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2ª Sesión T3.- Polinomios 04-12-2025 - Contenido educativo

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Subido el 5 de diciembre de 2025 por Angel Luis S.

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Buenas tardes, esta es la clase de matemáticas de nivel 2 del día 4 de diciembre. 00:00:00
Estamos en el tema de polinomios. 00:00:06
Habíamos estado viendo el otro día cómo se sumaban y restaban esos polinomios después de ver, 00:00:09
identificar sus partes y tal. 00:00:15
Hoy vamos a ver cómo se multiplican y dividen polinomios. 00:00:17
Bueno, pues empezamos viendo la multiplicación. 00:00:21
Al final de la última clase os comentaba que va a ser un poco parecida a lo que hacíamos en la notación científica, que separábamos la parte decimal de la parte de la potencia. 00:00:24
Aquí vamos a hacer lo mismo, voy a separar el coeficiente del literal 00:00:37
Y, por ejemplo, si quiero multiplicar dos monomios, lo que voy a hacer es multiplicar por un lado los coeficientes 00:00:43
En este caso, 7 por menos 2, menos 14 00:00:52
Y por otro lado los literales, x al cubo por x al cuadrado, x a la quinta 00:00:56
puesto que la multiplicación de potencias de la misma base me mantenía la base 00:01:02
y como exponente había que poner la suma de los exponentes. 00:01:08
O sea que eso es lo que pongo ahí arriba y se ve en cada uno de estos ejemplos. 00:01:13
Si el monomio no tiene parte literal, como ocurre en este último ejemplo, ¿qué hago? 00:01:20
Pues coeficiente por un lado, 2 por 4, 8 y literal el que tiene el otro monomio 00:01:25
puesto que aquí no hay letras que añadir a ese x a la quinta. 00:01:30
¿Qué pasaría si quiero multiplicar un monomio por un polinomio? 00:01:35
Si un polinomio dijimos que era una suma de monomios. 00:01:41
Pues nada, lo vemos en el ejemplo directamente. 00:01:46
Tengo este monomio menos 2x y le quiero multiplicar por todo este polinomio. 00:01:49
Pues lo que voy a hacer es ir multiplicando el monomio menos 2x 00:01:54
por cada uno de los términos del polinomio. 00:01:58
Recordaos que término en un polinomio se refería a cada uno de los sumandos que aparecían, 00:02:01
o sea, a cada uno de los monomios que había dentro del polinomio. 00:02:08
Entonces tendríamos menos 2 por menos 6 más 12x por x al cuadrado, x al cubo. 00:02:12
Menos 2x por más x, pues tendríamos menos 2 por más 1, que sería el coeficiente cuando no hay nada, me da menos 2. 00:02:22
Y luego x por esta otra x, x al cuadrado. 00:02:31
Y por último, menos 2x por menos 5, que era el término independiente de este polinomio, pues solo hay coeficiente, digo menos 2 por menos 5, 00:02:36
más 10 y x por nada 00:02:47
pues x, se quedaría la x del monomio 00:02:51
si multiplico dos polinomios, pues la idea es la misma 00:02:54
la idea es que multiplicaré todos los términos del primer polinomio 00:02:58
por todos los términos del segundo monomio y luego 00:03:03
agruparé o sumaré los términos que sean 00:03:07
semejantes, lo podemos hacer así en línea 00:03:11
y me voy multiplicando término a término como hemos hecho antes 00:03:15
por la multiplicación de moneos por polinomio, pero 00:03:20
luego es más rollo o más complicado 00:03:23
o más fácil de fallar cuando quiero agrupar los términos semejantes 00:03:27
entonces os voy a proponer, lo vamos a hacer ahora en la 00:03:31
pizarrita, pues cómo hacerlo de forma vertical 00:03:36
en lugar de horizontal, como nosotros estamos acostumbrados a hacer nuestras 00:03:40
multiplicaciones numéricas. Entonces, pues nos vamos a llevar estos dos polinomios y 00:03:43
los vamos a hacer de la otra manera que os estoy comentando. A ver si me deja recortarlo 00:03:49
y nos quedamos con los ejemplos que tenemos aquí para que veáis que los resultados van 00:03:56
ser exactamente los mismos, solo es una forma distinta de escribir. Tengo estas dos multiplicaciones 00:04:02
de polinomios. Y lo que vamos a hacer es lo siguiente, lo que hacía. En lugar de escribirlo 00:04:45
así en horizontal, escribirlos en vertical 00:04:52
pongo primero el monomio 00:04:54
perdón, el polinomio que tenga 00:04:58
más términos y después 00:05:00
el más cortito, el de menos términos 00:05:04
como si estuviésemos haciendo una multiplicación 00:05:07
con números donde 00:05:11
el término independiente son las unidades 00:05:12
el término de la 1 son las decenas 00:05:17
el término de la 2 son las centenas 00:05:19
O sea que lo que vamos a hacer es poner los polinomios ordenados y si me faltase algún término, dejo un huequito, porque a la hora de hacer la multiplicación puede ser que ese término que no estaba aparezca como resultado de dicha multiplicación, ¿vale? 00:05:21
Luego veremos algún ejemplo en el siguiente ejercicio para ver qué es lo que estoy diciendo. 00:05:39
Bueno, yo coloco mis dos polinomios. 00:05:46
El más grande, el primero, aunque daría igual ponerlos al revés, 00:05:48
pero por seguir siempre un mismo orden. 00:05:53
Y ahora voy multiplicando. 00:05:55
Y voy a multiplicar este menos 5 por todo el polinomio de arriba. 00:05:56
