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FU2. 4 Funciones exponenciales. Ejercicio 7 resuelto - Contenido educativo

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Subido el 17 de noviembre de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:15
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:20
de la unidad FU2 dedicada a las funciones elementales y definidas a trozos. 00:00:25
En la videoclase de hoy estudiaremos las funciones exponenciales. 00:00:31
En esta videoclase vamos a estudiar las funciones exponenciales, son aquellas que en su expresión 00:00:40
algebraica contienen la variable independiente en el exponente de una potencia. Nosotros vamos 00:00:53
a estudiar las funciones exponenciales en su forma más sencilla que van a tomar la forma f de x igual 00:00:58
a la base numérica a elevada a x menos x0 y aquí está x es la variable independiente que mencionaba 00:01:03
hace un momento más un valor constante y sub cero. x0 e y0 van a ser valores numéricos relevantes a 00:01:09
la hora de representar gráficamente la función y asimismo también van a ser relevantes a la hora 00:01:17
de, a partir de la representación gráfica, buscar cuál es la expresión algebraica que 00:01:22
le corresponde. En lo que respecta a la base, a es un valor numérico positivo distinto 00:01:27
de 1 y nosotros distinguiremos, puesto que va a ser importante, valores de a comprendidos 00:01:33
en el intervalo 0, 1 y valores de a comprendidos en el intervalo de 1 a más infinito. La representación 00:01:38
gráfica dependerá fundamentalmente de la base y de hecho dependerá de si la base está 00:01:44
entre 0 y 1 o bien toma un valor mayor que 1. El dominio de todas las funciones exponenciales es 00:01:48
toda la recta real. La imagen va a ser aquellos valores comprendidos entre y 0 y más infinito 00:01:54
con ambos extremos abiertos. En lo que respecta a los puntos de corte con los ejes, habrá punto de 00:01:59
corte con el eje de las x en la abscisa que se calcula de esta manera, en esencia, igualando la 00:02:05
función a 0. Fijaos en que dada la definición de esta abscisa, aquí tenemos logaritmo de menos y 00:02:10
sub cero, esto sólo tiene sentido si y sub cero es negativo. En cuanto al punto de corte con el eje 00:02:16
de las y siempre existirá y se determina la ordenada sin más que calcular el valor numérico 00:02:22
f de cero, que por supuesto pertenece al dominio puesto que es toda la recta real. En lo que 00:02:28
respecta a la monotonía, dependiendo de la base, si se encuentra en el intervalo 0, 1 o en el 00:02:33
intervalo 1 a más infinito, será monótona decreciente, en el primer caso, monótona creciente 00:02:37
en el segundo. Las funciones exponenciales no tienen estemos relativos, todas ellas con 00:02:42
independencia de la base van a ser convexas en todo su dominio, en toda la recta real, 00:02:48
y no tienen puntos de inflexión. En cuanto a asíntotas, únicamente tienen asíntota 00:02:52
horizontal y únicamente en uno de los dos límites x tendo a más infinito o a menos 00:02:59
infinito. La ecuación de la asíntota horizontal es y igual a y sub cero y cuando la base toma 00:03:03
valores entre 0 y 1, este y igual a y sub 0 ejerce el papel de asíntota horizontal en el límite cuando 00:03:09
x tiende a más infinito, mientras que si a toma valores entre 1 y más infinito, en ese caso tomará 00:03:16
el papel de asíntota horizontal únicamente cuando x tiende a menos infinito. Las funciones exponenciales 00:03:21
son continuas en toda la recta real, en todo su dominio, y no presentan ningún tipo de simetría. 00:03:28
A continuación vamos a estudiar un par de ejemplos. En este ejercicio se nos pide que 00:03:33
estudiemos en primer lugar la función adx igual a 3 elevado a x más 1 menos 4 y posteriormente 00:03:38
