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Problemas de optimización EVAU - Bachillerato CCSS - Contenido educativo

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Subido el 9 de julio de 2024 por Jesús Pascual M.

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Problemas de optimización EVAU

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En este vídeo veremos algunos problemas de optimización, es decir, un problema que hemos anunciado que habrá que interpretar. 00:00:00
Tal es lo cual, lo que hay que hacer es, por una función, calcular el mínimo y el máximo con las técnicas de derivación, etc. 00:00:07
Un problema de optimización es un problema donde tenemos una variable o varias y una función para dicha variable o varias 00:00:16
que o bien nos la dan en el problema o bien la deducimos de los datos del problema 00:00:29
y nos piden hallar un punto x0 que sea un máximo absoluto de f o un mínimo absoluto de f. 00:00:34
O nos pueden pedir pues varias cosas, por ejemplo, un máximo y un mínimo según qué parte del problema, etc. 00:00:46
Bien, para ello conviene recordar cómo se encuentran los máximos y mínimos absolutos de una función. 00:00:51
Necesitamos por una parte. 00:00:58
mirar los ceros de la derivada, obviamente 00:00:59
los extremos, es decir, si tenemos una función 00:01:03
por ejemplo, f definida 00:01:08
por ejemplo, entre 0 y 7 00:01:09
habría que mirar también f de 0 y f de 7 00:01:12
si tenemos una función que está definida 00:01:16
entre 0 e infinito sin incluir 00:01:19
pues habría que mirar el límite cuando x tiende a 0 00:01:22
por supuesto por la derecha de f de x 00:01:25
y el límite cuando x tiende a infinito 00:01:27
de f de x 00:01:30
lo que pasa es que es posible que aquí 00:01:31
el máximo y el mínimo se alcancen 00:01:33
y aquí no lleguen a alcanzarse 00:01:35
y por último 00:01:38
también hay que mirar en una función de finia de trozos 00:01:41
los puntos de unión 00:01:44
tanto si es 00:01:46
continua como si no 00:01:48
porque es posible que tengamos una función 00:01:49
como el valor absoluto 00:01:51
de modo que aquí hay un mínimo 00:01:53
o una función por ejemplo 00:01:55
que sea así si no es continua 00:01:57
y en este caso pues aquí hay un mínimo 00:01:59
que puede ser absoluto dependiendo de lo demás 00:02:02
veamos un ejemplo 00:02:07
vamos a tomar una función f definida de la siguiente manera 00:02:11
tenemos 1 partido por x 00:02:15
si x es menor que menos 1 00:02:18
x cuadrado si x está entre menos 1 y 1 00:02:23
ambos incluidos 00:02:29
y 2x menos 1 00:02:30
si x está entre menos 1, perdón, entre 1 y 5, incluido. 00:02:32
De modo que la función f está definida en intervalo de menos infinito al 5, cerrado en el 5. 00:02:44
Bien, pues vamos a buscar los puntos que hay que comprobar. 00:02:53
Primero hay que mirar los celos de la derivada. 00:02:58
Vamos a mirarlos. 00:03:02
aquí tenemos que f' de x es menos 1 entre x cuadrado 00:03:02
que nunca se anula 00:03:08
aquí f' de x es 2x que es igual a 0 00:03:09
si, solo si, x es igual a 0 y además 0 está en el dominio de la función en ese trozo 00:03:14
o sea, está en el trozo que nos dicen 00:03:20
y por último, aquí f' de x es 2 que siempre es dentro de 0 00:03:21
De modo que los de la derivada únicamente nos darían el punto 0 00:03:28
Los extremos, bueno, pues la función está definida entre menos infinito y 5 00:03:33
Pues serían menos infinito y 5 00:03:38
Y por último, los puntos de unión en las funciones a trozos 00:03:45
Que en este caso son claramente menos 1 y 1 00:03:52
También podemos considerar esos puntos como extremos de dichos intervalos 00:03:54
Pero así es un poco más claro 00:04:02
Bueno, pues en este caso vamos a calcular los valores 00:04:04
Vamos a ver, f de 0 es 0 00:04:10
f de 5 es igual a 2 por 5 es 10 menos 1 es 9 00:04:17
El límite, ahora vamos a ver que ocurre con el menos infinito 00:04:28
El límite cuando x tiende a menos infinito de f de x sería 1 partido entre infinito que es 0 00:04:38
Y nos quedan los extremos. Vamos a ver, hay que ver si continúo o no. f de menos uno menos, que es el límite cuando x tiende a menos uno por la izquierda, de f sería, pues uno partido por menos uno, que es menos uno. 00:04:44
f de menos 1 más, esto es directamente f de menos 1, que es menos 1 al cuadrado, que es 1. 00:05:05
Y ahora, f de 1 menos, que es el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda, de f de x, en este caso coincide con f de 1, 00:05:18
y es 1 al cuadrado que es 1 00:05:34
y f de 1 por la derecha que es el límite 00:05:37
cuando x tiende a 1 por la derecha de f de x 00:05:41
en este caso es 2 por 1 menos 1 00:05:45
que es 1 00:05:53
bueno, aquí tenemos que f es continuo en 1 00:05:56
y aquí tenemos que f no es continuo en 1 00:05:58
en menos 1, perdón 00:06:04
bueno, pues de todos los valores que hemos tomado 00:06:08
Tenemos el 0, el 9, el 0, el menos 1, el 1 y el 1, que aquí es igual a las dos. 00:06:11
¿Cuál sería el candidato a máximo absoluto? 00:06:24
Pues el número mayor de todos es el 9. 00:06:27
Pues ya está, ya hemos conseguido el máximo absoluto. 00:06:37
Y se alcanza de más. 00:06:40
Bien, ¿y cuál sería el mínimo absoluto? 00:06:44
Pues tenemos, aquí está el 0, 9, 0, menos 1. 00:06:52
es menos 1, pero menos 1 no se alcanza 00:06:56
porque 00:06:58
aquí no está definida menos 1 00:07:00
es un límite pero no hay ningún valor 00:07:04
donde dé menos 1, entonces 00:07:06
no existe 00:07:07
muy bien, pues entonces ya tenemos 00:07:10
el cálculo, fijaos que no 00:07:17
nos ha hecho falta calcular 00:07:19
si el 0 00:07:20
es mínimo o no, es mínimo porque 00:07:22
si hacemos la derivada segunda 00:07:25