Pues digo, menos 5 por más 2, menos por más menos, 5 por 2, 10. 00:06:01
Menos 5 por menos x, pues menos por menos más, 5 por 1 que es el coeficiente de la x, 5, y nada por x, x. 00:06:08
Menos 5 por 7x al cuadrado, pues menos por más, menos, 5 por 7, 35, y nada por x al cuadrado, x al cuadrado. 00:06:19
Ya he multiplicado este término por todos los términos del polinomio de arriba 00:06:30
Voy a hacer lo mismo ahora con el menos 3x 00:06:36
Esta fue la multiplicación del menos 5 00:06:39
Ahora vamos a poner otro color para que veamos bien la multiplicación del menos 3 00:06:43
Pues otra vez, pasito a pasito 00:06:48
Menos 3x por más 2 00:06:50
Pues menos por más menos 3 por 2 es 6x 00:06:52
y como veis lo he colocado debajo de las X 00:06:59
porque luego voy a tener que sumar los resultados 00:07:03
y como para poder sumar monomios tenían que ser semejantes 00:07:05
pues lo que voy haciendo es para asegurarme 00:07:11
que sumo cada uno con el suyo, con su semejante 00:07:13
o sea que cada oveja va con su pareja 00:07:16
pues coloco las cosas por columnas 00:07:19
y estoy diciendo una columna para los términos de grado 0 00:07:22
otra para los términos de grado 1 00:07:26
otra para los términos de grado 2 00:07:29
otra para los términos de grado 3 00:07:31
las que me haga falta hasta que tenga una multiplicación 00:07:33
o sea, igual que hacíamos 00:07:35
cuando hacíamos las sumas y las restas 00:07:37
de polinomios, ordenábamos 00:07:39
las cosas para luego que esa suma 00:07:41
o resta fuese más cómoda 00:07:43
y no se me mezclase en términos que no fueran 00:07:45
semejantes, bueno, dicho esto 00:07:47
seguimos con nuestra multiplicación 00:07:49
menos 3 por menos x 00:07:50
pues me va a dar 00:07:53
x al cuadrado, me voy a ir a esta columna y tendríamos 00:07:55
menos por menos 00:07:57
más lo primero, 3 por 1, 3, y x por x, x al cuadrado. 00:07:58
Menos 3x por 7x al cuadrado me va a dar x al cubo, 00:08:06
pues me tendría que venir un poquito a la izquierda, 00:08:11
puesto que x al cubo no teníamos en la anterior. 00:08:13
Yo digo, signo lo primero, menos por más, menos, 00:08:17
7 por 3, 21, y x cuadrado por x, x al cubo. 00:08:20
Cuando ya tengo hechas las multiplicaciones de todos los términos del segundo polinomio por todos los términos del primer polinomio, lo que hacemos es sumar esos términos semejantes que como los hemos ido poniendo ya colocaditos, pues no me van a suponer ningún problema. 00:08:25
Pues digo, menos 10 como está solo, se queda igual que estaba. Ahora, más 5x menos 6x, pues acordaos que para sumar monomios o restarlos, dejábamos el mismo literal y sumábamos o restábamos los coeficientes. 00:08:43
Pues más 5 menos 6 me va a dar menos 1x 00:09:02
El 1 no hace falta ponerle, le puedo poner o dejarle sin poner 00:09:07
Porque yo ya estoy viendo que ahí está esa x, o sea que ya sé que hay una por lo menos 00:09:11
Menos 35x al cuadrado más 3x al cuadrado 00:09:15
Pues me va a dar menos 32x al cuadrado 00:09:20
Y el x al cubo como estaba solito, pues se queda como está 00:09:25
O sea que si os fijáis, llegamos al mismo resultado que teníamos en la forma de escribirlo hoy totalmente, pero bajo mi punto de vista os perdéis menos cuando colocáis así las cosas y las ponéis ordenadas que cuando las dejamos ahí en horizontal que luego ya no sabemos qué término va con qué término. 00:09:30
Un segundito, por favor. 00:09:59
Perdonad, que es que me habían venido a llamar. 00:10:34
Bueno, vamos a ver este otro polinomio, que aquí sale mucho más largo, 00:10:36
cómo pasaría exactamente lo mismo. 00:10:42
Si le ponemos en vertical, nos va a resultar mucho más cómodo el hacer las operaciones. 00:10:45
¿Vale? Pues venga, vamos a verlo. 00:10:51
Y aquí ocurre lo que os decía antes, que si nosotros tenemos un polinomio como este, que está incompleto, lo único que voy a hacer es dejar espacio para ese término que falta, que es el término de grado 2. 00:10:54
le digo grado 3, huequito para grado 2 00:11:15
grado 1, grado 4, o digo grado 0, perdón 00:11:21
el de abajo le ponemos tal cual está 00:11:25
x al cuadrado más 3x más 9 00:11:29
hacemos la multiplicación que hemos hecho antes 00:11:33
bueno, pues vamos término a término 00:11:38
9 por 4 más 9 por más 4 00:11:41
más 36 00:11:44
más 9 por menos 2 00:11:46
menos 18 00:11:50
pero ¿qué? x 00:11:52
dejo el huequito de las x al cuadrado 00:11:54
porque no hay nadie por quien multiplicar 00:11:57
más 9 por x al cubo 00:12:00
9x al cubo 00:12:02
voy a por el segundo término 00:12:05
el de el 3x 00:12:09
Pues 3x por más 4, más 12x, pues más 12x 00:12:11
3x por menos 2x, pues más por menos menos, 3 por 2, 6 00:12:20
¿Y qué me sale ahora al multiplicar x por x? Pues x al cuadrado 00:12:27
O sea que el hueco que habíamos dejado, ya lo empiezo a cubrir 00:12:31
Si no hubiese dejado este hueco, ¿qué me habría pasado? 00:12:36
Pues que se me hayan empezado a montar unos términos con otros y luego cuando voy a hacer la suma, pues va a ser muy probable que me equivoque sin darme cuenta porque junte términos que no sean semejantes. 00:12:40