estudiaremos la función bdx igual a un medio elevado a x menos 1 menos 3. Comenzamos con la 00:03:45
función adx en la cual identificamos la base que es 3, un número mayor que 1. x0 es menos 1, 00:03:51
Pues lo que esperamos encontrar en el exponente x menos x0 y x menos menos 1 es igual a este x más 1 que vemos aquí. 00:03:59
Y por último, y sub 0 es este valor menos 4. 00:04:06
Con las características que hemos visto anteriormente ya tenemos un montón de información. 00:04:10
Sabemos que el dominio va a ser toda la recta real, es algo que ocurre en todas las funciones exponenciales. 00:04:14
La imagen va a ser el intervalo desde y sub 0, que es menos 4, hasta más infinito, el intervalo con los dos extremos abiertos. 00:04:19
Podemos determinar algebraicamente los puntos de corte con los ejes. 00:04:27
El punto de corte con el eje de las y se va a determinar calculando el valor numérico a de 0. 00:04:31
Calcularíamos 3 elevado a 0 más 1, es 3 elevado a 1, 3, menos 4, tenemos el valor menos 1. 00:04:37
Y aquí tenemos el primer punto, 0 menos 1. 00:04:43
En cuanto al punto de corte con el eje de las x, lo determinaremos resolviendo la ecuación adx igual a 0. 00:04:47
Y resolviendo la ecuación obtenemos para x el valor logaritmo en base 3 de 4 menos 1. 00:04:52
Ese es un valor real, que la calculadora sabe, no nos puede decir cuánto vale, 00:04:58
y entonces aquí tenemos este segundo punto, logaritmo en base 3 de 4 menos 1,0. 00:05:02
Dado que la base es mayor que 1, sabemos que es una función creciente en todo su dominio, creciente en toda la recta real. 00:05:07
Todas las funciones exponenciales son convexas en todo su dominio, en toda la recta real. 00:05:14
No va a haber extremos relativos, no va a haber puntos de inflexión. 00:05:19
El valor y0, en este caso y igual a menos 4, va a ser asíntota horizontal de la función y, dado que la base es mayor que 1, va a ser asíntota horizontal en el límite cuando x tendría menos infinito. 00:05:23
Y todas las funciones exponenciales van a ser continuas en toda la recta real. 00:05:35
No mencionamos las simetrias, puesto que no son funciones simétricas. 00:05:39
Con esto, con esta información que tenemos aquí, ya podemos hacer una buena representación de la función. 00:05:43
Podremos añadir más información un poco más adelante, pero de momento ya podemos hacer una buena representación. 00:05:49
Fijaos, lo que he hecho ha sido pintar la asíntota horizontal, la recta, y igual a menos 4. 00:05:55
Y también he representado los puntos de corte con los ejes, el punto 0, menos 1, que estaría aquí, 00:06:00
y el punto logaritmo base 3 de 4, menos 1, coma 0, que sería este que tenemos en este otro punto. 00:06:05
¿Cómo podríamos representar la función? 00:06:12
Bien, pues contándonos a nosotros mismos la historia de cómo se representa, 00:06:14
comenzando por el límite x tendiendo a menos infinito a la izquierda del todo 00:06:18
y yendo hacia la derecha hacia el límite x tendiendo a más infinito. 00:06:22
En el límite x tendiendo a menos infinito, y igual a menos 4 es asíntota horizontal 00:06:26
y la función es monótona creciente. 00:06:31
Así que pintaremos la función despegándose hacia arriba de la asíntota, 00:06:33
acercándose infinitamente pero sin llegar a tocarla. 00:06:38
pintamos una función que se despega de la asíntota monótona creciente hacia arriba y vamos a hacer 00:06:40
que pase por los dos puntos de corte que nosotros habíamos determinado anteriormente y a partir de 00:06:46
aquí es una función monótona creciente pues bien una rama hacia arriba tendiendo hacia más infinito 00:06:50
conforme x se va aproximando hacia más infinito nos va a quedar una curva bastante aproximada a 00:06:57
