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Gravitación - Energía potencial gravitatoria - Contenido educativo

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Subido el 25 de octubre de 2020 por Sergio M.

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Obtención de la expresión matemática para un sistema de dos masas puntuales, así como su interpretación (signo).

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En este vídeo vamos a obtener la expresión matemática para la energía 00:00:00
potencial gravitatoria de un sistema de dos masas puntuales y lo vamos a 00:00:04
realizar en tres actos. En el primero recordamos que el trabajo realizado por 00:00:09
la fuerza gravitatoria solamente depende de la coordenada radial, es decir, que 00:00:15
desplazamientos en esta dirección, dado que forman 90 grados con la fuerza 00:00:20
gravitatoria no realiza un trabajo. Para poner esto a prueba en el segundo acto comenzaremos 00:00:25
aplicándolo en un caso sencillo. En este caso si os fijáis la coordenada radial es la vertical que 00:00:32
nos conecta con el centro. Por ejemplo si esto fuese la tierra aquí estaría el centro de la 00:00:40
tierra y ya sabéis que una vez estemos fuera de su superficie podemos concentrar toda su masa en 00:00:44
este punto. Aquí tendríamos la masa M. Si esta es la masa M pequeña, podemos preguntarnos por cuál 00:00:50
es el trabajo realizado cuando realizamos un desplazamiento desde aquí hasta aquí, es decir, 00:00:57
cuando este es el vector desplazamiento. En este caso, si recordáis de años anteriores, podríamos 00:01:03
hablar de una variación de energía potencial, que justamente nos suena a eso que hemos visto en el 00:01:10
vídeo del campo conservativo. Podemos asociar una cantidad en cada punto de la vertical llamada 00:01:17
energía potencial. Pues bien, en este caso, dado que estas variaciones de altura son pequeñas, 00:01:23
significan que podemos suponer g constante y por tanto esta fuerza gravitatoria también como 00:01:31
constante. Si ponemos aquí el cero de la y, esto sería la y inicial, puesto que el movimiento 00:01:35
comienza aquí en este punto inicial y llegando hasta este punto final con coordenada yf. El 00:01:42
trabajo en este caso no es difícil ni siquiera hay que integrar puesto que la fuerza gravitatoria es 00:01:48
constante y se da en todo momento a lo largo de la trayectoria definida por este vector. Si hacemos 00:01:55
este producto escalar tendremos el módulo del primero por el módulo del segundo por el coseno 00:02:03
del ángulo que forman que es 180 grados. Si os fijáis este es el vector del tail y en todo momento este es el vector Fg 00:02:10
por tanto el ángulo entre ambos es de 180 grados. Este valor es menos 1 y esto dado que es lo que llamaríamos peso 00:02:19
en años anteriores tenemos que es m por g justamente porque además esa g es constante aquí. Bueno pues esto nos da 00:02:31
menos m por g por delta y. Si recordáis, nosotros habíamos definido la energía potencial como el 00:02:38
producto de la m por la g por el valor de la y. Si aquí hay una variación, lo que nos está diciendo 00:02:45
esto es que el trabajo para llegar desde el punto inicial hasta el final con esa masa m en interacción 00:02:52
con esta masa m grande es la menos variación de la energía potencial. Este resultado es muy 00:02:58
interesante y vamos a tener que reproducirlo en el tercer acto que en qué consiste en lanzar el 00:03:07
objeto tan alto que esta variación de altitud sea tan grande que no podamos suponer la constancia 00:03:14
de esta fuerza gravitatoria vamos con él en este caso general si os fijáis aquí tenemos el punto 00:03:22
inicial donde está la masa m y aquí tenemos el punto final sus coordenadas radiales eran r sub i 00:03:29
y R sub F. Si nosotros nos preguntamos por cuál es el trabajo, en este caso no podemos suponer la 00:03:35
constancia de la fuerza gravitatoria. De hecho, fijaos en que aquí la hemos dibujado con distintos 00:03:42
módulos. ¿Por qué? Porque como bien sabéis, la fuerza gravitatoria va como el inverso de R al 00:03:48