Bueno, siguiente multiplicación, 3x por x al cubo, pues resulta que me voy a saltar un término ahora. 00:12:52
Ahora voy a hacer un hueco en ese x al cubo porque me sale un 3x a la cuarta. 00:13:01
Pues no pasa nada, yo dejo ese hueco y ningún problema 00:13:07
Sigo con mi multiplicación 00:13:11
Voy a por el último término 00:13:13
El x al cuadrado 00:13:16
Pues x al cuadrado por 4 00:13:17
4x al cuadrado, pues me dejo debajo de las x al cuadrado 00:13:20
Y lo escribo, 4x al cuadrado 00:13:24
x al cuadrado por menos 2x 00:13:27
Menos 2x al cubo 00:13:30
pues me voy debajo de las x al cubo y pongo mi menos 2x al cubo. 00:13:33
O sea, voy poniendo por columna colocadas cada uno de los monomios que me van saliendo 00:13:38
como resultado de la multiplicación. 00:13:43
x al cuadrado por x al cubo es x a la quinta, pues pasa lo mismo. 00:13:46
Tendré que dejar un huequito debajo del x a la cuarta y salto a mi x a la quinta. 00:13:50
sumamos todos los resultados 00:13:57
y tengo pues 00:14:01
más 36 00:14:03
que como está solo se queda como está 00:14:05
ahora voy a sumar todas las x 00:14:06
y tengo menos 18x 00:14:09
más 12x 00:14:12
que me daría 00:14:13
más 6x 00:14:15
menos 6x al cuadrado 00:14:17
más 4x al cuadrado 00:14:20
que me va a dar 00:14:22
menos 2x al cuadrado 00:14:23
9x al cubo menos 2x al cubo 00:14:25
más 7x al cubo 00:14:29
el 3x a la cuarta 00:14:32
como está solo, se queda como está 00:14:36
y cuando no me ponía nada era positivo 00:14:37
ahora se lo pongo para separarle 00:14:40
de este x a la quinta que es el último término de mi 00:14:43
por nombre, si veis 00:14:47
pues mismo resultado que nos proponían antes 00:14:49
pero me ha quedado todo ordenadito del tirón 00:14:53
y no he tenido que andar buscando aquí 00:14:55
si había un x a la quinta aquí 00:14:57
y luego algún otro por acá 00:14:59
si este x a la cuarta encontraba algún otro por acá 00:15:00
si el polinomio es muy largo 00:15:03
hacerlo en horizontal 00:15:05
supone que tengo que tener mucha práctica 00:15:06
y mucha vista, porque si no es muy fácil 00:15:09
que me deje algún término atrás 00:15:11
a la hora de sumar 00:15:13
o alguno le ponga dos veces sin darme cuenta 00:15:14
si lo colocamos así en vertical 00:15:17
que estamos 00:15:19
más acostumbrados, porque si el que hemos 00:15:21
hecho nuestras multiplicaciones así, pues no va a resultar más cómodo y voy a tener 00:15:23
menos conflicto a la hora de hacer las sumas finales. Bueno, pues esa sería la forma de 00:15:29
multiplicar, ¿vale? Ahora, en las multiplicaciones tenemos unas multiplicaciones un poco especiales, 00:15:36
que son las que se llaman productos notables. 00:15:46
¿Quiénes son estos productos notables? 00:15:51
Pues el cuadrado de una suma, el cuadrado de una resta y la suma por diferente. 00:15:54
Acordaos que dijimos que una potencia era multiplicar por sí misma la base 00:16:01
las veces que me dijese el exponente. 00:16:06
Entonces, cuando yo quiero hacer el cuadrado de A más B, 00:16:08
lo que tengo que hacer es multiplicar A más B por A más B. 00:16:11
si hacemos esa multiplicación de forma normal 00:16:14
que tengo A por A al cuadrado 00:16:19
luego A por B, A B, luego B por A 00:16:22
B A y B por B, ¿qué me queda al final? 00:16:26
A por A al cuadrado, el término A B 00:16:31
me sale dos veces, o sea, le pongo dos A B y el B al cuadrado finalmente 00:16:34
entonces, como esta es una cuenta que nos va a parecer 00:16:39
mucho en matemáticas, en geometría, en un montón de sitios, se la llama notable por 00:16:43
la cantidad de veces que me va a aparecer. Entonces me dicen, bueno, si tú te aprendes 00:16:52
de memoria este resultado, ¿no te toca hacer cada vez que aparezca esta identidad notable 00:16:58
el producto paso a paso, pues bueno 00:17:06
no lo podemos aprender, cuadrado de una suma 00:17:10
¿qué va a dar como resultado? cuadrado del primer término más el doble 00:17:14
del primero por el segundo más el cuadrado del segundo, o sea que no es muy 00:17:19
difícil de recordar, y fijaos que geométricamente 00:17:23
también saldría esto visualmente muy fácil 00:17:27
digo, tengo un cuadrado de lado A por A 00:17:31
y le añado otro trocito b a cada uno de esos lados 00:17:34
me queda un cuadrado de lado a más b por a más b 00:17:38
si yo descompongo ese cuadrado 00:17:42
en sus cuadraditos y rectangulitos correspondientes 00:17:47
¿qué pasa? que ese cuadrado de a por a 00:17:50
tendrá área a al cuadrado, aquí me sale un rectangulito 00:17:54
de lado b por a por su área a por b 00:17:58
aquí arriba me saldría un cuadradito de lado B de ancho por B de alta 00:18:02
luego área B cuadrado 00:18:07
y otro rectángulo de lado A por altura B 00:18:08
luego su área AB 00:18:13
entonces ¿qué ha ocurrido? 00:18:15
que cuando yo he hecho el cuadrado de lado A más B 00:18:17
por lado A más B 00:18:21
me ha salido un cuadrado de área A al cuadrado 00:18:24
otro cuadrado de área B al cuadrado 00:18:28
y dos rectángulos de área AB, pues justo lo que me decía la fórmula, cuadrado del primer término, doble del primero y segundo, cuadrado del segundo. 00:18:31
