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Área entre funciones. Integral definida. - Contenido educativo
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Buenas, en este vídeo vamos a intentar explicar los distintos casos que se nos pueden presentar para calcular el área bajo una función.
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El caso 1 es el caso más sencillo en el cual nosotros tenemos la función f de x igual a x al cuadrado
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y ya nos dicen los límites de integración entre 0 y 1, entre x igual a 0 y x igual a 1.
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Nosotros sabemos que el área es igual a la integral entre 0 y 1 de esa función f de x, esta función es inmediata, x al cuadrado, recordemos que es la integral de toda función polinómica x elevado a n diferencial de x, es igual a x elevado a n más 1 partido n más 1 más k.
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Este más k es las indefinidas. Si nosotros tenemos una función definida, pues lo que hacemos es poner los límites de integración. Este 1 lo ponemos aquí y este 0 lo ponemos aquí.
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¿Y eso cómo se traduce? Pues primero sustituimos, una vez que ya hemos integrado en el x al cubo partido de 3, que es la integral de x al cuadrado,
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sustituimos la x por 1, en este caso sería 1 al cubo partido de 3, y luego le restamos el sustituir en esta función, es decir, en la integral ya realizada,
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la x por el límite superior que en este caso es 0
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un tercio menos 0 pues nos queda un tercio
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es decir, todo este área que está aquí en negro
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que esta es la función f de x igual a x al cuadrado
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esto es los límites de integración entre 0 y 1
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pues todo este área sombreada en negro y ahora en medio verde
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pues es un tercio unidades al cuadrado
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Recordar que las áreas se miden en metros al cuadrado o centímetros al cuadrado.
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Cuando no nos dicen qué unidades, siempre se pone unidades al cuadrado.
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¿Vale?
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Súper importante, unidades cuadradas.
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¿Vale?
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Lo importante que tenemos que saber nosotros en el cálculo de área es saber representar nuestra función.
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Las funciones polinómicas son bastante sencillas.
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Partimos las rectas, que es la función polinómica de primer grado, mx más n, donde nosotros al tener dos puntos de una recta, pues ya tenemos definida toda la recta.
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Con lo cual, si nuestra función es de primer grado, lo que hacemos es, por ejemplo, los cortes con los ejes, tanto x como y, una vez que yo ya tenga el corte con las x y el corte con las y, yo uno y ya tengo lo que es mi función polinómica, que es una recta.
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En el caso de tener una función de segundo grado, que es del tipo ax al cuadrado más bx más c, nos puede ocurrir dos cosas, ¿no? Puede ser una función del tipo así u otra función hacia arriba, es una parábola, y lo que tenemos que tener muy claro es precisamente, pues, esto.
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Si es, digamos, con los cuernos hacia abajo o los cuernos hacia arriba, pues ver también si tiene cortes con los ejes de las X o no, porque muchas veces nos podemos encontrar, por ejemplo, una función parabólica cuyo máximo sea negativo y vaya hacia abajo, pues si te das cuenta aquí no llega a cortar nunca al eje de los X.
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Sin embargo, si es una función parabólica con los cuernos hacia arriba y el mínimo es positivo, pues vemos que tampoco va a cortar al eje de las X que va hacia arriba, ¿no? Entonces eso es importante de cara también a las áreas, ¿no?
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Luego, como es el caso 2, me interesa mucho porque es una ecuación de tercer grado.
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Normalmente las ecuaciones de tercer grado suelen tener tres raíces.
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Las que aparecen en el BAU todas tienen tres raíces.
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¿Y eso qué significa?
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En una función de tercer grado, voy a cambiar un momentillo el color.
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Si yo tengo aquí mi función de tercer grado y tengo tres raíces, ¿vale? Pues va a hacer que yo tenga aquí, por ejemplo, una raíz, aquí otra, en este caso coincide con cero, pero no tiene por qué, y aquí la tercera raíz, ¿no?
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Bueno, esto es muy importante porque normalmente el área, si nos piden el área de la función respecto al eje o X, pues nosotros aquí tenemos distintos casos. Siempre que esté la función por encima de la X es positivo y el área es positiva.
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Sin embargo, aquí, si nosotros hacemos los límites de integración, nos va a salir el área negativa, porque la función está por debajo del valor de las si es negativa.
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¿Qué ocurre? Que el área siempre es positiva. Entonces, en este caso, lo que hacemos es el valor absoluto.