esta que tenemos aquí en cuanto a la función b de x podemos operar de forma análoga en este caso 00:07:02
nos damos cuenta de que la base es un medio, 0,5, es un valor comprendido entre 0 y 1. En cuanto a 00:07:10
x0 es este valor 1 que vemos aquí e y0 es este valor menos 3 que tenemos aquí. El dominio de 00:07:16
las funciones exponenciales es toda la recta real. La imagen es el intervalo comprendido entre y0, 00:07:23
que en este caso es menos 3 y más infinito, ambos extremos abiertos. Los puntos de acorde con los 00:07:28
ejes se pueden determinar. El punto de acorde con el eje de las y es calculando el valor numérico 00:07:33
b de 0, tendríamos que calcular un medio elevado a 0 menos 1, sería un medio elevado a menos 1 que 00:07:38
es 2 menos 3 que sería menos 1 y aquí tenemos el punto de corte 0 menos 1. En cuanto al punto de 00:07:45
corte con el eje de las x lo que vamos a hacer es resolver la ecuación b de x igual a 0. Si 00:07:52
resolvemos esta ecuación obtenemos el valor para x 1 menos logaritmo en base 2 de 3 y entonces 00:07:57
tenemos el punto 1 menos logaritmo más el 2 de 3 coma 0. Puesto que la base está comprendida entre 00:08:03
0 y 1, va a ser una función monótona decreciente en todo su dominio, en toda la recta real. Todas 00:08:10
las funciones exponenciales son convexas en todo su dominio, no tienen extremos relativos, no tienen 00:08:15
puntos de inflexión. El valor y igual a menos 3 va a ser asíntota horizontal de la función y, dado 00:08:20
que la base está comprendida entre 0 y 1, lo va a ser en el límite cuando x tiende a más infinito. 00:08:27
Y por último sabemos que es una función continua en todo su dominio, en toda la recta real y que no va a tener ningún tipo de simetría. 00:08:32
Igual que ocurría con la función a, esta información es suficiente, aunque no va a ser la única de la que dispongamos, para poder representar gráficamente las funciones. 00:08:38
En este caso vamos a hacer algo similar. Vamos a representar la asíntota horizontal, que en este caso es i igual a menos 3. 00:08:47
Vamos a representar los puntos de corte con los ejes. El punto 0 menos 1 que estaría aquí. 00:08:54
y el punto 1 menos logaritmo en base a 2 de 3,0 que estaría aquí. 00:08:58
¿Cómo pintamos una función? 00:09:04
Es una función monótona decreciente y que en el límite cuando x tiende a más infinito 00:09:06
se va a ir aproximando infinitamente siendo decreciente hacia la asíndota horizontal 00:09:11
y igual a menos 3. Se va a ir pegando a ella aproximándose infinitamente pero sin llegar a tocarla. 00:09:16
La única forma en la que podemos hacer eso es pintando una curva que 00:09:22
proviniendo desde más infinito cuando x tiende a menos infinito sea decreciente, vamos a hacerla 00:09:26
pasar por los dos puntos de corte y lo que vamos a hacer es curvarla para que sea próxima al 00:09:32
asíntota horizontal en el límite en el que x tiende a más infinito y obtenemos una curva como 00:09:37
esta. Fijaos en un detalle, si comparo esta curva de la función b con la anterior de la función a, 00:09:42
se comportan de una forma muy similar, una parece ser la otra aunque sea en el reflejo especular de 00:09:50
derecha a izquierda, esta asíntota hacia la izquierda es equivalente a esta asíntota hacia 00:09:55
la derecha y aquí esta rama hacia más infinito conforme voy hacia la izquierda es equivalente a 00:10:01
esta rama hacia más infinito conforme me desplazo hacia la derecha. Si comparo esta función y esta 00:10:07
otra, ambas son muy similares y el hecho de que la base sea menor que 1 o mayor que 1 lo que va a 00:10:13
hacer es que tenga este aspecto con la asíntota hacia la derecha cuando el valor de la base está 00:10:19