O sea que resulta que el álgebra que estábamos viendo, aquí en las operaciones de polinomios, se confirma con la geometría, con el cálculo de áreas. 00:18:42
genial, esto para los matemáticos 00:18:54
pues fue un descubrimiento muy bueno 00:18:58
es decir, que todo cuadra, o sea, todo tiene lógica 00:19:01
lo puedo aprovechar en más de un sitio estas operaciones 00:19:04
pues como las puedo aprovechar en más de un sitio 00:19:07
y son muy útiles, las llamo operaciones notables 00:19:10
o sea, cuadrados notables 00:19:13
¿qué me pasaría con la diferencia? 00:19:15
a menos b al cuadrado, pues me va a ocurrir lo mismo 00:19:18
si hacemos las multiplicaciones de forma normal 00:19:21
lo único que va a cambiar es que el doble producto 00:19:24
de los términos que estaban mezclados A con B 00:19:28
en vez de sumando sale restando 00:19:31
o sea que me puedo aprender el cuadrado de una resta 00:19:33
diciendo que es cuadrado del primer término 00:19:37
menos el doble del primero por el segundo y más el cuadrado del segundo término 00:19:39
y me ahorro el hacer toda esta operación 00:19:43
¿vale? 00:19:46
y por último, también tendría su reflejo 00:19:48
en geometría 00:19:52
que no vamos a perder tiempo en ello 00:19:53
y por último, si hago una suma 00:19:56
por una diferencia, ¿qué va a ocurrir? 00:19:58
si yo hago las cuentas 00:20:01
una a una, digo A por A al cuadrado 00:20:02
ya tengo aquí 00:20:04
A por menos B 00:20:06
menos AB 00:20:08
pero luego voy a tener más B por A 00:20:09
más BA 00:20:12
y un más por menos 00:20:14
B al cuadrado, ¿qué va a pasar? 00:20:16
este menos AB 00:20:18
se irá con este más AB 00:20:20
porque los dos valen lo mismo, o sea que desaparece el término intermedio 00:20:22
¿qué me queda? cuadrado del primer término menos 00:20:26
el cuadrado del segundo, o sea que la suma por diferencia 00:20:31
es muy fácil de recordar, cuadrado del primer término 00:20:34
el más por menos me va a dar un menos, cuadrado del segundo 00:20:39
y los términos intermedios desaparecen 00:20:42
estas identidades notables, os las he puesto aquí, porque como os digo 00:20:45
aparecen muchísimo y las vamos a tener que seguir utilizando luego más adelante 00:20:50
si no os las aprendéis, pues si me aparecen 00:20:54
lo único que tengo que coger es mi lápiz y papel y hacerme la puentecita 00:20:57
aparte para encontrar su resultado, ¿vale? 00:21:02
nada más, aquí os propongo unos ejercicios 00:21:06
¿vale? en los que luego os doy el resultado 00:21:09
o que hacemos una combinación de lo que es la identidad notable 00:21:14
¿Vale? Con el valor numérico de un polinomio, por recordar un poco las dos cosas. 00:21:19
¿Vale? Bueno, antes de ir a las divisiones, vamos a ver, pues, que me podrían proponer ejercicios con operaciones combinadas. 00:21:26
Aquí os tengo puestos más ejercicios para practicar las multiplicaciones, que ya hemos visto cómo son. 00:21:42
¿Qué ocurriría si me pusiesen algo de este estilo? 00:21:46
Operaciones combinadas de sumas, restas y multiplicaciones de polinomios. 00:21:51
Pues nada, que yo sigo el orden de las operaciones. 00:21:56
Y chimpún, voy poquito a poco haciendo la operación que corresponda en cada momento. 00:21:58
Sin más, con tranquilidad, paciencia y pasito a paso. 00:22:06
Vamos a hacer una para verlo. 00:22:12
Perfecto. Vamos a coger una de aquí. 00:22:18
¿Pero qué me pregunta? 00:22:23
Dime. 00:22:24
¿Hola? ¿Me escuchas? 00:22:26
Sí, sí, te oigo. Javina, dime. 00:22:26
Sí, me escuchas. 00:22:28
¿Cómo se llama? La A, por ejemplo, la número A de la 11. 00:22:30
Sí, sí, es la que voy a hacer. Espera, espérate, que es la que iba a hacer, ¿vale, Javina? 00:22:35
Ahora te voy contando, porque justo es la que iba a hacer porque parece así muy larga y muy difícil. 00:22:39
Sí, sí. 00:22:45
Y ya verás qué facilita va a ser, ¿vale? 00:22:45
No te va a suponer ningún problema. 00:22:48
Esta es la que usted quería, ¿no? 00:22:57
A ver, ¿por qué no me... 00:23:00
Bueno, pues fíjate. 00:23:05
¿Qué dices? 00:23:07
Tenemos una multiplicación. 00:23:08
A ver, tengo una multiplicación, un paréntesis, una resta, otra multiplicación, otro paréntesis, una suma, otra multiplicación. 00:23:11
¿Qué es lo que tengo que hacer primero? 00:23:22
Pero, pues como los paréntesis en realidad no tienen ninguna operación porque lo que me están representando es que tengo un polinomio de más de un término, puesto que yo no puedo sumar el 4x al cubo con el menos 3x y con el menos 4, lo que realmente está importando aquí es la multiplicación que había afuera en cada uno de ellos, ¿vale? 00:23:24
antes de hacer las sumas y las restas 00:23:47
tengo que hacer esta multiplicación 00:23:50
esta y esta 00:23:52
¿vale? pues voy haciéndolas 00:23:54
digo, multiplicación de menos 2 00:23:56
por todo ese polinomio 00:23:59
pues dijimos que para multiplicar 00:24:00
un monomio 00:24:02
por un polinomio, lo que hacíamos era multiplicar 00:24:04
término a término, entonces digo 00:24:06
menos 2 por 4x 00:24:08
al cubo, menos 2 00:24:11
