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4 ESO. Ejemplos de Dominio de función con fracción y raíz cuadrada - Contenido educativo

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Subido el 22 de abril de 2022 por Gonzalo T.

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Este ejercicio tenemos la función m de x igual a la raíz cuadrada de este cociente, x al cuadrado menos x menos 6 partido por x al cuadrado más 2x más 1. 00:00:01
Se trata de calcular el dominio de esta función. 00:00:12
Entonces, como siempre, en los dominios lo primero que nos preguntamos es ¿qué condición tiene que darse para que este cálculo pueda hacerse? 00:00:16
Entonces tenemos por un lado una fracción y en una fracción siempre el denominador debe ser distinto de cero. 00:00:22
Pero además tenemos una raíz cuadrada, entonces el radicando debe ser mayor o igual que cero. 00:00:33
Entonces, vamos a plasmar estas condiciones en una inequación. 00:00:41
Pues la inequación se resume en esta inequación, que esa fracción algebraica sea mayor o igual que cero. 00:00:46
Porque al resolver esa inequación estaríamos eliminando los valores que hacen cero en el denominador 00:00:52
Y los valores que hacen negativo toda la fracción algebraica 00:00:57
Entonces, cuando esto que tenemos aquí es mayor o igual que cero, la raíz cuadrada se puede hacer 00:01:03
¿De acuerdo? 00:01:08
Entonces, pues vamos a resolver esta inequación 00:01:10
Bueno, hemos resuelto previamente una inequación muy parecida, pero sin el igual 00:01:13
simplemente mayor estricto, es muy poco diferente 00:01:21
pero bueno, por si no alguien está viendo este vídeo sin haber visto 00:01:25
esa solución, lo vamos a explicar de nuevo 00:01:29
lo primero, por ser una fracción algebraica mayor o menor 00:01:32
mayor o igual o menor o igual que cero, lo que buscamos son 00:01:37
que tanto numerador como denominador estén factorizados y buscar 00:01:40
los puntos críticos, cuando esto vale cero y cuando el denominador también vale cero 00:01:45
Entonces la primera, el numerador, la de arriba, pues es una ecuación de segundo grado, abrigamos sus raíces y con sus raíces factorizamos y nos queda x menos 3 por x más 2. 00:01:50
El denominador también es una ecuación de segundo grado, pero en este caso al ser el desarrollo de una identidad notable lo podemos hacer directamente. 00:02:03
¿Qué no nos damos cuenta? Hacemos como arriba y obtendremos una única solución doble, menos 1. 00:02:09
Entonces lo único que tenemos que tener en cuenta es que por ser solución doble hay que ponerlo al cuadrado. 00:02:14
Si continuamos, lo que tenemos ahora es resumido cómo nos ha quedado 00:02:17
Nos queda que este miembro de la inequación queda de esta manera 00:02:24
Y para continuar ahora tenemos que escribir cuáles son los puntos críticos 00:02:28
En las inequaciones con fracciones algebraicas 00:02:32
A mí me gusta diferenciar entre puntos críticos permitidos 00:02:35
Que son los ceros, los que hacen cero el numerador 00:02:42
que son 3 y menos 2 y puntos críticos prohibidos 00:02:44
que son los que hacen 0 el denominador 00:02:48
que sería en este caso menos 1 00:02:51
prohibidos porque no se puede dividir por 0 00:02:54
y ya el siguiente paso sería 00:02:57
una vez que tenemos los 3 puntos críticos en este caso del 3 00:03:00
pues vamos a dividir la recta en intervalos 00:03:03
dividiendo con estos 3 puntos críticos 00:03:07
y vamos a ver el signo de cada factor 00:03:10
en cada uno de los intervalos que quedan. 00:03:11
Y una vez que tenga el signo de cada factor, haremos el producto de todos los factores. 00:03:15
Sí, ya sé que esto no es un producto, porque arriba sí que sería algo por algo dividido entre algo, 00:03:19
pero para los signos es lo mismo multiplicar que dividir. 00:03:25
Entonces, vamos ahora aquí a hacer un poquito de sitio, 00:03:30
y vamos a realizar este segundo paso, que sería escribir esta tabla. 00:03:32
Dividimos el intervalo que va de menos infinito a más infinito por los tres puntos críticos 00:03:39
Menos 2, menos 1 y 3 00:03:45
El menos 1 lo he redondeado en rojo para indicar que está prohibido 00:03:47