entre 0 y 1 o bien este otro con la asíntota hacia la izquierda cuando la base toma un valor mayor 00:10:26
que 1. Hace un momento decía que esta información era suficiente pero no toda la información 00:10:31
disponible para representar gráficamente la función. También dije algo antes que x0 y 0 00:10:38
ambos eran valores relevantes y de momento únicamente hemos utilizado el valor y sub 0, 00:10:44
que es el valor de la asíntota. Bien, ¿qué es lo que ocurre con x0? En esta función adx, x0 es el 00:10:49
valor menos 1 y aquí lo que he hecho ha sido representarme la recta x igual a menos 1, que no 00:10:57
es una asíntota, para ayudarme en la representación gráfica. En la función b he hecho también lo 00:11:02
mismo. Aquí el valor de x0 es el valor 1 y me he representado la recta x igual a 1, que no es una 00:11:08
asíntota, para ayudarme en la representación gráfica. Si miramos ambas representaciones y 00:11:15
vemos qué es lo que ocurre en la recta, en este caso x igual a 1 y en el caso anterior x igual a 00:11:20
menos 1, en la recta x igual a x0, es que si miro el valor de la función por encima de la recta y 00:11:26
igual a y sub 0, lo que sería la asíndota horizontal, justamente en esa recta x igual a x0 la función 00:11:34
se encuentra una unidad por encima de esa recta que era la asíndota horizontal. Así pues, si yo 00:11:41
busco la función en la recta x igual a x0 me la voy a encontrar una unidad por encima del valor 00:11:48
y sub 0. Como veis aquí tengo la función una unidad por encima y en el caso de b también me 00:11:56
encuentro la función una unidad por encima. Este punto adicional que tenemos aquí me puede ayudar 00:12:02
para hacer una representación gráfica incluso aún más precisa. Pero esto no es todo. Dentro de esta 00:12:08
representación gráfica también está escondida la base, el valor numérico de la base, en este caso 00:12:14
3, y en el caso de la función b el valor 1 medio. Vamos a volver una vez más al punto de corte de 00:12:19
estas dos rectas x igual a x0 e y igual a y0. Vemos que por encima de ese punto de corte una 00:12:26
unidad me encuentro la función pero además si con respecto a este punto me desplazo hacia la 00:12:33
derecha una unidad la función se encuentra en este caso tres unidades por encima y ese tres 00:12:38
coincide con el valor de la base y no es casualidad. Y en el caso de la función b si me desplazo una 00:12:44
unidad hacia la derecha me voy a encontrar la función en el valor en este caso un medio que 00:12:50
coincide con la base y no es casualidad. Así que aquí tengo una vez más un punto adicional con el 00:12:56
cual puedo hacer una representación aún más precisa de la función. Si con respecto del punto 00:13:01
x igual a x0 y igual a y0 me desplazo una unidad hacia la derecha, me voy a encontrar la función 00:13:07
hacia arriba en un valor igual a la base. Si la base es, como aquí, menor que 1, me voy a encontrar 00:13:13
la función en un punto que se encuentra antes de llegar a una unidad. En este caso es un medio. 00:13:20
Si aquí tenía la función en el punto una unidad por encima y aquí en un punto menos de una unidad por encima, 00:13:27
evidentemente voy a representar una función decreciente, lo que yo esperaba. 00:13:35
En el caso anterior, si me desplazo hacia la derecha una unidad, me voy a encontrar la función hacia arriba más de una unidad, 00:13:39
puesto que la base en este caso va a ser mayor que 1. 00:13:45
Como aquí tenía la función una unidad por encima y si me desplazo una unidad hacia la derecha me lo voy a encontrar más de una unidad hacia arriba, evidentemente me voy a tener que representar una función monótona creciente, lo que yo esperaba, puesto que la base es mayor que la unidad. 00:13:49