por menos 3x al cubo, y menos 2 00:24:12
por menos 4, pues vamos haciendo esa multiplicación 00:24:14
Menos 2 por 4x al cubo me daría menos 8x al cubo 00:24:17
Menos 2 por menos 3x pues me daría menos por menos más 00:24:22
3 por 2, 6x 00:24:26
Menos 2 por menos 4 que me daría menos por menos más 00:24:29
2 por 4, 8 00:24:34
Paso a la siguiente multiplicación 00:24:36
Y aquí, ojo, que tengo que tener cuidado que hay un menos 00:24:38
Pues digo, menos 2x por menos 3, pues menos por menos más, 6x, menos 2x por menos 4x al cuadrado, pues menos por menos más, 2 por 4, 8, x por x al cuadrado, x al cubo. 00:24:41
Menos 2x por x, pues menos por menos por más menos, 2 por 1, 2, x por x, x al cuadrado. 00:25:00
Y por último, este menos 3, pues el polinomio detrás. 3x positivo por 2x, pues más por más más, 3 por 2, 6, x por x, x al cuadrado. Y más 3x por menos 2, pues más por menos menos, 3 por 2, 6, x. 00:25:09
ya habríamos hecho todas las multiplicaciones 00:25:31
¿qué tengo que hacer ahora? 00:25:34
juntar los términos semejantes 00:25:36
juntar los términos que tienen el mismo grado 00:25:38
voy a empezar por el término de grado mayor 00:25:41
¿hay algún 8x al cubo más? 00:25:44
pues sí, aquí atrás 00:25:48
pues voy a juntarlo 00:25:50
menos 8x al cubo más 8x al cubo 00:25:51
¿cuánto va a sumar en total? 00:25:56
menos 8 más 8 00:25:57
pues resulta que 00:26:01
desaparece, uno es positivo 00:26:04
y otro es negativo, uno se carga 00:26:06
al otro, pues las x al cubo 00:26:08
han desaparecido 00:26:10
o sea que va directamente con las variables 00:26:11
claro, solo sumo los coeficientes 00:26:14
voy a las x al cuadrado 00:26:16
digo, menos 2x al cuadrado 00:26:18
más 6x al cuadrado 00:26:20
pues 6 00:26:21
menos 2 00:26:23
4x al cuadrado 00:26:25
voy ahora por las x 00:26:28
digo 6x 00:26:29
más 6x 00:26:31
¿por qué es más 4? 00:26:33
porque si tú gastas 6x al cuadrado 00:26:35
le quitas 2, ¿cuántas te quedan? 00:26:38
si, 4, pero no le poníamos 00:26:41
el signo menos 00:26:42
no, porque si tienes 6 euros 00:26:43
y te gastas 2, ¿te sobra dinero 00:26:46
o te falta? 00:26:48
te sobra 00:26:49
más otra 6x y menos 6x de aquí al final 00:26:53
pues diríamos 6 más 6 00:26:57
12, pero ahora menos un 6, 12 menos 6 00:27:01
más 6x 00:27:05
que es lo que estábamos juntando, pues todo ese mogollón que me salió ahí arriba 00:27:09
ha terminado reducido a esto 00:27:13
a 4x al cuadrado más 6x, yo lo que he ido es 00:27:16
despacito, haciendo las operaciones 00:27:21
en orden, primero las multiplicaciones 00:27:23
y luego las sumas y las restas 00:27:25
y ya está 00:27:27
¿el 8? 00:27:28
ay, perdón, me he comido ese 00:27:31
de verdad que falta este por poner 00:27:33
8, que es término independiente 00:27:35
como no hay ningún término más como él 00:27:37
que no tenga x 00:27:39
pues ese se queda como está 00:27:41
muchas gracias Gabina, se me había escapado 00:27:42
¿vale? ¿veis? fíjate, nos ha venido bien esto 00:27:44
porque así 00:27:47
os dais cuenta de que 00:27:49
cuando es muy largo el polinomio que me sale 00:27:50
el juntar los términos semejantes 00:27:53
pues puede ocurrir esto 00:27:55
que me deje alguno atrás 00:27:57
cuando lo escribíamos en vertical 00:27:58
no me dejaba nada atrás 00:28:00
esto lo podría ir haciendo las multiplicaciones en vertical 00:28:02
y luego sumar los resultados 00:28:05
también podría haberlo hecho 00:28:07
para que no se alargase tanto 00:28:08
pues este lo he ido haciendo así 00:28:10
pero como mejor 00:28:12
os apañéis 00:28:13
y menos os equivoquéis 00:28:15
porque las operaciones que hay que hacer son muy sencillas 00:28:18
solo son multiplicaciones y sumas y restas 00:28:20
¿vale? de esos coeficientes que son números enteros 00:28:24
con lo cual tengo que tener cuidadito con los signos porque los exponentes no me dan 00:28:28
problemas, los exponentes siempre va a ser sumarlos en la multiplicación 00:28:32
¿vale? bueno, vamos a ver para rematar como se harían 00:28:37
las divisiones en un segundito y dejamos este 00:28:40
tema también visto para sentencia que es facilito, no os asustéis 00:28:44
con él porque solo es 00:28:49
organizar las cosas y ordenar 00:28:50
muy bien las cuentas. Si ordeno bien 00:28:52
las cosas, los resultados salen claros. 00:28:54
Si me pierdo es porque me he revuelto 00:28:57
yo ahí tanto las cosas que me termino perdiendo. 00:28:58
Bueno, pues vamos a ver cómo 00:29:01
se dividen polinomios. Y vamos 00:29:02
a empezar pensando en cómo se dividen 00:29:04
monomios, que son los polinomios más 00:29:06
pequeños. Pues yo digo, quiero 00:29:08
dividir 12x al cubo 00:29:10
entre menos 2x 00:29:12
al cuadrado. Pues la idea 00:29:15
es la misma que tenía 00:29:16
teníamos en multiplicaciones, que voy a separar el coeficiente del literal, o sea que por un lado divido los coeficientes, el 12 entre menos 2, 00:29:19
voy a dar un menos 6 y por otro lado le divido las letras, el x al cubo entre x al cuadrado, recordando que ahora para mi potencia de la misma base 00:29:31
lo que había que hacer era restar los exponentes 00:29:41