es igual a 2 00:07:26
que es mayor que 0 00:07:29
y por tanto es un mínimo 00:07:31
y puede venir bien hacerlo 00:07:32
pero si evaluamos 00:07:34
en la teoría 00:07:36
puede venir bien para elevar un obstante 00:07:38
indicar si es un mínimo 00:07:40
local, etc. 00:07:42
puede venir bien 00:07:44
de acuerdo 00:07:45
pero si hemos hecho todo lo demás 00:07:46
pues ya nos va a dar los máximos y mínimos 00:07:50
absolutos solo calculando sus valores 00:07:52
empecemos con los problemas 00:07:54
hemos puesto 00:08:00
aquí el año de cada problema, son todos de la Boda de Madrid 00:08:01
por si quieren localizarse. 00:08:05
Bien, paráis la grabación, podéis leer bien el enunciado del problema 00:08:08
y después lo corregimos. 00:08:13
Una vez leído el enunciado, vemos que lo que nos piden es 00:08:18
fijar el precio de la papeleta de modo que la recaudación sea máxima. 00:08:21
De modo que la variable que buscamos va a ser x, 00:08:26
que es el precio de la papeleta. 00:08:30
Y la función que vamos a tener que minimizar va a ser la función recaudación. 00:08:34
Pero para calcular la recaudación vamos a tener que calcular el número de papeletas vendidas, que es lo que nos dicen en la siguiente parte. 00:08:44
Entonces, ¿qué nos indica el enunciado del problema? 00:08:58
A ver, si tenemos dos papeletas, se venden, perdón, si X son 2 euros, entonces se venden 5.000. 00:09:01
Por otra parte, para un número X arbitrario, nos dicen que por cada euro de incremento de precio, 00:09:11
el incremento sería X menos 2, nos dicen que se venden 500 papeletas menos. 00:09:18
Entonces la pérdida sería el incremento por 500. 00:09:29
Entonces la función que es el número de papeletas que se venderían sería las 5000 menos x menos 2 por 500, que es lo que se pierde. 00:09:35
convendría calcular esto ya 00:09:53
para hacerlo más sencillo 00:09:56
5000 menos 00:09:57
500X 00:10:00
más 1000 00:10:01
y esto es igual a 00:10:03
6000 00:10:05
menos 500X 00:10:06
y ahora ya nos falta 00:10:09
la función, vamos a llamarla R 00:10:11
la función de la recaudación 00:10:13
que vamos a llamarla 00:10:16
RDX que sería 00:10:20
la cantidad de proyectas vendidas 00:10:21
que es 6.000 menos 500x 00:10:23
multiplicado por el precio que es x 00:10:27
y esto es 6.000x menos 500x al cuadrado 00:10:30
y ya con esto hay que buscar la x 00:10:35
el valor x0 que haga que esta función sea mínima 00:10:40
bueno, pues para ello derivamos 00:10:43
r' de x sería 00:10:46
6.000 menos 00:10:48
1.000x 00:10:52
y es igual a 0 00:10:54
si y solo si 00:10:56
1.000x es igual a 6.000 00:10:57
si y solo si 00:11:02
x es igual a 6.000 00:11:05
partido por 1.000 00:11:06
que es 6 00:11:08
y ya está 00:11:09
bueno, ya sabemos que es un máximo muy fácilmente 00:11:11
porque, a ver 00:11:14
si calculamos r' de x 00:11:15
esto es menos 1.000 00:11:18
que es menor que 0, por lo tanto es un máximo relativo 00:11:20
no obstante voy a dibujar la tabla 00:11:23
porque es fácil en primer lugar 00:11:28
y en segundo lugar 00:11:29
porque nos dice algo más de información 00:11:30
bien, dibujamos la tabla 00:11:35
bueno, la función r de x 00:11:40
es una función r 00:11:43
definida de 2 00:11:45
en el llevado de 2 a infinito 00:11:48
porque parece que 2 es el precio mínimo 00:11:51
de la veleta 00:11:52
en r entonces 00:11:53
pues 00:11:56
cogeríamos 00:11:57
de 2 hasta el 6 00:12:00
el 6 00:12:03
y del 6 en adelante 00:12:05
si calculamos, bueno, aquí es 00:12:13
es una recta que tiene pendiente negativa 00:12:17
con lo cual nos puede servir 00:12:20
ver que tiene esta forma 00:12:22
aquí en el 6 00:12:25
aquí esto es 00:12:27
positivo, aquí vale 0, aquí es negativo 00:12:29
y si miramos f 00:12:33
pues es creciente 00:12:40
decreciente 00:12:43
por lo tanto aquí hay un máximo 00:12:44
cosa que ya sabíamos 00:12:46
aquí es creciente 00:12:49
y aquí es decreciente 00:12:51
y ya no hace falta calcular los valores 00:12:53
en los extremos porque ya se ve que 00:12:57
si aquí es creciente y aquí es decreciente 00:12:59
por fuerza pues es que 00:13:00
va a ser un máximo absoluto 00:13:03
entonces 00:13:04
0 es un 00:13:05
perdón, 0 me he confundido, quería decir 00:13:08
6 es un máximo. De hecho, si calculásemos, voy a hacerlo en otro color, para que, si calculásemos que no hace falta, pero también otra forma de hacerlo sería calcular f de 2, que en este caso es 5.000, el límite cuando x tiende a infinito de f de x, que es menos infinito, y ya se ve claramente que y f de 6, 00:13:10
que claramente es 00:13:39
pues hay que calcularlo 00:13:42
vamos a hacerlo 00:13:44
la recaudación de 6 00:13:47
vale 00:13:48
36.000 00:13:50
menos 00:13:57
500 por 36 00:13:57
que es 00:14:00
18.000 00:14:02
y esto nos da 00:14:03
18.000 euros 00:14:05
bien, entonces 00:14:07
sería 18.000 00:14:14
y claramente el máximo es F de 6. 00:14:15
Entonces tendríamos 6 máximo absoluto. 00:14:20
Esto es otra forma de resolverlo. 00:14:25
Bien, vamos a responder las preguntas. 00:14:30
Pregunta, ¿a qué precio hay que vender la papeleta? 00:14:36
Pues entonces hay que vender la papeleta a 6 euros. 00:14:40
Segunda pregunta, si el único gasto es la compra del ordenador, ¿cuánto dinero podrán donar a la ONG? 00:14:51
Bueno, pues entonces el beneficio serían el ingreso menos el gasto, que serían los 18.000 euros menos los 600 que cuesta el ordenador, esto es lo importante que estaba arriba de los datos, y son 17.400 euros. 00:14:56
Entonces, la segunda parte es, donarán o podrán donar, podrán donar 7400, perdón, 17400 euros a la ONG. 00:15:18
Y aquí estaría el resultado. 00:15:42
Nuevamente podéis parar la grabación, leer el enunciado y después intentar resolverlo por vuestra cuenta 00:15:48