No solo esto, sino que además si me desplazo no una unidad hacia la derecha, sino una unidad hacia la izquierda, también me voy a encontrar la base codificada. 00:14:04
Una unidad hacia la derecha, voy a encontrar la función hacia arriba, a una distancia igual a la base. 00:14:15
Si la base es mayor que 1, mayor que 1. Si la base es menor que 1, menor que 1. 00:14:21
Bien, ¿qué ocurre si me desplazo una unidad hacia la izquierda? 00:14:26
Pues en ese caso me voy a encontrar la función también hacia arriba, pero una distancia que va a ser el inverso de la base. 00:14:29
Si aquí la base es 1 medio, su inverso es 2, 1 entre 1 medio es igual a 2. 00:14:35
Me encuentro, si me voy una unidad hacia la izquierda, la función 2 unidades hacia arriba. 00:14:39
Y en el caso de la función A, lo mismo. 00:14:44
Una unidad hacia la derecha me encuentro la función tres unidades hacia arriba, puesto que la base es tres. 00:14:47
Si me desplazo hacia la izquierda una unidad, me voy a encontrar la función un tercio de unidad hacia arriba. 00:14:52
Aquí estaría, puesto que uno entre tres es un tercio. 00:14:57
Así pues, a la hora de representar gráficamente la función, disponemos no sólo de la asíntota, no sólo de la monotonía, 00:15:00
sino que tenemos un montón de puntos con los cuales poder hacer un dibujo fiel, una representación gráfica precisa. 00:15:08
Los dos puntos de corte con los ejes, a la malas, únicamente el punto de corte con el eje de las y, 00:15:15
si no hubiera punto de corte con el eje de las x, y después el punto x0 y 0 nos va a dar tres puntos de referencia. 00:15:20
Por encima de él se va a encontrar la función a una unidad, si me desplazo una unidad hacia la derecha 00:15:29
me voy a encontrar la función hacia arriba a una distancia igual a la base y si me desplazo 00:15:34
hacia la izquierda una unidad me voy a encontrar la función a una altura igual a el inverso 00:15:39
de la base. Todo eso va a ser suficiente, la asíntota y esos puntos y la tendencia 00:15:44
general, tanto si la base es mayor que 1 como si la base es menor que 1, todo eso va a ser 00:15:49
suficiente para hacer una representación fiel de la función. En el caso en el que 00:15:54
se nos diera la representación gráfica de la función y tuviéramos que determinar la 00:16:00
expresión algebraica lo que tenemos que hacer es bien sencillo. En primer lugar vamos a identificar 00:16:05
claramente esta función como una función exponencial de todas las funciones elementales 00:16:10
que estamos estudiando en esta unidad es la única que tiene una asíntota horizontal en uno de los 00:16:15
extremos x tendiendo más infinito o x tendiendo a más infinito pero no en el otro y que es o bien 00:16:20
monótona decreciente o bien monótona creciente. Una vez que vemos esto vamos a identificar la 00:16:26
función como una función exponencial. El hecho de que sea creciente nos va a indicar que la base 00:16:32
va a ser mayor que 1. El hecho de que sea decreciente nos va a indicar que la base es menor que 1. Y lo 00:16:37
primero que vamos a hacer es buscar esa asíntota horizontal y trazarla. Puesto que el valor de la 00:16:43
asíntota horizontal nos va a indicar el valor de i sub 0, esa constante que va a ver sumando en la 00:16:49
expresión algebraica. En este caso pintamos y vemos que el valor de i0 es menos 3. Fijaos, i0 es igual 00:16:55
la menos 3, en el caso de la función a haríamos exactamente lo mismo. Trazaríamos esa asíntota 00:17:01
horizontal, veríamos que toma el valor y igual a menos 4 y ese es el valor del y sub 0 que nosotros 00:17:06
tenemos aquí. Para determinar el valor de x0 lo que vamos a hacer es buscar cuál es el punto de 00:17:12
la función que se encuentra una unidad por encima de la recta horizontal que da la asíntota. Lo que 00:17:20
