Primero, con los logaritmos, la verificación no 00:06:05

es algo opcional, es obligatoria. Segundo, con las exponenciales, hay que pararse a pensar y elegir 00:06:10

la herramienta adecuada para cada trabajo. Y tercero, con los sistemas, hay que recordar que 00:06:16

detrás del álgebra siempre hay una historia geométrica sobre cómo se encuentran dos rectas. 00:06:21

Con estas herramientas ya no sólo resolvemos problemas de un libro de texto. La pregunta 00:06:26

final que nos queda es, ahora que sabemos manejarlas, ¿dónde podemos ver estas poderosas 00:06:31

ecuaciones dándole forma al mundo que nos rodea? Desde el crecimiento de una inversión en el banco 00:06:35

hasta los descubrimientos científicos, la respuesta es que están literalmente en todas partes. 00:06:39

Guía para resolver ecuaciones trascendentes y SL (4º ESO) - Contenido educativo

Del mismo autor…

Requiem de Durufle

Lamento de Dido

Romance Animales Vertebrados

HALLOWEEN 2025/26

ACTIVIDADES 1º TRIMESTRE ED. INFANTIL

Las agujetas

5. KARAOKE voz 120