Sacar factor común | Mediateca de EducaMadrid

En este vídeo vamos a ver cómo se extrae factor común. 00:00:06

Es un recurso que podemos utilizar para factorizar polinomios, 00:00:10

es decir, expresar un polinomio como productos de otros de grado menor. 00:00:15

Extraer factor común se basa en la propiedad distributiva de la suma o resta. 00:00:23

Esta propiedad nos dice que si multiplicamos un número a por una serie de sumandos, 00:00:32

que he llamado B, C, D, E, etc., esto es igual a la suma del producto de A por cada uno de los sumandos, 00:00:38

es decir, A por B más A por C más A por D más A por E, y así con todos los sumandos que nos aparezcan. 00:00:48

Si leemos esta propiedad de derecha a izquierda, es decir, ahora tenemos una serie de sumandos factorizados, 00:00:58

el factor que aparece repetido en todos ellos, en este caso A, se denomina factor común. 00:01:03

De esta forma podemos escribir la propiedad al revés de derecha a izquierda como A, que es el factor común, multiplicando a los sumandos B, C, D, E. 00:01:13

Esta propiedad también se aplica al producto de un número por una resta de números o bien combinación de sumas y restas. 00:01:24

Veamos algunos ejemplos numéricos 00:01:31

Tenemos la suma de dos cosas factorizadas, 5 por 6 y 5 por 7 00:01:34

Evidentemente el factor que se repite en las dos sumas es el número 5 00:01:39

Así que escribimos que 5 por 6 más 5 por 7 es lo mismo que 5 multiplicando, abriendo paréntesis, 6 más 7 00:01:44

En el segundo ejemplo, 4 por 10 menos 4 por 7, el factor común es 4 00:01:54

Así que podemos escribir 4 abriendo paréntesis por el producto de 10 menos 7. 00:02:00

En este primer ejemplo vamos a extraer factor común en el polinomio 30x a la cuarta más 5x al cubo menos 15x al cuadrado. 00:02:11

Es un polinomio de grado 4 constituido por tres términos, cada uno de los cuales son monomios, 00:02:21

es decir, están factorizados como producto de un número llamado coeficiente por una letra, la x en este caso, elevada a exponente natural. 00:02:27

Expresaremos el polinomio inicial como producto de un monomio que será el factor común por un polinomio de tres términos, 00:02:38

los cuales hemos representado con cajitas y cuyo valor hallaremos posteriormente. 00:02:48

Observar que los signos entre los términos del nuevo polinomio son los mismos que los que tenía el polinomio original 00:02:53

Para hallar el coeficiente del factor común observamos los coeficientes del polinomio original 00:03:02

En este caso son 30, 5 y 15 00:03:10

Y vamos a calcular el máximo común divisor 00:03:14

Para hallar el máximo común divisor, recordar que tenemos que hacer la descomposición factorial, en este caso de los números compuestos de 30 y de 15, porque 5 es número primo, y colocamos la descomposición factorial de la forma mostrada, unos encima de otros. 00:03:17

Así, 30 es 2 por 3 por 5, 5 es igual a 5, y 15 es el producto de 3 por 5. 00:03:38

Ahora buscamos las bases comunes con el menor exponente. 00:03:46

Observamos que la que se repite en las tres descomposiciones factoriales es el número 5. 00:03:50

Ese es el máximo común divisor y por lo tanto el coeficiente de nuestro factor común. 00:03:55

Para hallar la parte literal de nuestro factor común tenemos que observar la parte literal de los tres términos del polinomio inicial. 00:04:02

En este caso x a la cuarta, x al cubo y x al cuadrado. 00:04:11

Hay que coger la letra común que aparece en los tres términos, que es x, con el menor exponente. 00:04:15

El menor exponente entre 2, 3 y 4 es 2. Por eso nos queda x al cuadrado. 00:04:23

A continuación vamos a hallar los tres términos del nuevo polinomio al cual multiplica el factor común 5x al cuadrado. 00:04:30

Para hallar el primer término vamos a dividir el término inicial del polinomio, es decir, 30x a la cuarta entre el factor común 5x al cuadrado 00:04:38

planteamos la división 30x a la cuarta entre 5x al cuadrado 00:04:53

y para realizarla dividimos primero los signos más entre más es más 00:04:58

30 entre 5 es 6 y x a la cuarta entre x al cuadrado 00:05:02

recordar que hay que restar los exponentes dado que es una división de potencias de la misma base x 00:05:07

así nos queda el primer término del polinomio al cual multiplica el factor común 5x cuadrado 00:05:15

es 6x al cuadrado. En la misma forma, para hallar el segundo término, vamos a dividir 00:05:21

el segundo término del polinomio inicial, es decir, 5x al cubo, entre el factor común 00:05:30