pues digo, x al cubo entre x al cuadrado 00:29:44
3 menos 2 00:29:48
me queda 1, o sea que el resultado ha sido menos 6x 00:29:50
voy a este otro 00:29:53
en la división, o sea, los exponentes también 00:29:55
los vamos a dividir, o sea, a restarle 00:29:58
y en la multiplicación le sumamos al exponente 00:30:01
en la multiplicación los exponentes se suman 00:30:04
en la división los exponentes se restan 00:30:07
¿Vale? 00:30:10
Los coeficientes siempre se dividen. 00:30:12
Pero los exponentes de las letras 00:30:15
o se suman o se restan. 00:30:16
Nunca se multiplican ni se dividen. 00:30:19
Profe, yo tengo una duda antes de que... 00:30:21
Porque parece que estás casi por fin. 00:30:23
En el ejercicio 17, que nos diste... 00:30:25
Espérate, Gabina. 00:30:28
Vamos a terminar de explicar esto 00:30:29
y luego ya vamos a los ejercicios. 00:30:31
Porque si no, vamos saltando y no nos enteramos de nada. 00:30:32
¿Vale? Ya llegaremos al 17. 00:30:35
Vamos a terminar de explicar la división 00:30:37
que nos queda por ver cómo se dividiría si el polinomio es más largo, ¿vale? 00:30:38
Yo quiero dividir ahora este menos 6x al cuadrado más x entre este menos 2x. 00:30:44
Por lo que voy a hacer es ir dividiendo uno a uno los términos. 00:30:50
Digo, menos 6x al cuadrado unido entre menos 2, pues negativo entre negativo, positivo. 00:30:54
6 entre 2, 3. 00:31:00
x al cuadrado entre x, una x, porque haría 2 menos 1, 1. 00:31:02
voy a por el siguiente término 00:31:07
más x entre menos 2x 00:31:10
entonces tengo que dividir 00:31:12
más 1 entre menos 2 00:31:14
menos 1 medio 00:31:16
no pasa nada porque un coeficiente 00:31:18
me salga una fracción, nosotros tenemos 00:31:20
que saber operar con 00:31:22
números enteros y con números racionales 00:31:23
no hay ningún problema 00:31:26
y ahora digo x entre x 00:31:27
como tengo que restar los exponentes 00:31:30
1 menos 1, 0 00:31:32
y x a la 0 que era 1, 1 00:31:33
entonces las x desaparecen 00:31:36
dime Gabina 00:31:37
justo ahí me he perdido 00:31:39
cuando te da la fracción 00:31:41
no me entero 00:31:43
la fracción me da 00:31:45
porque yo hago esta división 00:31:47
yo digo, tengo que dividir 00:31:49
el 1 que hay aquí 00:31:52
que no me le ponen 00:31:55
este 1 00:31:58
entre este menos 2 00:31:59
pues 1 entre menos 2 que me va a dar 00:32:00
menos 1 medio 00:32:03
y ahora tendría que restar los exponentes 00:32:04
le digo x elevado a 1, pues 1 menos el 1 de esta trae x elevado a 1, 00:32:07
¿qué va a ocurrir con él? 00:32:14
Que 1 menos 1 da 0, pero ¿qué he pasado con cualquier número elevado a 0? 00:32:15
Quedaba un 1, entonces es como si me quedase aquí un 1 multiplicando, 00:32:21
que no hace falta ponerlo, ¿vale? 00:32:25
¿Lo viste, Gabiná? 00:32:28
Sí. 00:32:30
¿Sí? 00:32:30
Vamos a por este otro ejercicio, que lo que me dice es que 00:32:32
quiero divisiones exactas 00:32:37
y si no me sale exacta 00:32:40
pues dejo el resto como me pasean las divisiones normales 00:32:41
pues vamos a ver 00:32:44
que ocurre 00:32:46
digo 4x al cubo 00:32:47
entre menos 2x al cuadrado 00:32:50
vale 00:32:53
4 entre menos 2 00:32:53
menos 2 00:32:56
x a la 3 00:32:58
entre x a la 2 00:32:59
pues 3 menos 2 00:33:01
1 que no le pongo 00:33:03
voy al siguiente término 00:33:05
Menos 6x al cuadrado entre menos 2x al cuadrado. 00:33:06
Menos 6 entre menos 2, menos entre menos más, y 6 entre 2 a 3. 00:33:11
x al cuadrado entre x al cuadrado me va a pasar lo de antes. 00:33:18
Si resto lo suponente, 2 menos 2 es 0, luego la x desaparece. 00:33:22
¿Y ahora qué ocurre cuando quiero dividir x entre x al cuadrado? 00:33:26
Que no puedo. ¿Por qué? 00:33:31
¿Por qué? Porque el grado del divisor es 2 y el grado del dividendo es un 1 y para poder dividir tengo que tener el grado igual o mayor en el dividendo que en el divisor, porque acordaos que decíamos que en los polinomios no me podían salir exponentes negativos, si yo dividiese esta x entre esta x a la 2 tendría luego exponente 1 menos 2 resultado menos 1, exponente negativo, 00:33:33
y no puedo tener exponentes negativos 00:34:03
si intentase hacer la división del 5 00:34:05
me pasaría lo mismo 00:34:08
me quedaría un exponente x a la menos 2 00:34:09
tampoco me vale 00:34:11
entonces, ¿qué hago? 00:34:12
cuando yo en el cociente de mi división 00:34:14
llevo a grado 1 00:34:16
lo que me haya sobrado del dividendo 00:34:18
en este caso el x más 5 00:34:21
digo que es resto de la división 00:34:23
y lo dejo así 00:34:25
he dividido 00:34:26
hasta que he podido 00:34:28
y lo que me ha sobrado lo tengo que dejar ahí 00:34:30
porque no puedo seguir repartiendo 00:34:32
porque incumpliría las condiciones 00:34:34
de que el exponente 00:34:36
no puede ser 00:34:38
negativo 00:34:40
¿vale? 00:34:41
¿de acuerdo, Gabina? 00:34:43
bueno, vamos a rematar 00:34:45
con una división de un polinomio 00:34:47
grande entre un polinomio pequeño 00:34:50
le vamos a hacer más pequeño 00:34:52
porque eso lo voy a poner con mucho binomio 00:34:54
¿vale? 00:34:56
entonces, para que no se alargue 00:34:56
tampoco la cuenta 00:34:58