o directamente escuchar la corrección. 00:15:57
Bien, el problema se divide en dos etapas. 00:16:06
Primero determina el valor máximo de la función CDT 00:16:09
indicando el momento en que se alcanza dicho valor máximo. 00:16:12
Ese es el problema de optimización por B20 dicho. 00:16:17
Y después hay un segundo problema que se hace a partir de él 00:16:21
que es sencillo. 00:16:24
Bien, empezamos. 00:16:26
tenemos una función C 00:16:28
de concentración 00:16:31
sobre el tiempo 00:16:32
que va de 0 00:16:35
porque el momento en que empezamos a contar el tiempo 00:16:37
desde que se toma 00:16:40
el medicamento 00:16:41
en R 00:16:42
y tenemos que la función 00:16:44
C de T 00:16:47
nos dicen que es T por elevado a menos 00:16:48
T medios 00:16:51
para maximizar hay que derivar 00:16:52
C' de T 00:16:55
T es igual a la derivada de T, que es 1, por elevado a menos T medios, más T por la derivada de E elevado a menos T medios, que es E elevado a menos T medios, por menos 1 medio. 00:16:56
Podemos sacar el factor común de elevado a T. 00:17:16
Sería elevado a menos T medios por 1 menos T medios. 00:17:19
y eso es igual a 0 00:17:25
si solo si lo de dentro es igual a 0 00:17:28
1 menos t medios es igual a 0 00:17:33
porque esto nunca se anula 00:17:35
eso siempre se siente de 0 00:17:36
y esto ocurre si solo si 00:17:37
t medios es igual a 1 00:17:42
si solo si t es igual a 2 00:17:44
bien 00:17:46
podemos ahora ver si eso es máximo o mínimo 00:17:48
hay más formas de hacerlo 00:17:53
una de ellas es la tabla famosa 00:17:56
tenemos aquí f' 00:17:58
f, tenemos desde 0 hasta 2, en el 2, y del 2 hasta infinito. 00:18:00
Entonces calculamos el valor de la derivada, podemos hacerlo dando valores, 00:18:13
o si observamos que eso es mayor que 0, pues viendo que el signo de esto, 00:18:19
eso es una recta, pues que tiene esta forma, se muestra en el 2, 00:18:23
perdón, me he confundido, quería decir esta forma, porque esto es negativo, 00:18:27
entonces aquí es positiva, aquí es negativa. 00:18:31
Bueno, aquí es positivo, aquí es negativo, aquí vale cero, aquí es creciente, aquí es decreciente y aquí por tanto es un máximo. 00:18:33
Y aquí ya se ve que es un máximo absoluto y ya está. 00:18:47
Entonces, ya tenemos que, resultado, bueno, como nos piden el valor, vamos a poner que c de 2 es igual a 2 por elevado a menos 2 medios, que es 2 elevado a menos 1, que es 2 partido por e. 00:18:50
Si lo calculamos, esto nos da 0,73576, por ejemplo, redondeando. 00:19:25
Bueno, pues ponemos el valor máximo, podemos poner 2 partido por E, o casi mejor, 0,73576. 00:19:37
Que eso es lo correcto porque nos quedamos a miligramos. Casi mejor ponemos directamente esto, miligramos por mililitro. Y se alcanza para T igual a 2. 00:19:51
ahora ya vamos a la segunda pregunta 00:20:15
sabiendo que la máxima concentración 00:20:19
sin peligro es de un miligramos por mililitro 00:20:21
señales en algún momento 00:20:24
el riesgo del paciente 00:20:26
pues no, no hay riesgo 00:20:27
porque nunca se alcanza 00:20:28
como CD2 es 0,73576 00:20:30
es menor que 1 00:20:36
y eso es el máximo 00:20:37
el máximo 00:20:39
es menor 00:20:41
que 1 00:20:43
no hay 00:20:44
riesgo 00:20:47
para el paciente, pues el valor máximo es menor que 1. 00:20:49
Y ya estaría resuelto. 00:21:07
Bien, aquí nos dicen directamente la variable y la función. 00:21:13
Tenemos unas medidas de un objeto, es lo que hay que comprender bien, 00:21:18
que se han tomado, una medida, otra, 00:21:22
y nos piden calcular con qué valor vamos a aproximar al objeto, 00:21:27
O sea, con estas medidas, ¿cuál sería el valor óptimo para calcular el objeto? 00:21:32
Entonces lo que vamos a buscar es el valor que minimice la función error, de hecho la función error cuadrático, que se llama así. 00:21:37
Bueno, pues un resultado conocido de la estadística es que ese valor va a ser la media de los valores. 00:21:44
Vamos a ponerlo como observación, para que luego nos quede. 00:21:49
Observación. La media, que es 0,92 más 0,94 más 0,89 más 0,90 más 0,91, todo ello entre 5, la suma da 4,56 y la media es 0,912. 00:21:53
Vamos a comprobar que ese va a ser el valor final que nos pide. Vamos a ponerlo como observación y vamos a hacerlo directamente. 00:22:13
Entonces, pues vamos a poner la función error, que es x menos la primera medida al cuadrado, más x menos la segunda medida al cuadrado, más x menos la tercera medida al cuadrado, más x menos la cuarta medida al cuadrado, más x menos la quinta medida al cuadrado. 00:22:24
Bueno, pues ahora hay que desarrollar esto 00:22:54
Es desarrollar cada cuadrado 00:22:57
Lo podemos hacer rápidamente 00:22:59
Esto es 00:23:01
Primero al cuadrado, menos dos veces el primero por el segundo 00:23:02
Que es 00:23:05
1,84x 00:23:07
Más 0,92 al cuadrado 00:23:09
Que es 0,8464 00:23:11
Más x al cuadrado 00:23:15
Menos 2 por 0,94 00:23:17
Que es 00:23:19
1,88 por x 00:23:21
más 0,94 al cuadrado 00:23:23
que es 0,8836 00:23:26
más x al cuadrado 00:23:30
menos 2 veces por 0,89 00:23:33
que es 1,78 por x 00:23:35
más 0,89 al cuadrado 00:23:38
que es 0,7921 00:23:41
más x al cuadrado 00:23:45
menos 2 veces 0,9 00:23:48
que es 1,8 por x 00:23:49
más 0,1 al cuadrado, que es 0,81, más x al cuadrado, menos dos veces 0,91, que es 1,82, más 0,91 al cuadrado, que es 0,8281. 00:23:52
Y hay que calcular lo que vale esta función. 00:24:14
Sumamos primero las 5x al cuadrado, y eso es 5x al cuadrado. 00:24:17
Ahora sumamos estos valores de la X y eso nos da menos 9,12X 00:24:24
Y ya los valores que nos quedan, que nos da la suma de 4,1602 00:24:35
Y esta es la función que hay que minimizar 00:24:45