hacemos es ir siguiendo la función hasta que la vemos una unidad por encima y en ese punto vamos 00:17:27
a trazar una recta vertical cuyo valor x en este caso sería x igual a menos 1 va a ser el valor de 00:17:32
x0 que debemos poner en el exponente x menos x0 así que x menos menos 1 será x más 1 en el exponente 00:17:39
fijaos que es lo que tenemos aquí y en el caso de la función b operaríamos igualmente vamos siguiendo 00:17:46
la función hasta que la encontramos una unidad por encima de la ecuación de la recta que es la 00:17:52
asíntota horizontal, trazamos la recta vertical que pasa por ese punto y el valor de x correspondiente 00:17:58
en este caso x igual a 1 es x sub 0. Así que en este caso x0 igual a 1 vamos a poner x menos 1 en 00:18:04
el exponente de nuestra función exponencial. Con esto tenemos x0 e y0. ¿Cómo podemos obtener la 00:18:11
base. Pues bien, empleando lo que también habíamos mencionado anteriormente, si ahora que tengo estas 00:18:18
dos rectas x0 y 0, x igual a x0 igual a 0, tengo este punto x0 y 0, lo que voy a hacer es moverme 00:18:24
una unidad hacia la derecha, puesto que sé que la distancia hacia arriba que necesite recorrer para 00:18:31
encontrarme la función se corresponde con la base. O bien, me desplazo una unidad hacia la izquierda 00:18:36
y sé que la distancia que necesito recorrer hacia arriba va a ser el inverso de la base. Si me 00:18:42
desplazo hacia la derecha veo la función aproximadamente a mitad de camino de una 00:18:48
unidad. Pienso que la base es aproximadamente un medio. ¿Cómo puedo estar seguro? Bien, en lugar 00:18:53
de ir hacia la derecha voy hacia la izquierda. Me encuentro la función a la altura 2. Bien, pues ya 00:18:58
lo tengo claro. La base es un medio. Aquí veía hacia la derecha aproximadamente un medio y hacia 00:19:02
la izquierda veo 2. Un medio es el inverso. Y entonces ya puedo escribir base un medio en el 00:19:08
exponente x menos x0, x menos 1 y en cuanto al y sub 0 sería este menos 3. Así que un medio elevado 00:19:14
a x menos 1, menos 3. Bien sencillo. En el caso de la función a, lo mismo. Una vez que he determinado 00:19:21
esta asíntota y tengo y0 igual a menos 4, he buscado este punto que está una unidad por encima 00:19:28
de la recta de la asíntota y tengo x0 igual a menos 1, lo que voy a hacer es a partir de este 00:19:33
punto x0 y 0 moverme una unidad hacia la derecha, puesto que sé que la altura a la que me voy a 00:19:39
encontrar la función, se corresponde con la base. Y aquí veo el valor 3. Así que la base es 3. Podría 00:19:44
haberme movido una unidad hacia la izquierda y sé que la altura va a ser el inverso de la base. Lo 00:19:50
único que en este caso no tengo muy claro cuál es la altura. Va a ser un tercio para que su inverso 00:19:55
sea 3. Pero en cualquier caso, yendo hacia la derecha he tenido suficiente, veo el valor 3 y ya 00:20:00
tengo la base. Así que escribiré que la expresión algebraica es y igual a la base, que es 3, elevado 00:20:05
a x menos x0, que en este caso va a ser x más 1, y por último voy a sumar el y sub 0, que en este 00:20:11
caso es menos 4, y tengo 3 elevado a x más 1, menos 4. En el aula virtual de la asignatura tenéis 00:20:18
disponibles otros recursos y cuestionarios. Asimismo, tenéis más información en las fuentes 00:20:28
bibliográficas y en la web. No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro 00:20:34
de dudas en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto. 00:20:39
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
3
Fecha:
17 de noviembre de 2025 - 8:53
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
21′ 09″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
50.65 MBytes

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