cuadrado. Si estas R son muy distintas, esto habrá variado un montón y por tanto lo que vamos a hacer 00:03:55
sumar cachito a cachito que no es otra cosa que integrar. ¿Qué vamos a integrar? Cada pequeña 00:04:01
contribución en cada pequeño desplazamiento infinitesimal. Lo sumamos todos desde i hasta f 00:04:06
y obtenemos ese trabajo que tendremos que igualar a la menos variación de la energía potencial. Pues 00:04:14
bien, en este caso tendremos la integral desde el punto inicial hasta el final de el módulo de fg 00:04:21
por el módulo de diferencial de R por el coseno del ángulo que forman. 00:04:28
Pero claro, un diferencial de R de desplazamiento que nos lleve de I a F 00:04:33
forma 180 grados en todo momento con la fuerza gravitatoria. 00:04:38
¿Eso qué significa? 00:04:43
Que aquí seguimos teniendo el coseno de 180 grados cuyo valor sigue siendo menos 1. 00:04:45
Si nosotros ahora expresamos el módulo de esa fuerza gravitatoria del tema anterior, 00:04:51
tenemos que es g por m por m entre r al cuadrado multiplicado por diferencial de r 00:04:57
y con este signo menos que lo vamos a poner ahí delante. 00:05:08
Para realizar esta integral convendrá haber visto un vídeo anterior 00:05:12
en el que hacemos justamente la integral de menos 1 entre r al cuadrado. 00:05:16
Una cosa más, fijaos en que aquí tenemos además unas constantes 00:05:20
y vamos a ver por qué las podemos sacar. 00:05:23
Fijaos en que si la analogía con integrar es sumar 00:05:25
Imaginad que estamos sumando 2 más 4 más 6 00:05:30
Pues bien, yo puedo decir 00:05:35
Bueno, todo esto tiene en común un 2 00:05:37
Así que también podría hacerlo así 00:05:39
Sumar 1 más 2 más 3 00:05:41
Y luego multiplicar por eso que tienen en común 00:05:43
Aquí lo que tienen en común es el g por m por m 00:05:45
Que está multiplicando a este menos 1 entre r cuadrado 00:05:50
diferencial de r si yo voy a sumar puedo decir a voy a integrar es decir sumar menos 1 entre r 00:05:54
cuadrado y luego lo multiplico ya por eso que tenían en común este g por m por m igual que 00:06:03
hicimos aquí pues bien aplicando eso y volviendo aquí lo que tenemos es lo siguiente tenemos que 00:06:09
Esto es igual a g por m por m por la integral desde el punto inicial hasta el final de menos 1 entre r al cuadrado diferencial de r. 00:06:18
Esta integral, como os he dicho, la habíamos visto y tiene el siguiente valor, 1 entre r más una constante que va a ser importante. 00:06:31
Y como aquí vamos desde el punto inicial hasta el final, pues esto va a ser evaluado entre el punto inicial y el final. 00:06:42
Por tanto, ¿qué nos queda? 00:06:49
Nos queda que el trabajo para ir desde el punto inicial al final es g por m por m por 1 entre r evaluado en el punto final, 00:06:52
más la constante, a lo que le vamos a restar 1 entre r en el punto inicial. 00:07:05
y ahora fijaos en qué va a ser, más con este menos, menos la constante, es decir, que estas dos constantes se cancelan y nos queda esta expresión. 00:07:10
Si comparamos con lo que vimos en el acto número 2, diciéndonos que esto tenía que ser igual a la menos variación de la energía potencial, 00:07:21
donde esto sería la energía potencial final menos la energía potencial inicial nos lleva a lo siguiente. 00:07:30
Obviamente vamos a conectar lo que tenga que ver con el punto final con la energía potencial final 00:07:41
y lo que tenga que ver con el punto inicial con la energía potencial inicial. 00:07:46
Lo hagáis, con el que lo hagáis va a salir lo mismo. 00:07:50
Vamos a escoger uno por ejemplo, el radio final. 00:07:54
tenemos que g por m por m entre rf tiene que ser igual a menos epf es decir que la energía potencial 00:07:57
en ese punto final será menos g por m por m entre este valor radial como hemos dicho que va a dar 00:08:07
igual que sea el inicial o el final lo que yo digo es para cualquier valor r en cualquier valor r 00:08:18
tendrá esta pinta pero por favor no os olvidéis de que en realidad aquí hay una constante que se 00:08:24