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Vamos a ir al ejemplo que tenemos, que es x al cubo menos x, esa es una función de tercer grado, con lo cual va a tener tres raíces,
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vemos que es una función incompleta, si fuese completa no nos quedaría más remedio que hacer Ruffini,
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pero sin embargo aquí lo que vemos es que podemos sacar factor común, sacar factor común x,
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Si yo saco factor común x, me queda el otro polinomio x cuadrado menos 1, esto es una igualdad notable, si no nos acordamos de la igualdad notable, pues aquí lo que podemos aplicar es la típica fórmula de x, de ecuación de segundo grado,
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ecuación de segundo grado donde
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nosotros hacemos que x es igual a
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b al cuadrado más menos
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perdona, b al cuadrado no, a ver, perdona, menos b
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ay que coraje, que va a ser rápido
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y estoy tardando más, es menos b
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más menos b al cuadrado menos 4ac
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partido de 2a, y nosotros en este caso, si x cuadrado menos 1, vaya tela, x cuadrado menos 1, nosotros lo hacemos por esta fórmula de aquí de toda la vida,
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pues también nos sale el x más 1 y el x menos 1. ¿Esto qué significa? Pues que nosotros tenemos aquí tres raíces, tres raíces, que es x igual a 0,
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Aquí es x menos 1 y aquí x más 1. Gráficamente, pues gráficamente podemos observar que nuestra función f de x corta al eje de las x en x igual a menos 1, que está aquí. Aquí está el menos 1, aquí está el 0 y aquí está el 1.
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Es importante saber si estamos en la parte de arriba o en la parte de abajo
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¿Por qué? Porque esto, si yo hago los límites de integración entre menos 1 y 0 me va a salir positivo
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Y si yo hago la integral entre 0 y 1 me va a salir negativa
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¿Por qué? Porque la función está en los valores de i negativos
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¿Qué ocurre? Que en este caso de aquí, que yo sé que está por debajo del eje OX, pues hacemos el valor absoluto. El valor absoluto porque las áreas siempre son positivas. ¿De acuerdo?
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¿Cierto? Entonces, ¿qué nos ocurre? Pues que aquí hay una propiedad que nos decía de las integrales definidas, es que si nosotros estamos, por ejemplo, entre a y b, ¿vale? Tenemos un intervalo ab y c pertenece a dicho intervalo, es decir, c es un punto intermedio del intervalo ab,
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Pues la integral entre a, b de f de x diferencial de x nosotros podemos hacer que es de a a c f de x diferencial de x más de c a b f de x diferencial de x, ¿de acuerdo?
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Y esto es súper importante porque nos permite precisamente en estos casos cuando yo hago la integral de menos 1 a 1, pues yo la puedo separar en dos, ¿no?
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En este caso, la separaría desde menos 1 a 0 y de 0 a 1.
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Al final, yo lo que tengo que separarla es en función de las raíces de mi polinomio de tercer grado.
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Si yo tuviera un polinomio de cuarto grado, tendría cuatro raíces y lo que haría era dividir mi integral en tres integrales, ¿no?
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Desde x sub 1 a x sub 2, que son la primera raíz y la segunda raíz, de x sub 2 a x sub 3, que es la segunda y la tercera raíz,
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y de x sub 3 a x sub 4, que es el intervalo que comprende entre la raíz tercera y la raíz cuarta, ¿vale?
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Aquí que observamos, pues que el área total, vemos primero, vamos, aunque se ha hecho después, vamos a ver desde menos 1 a 0,
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de x al cubo menos x, estas son funciones integrales, perdona, inmediatas, de x al cubo es x al cuarto partido de 4,
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y de x, x al cuadrado partido de 2, vemos los límites de integración que va desde menos 1 a 0,
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primero sustituimos la x a 0, que da todo 0, todo esto tiende a 0, y luego sustituimos la x por menos 1.
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¿Qué vemos aquí? Pues que al final nos da un medio de unidades cuadradas, ¿no?
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Aquí como no dicen si es metro o es decímetro, es al final unidades cuadradas.
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aquí lo que tenemos es el valor absoluto
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el valor absoluto aquí si os fijáis entre menos 1 y 1
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y 0 como la f de x está por encima
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de 0
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la f de x positiva pues nos sale
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directamente el área
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perdona nos sale el área positiva
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aquí sin embargo entre 0 y 1 que está
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la f de x siempre por debajo de 0
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pues tenemos que hacer, como vemos aquí, el valor absoluto, porque si no, no saldría negativa.
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Se hace igual, es una integral inmediata, x cuarta entre 4 y la x, x al cuadro partido de 2,
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los límites de integración entre 0 y 1.