derivamos 00:24:48
e' de x 00:24:49
que es 10x 00:24:52
menos 00:24:54
9,12 00:24:55
y eso es igual a 0 00:24:58
si y solo si 00:24:59
10x es igual a 00:25:01
9,12 00:25:03
si y solo si 00:25:05
x es igual a 9,12 00:25:07
partido por 10 00:25:09
que es 0,912 00:25:10
falta ver que es un mínimo 00:25:12
aunque bueno, si calculamos la derivada segunda 00:25:16
esto nos da 10 que es mayor que 0 00:25:19
por lo tanto es un mínimo relativo 00:25:24
y como hay un único mínimo relativo 00:25:25
porque es creciente fuera, pues ya se ve 00:25:32
sino también con, vamos a ver 00:25:34
de menos infinito hasta 0,912 00:25:36
0,912 00:25:39
y de 0,912 hasta infinito 00:25:42
tenemos aquí f' 00:25:46
la función es una recta que tiene esta forma 00:25:50
E' quiere decir, aquí es negativa, aquí es positiva, aquí vale 0, aquí es decreciente, aquí es creciente, por lo tanto es un mínimo. 00:25:58
Entonces, el valor de x es 0,92, 912, y ese es el resultado. 00:26:14
Porque, además de ser un mínimo relativo, es un mínimo absoluto. 00:26:44
Aquí está el nivel que es relativo. Podemos saber que menos 2, perdón, 0,912 es el mínimo absoluto. 00:26:49
Y ya está. Ya hemos resuelto el problema. 00:27:07
Aquí no hace falta calcular los extremos, aunque los límites sean más o menos infinito de e' de x, pues nos dan, en un caso, perdón, quería decir de f de x, 00:27:12
no nos va a dar infinito en ambos casos, quiero decir, es una parábola, ¿vale? 00:27:24
Pero bueno, ya viendo la forma de la función ya se ve que es un mínimo absoluto. 00:27:30
Bien, sigamos. 00:27:35
Pero bueno, si se quiere poner límite cuando x tiende a infinito de e de x es igual a infinito 00:27:40
y límite cuando x tiende a menos infinito de e de x es igual a infinito. 00:27:47
Sería otra forma de demostrarlo. 00:27:59
En fin, hay muchas formas de demostrarlo y todas son correctas. 00:28:02
podemos comprobar por último que en efecto el valor obtenido es el que obtuvimos con la media 00:28:07
de hecho, la demostración de que la media es el valor que minimiza el valor cuadrático 00:28:14
se realiza exactamente igual que hemos hecho esto 00:28:20
es decir, al tomar EDX como sumatorio de X menos cada medida MI al cuadrado 00:28:24
y desarrollando cada cuadrado, etc. 00:28:31
y sumando todos los números, solo que aplicando las propiedades de los sumatorios 00:28:36
pero igual que hemos hecho ahí, pues obtenemos un valor 00:28:40
que se puede derivar, y al derivarlo 00:28:43
se comproba fácilmente despejando que eso es igual a 0 00:28:48
si solo si x es la media 00:28:52
y de hecho también se comproba que la derivada segunda de x es un número 00:28:55
que es mayor que 0 y que por tanto esto es un mínimo 00:29:00
que al ser una parábola es un mínimo absoluto 00:29:05
podéis parar la grabación, leer bien el enunciado 00:29:09
y después o bien resolverlo y ver como lo resolvería yo 00:29:18
después o bien directamente escuchar la corrección 00:29:21
antes de nada una observación para entender bien el problema 00:29:24
esto no es parte del problema, es que tenemos un frasco 00:29:29
con 12 mililitros y una cantidad 00:29:32
X que no conocemos de alcohol 00:29:36
con esto nos dan, bueno la cantidad por supuesto que es 00:29:38
12 más X y el precio 00:29:43
del mililitro, el precio total 00:29:46
será el producto de los dos, podemos ponerlo 00:29:53
el precio total es igual al 00:29:58
precio del mililitro por la cantidad de mililitros. Y ahora ya podemos empezar el problema. 00:30:03
Determinar el precio de un frasco de perfume en el caso de que es igual a cero. Bueno, pues en este caso, 00:30:15
en que solo hay 12 mililitros, el precio sería 12 por el precio, que nos han dicho que es 48 euros en este caso, 00:30:19
Y esto nos da 576. Por lo tanto, ya tenemos el resultado. El resultado ya es que es 576 euros. 00:30:28
Vamos a la B. Es prestar en función de X el precio del frasco que contiene 12 más X mililitros. 00:30:39
Bueno, pues tenemos el precio por una parte del mililitro, que nos han dicho que es 48. 00:30:46
y luego por cada mililitro 00:30:52
se pierden 3 euros 00:30:56
como hay X mililitros 00:30:58
pues se pierden 3 euros por mililitro 00:30:59
menos 3X 00:31:00
y luego la cantidad de mililitros 00:31:01
que es 12 más X 00:31:05
por lo tanto el precio 00:31:09
es 48 menos 3X 00:31:11
el precio de mililitro 00:31:15
por la cantidad de mililitros 00:31:16
12 más X 00:31:18
realizamos este producto 00:31:19
48 por 12, que es 576, más 48x, menos 3x por 12, que es menos 36x, y ahora menos 3x al cuadrado. 00:31:20
Calculando esto nos da 576 más 12x menos 3x al cuadrado. 00:31:32
Ya tenemos el resultado de B. 00:31:39
B es 576 más 12x menos 3x al cuadrado, bueno, en euros. 00:31:42
El siguiente apartado no es más que una ecuación de segundo grado. Nos piden deducir para qué valor de la x el precio de la mezcla es cero. 00:31:48
Entonces hay que calcular cuándo 576 más 12x menos 3x cuadrado, esto es cero. 00:32:02
Naturalmente x es positivo. Hay que llegar una de las soluciones a dar positivo y otra negativa. Pues bueno, la positiva es la que valdrá. 00:32:09
Bueno, para realizar la ecuación del segundo grado queremos que el término en grado 2 sea positivo 00:32:19
Podemos pasar todo a la derecha, por ejemplo, multiplicarlo por menos 1 00:32:24
3x cuadrado menos 12x menos 576 es igual a 0 00:32:27
Por lo tanto, x es igual a menos b, 12, más menos raíz cuadrada de b cuadrado que es 144 00:32:33
Menos por menos más, más 4c, que es 3 por 576 por 4, que es 6912 00:32:42
todo ello entre 2 saque 6 00:32:53
12 más menos raíz cuadrada de 00:32:56
7.056 entre 6 00:32:59
12 más menos 84 entre 6 00:33:02
