Trabajo final Curso C34 - Contenido educativo
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Breve tutorial sobre la factorización de polinomios, con algunos ejemplos y trabajo con alumnos.
Hola chicos, en este vídeo vamos a repasar la factorización de polinomios.
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Recordamos que factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios irreducibles.
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Estos son polinomios del grado 1, como x-2, x-3, 2x-1, el factor de x,
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o polinomios del grado 2 sin raíces, como x²-1, x²-x-1, es decir, polinomios del grado 2,
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cuya ecuación de segundo grado p de x igual a 0 no tiene solución.
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Vamos a ver unos ejemplos sencillos de factorización en los que no hay que hacer nada más que aplicar los conocimientos que ya tenéis.
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En el ejemplo 1, x a la cuarta menos x cuadrado, si nos fijamos no hay término independiente, recordamos que el término independiente es aquel que no lleva x,
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entonces podemos sacar factor común la x de exponente más pequeño, en este caso x cuadrado.
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Si sacamos factor común x cuadrado, abrimos paréntesis y nos queda x elevado al exponente que tenía, en este caso 4, menos el exponente que hemos sacado factor común.
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Nos queda x cuadrado menos x cuadrado, le restamos al exponente 2 y nos queda x elevado a 0, es decir, 1.
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Ya tendríamos parte de la factorización.
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Si os dais cuenta, este polinomio de grado 2 que tenemos aquí se le puede aplicar una identidad notable, que es la de la diferencia de cuadrados.
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Tenemos el cuadrado de x y el cuadrado de 1, por tanto podemos factorizarlo como, recordad poner siempre lo que teníamos al principio, cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo se puede factorizar como x más 1 por x menos 1.
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Y ya tendríamos todos los factores de grado 1 o, en este caso, 1 de grado 1 al cuadrado, ¿vale?
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Siguiente ejemplo, x al cubo menos 6x cuadrado más 9x.
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Al igual que antes, nos damos cuenta de que no tenemos término independiente, por tanto, tenemos que sacar factor común.
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La x de exponente más pequeño, en este caso, x está elevado a 1.
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Arriba los paréntesis y ponemos el polinomio restando 1 a la x.
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x al cubo menos 1 nos queda x cuadrado menos 6x, teníamos 2, le restamos 1, más 9, puesto que teníamos 1, le restamos 1 y nos quedan 0.
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Ahora tenemos un polinomio de grado 2 al que podríamos aplicar la ecuación del segundo grado,
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pero nos damos cuenta de que quizá podemos tener alguna identidad notable.
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Tenemos aquí un cuadrado, tenemos 9 que es el cuadrado de 3,
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por lo tanto bastaría ver si aquí tenemos el doble producto de x por 3,
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que en este caso es 2 por 3 por x menos 6x.
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Tenemos la identidad notable de la diferencia al cuadrado.
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Es decir, que el polinomio nos queda x menos 3 cuadrado del primero, x cuadrado, cuadrado del segundo, 9, menos el doble del primero por el segundo, y este factor al cuadrado.
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Con lo cual ya tenemos factorizado el polinomio con un factor x de grado 1 y un factor x menos 3 de grado 1 al cuadrado.
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En el ejemplo 3 nos damos cuenta de que el polinomio tampoco tiene término independiente, con lo cual sacamos de factor común la x de exponente más pequeño y nos queda x al cuadrado menos 8x, 3 menos 2, 1, menos 9, puesto que sacamos de factor común la x al cuadrado.
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En este caso, tenemos un polinomio de grado 2, no identificamos a priori ninguna identidad notable, puesto que las que tenían tres términos, el término independiente iba sumando, con lo cual, resolvemos la ecuación de segundo grado, x al cuadrado menos 8x menos 9 igual a 0.
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Recordamos que x es igual a menos b, en este caso 8, más menos, o bueno, menos, menos 8, la raíz de b al cuadrado, menos 4 por a por c, partido por 2a.
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Igual a 8 más menos, menos 8 al cuadrado, 64, menos 4 por 1 por menos 9, más 36, con lo cual 64 más 36, partido por 2, igual a 8 más menos, 64 más 36, 100, la raíz es 10, partido por 2.
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Esto es 8 más 10, 18, entre 2, a 9, y con el menos, 8 menos 10, menos 2, entre 2, menos 1.
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Con lo que la factorización del polinomio sería x al cuadrado por x menos la primera solución del polinomio, que es 9,
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por x menos la segunda, que como es menos 1, nos queda más 1.