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Si nosotros los sustituimos y no ponemos los valores absolutos, aquí nos saldría menos un medio de unidades cuadradas,
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Que si nosotros al final sumamos este un medio positivo y este un medio negativo nos saldría cero, pero nosotros aquí tenemos distintas áreas, ¿no? Con lo cual siempre nos quedamos con el valor en positivo y aquí de cero a uno le hacemos ese valor absoluto de tal forma que me queda también un medio de unidades cuadradas.
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Por lo cual, ¿cuál es el área total? Pues al final un medio más un medio es igual a una unidad cuadrada, que es todo lo que mide aquí en negro. Entonces es súper importante saber en los polinomios de segundo, de tercer grado, de cuarto grado, de quinto, saber las raíces, es decir, los cortes de la función en el eje OX.
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¿De acuerdo? Vamos a irnos al tercer caso donde nosotros ya tenemos dos funciones. Por un lado tenemos x al cuadrado y por otro tenemos x. Lo que nos pide es el área que forman entre ambas funciones.
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Entonces, para ello es muy importante, lo primero que tenemos que hacer es, cuando nos dicen el área entre dos funciones, es igualarla. ¿Y para qué la igualamos? Pues precisamente para conseguir los puntos comunes de ellas dos, ¿no? Ver dónde se cortan esas dos funciones.
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aquí son muy fáciles tenemos x al cuadrado pues igual a x
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al final llevamos la x al primer miembro
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que como aquí está sumando pasa restando x al cuadrado menos x igual a 0
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aquí igual sacamos factor común x o si no
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nosotros aquí podemos aplicar perfectamente la
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la ecuación de menos b más menos
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raíz de b al cuadrado menos 4ac partido de 2a para obtener las raíces
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de esta función de segundo grado, lo que pasa es que como es incompleta,
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no tiene término independiente, es más fácil sacar factor común x.
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Vemos las dos raíces, más que dos raíces, perdona,
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vemos los dos puntos de tangencia entre ambas funciones,
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es decir, en x igual a 0 y en x igual a 1, se cortan estas dos funciones,
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tienen el mismo valor.
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Aquí vemos representado, pues, hecha en azul la recta x
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Y aquí en rojo tenemos x cuadrado. ¿Qué ocurre? Que cuando hacemos dos funciones, el área entre dos funciones, si yo, por ejemplo, tengo esta función de aquí y ahora voy a hacer otra en morado, por ejemplo, que es así, pues vemos que aquí tenemos un punto de unión, este es otro punto de unión y luego este punto de aquí, ¿no?
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Aquí tenemos un valor de x sub 1, por ejemplo, aquí x sub 2 y x sub 3. ¿Y cuál es el área comprendida entre ellas? Pues lo que encierra todo esto de aquí más todo esto de aquí que he puesto en amarillo.
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Y lo que aquí sí que es muy importante saber, por ejemplo, si nosotros hemos dicho que el azul es f de x y la morada es g de x, pues nosotros lo que sí tenemos que saber es en este intervalo entre x sub 1 y x sub 2 y este intervalo x sub 2 y x sub 3, cuál es la que está por encima del otro.
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Y eso es muy sencillo de resolver. Imaginamos que tenemos un caso concreto entre el x sub 1 vale, por ejemplo, menos 2, el x sub 2 vale 3 y el x sub 3, me lo estoy inventando, vale 10, ¿no? Pues, por ejemplo, ¿cuál es el valor mío por referencia siempre cuando tenemos intervalos? Pues para mí es el 0, ¿no? Y ¿por qué es el 0? Porque es muy fácil de sustituir, sobre todo en las funciones polinómicas, ¿no?
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Aquí, si nosotros sustituimos el 0, aunque lo vemos gráficamente, no tenemos la ecuación, vamos a ver que, por ejemplo, f de 0 va a ser mayor que g de 0.
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Y eso es importante, porque en este intervalo de integración entre menos 2 y 3 pondríamos f de x menos g de x.
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Aquí vemos que f de x, que es la que está dibujada azul, está por encima de la morada y, sin embargo, en el intervalo 3, 10, pues, por ejemplo, nosotros cogemos, yo que sé, me lo estoy inventando, el 5 y podemos observar que g de 5 es mayor que f de 5.
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Y eso va a ocurrir con todos los intervalos, todos los puntos de intervalo, todas las x en el intervalo 3, 10. Entonces, en todos los puntos de este intervalo 3, 10, la g va a estar por encima, va a ser mayor que f.
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Y sin embargo en todos los puntos que van desde menos 2 a 3, pues la f va a estar por encima de la g. Entonces nuestro límite de integración aquí haríamos f de x menos g de x y sin embargo aquí haríamos g de x menos f de x.
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Esto que a lo mejor puede parecer muy difícil es muy sencillo. Aquí en este caso observamos que los puntos de corte es x igual a 0 que está aquí y aquí que es x igual a 1.