esto nos da por una parte 96 00:33:05
entre 6 que es 16 00:33:08
y por otra parte menos 72 00:33:10
entre 6 que es 00:33:12
menos 12 00:33:15
y esta solución no nos vale 00:33:17
por lo tanto la solución es fácil 00:33:20
C serían 16 mililitros 00:33:23
que es la cantidad 00:33:28
o si queréis X igual a 16 00:33:28
que es lo que nos pide 00:33:33
bien 00:33:34
de hecho como nos pide el valor de X 00:33:39
se puede incluso poner X igual a 16 00:33:41
porque no nos están diciendo que se ponga con la unidad 00:33:43
pero bueno lo pongo entre paréntesis y ya está 00:33:45
sin tener en cuenta otros costes 00:33:48
determina el valor de X 00:33:51
para el que sostiene el fresco perfume 00:33:52
de precio máximo 00:33:54
Bueno, pues eso ya es maximizar la función. Tenemos el precio, el precio de x, que es 576 más 12x menos 3x cuadrado, la derivada es 12 menos 6x, y eso es igual a 0, si, solo si, 6x es igual a 12, si, solo si, x es igual a 12 sextos, que es 2. 00:33:55
Con lo cual es una cantidad pequeña, 2 mililitros. 00:34:27
Bueno, una observación es que esto es una parábola, realmente, donde esto es negativo, ya sabemos que tiene esta forma. 00:34:31
Con decir que es una parábola invertida o una parábola con esta forma, ya se sabría que es el máximo absoluto. 00:34:39
También se puede saber, porque la derivada segunda es igual a menos 6, que es menor que 0, luego es un máximo relativo. 00:34:47
Entonces podéis poner que esto es un máximo relativo, y si escribís como p de x es una parábola, 2 es un máximo absoluto, y ya estaría, no había que hacer más. 00:34:59
bueno, sí, lo supondría el resultado final 00:35:29
pero ya estaría justificado que es un máximo absoluto 00:35:34
también se puede hacer lo siguiente 00:35:37
la tabla, por supuesto 00:35:39
tenemos pues 00:35:41
de menos infinito 00:35:45
hasta 6 00:35:50
perdón, hasta 2 00:35:53
el 2 00:35:54
y de 2 a infinito 00:35:55
bueno, pues aquí 00:35:57
f' es positivo 00:35:59
aquí es negativo 00:36:03
se puede ver también, viendo que es una recta 00:36:04
componente negativa, que tiene esta forma. 00:36:09
Por lo tanto, aquí es creciente, aquí es decreciente, por lo tanto, es un máximo. 00:36:16
Aquí es 0, creciente, decreciente. 00:36:21
Una observación es que sería más correcto decir que la x va de 0 hasta 2, 00:36:26
y hasta que el pedido sea positivo, es decir, de 2 hasta 16. 00:36:32
pero 00:36:38
indicar a calcular el máximo 00:36:40
tampoco es imprescindible 00:36:44
porque 00:36:45
si el 2 es un máximo 00:36:46
de la función entre menos infinito e infinito 00:36:49
también absoluto quiero decir 00:36:51
pues con más razón va a ser un 00:36:53
más absoluto si restringimos 00:36:55
el intervalo 00:36:58
de 2 al 16, bueno, los dejo cerrados 00:36:59
pero bueno 00:37:02
también se puede con infinito 00:37:05
entonces ya tenemos viendo la gráfica que 00:37:07
2 es un máximo 00:37:10
absoluto 00:37:14
y ya lo siguiente sería por ejemplo calcular los extremos 00:37:16
más menos infinito y ver que el límite es menos infinito 00:37:20
y también funciona, o sea que ver que el límite cuando x 00:37:24
o de otro color para que se vea que es un argumento diferente 00:37:26
límite cuando x tiende a más menos infinito 00:37:29
de p de x 00:37:33
es menos infinito 00:37:35
y luego tenemos que 00:37:37
calculamos P de 2 00:37:39
que además no lo van a pedir 00:37:41
lo vamos a poner 00:37:44
¿cuánto vale P de 2? 00:37:46
pues 576 00:37:48
menos 00:37:50
12 por 2 00:37:51
perdón, más 24 00:37:52
menos 3 por 4, 12 00:37:54
y esto es 00:37:56
igual a 00:37:58
588 00:38:00
Pues P2 es 588 00:38:07
Y aquí tenemos nuevamente que 2 es un máximo absoluto 00:38:10
Bueno, pues hemos demostrado de tres formas diferentes que es un máximo absoluto 00:38:18
Las tres son correctas 00:38:21
Vamos a resolver el problema final 00:38:22
C. Indicar la capacidad del frasco 00:38:25
Bueno, la capacidad del frasco 00:38:29
Me falta poner eso 00:38:31
La capacidad del frasco es 12 más X, los 12 mililitros de la sustancia, más los dos, es 12 más 2, que es 14. 00:38:34
Pues B, la capacidad es 14 mililitros y el precio, lo que vamos a calcular, 588 mililitros. 00:38:51
Y esto es el resultado final. Bueno, basta de. Y ya está. 00:39:03
Igual que antes, podéis parar la grabación, leer bien el enunciado, después intentarlo vosotros, o bien mirar directamente la corrección. 00:39:14
Este programa tiene tres apartados. El tercero es un integral, de la que ya hablaremos. 00:39:28
el segundo apartado es propiamente el problema de optimización 00:39:33
ya que, dada esta función, nos piden el momento en el que alcanza el valor máximo 00:39:40
hay que buscar el valor máximo 00:39:46
como esta función está definida en un intervalo 00:39:47
pues además de derivar habrá que calcular los valores en los extremos del intervalo 00:39:51
bien, por último, el apartado A en el fondo es 00:39:57
mirar si entendemos bien el enunciado 00:40:04
y es lo que vamos a hacer ahora 00:40:05
A ver, ¿cuál es la función T? 00:40:07
Es una función continua que va de 0 a 30 y que recorre los 30 días del mes de abril 00:40:11
Pero es continua, lo cual quiere decir que en el momento 0 estaríamos en el 1 de abril a las 0 horas 00:40:18
En el momento 1 estaríamos en el 1 de abril a las 24 horas 00:40:26
Que obviamente coincide con el 2 de abril a las 0 horas 00:40:34
Y así sucesivamente. En el 30 de abril, pues en el 29 tendríamos el 29 de abril a las 24 horas y también el 30 de abril a las 12, perdón, quería poner a las 0 horas hasta el final que es el 30 de abril a las 24 horas. 00:40:39
Bueno, pues ya sabiendo eso, podemos calcular para qué valor de t tenemos las 12 horas el 10 de abril. 00:41:03