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Esto sería en cuanto a polinomios cuya factorización es sencilla
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porque simplemente con identidades notables, ecuación de segundo grado
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o primero sacar factor común, se podría resolver la factorización.
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Hay casos en los que nos quedan polinomios de grado 3 o 4
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en los que no podemos aplicar esto y en ese caso tendríamos que recurrir
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al método de Ruffini.
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El método de Ruffini es una herramienta para dividir polinomios cuando el divisor es de la forma x menos a.
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Recordamos que las posibles raíces, es decir, los valores de a que hacen que el polinomio p de x valga cero, son los divisores del término independiente.
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Si nuestro polinomio no tuviese término independiente, sacaríamos factor común, una potencia de x y aplicaríamos Ruffini al polinomio que nos queda entre paréntesis.
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Para ver el ejemplo, cogemos un polinomio directamente de grado 3 que sí que tenga término independiente.
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Los divisores, en este caso de menos 6, bastaría coger 6, son más menos 1, más menos 2, más menos 3 y más menos 6.
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Estos serían los candidatos a posibles raíces de nuestro polinomio.
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polinomio. Para aplicar Ruffini, escribimos los coeficientes en orden de mayor a menor
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grado. Si algún coeficiente fuese 0, tendríamos que ponerlo. En este caso, el coeficiente
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del término de grado 3 es 1, del término de grado 2, menos 6, del término de grado
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1, 11 y del término de grado 0, menos 6. Empezamos probando. Yo siempre recomiendo
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que empecéis por orden, pues para aseguraros que no se os olvida ninguno y por hacerlo
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de alguna manera un poco ordenada. En este caso probaríamos primero con 1, recordamos
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que el valor que ponemos aquí es el valor de a, que es el que luego restamos a x en
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el factor. Método de Ruffini, ¿cómo se aplica? Bajamos el primer coeficiente, lo multiplicamos
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por el valor de a, en este caso 1, 1 por 1 es 1, y lo subimos debajo del segundo coeficiente.
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Sumamos ambos, menos 6 más 1, menos 5. Volvemos a multiplicar por el valor de a, en este caso
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1, 1 por menos 5, menos 5, volvemos a sumar, 1 menos 5, 6, multiplicamos por el valor de
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a, 1 por 6, 6, volvemos a sumar, menos 6 más 6, 0. Como el resto es 0, significa que hemos
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encontrado un factor, que en este caso sería x menos el valor de a, que para nosotros es
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1. ¿Cómo utilizamos este factor? Pues ahora el polinomio x factorizaría como x menos
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1, que es el factor que hemos hallado, por un polinomio de grado 3, menos 1, 2, cuyos
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coeficientes son los que aparecen aquí abajo. Recordamos que empezamos poniendo coeficientes
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de grado 3 y estos serían los coeficientes de grado 2. 1 por x al cuadrado menos 5 por
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x más 6. Ahora este polinomio de grado 2 tendríamos que factorizarlo. Podríamos volver
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aplicar Ruffini. Yo siempre os recomiendo
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que cuando tengáis grado 2
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utilicéis la ecuación de segundo grado
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o identidades notables. ¿Por qué?
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Porque para hallar las raíces que nos faltan
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y factorizar este polinomio de grado 2
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tendríamos que ir probando
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con los divisores del término independiente
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mientras que si aplicamos la ecuación de segundo grado
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pues si tiene solución
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nos da la solución y si no
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nos sale que no tiene solución y ya lo tendríamos factorizado.
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En este caso
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x igual menos b
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5 más menos la raíz de b cuadrado
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menos 4 por a y por c partido por 2a
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operamos y nos queda 5 más menos
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menos 5 al cuadrado, 25, 4 por 6, 24
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25 menos 24, 1 partido por 2
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la raíz de 1 es 1, entonces 5 y 1
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6 entre 2 a 3
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5 menos 1, 4 entre 2 a 2
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con lo que hemos encontrado las dos raíces que nos faltaban
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junto con la que ya teníamos.
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Y la factorización del polinomio quedaría
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x menos 1 por x menos 3, que es la primera raíz,
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por x menos 2, que es la segunda.
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Y ya estaría factorizado el polinomio con el método de Ruffin.
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Por último, vamos a ver la aplicación de la factorización de polinomios
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en la simplificación de fracciones algebraicas.
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Las fracciones algebraicas son fracciones de la forma
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polinomio en el numerador, polinomio en el denominador.