Que nunca en ningún caso se coge 00:03:55
Incluso aunque aquí tenga que coger el igual a 0, este no se va a coger 00:03:57
Porque este no hace que la fracción sea 0 00:04:02
Hace que el denominador sea 0 00:04:04
Y entre 0 no se puede dividir nunca 00:04:06
Vale, los tres factores son x menos 3, x más 2, x más 1 al cuadrado 00:04:08
Bueno, vemos el signo que toma esta expresión 00:04:12
Cuando la x está en este intervalo, en este, en este y en este 00:04:17
Esta expresión, x más 2, cuando la x está en este intervalo, en este, en este y en este 00:04:21
Y nos queda esta tabla, ¿vale? 00:04:27
Y ahora por último, la fracción, es decir, esta fórmula de aquí no la he escrito entera 00:04:29
Puesto simplemente fracción 00:04:33
¿Qué signo tiene? 00:04:35
Pues aunque sea una fracción, ya digo, multiplicamos los signos. 00:04:36
Menos por menos, más. 00:04:40
Bueno, el x más 1 al cuadrado es siempre positivo porque está elevado al cuadrado, entonces tampoco aporta mucho al signo. 00:04:42
Aquí menos por más, menos. Aquí menos por más, menos. Aquí más por más, más. 00:04:48
Entonces, soluciones cuando esto sea mayor que cero. 00:04:52
Luego del igual es simplemente coger los puntos críticos permitidos. 00:04:55
Entonces, esto será mayor que cero cuando sea positivo. 00:05:01
Pues en este intervalo sí está dentro de la solución, estos dos no, y el 3 infinito sí. 00:05:04
Entonces tenemos como solución de menos infinito a menos 2, y de 3 a infinito. 00:05:11
Y el menos 2 y el 3 los vamos a coger porque tenemos el igual a 0. 00:05:17
Entonces es con un corchete aquí. 00:05:23
¿Vale? Es decir, 0 es una solución de la inequación. 00:05:25
O sea, menos 2 y 3, perdón, son soluciones de la inequación. 00:05:28
porque al sustituir aquí me sale 0 00:05:30
y 0 es igual a 0 00:05:33
y luego está dentro de la inequación 00:05:35
si tuviéramos mayor estricto 00:05:37
no habría que cogerlos 00:05:39
y el menos 1 no se coge porque no hace que esto valga 0 00:05:40
hace que esto no se pueda calcular 00:05:44
porque es dividir por 0 00:05:45
bueno, pues tenemos ya nuestra solución 00:05:46
de la inequación 00:05:49
pues vamos a terminar ya el ejercicio del dominio 00:05:50
hemos resuelto la inequación 00:05:53
nos ha dado 00:05:56
esta unión de intervalos 00:05:57
Bueno, pues las soluciones de la inequación son los puntos de x que cumplen las condiciones para que esto se pueda calcular. 00:05:59
Es decir, eso es el dominio. 00:06:06
Entonces ya simplemente expresamos el dominio diciendo que el dominio de m, en este caso la función se llama m, es este intervalo. 00:06:08
Que quiere decir que si x es un valor que está entre menos infinito y menos 2, incluyendo el menos 2, o entre 3 y infinito, incluyendo el 3, yo puedo calcular la imagen de x. 00:06:15
Y si x es un valor entre menos 2 y 3 sin incluirlos, no puedo calcularlo, porque me va a salir una raíz cuadrada de algo negativo. 00:06:27
O ni siquiera la raíz cuadrada de nada, porque dividir por 0 no valdría. 00:06:39
Y ya por último, vamos a comprobarlo viendo la gráfica de esta función, sacando el dominio a partir de la gráfica y viendo que coincide con el dominio que hemos obtenido. 00:06:46
Esta sería la gráfica de la función y como vemos está definida desde menos infinito hasta menos 2 incluyendo el menos 2 00:06:54
Cuando la x vale menos 2 la función vale 0 00:07:03
Entre menos 2 y 3 no hay nada y de 3 incluyendo el 3 porque para 3 sí que está definido la función vale de nuevo 0 00:07:06
Y desde 0 va creciendo cuando la x va de 3 a infinito 00:07:14
Luego el dominio aquí sería de menos infinito hasta el menos 2 incluyendo el menos 2 y luego de 3 a infinito incluyendo el 3, que coincide exactamente con el dominio que habíamos obtenido analíticamente. 00:07:19
Subido por:
Gonzalo T.
Licencia:
Dominio público
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Fecha:
22 de abril de 2022 - 13:03
Visibilidad:
URL
Centro:
IES LAS ROZAS I
Duración:
07′ 40″
Relación de aspecto:
1.78:1
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1552x874 píxeles
Tamaño:
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