Entonces, evidentemente, pues aquí tenemos el 9, aquí el 10. 00:41:16
Con todo esto que hemos dicho, ¿qué sería el 9? 00:41:20
El 9 es el 10 de abril a las 0 horas. 00:41:23
Y el número 10, t igual a 10, es el 10 de abril a las 24 horas. 00:41:27
Por lo tanto, a la mitad, que es el 10 de abril, a las 12 horas, tenemos el valor 9,5. 00:41:32
Bueno, pues bastaría con poner t igual a 9,5. 00:41:43
Y ahora tendríamos que c de t... 00:41:49
Voy a escribir la fórmula, no haría falta hacerlo, lo voy a hacer porque estoy explicando. 00:41:51
Bastería componer c de 9,5 y poner el valor en la calculadora. 00:41:56
Lo escribo por sobre explicación, incluso en otro color para que se vea que no es necesario. 00:42:03
Y ya está. 00:42:08
80 menos 6 por 9,5 más 23 por 9,5 al cuadrado entre 20 menos 9,5 al cubo partido por 30. 00:42:09
Calculamos esto y nos da 98,20833, por ejemplo. 00:42:21
Bueno, pues entonces el resultado de la A sería 98,20833 miligramos por metro cúbico. 00:42:32
Veamos ahora el apartado B. 00:42:48
Tenemos que calcular el máximo de esta función. 00:42:50
C de t es igual a 80 menos 6t más 23t cuadrado entre 20 menos t cubo partido por 30. 00:42:53
Su derivada es c prima de t, que es menos 6 más 23 por 2t entre 20 menos 3t cuadrado entre 30. 00:43:07
de paso que es lípico voy a ordenarlo 00:43:21
primero esto 00:43:23
simplificado es menos t cuadrado partido por 10 00:43:25
ahora esto de aquí 00:43:29
simplificado es más 23t partido por 10 00:43:30
y ahora el menos 6 00:43:35
y eso es igual a 0 00:43:37
así solo si multiplicamos todo por menos 10 00:43:39
para quitar denominadores y a la vez 00:43:42
que el término con t cuadrado tenga signo positivo 00:43:44
y esto es t cuadrado menos 23t más 60 00:43:48
y eso es igual a cero, si solo si 00:43:54
t es igual a 23 más menos la raíz cuadrada b cuadrado que es 576 00:43:56
menos 4ac que es 240 entre 2 00:44:05
eso es 23 más menos la raíz cuadrada de 289 entre 2 00:44:09
eso es 23 más menos 17 entre 2 00:44:15
eso es 40 entre 2 que es 20 00:44:19
la suma y la resta es 23 menos 7 que es 6 00:44:21
6 entre 2 es 3 00:44:24
de modo que hay dos valores donde la derivada se anula 00:44:26
un método muy rápido es calcular los valores 00:44:30
de la función en esos dos valores 00:44:35
y en los dos extremos 00:44:38
calcular c de 0 00:44:41
c de 3 00:44:44
CD20 y CD30 00:44:47
CD0 nos da 80 00:44:53
CD3 nos da 71,45 00:44:58
CD20 nos da 153,3 periodo 00:45:04
Bueno, vamos a ver con 233 00:45:10
Por ejemplo, redondeando 00:45:12
5 decimales ya que aquí tenemos 5 también 00:45:14
Y CD30 es 35 00:45:18
de modo que aquí el mínimo absoluto 00:45:22
se alcanzaría en el 30 00:45:25
y el máximo absoluto en el 20 00:45:26
con lo cual 00:45:29
con esto ya estaría el problema 00:45:34
también se puede calcular 00:45:37
entonces 00:45:38
el nivel máximo 00:45:40
se alcanzó 00:45:49
el día 20 00:45:53
el 20 de abril 00:45:56
a las 24 horas 00:45:59
y el nivel máximo 00:46:02
de NO2 00:46:08
fue de 153, 00:46:13
y ya tendríamos 00:46:17
este apartado resuelto. 00:46:23
Realicemos el último apartado. 00:46:31
Esa es la función promedio. 00:46:36
No es raro. 00:46:37
A ver si 00:46:38
tuviéramos 30 datos, 00:46:39
¿qué tendríamos como promedio? 00:46:43
Pues el sumatorio de C 00:46:44
de T sub i 00:46:46
entre 1 y 30, 00:46:47
todo ello entre 30. 00:46:51
Bueno, pues esto, pasando de forma continua y haciendo límites, sería la integral de CDT entre 0 y 30, también dividido entre la longitud del intervalo, que es 30. 00:46:52
O sea, esto no es raro. Eso es una observación, ¿vale? 00:47:07
Bueno, pues vamos a calcularlo. Nos piden calcular 1 partido por 30 por la integral entre 0 y 30 de CDT, que es 80 menos 6T más 23T cuadrado entre 20 menos T al cubo partido por 30. 00:47:10
Y eso es 1 partido por 30, abrimos el corchete, hacemos la integral, 80t menos 6t cuadrado partido por 2, que es 3t cuadrado, más 23t al cubo partido por 20 por 3, 60, menos t a la 4, entre 30 por 4, 120. 00:47:36
Es un integral elemental, solo que hay que calcularla. 00:48:06
Todo ello entre 0 y 30. 00:48:11
Como estamos explicando, voy a poner todos los detalles, pero el siguiente paso no es necesario. 00:48:14
Bueno, falta el 1 partido por 30. 00:48:20
Ya tendríamos 80 por 30 menos 3 por 30 al cuadrado al cuadrado, 00:48:24
más 23 por 30 al cubo partido por 60 00:48:33
menos 30 a la 4 00:48:39
partido por 120 00:48:41
y luego menos 00:48:44
bueno, si así que sea 0 cuatro veces 00:48:46
menos 0 00:48:48
y eso nos da 00:48:50
1 partido por 30 00:48:53
3.300 menos 0 00:48:58
que eso es lo que se podría poner directamente 00:49:02
pasando de aquí hasta aquí 00:49:04
y eso nos da como resultado 00:49:06
110 00:49:11
entonces podemos como resultado 00:49:15
el promedio es 00:49:18
110 miligramos por metro cúbico 00:49:26
podéis poner la grabación 00:49:30
y después leer bien enunciado 00:49:40
y luego ya pues intentar resolverlo por vuestra cuenta 00:49:44
o bien escuchar directamente la corrección 00:49:47
tenemos dos apartados, el segundo es probablemente 00:49:50
el de optimización, y el primero es un cálculo necesario para realizar el segundo. 00:49:55
Nos piden calcular la altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide X. 00:50:01
Podemos dibujarlo. Esta es la altura, esto es X, y esto es X medios. 00:50:08
Una forma de hacerlo es utilizar el torneo de Pitágoras, es decir, que el cuadrado de la hipotenusa, 00:50:17
la potencia es x, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, esto es h al cuadrado más x medios al cuadrado. 00:50:26
Por lo tanto solo hay que despejar h al cuadrado. 00:50:42