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Un recordatorio de la simplificación de fracciones con enteros en numerador y denominador
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es los pasos que hay que seguir, que son, primero descomponemos en factores y factorizamos numerador y denominador,
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después cancelamos los factores que tengan en común, en este caso, como hay un 2 arriba y otro abajo, lo cancelamos,
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Lo mismo con los treses. Después multiplicamos, bueno, operamos los factores que nos queden en numerador y denominador y ya tendríamos la fracción simplificada. Pues el método para simplificar fracciones algebraicas es exactamente igual.
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Entonces os dejo un ejercicio para que practiquéis la factorización de polinomios y la simplificación de fracciones y lo corregimos el próximo día en clase. Hasta luego.
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Hola chicos, ¿qué tal? ¿Cómo estáis?
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Recordad que tenéis el micrófono silenciado y que si queréis decir algo podéis habilitarlo o podéis también escribir en el chat.
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Hola, como veis os he puesto un enlace, tenéis que pinchar y se os va a abrir una pantalla.
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Voy a compartir la mía para que podáis verlo y se os va a abrir esta pantalla.
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Entonces tenéis dos columnas, una para que me pongáis las dudas que os surgen sobre el vídeo que habéis visto de la factorización de polinomios
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y otra columna para que me pongáis si habéis tenido dudas sobre el ejercicio que os dejé como aplicación.
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Bueno, dejo de compartir la pantalla, así que pincháis en este enlace y ahora en un par de minutitos, cuando pongáis un par de ideas, lo comentamos y corregimos el ejercicio.
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Bueno, ¿qué tal ha salido la actividad? ¿Habéis escrito muchas cosas? Sí, ya está, vale.
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A ver, voy a compartir mi pantalla para ver qué habéis escrito. A ver, no me acuerdo de las identidades notables. Ya os dije que las tenéis que repasar, identidades notables, no me acuerdo de Ruffini. Bueno, no sé si lo tengo bien. Después de aplicar Ruffini no sabía cómo seguir, no sabía por dónde empezar, ninguna creo que me ha salido bien.
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Bueno, voy a dejar de compartir la pantalla. Ahora lo que voy a hacer es corregir el ejercicio que os dejé como aplicación a ver qué tal ha salido. Voy a poner la otra pantalla para enfocar a la pizarra y así podéis verlo bien.
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Simplifica la fracción algebraica, x al cubo menos x cuadrado menos x más 2 partido por x al cubo más x cuadrado menos 4x menos 4.
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Si recordáis los pasos del vídeo, primero tenemos que factorizar numerador y denominador exactamente igual que lo que hacíamos con fracciones de números enteros en numerador y denominador.
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Como los polinomios son de grado 3 y no podemos sacar factor común x puesto que tienen término independiente,
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tenemos que aplicar el método de Ruffini al numerador y al denominador.
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Empezamos con el numerador, escribimos los coeficientes en orden de mayor a menor,
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como hicimos en el vídeo que os dejé, grado 3, 1, grado 2, menos 2, grado 1, menos 1, grado 0, 2.
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Todos podemos aplicar una identidad notable.
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Tenemos el cuadrado de x, tenemos el cuadrado de 2, por lo tanto esto se puede factorizar como suma por diferencia.
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x más 2 por x menos 2.
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Y entonces la factorización del polinomio del divisor sería x más 1 por x más 2 por x menos 2.
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Así ya tendríamos la factorización del numerador y del denominador.
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La escribimos a continuación, x menos 1 por x menos 2 por x más 1, la del numerador, y x más 1 por x más 2 por x menos 2 en el denominador.
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Cancelamos los factores que tenemos en común, en este caso x más 1 y x menos 2, y quedaría x menos 1 por x más 2,
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que ya no se puede simplificar, porque recordad que no podemos tachar las X que están sumando o restando,
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solamente podemos cancelar factores que estén multiplicando o dividiendo, ¿vale?
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Bueno, cambio la pantalla otra vez.
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Bueno, ¿lo habéis entendido?
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A ver, lo he tenido mal por las identidades notables.
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Bueno, ya sabéis que toca repasarlas y nada, seguir practicando y seguro que lo entendéis.
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¿Vale, chicos? Bueno, pues nos vemos el próximo día en clase. ¡Hasta luego!
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- Autor/es:
- Marta Fernández García
- Subido por:
- Marta F.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
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- Fecha:
- 24 de noviembre de 2020 - 17:12
- Visibilidad:
- Clave
- Centro:
- IES CALDERON DE LA BARCA
- Duración:
- 15′ 38″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
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- Tamaño:
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