ha cancelado porque estábamos comparando dos puntos distintos pero que ciertamente está ahí 00:08:29
pues bien esta es la expresión para la energía potencial en una determinada coordenada radial 00:08:36
para un sistema de dos masas en interacción claro muchas veces no aparece esta constante 00:08:43
Pero esta constante es muy importante porque nos dice dónde fijamos el cero de energía potencial. 00:08:50
Y eso depende del tipo de problema. 00:08:58
Si os fijáis en el acto número 2, las energías potenciales mgh eran valores positivos. 00:09:01
Y sin embargo aquí tienen toda la pinta de ser un valor negativo a no ser que esta constante lo vuelva positivo. 00:09:07
Vamos a pintar, por ejemplo, esta función matemática. 00:09:14
Y esto lo tenemos un poquito hacia abajo. 00:09:17
Para recordar lo que estamos haciendo, yo pongo aquí la expresión matemática, que es menos g por m por m, 00:09:21
es un sistema de masas en interacción, dividido entre la coordenada radial que la separa, más este valor constante. 00:09:29
Ahora bien, si yo me llevo la masa m pequeña hasta el infinito, parece que estoy diciendo que, bueno, 00:09:37
ahí la interacción va a anularse y parece que la conexión entre ambas debería desaparecer. 00:09:44
Es algo así como decir que cuando r tiende a infinito esta cantidad se va a cero y yo podría escoger esta constante como cero obteniendo esta gráfica de la función y fijando por tanto el cero de energía potencial justamente ahí, ahí si os fijáis me saldrían cero julios si yo escojo que esa constante sea igual a cero. 00:09:49
Y esto es una elección. ¿Para qué? Para que justamente la energía potencial valga cero julios. 00:10:12
¿Dónde? En el infinito, donde parece que esas masas ya no interaccionan porque están tan alejadas que no se sienten. 00:10:18
Sin embargo, yo puedo escoger otros valores de la constante. 00:10:25
Mirad, vamos a hacer un caso práctico. 00:10:29
Yo pongo, por ejemplo, la Tierra. La Tierra tiene un radio que estará por aquí. 00:10:31
Es decir, la Tierra será algo así. 00:10:36
Este valor es justamente el radio de la Tierra. 00:10:39
Aquí. El caso es que, si os fijáis, para este valor del radio de la Tierra, el valor de energía potencial es un número negativo. ¿Cuál? Bueno, pues bastaría con poner aquí el radio de la Tierra. 00:10:42
sería menos g por m por m entre el radio de la Tierra. 00:10:54
¿Qué ocurre? Que si yo quiero que este valor sea cero, 00:11:03
lo que puedo hacer es que esta constante valga justamente lo mismo que esto, 00:11:07
pero con signo contrario. 00:11:12
Porque si yo se lo sumo, ¿qué voy a hacer? 00:11:14
Voy a hacer que esto se vaya hacia arriba de tal manera 00:11:17
Que justamente ahí la energía potencial valga cero. 00:11:21
Es decir, estoy escogiendo la constante de tal manera que justamente ahí tenga el cero de energía potencial. 00:11:26
Y de ahí en adelante la energía potencial es positiva, que serían nuestros mgh en variaciones pequeñas de la coordenada radial. 00:11:33
En general en gravitación la elección que realizamos es otra y es la siguiente. 00:11:42
Ponemos esto justamente de esta manera. 00:11:49
Porque donde nos interesa realmente que se haga cero la energía potencial, porque es muy intuitivo, es en el infinito. 00:11:51
Además, eso nos deja un valor negativo y en general en física los valores negativos significan estados ligados. 00:11:58
Como veis aquí, una masa estaría ligada a la otra por la atracción gravitatoria. 00:12:04
Solamente cuando llegase al infinito sería realmente libre. 00:12:09
A efectos prácticos para el resto del curso, nosotros estaremos trabajando con una energía potencial con esta expresión, puesto que habremos fijado este valor a cero en el infinito. 00:12:13
Muy bien, espero que os haya gustado. Hasta la siguiente. 00:12:28
Idioma/s:
es
Autor/es:
Sergio Montero Modino
Subido por:
Sergio M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
79
Fecha:
25 de octubre de 2020 - 20:43
Visibilidad:
Público
Duración:
12′ 31″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
62.87 MBytes

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