Tenemos que h al cuadrado es igual a x al cuadrado menos x medios al cuadrado, esto es x al cuadrado menos x al cuadrado partido por 4, 00:50:48
Y esto es 4x cuadrado menos x cuadrado partido por 4, que es 3x cuadrado entre 4. 00:50:57
Por lo tanto, h es la raíz cuadrada de 3x cuadrado entre 4, que es la raíz cuadrada de 3 partido por 2, x. 00:51:05
Y ya está. 00:51:15
Tendríamos como resultado que la altura es la raíz cuadrada de 3 partido por 2 por x. 00:51:17
En metros, claro está. 00:51:31
Otra forma de hacerlo sería la siguiente. 00:51:34
Bueno, sabemos que la suma de los tres ángulos de un triángulo son 180 grados, 00:51:38
entonces la del equilátero será 180 partido por 3, que es 60. 00:51:43
Como 180 grados es pi, pues 60 grados son pi tercios de radian, la tercera parte de 180. 00:51:48
Entonces, otra opción es que si tenemos aquí este triángulo 00:51:59
Y son 60 grados, o pi tercios 00:52:07
Esos X es la altura, entonces H partido por X es el seno de 60 00:52:11
Por lo tanto, H es X por el seno de 60 00:52:21
Y en la calculadora tenéis que el seno de 60 es 0,866 00:52:28
Si no os acordáis que es el cuadrado de 3 partido por 2 00:52:36
Podéis hacer un truco y es el siguiente 00:52:44
¿Cómo resulta que este valor que vamos a llamar de u? 00:52:49
De acuerdo, sabemos que hay que descuadrar el promedio 00:52:56
Si cogéis el valor de la calculadora y lo eleváis al cuadrado 00:52:58
ponéis u cuadrado es igual a 0,866 etcétera al cuadrado os va a dar 0.75 de ese modo es 0.75 00:53:02
raíz cuadrada la red cuadrada de tres cuartos que raíz cuadrada de 3 partido por 2 si alguna 00:53:17
vez necesitáis este valor eso es un truco para conseguirlo con la calculadora bueno sigamos 00:53:24
El apartado A ya está, vamos con el apartado B. 00:53:30
Podemos ver que la figura contiene cuatro trozos de longitud X y hay dos trozos más con una longitud diferente que podemos decir que tiene longitud Y. 00:53:36
En total, suman las x son 4x, y hay dos y y son 10 metros. 00:53:57
En el enunciado nos dice que hay que determinar cómo se debe cortar la barra. 00:54:08
Es decir, en el fondo es decir, la longitud de la x y de la y. 00:54:17
Diciendo que hay cuatro barras de tal longitud y tras dos barras está toda la longitud. 00:54:21
Y hay que calcular las X y las Y de modo que el área total sea máxima. 00:54:28
Lo primero que hacemos es calcular el valor de Y en función de X, lo sabemos por esta ecuación. 00:54:36
Porque la longitud total son 10 metros, hemos dicho. 00:54:42
Así que 2Y es 10 menos 4X. 00:54:46
Y es igual a 10 menos 4X entre 2, que es 5 menos 2X. 00:54:50
Así pues, esto es 5 menos 2X. 00:54:56
Y con esto podemos calcular el área total. El área será el área del triángulo, hemos visto que la altura es raíz cuadrada de 3 partido por 2 por x, y como el área de un triángulo es base, que es x, por altura, raíz cuadrada de 3 partido por 2x, entre 2, 00:55:00
Y el rectángulo tiene como área, base por altura, la base es x, la altura es la y, que es 5 menos 2x, y calculando tenemos x por x, x cuadrado, x raíz de 3 partido por 4, más 5x menos 2x al cuadrado. 00:55:25
Y esto es igual a 5x menos, bueno, más raíz de 3 partido por 4 menos 2. 00:55:52
De hecho podemos poner, vamos a ponerlo, el área como a de x, una función que depende de x. 00:56:14
Aquí falta un x al cuadrado, que he olvidado. 00:56:25
Y esto podemos dejarlo de forma más sencilla poniendo que esto es 5x más raíz cuadrada de 3 menos 8 entre 4 por x al cuadrado. 00:56:27
Entonces daríamos A' de X es igual a 5 más la raíz cuadrada de 3 menos 8 partido por 4 por 2X y esto es 5 más la raíz cuadrada de 3 menos 8 entre 2 por X. 00:56:43
Y esto es igual a 0, si solo si, raíz cuadrada de 3 menos 8 partido por 2 es igual a, perdón, por x es igual a 5, a menos 5. 00:57:02
si multiplicamos todo por menos 1 00:57:20
tenemos aquí 8 menos raíz cuadrada de 3 00:57:23
aquí partido por 2, x es igual a 5 00:57:28
si solo si, x es igual a 5 por 2 entre 8 menos raíz de 3 00:57:32
si solo si, racionalizando 00:57:39
eso es 10 entre 8 menos raíz de 3 00:57:46
racionalizamos, arriba y abajo, 8 más raíz de 3 00:57:50
8 más raíz de 3 00:57:52
Y esto nos da 00:57:54
80 más 10 raíz de 3 00:57:56
Entre 8 por 8 00:57:59
64 menos 3 00:58:02
Y esto es 00:58:04
8 más 10 raíz de 3 00:58:06
Entre 61 00:58:08
Y este valor 00:58:10
Y esto es un máximo 00:58:16
Pues 00:58:19
A' de X 00:58:23
Es igual a 00:58:24
Raíz de 3 menos 8 partido por 00:58:28
2, que es menor que 0. Además, es un máximo absoluto, ya que ADX es una parábola, o una 00:58:30
función cuadrática. Parábola porque os podéis acordar mejor, pero lo más correcto sería 00:58:55
decir una función cuadrática. Y con esto ya tenemos demostrado que es un máximo, con 00:59:04
Con lo cual, tenemos x, nos faltaría calcular y, y es 5 menos 2x, que es 5 menos 2 veces 8 más 10 raíz de 3 partido por 61, 00:59:15
que sería 5 menos 16 más 20 raíz de 3 partido por 61, y eso es 305 menos 16 más, perdón, menos 20 raíz de 3 partido por 61, 00:59:36
que es 289 menos 20 raíz de 3 entre 61. 01:00:03
Por lo tanto, el resultado sería 01:00:14
hay que cortar la barra en 4 trozos 01:00:17
de longitud 8 más 10 raíz de 3 partido por 61 01:00:30
y 2 de 29 menos 20 raíz de 3 partido por 61. 01:00:41
Bueno, esa sería la forma de ponerlo. 01:00:48
Si se quiere poner el ejercicio con datos exactos, otra opción sería, si hay poca falta de tiempo puede ser buena idea, tomar el valor del seno del ángulo tal como lo tenemos así, ir calculando y obtener los valores, pues, números exactos. 01:00:50
que en este caso serían 01:01:13
vamos a escribirlo con los valores que nos darían exactos 01:01:15
hay que cortar la barra 01:01:20