digo, voy a cogerme 00:34:59
este polimónico 00:35:02
cogemos uno de los ejercicios 00:35:04
y así 00:35:12
vamos a ver si es lo que tú querías preguntar 00:35:13
del 17 00:35:16
a ver, ¿dónde estaba el 17? 00:35:17
en el 17 00:35:20
vamos a ver lo que pasa 00:35:23
con este ejercicio 17 00:35:24
y resolvemos todo a la vez 00:35:26
y hacemos la división que queremos 00:35:28
las dos cosas a la vez 00:35:29
matamos dos pájaros en un tiro, Gabina 00:35:31
vale 00:35:33
¿Vale? Venga, vamos al polinomio, al ejercicio 17. 00:35:35
Que lo único que me están dando de una manera distinta los datos. 00:35:39
Ya, es lo que no hay que entender. 00:35:43
Pero no pasa nada por eso. 00:35:45
Yo la he hecho, pero no creo que salga. 00:35:49
Vale, esos polinomios, ¿vale? 00:35:51
Me dicen, si yo llamo p de x a este 5x al cuadrado menos 3x más 2, 00:36:03
y q de x a x menos 2, ¿qué haríamos para calcular esa división? 00:36:08
Pues yo lo que hago es decir, me lo voy a escribir en el formato que nosotros conocemos de las divisiones, ¿vale? Y en la cajita del divisor pongo el x-2, eso es lo único, me han dado un nombre para no tener que escribir todo el rato las mismas cuentas, 00:36:14
pero yo las voy colocando luego cada una en su sitio 00:36:35
el p de x 00:36:37
digo vale todo eso, pues yo escribo todo eso 00:36:38
el q de x 00:36:42
vale todo eso, pues yo escribo todo eso 00:36:43
¿vale? y ahora lo que vamos a hacer 00:36:45
es lo siguiente, siempre la división 00:36:47
al igual que en los números 00:36:50
la marca 00:36:51
el valor más alto, y aquí el valor más alto 00:36:52
en los números era la cifra que estuviese 00:36:55
más a la izquierda 00:36:57
aquí es 00:36:58
el término que esté más a la izquierda 00:37:01
Luego, esto me obliga a que cuando yo vaya a hacer una división, escriba siempre los polinomios ordenados, tanto del dividendo como del divisor, ¿vale? 00:37:05
Y que, como en las multiplicaciones, que si me falta algún término, deje huecos, por si acaso luego al operar me aparece. 00:37:15
Aquí tengo el polinomio ordenado y completito, y esto ordenado y completito, pues no he tenido que hacer ninguna modificación, pero si me hiciese falta, las hago. 00:37:21
bueno, pues digo 00:37:30
tengo que irme fijando 00:37:32
en los términos de mayor grado 00:37:34
S5X al cuadrado 00:37:35
contra SX, porque es lo primero 00:37:38
que tengo que repartir 00:37:40
si yo tengo billetes de 500, de 200, de 100 00:37:41
de 5 y monedas de 1 euro 00:37:44
¿qué empiezas a repartir? 00:37:46
Gabina, las monedas de 1 euro o los billetes de 500 00:37:48
los de 500 00:37:50
por si acaso hay que salir corriendo que te lleves 00:37:52
lo mayor posible, ¿no? 00:37:54
pues aquí igual, por si acaso tenemos que salir corriendo 00:37:55
voy a repartir primero las X al cuadrado 00:37:58
pero la voy a repartir primero a esa x 00:38:00
que es el término de mayor grado 00:38:03
entonces como si fuesen monomios 00:38:05
coeficiente entre coeficiente 00:38:08
nos acordamos que cuando no había nada era un 1 00:38:10
5 entre 1 00:38:12
pues a 5 00:38:14
y ahora digo x al cuadrado 00:38:17
entre x 00:38:19
pues como tenemos que restar los exponentes 00:38:20
2 menos 1 va a ser 1 00:38:23
pues 5x a la 1 00:38:25
el 1 no hace falta que le ponga 00:38:27
pero bueno, aunque no suene, lo ponemos 00:38:29
lo vale, he sacado 00:38:31
mi primer término del cociente 00:38:33
voy a ver que me sobra 00:38:35
después de hacer este reparto 00:38:37
pues como hacíamos en las cuentas 00:38:39
con números, lo que voy a hacer es 00:38:41
multiplicar esto 00:38:43
por todo el divisor 00:38:44
y el resultado se lo iré restando 00:38:47
al término que corresponda 00:38:50
digo 5x 00:38:52
por menos 2 00:38:53
que me va a dar 00:38:55
menos 10x 00:38:56
pero si nos acordamos, restar era como sumar el opuesto 00:38:58
entonces cuando yo esté menos 10x 00:39:02
le quiera llevar restando aquí 00:39:04
lo que me voy a acordar es que el opuesto era cambiar el signo 00:39:06
entonces en vez de poner un menos 10 00:39:09
yo voy a poner un más 10x 00:39:10
y lo pondré debajo del 3x 00:39:13
ahora digo 5x a la 1 por x 00:39:15
que me va a dar 5x a la 2 00:39:19
y eso lo tengo que traer restando a este otro lado 00:39:22
pero restar era cambiar el signo 00:39:25
Entonces, cambio el signo y digo menos 5x a la 2 y sumo los resultados. 00:39:26
¿Qué va a pasar? Que el 5x a la 2 con el menos 5x a la 2 desaparece. 00:39:34
O sea que un indicador de que voy haciendo bien la división es que el término de mayor grado va desapareciendo. 00:39:39
Entonces sumo las x y digo menos 3x más 10x que me va a dar 7x y el 2 que no le había tocado baja como está. 00:39:45
Y vuelvo otra vez a intentar dividir. Digo, ¿puedo dividir 7x entre x? Pues sí, porque las dos son del mismo grado. 00:39:57
Entonces puedo volver a dividir. Entonces digo 7 entre 1 a 7 positivo. X entre X, 1, con lo cual desaparecen las X. Fíjate, teníamos término de grado 1, ahora ha salido término de grado 0 y aquí la cuenta tiene que terminar porque debajo del grado 0 no podíamos tener términos porque no me podían salir exponentes negativos. 00:40:05