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Aquí lo suyo sería si nosotros hacemos por ejemplo f de 0,5, f de 0,5 como f de x es x al cuadrado es 0,5 al cuadrado que es 0,25 y sin embargo g de 0,5 como g de x es igual a x pues vemos que es 0,5.
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Aquí observamos que g de x es mayor que f de x en todos los puntos del intervalo 0,1. Con lo cual, a la hora de integrar, nosotros integramos entre 0 y 1. 0 y 1 no es al azar, son las x que nos han dado al hacer la igualación de una función con otra.
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Y luego, ¿por qué ponemos g de x menos f de x? Precisamente porque nosotros sabemos que en ese intervalo que va entre los dos puntos de corte de las dos funciones, entre 0 y 1, g de x siempre va a ser superior a f de x.
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Si nos equivocamos, ¿qué nos va a ocurrir? Pues únicamente que nos va a salir el área en negativo. Como los áreas no pueden ser negativos, bien, vamos al paso contrario o si no, nosotros aquí podemos poner un valor absoluto y mantenemos ese valor absoluto en toda la igualdad y entonces al final ese valor negativo se convierte en positivo.
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Pero si no, hacemos esta comprobación y ponemos en vez de f de x menos g de x, pues ponemos g de x menos f de x. Aquí vemos que son integrales inmediatas, g de x es x y f de x es x al cuadrado.
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hacemos las integrales inmediatas de x, x al cuadrado partido de 2, de x cuadrado es x al cubo partido de 3, está entre 0 y 1,
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sustituimos primero por el límite superior que es 1 y luego ponemos el menos y hacemos el límite inferior que es 0.
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Calculamos los distintos valores y en este caso nos da un sexto unidades cuadradas.
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No olvidéis nunca de las unidades al cuadrado porque las áreas siempre se miden metros cuadrados, decímetros cuadrados, centímetros cuadrados, kilómetros cuadrados. Entonces, como no nos define precisamente la unidad de medida, es unidades al cuadrado y nos curamos en salud.
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Vamos a ver otro caso, si me deja buena, estamos ahora en el caso 4, este caso 4 es el área comprendida entre dos funciones,
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podemos observar aquí que ambas funciones son cuadradas, lo que tenemos que estudiar un poco es la forma, es muy importante porque las funciones cuadradas son unas parábolas,
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Pueden ir hacia abajo o hacia arriba y tenemos que ver también si hay corte con los ejes o no hay corte con los ejes. Siempre que tenemos el área entre dos funciones, lo primero que tenemos que hacer es precisamente hallar los puntos en común entre ambas.
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Entonces, por lo tanto, es tan sencillo como igualar f de x a g de x. Aquí tenemos al final una ecuación de segundo grado. Aplicamos la definición de x igual a menos b más menos la fórmula que siempre sabemos, b al cuadrado menos 4ac partido de 2a para hallar las x que son comunes tanto en f como en g.
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Y eso precisamente, que son los puntos de intersección de esas dos funciones, van a ser nuestros límites de integración, el 2 y el 1.
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Aquí se ha optado por poner g de x menos f de x, pero ¿cómo podemos nosotros saber si es g de x menos f de x o es f de x menos g de x?
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Aquí, bueno, ya partimos con ventaja, donde nosotros tenemos representadas las dos funciones, una en color y otra en azul.
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No sé si recordáis, esto es muy importante para ustedes, que cuando el máximo y el mínimo nos decían de siempre que, por ejemplo, nosotros si tenemos una función, lo voy a hacer un momentillo aquí en azul a ver si me deja.
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Si yo tenía una función de segundo grado, ax cuadrado más bx más c, siempre nos decían que la x del vértice es menos b partido de 2a.
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Y bueno, así lo aprendíamos y no sabíamos muy bien de dónde nos venía.
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Esto tiene una explicación. Si os acordáis los vértices de una función de una parábola, al final ¿qué es? Un máximo o un mínimo.
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Entonces, si por ejemplo yo derivo f de x, que me queda 2ax más b. ¿Y qué ocurre en los máximos y en los mínimos? Que la primera derivada es igual a cero. Por lo tanto, 2ax más b igual a cero.
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Si yo despejo la x, tengo que 2ax es igual a menos b y que x al final es menos b partido de 2a. Es decir, lo que siempre nos han enseñado, que nos aprendiéramos de memoria, la xv, es decir, los vértices están en xv y luego en f de xv, f de xv, no es más que una vez que yo sé que, por ejemplo, el vértice está en 2, pues yo sustituyo el 2 en la x en la función original.