en 4 trozos de longitud 01:01:27
0,415 01:01:33
y 2 trozos de longitud 01:01:38
ah, me falta aquí metros 01:01:50
4,17 metros 01:01:53
bueno, aquí también me faltan los metros 01:02:02
y aquí los metros 01:02:04
y también se podría hacer así 01:02:05
en este caso no tendréis que calcular esta fórmula 01:02:10
ponéis directamente el valor del seno 01:02:13
lo que os da de 60 01:02:15
y ya está 01:02:18
nuevamente podéis parar la grabación 01:02:19
leer bien el enunciado 01:02:24
y después intentadlo vosotros 01:02:25
o directamente escuchar la solución 01:02:27
corregimos 01:02:29
de toda esta parte del enunciado 01:02:32
lo importante es 01:02:35
que el huerto es un rectángulo de 72 metros cuadrados 01:02:39
esto es, tenemos aquí un rectángulo 01:02:45
donde el área es 72 01:02:48
luego nos dicen que el área está dividida en dos partes 01:02:52
y una de ellas es un rectángulo interior 01:02:58
donde los lados de arriba están 01:03:01
grandes, están a una distancia de 0,5 01:03:08
y los lados cortos están a una distancia de 1 01:03:13
bueno, además lo primero que nos piden son las dimensiones del huerto 01:03:22
con lo cual lo lógico es que las variables que vamos a poner x e y 01:03:31
sean los lados del huerto 01:03:34
entonces los lados del huerto pequeño 01:03:39
pues esta distancia de aquí sería pues 01:03:44
y menos por una parte aquí 0.5 de aquí y 0.5 de aquí 01:03:52
que es y menos 1, y esta parte de aquí sería x menos 2. 01:03:58
Bien, sigamos. Vamos siguiendo con los datos. 01:04:07
Era 72, tenemos la x y la y, pues sabemos que x por y vale 72, 01:04:15
por lo que es lo mismo, y es igual a 72 partido por x. 01:04:23
Y luego la función que nos interesa, aquí hemos cogido ya el área, 01:04:30
Bueno, le podemos llamar también F, total. 01:04:34
El área de la parte pequeña, esta es la parte de hortalizas, ¿no? 01:04:38
Esta es la parte de flores, etc. 01:04:47
Bueno, pues el área de la zona de hortalizas, vamos a llamarle F de X, 01:04:51
es el área del rectángulo pequeño, que es base por altura, 01:04:59
Y esto es igual a X menos 2 multiplicado por 72 partido por X menos 1. 01:05:06
Y realizando el producto, X por 72 partido por X, eso es 72, menos X, menos 144 partido por X, más 2. 01:05:16
Y esto es igual a 74 menos x menos 144 partido por x. 01:05:33
La derivada de f sería la derivada de esto, que es menos 1. 01:05:50
Y ahora ya la derivada de esto, que sería menos 144 por la derivada de 1 entre x, que es menos 1 entre x al cuadrado. 01:06:03
Si nos acordáis, pues si g de x es x a la menos 1 01:06:11
g' de x es menos x a la menos 2 01:06:17
que es menos 1 entre x al cuadrado 01:06:22
Y esto nos da menos 1 menos por menos más 01:06:23
144 entre x al cuadrado 01:06:28
Eso es igual a 0, si y solo si 01:06:30
144 partido por x al cuadrado es igual a 1 01:06:37
si y solo si 01:06:42
144 es igual a x al cuadrado 01:06:43
si, solo si 01:06:46
x es la raíz cuadrada de 144 01:06:47
bueno, sería más menos 01:06:50
pero como tomamos la positiva 01:06:52
porque la negativa no la tomamos porque son distancias 01:06:56
sería la positiva 01:06:58
sería la raíz cuadrada de 144 que es 12 01:07:01
vamos a borrar esto 01:07:10
porque aquí se sobrevive por el contexto 01:07:14
Nos falta probar que es un máximo 01:07:17
Aquí lo más sencillo es con la tabla 01:07:20
Tenemos el intervalo desde 0 sin incluir 01:07:23
Porque nuestra definida funciona en el 0 01:07:37
Hasta el 12, en el 12 y del 12 al infinito 01:07:39
Solo cantemos los positivos 01:07:44
Aquí tenemos f' y aquí tenemos f 01:07:49
La derivada ha sido 0 01:07:54
Como cogemos un valor cualquiera 01:07:58
Por ejemplo el 1 01:08:01
Y el valor en el 1 01:08:02
sería menos 1 más 144, que es 01:08:05
143. Aquí es positiva, por lo tanto 01:08:09
aquí la función es creciente. Cogemos aquí un valor 01:08:13
por ejemplo el 20, y si en el calculador 01:08:17
cogemos menos 1 más 144 entre 20 al cuadrado 01:08:26
nos da menos 0,64 01:08:31
y esto es negativo. Por lo tanto 01:08:34
Aquí es decreciente. Por tanto, esto es un máximo. Entonces, 12 es un máximo absoluto de f en 0, infinito. 01:08:38
Entonces, ¿cuáles son las dimensiones? Las dimensiones serían x, que es 12, e y, que es 72 partido por 12, que es 6. 01:09:02
Y bueno, pues efectivamente I es el lado menor, aquí coincide con el enunciado, es todo correcto. 01:09:15
Podría ocurrir que nos dicen que I no fuese el lado menor y que el problema estuviera mal hecho. 01:09:22
Entonces ponemos el resultado, las dimensiones o directamente el huerto. 01:09:28
tenemos A, pues serían 01:09:37
el largo son 12 metros 01:09:43
y el ancho son 6 metros 01:09:47
B, calcule el área de la zona de cultivo de hortalizas, bueno, pues eso es muy sencillo 01:09:51
el triángulo más pequeño 01:09:58
tenía una longitud aquí de X menos 2 y aquí Y menos 1 01:10:01
X menos 2 es 12 menos 2 01:10:05
que es 10, y menos 1 es 6 menos 1, que es 5, el área sería 10 por 5, que es 50. 01:10:08
Pues ponemos B, 50 metros cuadrados. También se podría calcular directamente con esta fórmula, 01:10:22
Por supuesto, haríamos 74 menos 12 menos 144 entre 12, que sería f de 12, y nos da 74 menos 12 menos 12, que es 74 menos 24, que es 50. 01:10:32
Es otra forma de hacerlo. 01:10:54
De hecho, sería incluso más rápido hacerlo así porque no hay que volver a hacer cálculos. 01:10:56
Pues ya hemos terminado. 01:11:00
Materias:
Matemáticas
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Jesús Pascual M.
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9 de julio de 2024 - 18:02
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IES LA ESTRELLA
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