voy a ver lo que me sobra, digo 7 por menos 2 00:40:31
menos 14, pero al traerlo para acá 00:40:35
como tengo que traerlo restando, me viene un más 14 00:40:38
cambio el signo, nunca me tengo que olvidar 00:40:41
de este paso, de cambiar el signo 00:40:44
en la teoría lo he puesto pasito a pasito bien explicado 00:40:46
para que esto no se os olvide, ahora digo 7 por x 00:40:50
7x, pero al traerlo para la izquierda 00:40:53
cambio el signo, menos 7x 00:40:56
sumamos y que ocurre 00:40:59
que el 7x y el menos 7x 00:41:01
desaparece, o sea que eso me indica que voy bien 00:41:04
y ahora 14 más 2 00:41:06
que me va a dar 00:41:08
16, pues yo lo que digo 00:41:09
es que este sería 00:41:12
el cociente de la división 00:41:14
y esto que me ha sobrado 00:41:16
es el resto 00:41:18
no puedo seguir repartiendo 00:41:19
he terminado, pues como pasaba antes 00:41:22
la división no me ha salido 00:41:24
exacta, mala suerte 00:41:26
si resulta que el resto me sale cero 00:41:28
pues puedo decir que la división es exacta 00:41:31
y genial, porque he podido repartir todo 00:41:33
si no sale exacta, pues no pasa nada 00:41:36
yo dejo el resto que sea y ya está 00:41:38
el resto tiene que ser siempre de grado menor que el divisor 00:41:40
si el resto me sale de grado igual o mayor 00:41:45
es porque no he terminado de dividir 00:41:49
¿vale? 00:41:51
más o menos aclarada tu vida este ejercicio 17 00:41:54
¿Esta era lo que no sabías hacer? 00:41:57
Que tampoco sé no me dio 00:42:00
Y la A también 00:42:01
O sea, esta la C no me dio 00:42:03
La A, fíjate, es tan tonto como decir 00:42:05
Lo seguía 00:42:07
Solo que están cambiando la notación 00:42:08
Mira David, me están diciendo en la A 00:42:10
¿Dónde dice? 00:42:13
Ese 3 que está delante 00:42:14
Mira, mira, espera, espera 00:42:16
Me están diciendo que haga 3 00:42:17
Por 00:42:20
Q de X que era X menos 2 00:42:21
Y que al resultado 00:42:25
le reste 5x al cuadrado 00:42:26
menos 3x más 2 00:42:29
eso es lo que me está diciendo la A 00:42:32
y tú eso lo sabes hacer 00:42:34
porque dices 3 por x menos 2 00:42:36
que te va a dar 3 por x, 3x 00:42:38
3 por menos 2, menos 6 00:42:41
y ahora, restar un polinomio 00:42:43
era lo mismo que sumar el opuesto 00:42:47
acuérdate que decíamos que para restar 00:42:48
cambiábamos todos los signos del polinomio 00:42:51
Pues yo pongo aquí, en vez de más 5x, pongo menos 5x al cuadrado. 00:42:54
En vez de menos 3x, pongo más 3x. 00:42:59
Y en vez de un más 2, pongo un menos 2. 00:43:02
Y ahora sumo lo primer término, menos 5x al cuadrado, que no hay nadie como él. 00:43:05
Segundo término, 3x más otros 3x, más 6x. 00:43:12
y lo último, menos 6 y menos 2 00:43:18
que son los términos independientes 00:43:22
menos 8, pues esa es mi solución 00:43:23
y esta notación que me parecía aquí que era tan rara 00:43:26
resulta que solo era para poder simplificar 00:43:29
y no tener que escribir tanto 00:43:32
como está utilizando todo el rato los mismos polinomios 00:43:34
pues en vez de irlos escribiendo todo el rato 00:43:37
les ha puesto un nombre y cada vez que se quiere referir a ellos 00:43:40
pues pone ese nombre 00:43:43
eso es lo único que ocurre en estos ejercicios 00:43:45
y en los del 16 que también aparecía 00:43:49
así esta misma notación 00:43:51
para no escribir tantísimas veces lo mismo 00:43:53
y que no me quede un ejercicio tan grande como este 00:43:57
pone nombres a las cosas y luego se refiere a ellas con los nombres 00:44:00
pero las cuentas las mismas que hemos hecho 00:44:03
sin ningún problema, tú coges y vas cambiando 00:44:06
cada nombre por lo que vale 00:44:10
y cuando lo tengas ya todo escrito bien 00:44:12
pues haces las cuentas 00:44:15
ya claro, porque yo me había equivocado 00:44:16
yo pensaba que el 3 este que estaba delante de la Q 00:44:18
yo lo tenía que poner donde está la X 00:44:21
o sea, la X 00:44:23
siempre que había un número 00:44:24
delante de una letra 00:44:26
o de un polinomio o de algo 00:44:28
ese número está multiplicando 00:44:30
siempre, ¿vale? 00:44:32
siempre entre medias es una multiplicación 00:44:34
¿de acuerdo? 00:44:36
nada más es eso, aquí abajo 00:44:37
S2PX, pues eso, ¿vale? 00:44:39
pues lo vamos a dejar aquí 00:44:44
la vina ya se nos ha acabado la hora 00:44:47
nos vemos ya 00:44:50
el martes en el examen de ciencias 00:44:51
y el jueves en el de matos 00:44:53
y la que te dije antes 00:44:54
intenta traerme todo lo que puedas 00:44:57
que yo te conté todo 00:45:00
antes no sé qué pasó 00:45:01
creo que se cortó la grabación 00:45:03
Materias:
Matemáticas
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Autor/es:
Angel Luis Sanchez Sanchez
Subido por:
Angel Luis S.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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Fecha:
5 de diciembre de 2025 - 8:17
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB ORCASITAS
Duración:
45′ 06″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
725.89 MBytes

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