5x al cuadrado. 5 entre 5 es 1 y x al cubo entre x al cuadrado tenemos que restar el 00:05:35

correspondiente 3 menos 2 nos queda x a la 1, que es x. El coeficiente 1 que multiplica 00:05:45

la x lo podemos quitar, así que el resultado sería x. 00:05:53

Para hallar el último término dividimos 15x al cuadrado entre 5x cuadrado, que es el factor 00:06:03

común. 15 entre 5 es 3 y x al cuadrado entre x al cuadrado, restando los exponentes, 2 00:06:10

menos 2 nos queda x a la 0, que es 1. Así que calculamos 3 por 1 y eso es igual a 3, 00:06:17

que es el resultado. Así tenemos que el polinomio 30x a la cuarta más 5x al cubo menos 15x 00:06:25

cuadrado es igual al producto del factor común 5x cuadrado por el polinomio 6x cuadrado más 00:06:33

x menos 3, que es el resultado de este primer ejemplo. Veamos a continuación el segundo 00:06:41

ejemplo. Vamos a extraer factor común en el polinomio 4ab cuadrado menos 3ab más 2a 00:06:48

cuadrado b. Igual que en el ejemplo anterior, tenemos un polinomio de tres términos. Lo 00:06:54

expresaremos como el producto del factor común por un nuevo polinomio de tres términos. Hemos 00:07:01

representado con las cajitas y que hallaremos a continuación. Calculamos el coeficiente del 00:07:07

factor común hallando el máximo común divisor de los coeficientes de los términos del polinomio 00:07:14

dado, es decir, de 4, 3 y 2. Como resultado 1. Para hallar la parte literal fijémonos en las 00:07:22

letras comunes que aparecen en los términos. Observamos que los tres tienen la letra A, 00:07:30

así que tomamos la letra A con el menor exponente, que es un 1. También tienen los tres en común 00:07:36

la letra B. Cogemos la letra B con el menor exponente, que también es un 1. Así el factor 00:07:44

común es el producto de 1 por A por B, que es lo mismo que A por B. Como en el ejemplo 00:07:50

anterior, para hallar los términos del polinomio que multiplica el factor común, vamos a ir 00:07:57

dividiendo los términos del polinomio dado entre el factor común a por b. 00:08:03

Así obtenemos que nuestro polinomio 4ab cuadrado menos 3ab más 2a cuadrado b se puede escribir 00:08:23

como el producto del factor común a por b por el polinomio 4b menos 3 más 2a. Como último ejemplo 00:08:34

vamos a extraer factor común en el siguiente polinomio. Observar que también tiene tres términos. 00:08:42

Lo expresaremos como el producto del factor común que veremos que no es un monomio en este ejemplo 00:08:50

por un polinomio de tres términos los cuales hemos representado con las cajitas para hallar 00:08:56

a continuación. Para hallar el coeficiente del factor común tenemos que calcular el máximo 00:09:03

común divisor de 3, de 1 y 1. El máximo común divisor de 3, 1 y 1 es 1. Para hallar la parte 00:09:08

literal observamos que en el polinomio original aparece la letra y en los dos primeros términos 00:09:17

multiplicando, pero no en el tercero, así que no la podemos escribir. El binomio x cuadrado más 1 00:09:24

aparece multiplicando en los tres términos. Por lo tanto, sí formará parte del factor 00:09:31

común. Sí, el factor común es el producto de 1 por el binomio x cuadrado más 1, que 00:09:37

es lo mismo que el binomio x cuadrado más 1. Calculemos a continuación el primer término 00:09:44

del polinomio que multiplica el factor común. Para ello dividimos el primer término del 00:09:51

polinomio original entre el factor común, que es x cuadrado más 1. Dividimos 3 entre 00:09:57

1, que da 3, y entre 1 es la letra y, y el binomio x cuadrado más 1 entre el binomio 00:10:03

x cuadrado más 1 da la unidad. Por lo tanto, el resultado nos queda 3y. Para hallar el 00:10:10

segundo término, dividimos ahora y por x cuadrado más 1 entre x cuadrado más 1. Entre 00:10:18

1 da 1, que no lo escribo, y entre 1 da y, y x cuadrado más 1 entre x cuadrado más 00:10:24

1 vuelve a dar la unidad. Por lo tanto, el resultado es y. 00:10:31

Terminamos hallando el tercer término. Para ello, dividimos x por x cuadrado más 1 entre 00:10:40

x cuadrado más 1. Lo entre 1 daría 1, que no lo escribo, x entre 1 es x, y el binomio 00:10:46

x cuadrado más 1 entre x cuadrado más 1 da 1. Por lo tanto el resultado es x. Nuestro 00:10:54

resultado es el producto de x cuadrado más 1 por el polinomio 3y menos y más x. Daros 00:11:02

cuenta que podemos simplificar nuestro resultado dado que 3y menos y son monomios semejantes 00:11:10

cuyo resultado da 2. 00:11:17

Así hemos obtenido la solución del ejemplo 3. 00:11:20

Sacar factor común - Contenido educativo

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