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Y todo esto viene de aquí, de hacer precisamente la primera derivada de esta ecuación de segundo grado igual a la cero y siempre pues la x me sale menos c partido de 2a.
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Luego otra cosa también que nos decían cuando empezamos a ver funciones era que si el valor de a era mayor que cero pues los cuernos digamos iban para arriba, la parábola iba hacia arriba y si a era menor que cero pues los cuernos van para abajo.
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Entonces, viendo, digamos, aquí f de x y g de x, veo que precisamente el a de f de x es positivo, con lo cual iría hacia arriba y aquí de g de x, que es menos 1, pues iría hacia abajo, ¿no? Entonces, aquí podemos discernir que esta azul es g de x, ¿vale? Esta de aquí es g de x y la de rojo es f de x.
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F de x. Nosotros aquí siempre yo os insisto, veo que los puntos de corte hemos averiguado que es menos 2 y 1. Esto de aquí, ¿qué es lo que conlleva? Pues que yo tengo tres intervalos, ¿no? Desde menos infinito a menos 2, otro que es desde menos 2 a 1 y otro que es desde 1 a más infinito, ¿de acuerdo?
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Esos son los tres intervalos entre los dos puntos de corte que hemos obtenido de f de x y g de x.
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El que me interesa realmente es el menos 2, 1.
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¿Y cuál es un punto intermedio que además a mí me pone mucho? Pues el x igual a 0.
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Para saber sin tener la gráfica, porque claro, ahora que tenemos aquí la gráfica es muy sencillo, sabemos que g de x, que es la azul, está siempre por encima de f de x, que es la roja.
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Pero si nosotros no tenemos la gráfica o no tenemos tiempo para representarla, pues ¿qué es lo que yo siempre os recomiendo? Pues nada, me voy a un punto de ese intervalo entre los dos puntos de corte, en este caso menos 2, 1 y encima está el 0, pues ¿yo qué hago?
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Pues si recordamos, f de x era igual, vamos a recordarlo, era igual a x cuadrado más 2x, x cuadrado más 2x menos 3, x cuadrado, a ver, x cuadrado más 2x menos 3.
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¿Cuánto vale f de 0? Pues f de 0, menos 3, más fácil, imposible. ¿Y g de x qué era? Era menos x cuadrado, vamos a recordarlo, subimos un momentillo, es menos x al cuadrado más 1, con lo cual x cuadrado, perdonad, vamos aquí, x cuadrado más 1.
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¿Cuánto vale g de 0? Pues precisamente 1. Vemos que g de 0, que es 1, es mayor que menos 3, que es igual a f de 0. Se cumple que cualquier valor de este intervalo de menos 2 a 1, g de x es mayor que f de x.
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Con lo cual es un puntazo porque nosotros ya para calcular el área entre esas dos funciones f de x y g de x, pues nosotros ponemos los límites de integración, estos dos puntos que hemos calculado de intersección entre ellos, x igual a 1 y x igual a menos 2.
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El menos 2 se pone siempre, es decir, el menor siempre se pone debajo y el mayor siempre se pone para arriba. Y hemos cogido g de x menos f de x porque hemos comprobado que en ese intervalo menos 2, 1 siempre la g de x es mayor que f de x. ¿Por qué? Porque todas las áreas tienen que ser positivas.
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aquí pues una vez que nosotros tenemos f de x menos g de x que es menos 2x cuadrado menos 2x más 4
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y en esos límites de integración que van desde menos 2 a 1 pues vemos que estas son integrales inmediatas
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y luego pues nada como siempre sustituimos primero la x por el límite superior menos sustituir la x por el límite inferior
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que en este caso es menos 2, lo veis aquí, hacemos operaciones, tenemos calculadora y al final nos da 9, 9 unidades al cuadrado, ¿por qué? Porque siempre las raíces son positivas.
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Yo de hecho no lo veo complicado, esto siempre se hace lo mismo, el área entre dos regiones, lo que se hace es igualar las dos, perdona, es la región entre dos funciones, lo he dicho más,
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El área entre dos funciones siempre se hace igual. El primer paso es igualar esas funciones, hallar esos puntos de cortes que hay entre esas dos funciones, que además van a ser mil límites de integración.
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Comprobamos, porque en este caso hay dos, pero si hubiese tres, pues comprobamos los dos intervalos que surgen de esos tres puntos.
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Observamos cuando f de x o g de x está por encima de ellos, sustituyéndolo simplemente, como hemos hecho aquí, por un valor.
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En este caso me ha venido al pelo el cero.
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De acuerdo, los puntos de intersección son menos 2, 1.
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Veo que el 0 que está en ese intervalo se cumple que g de x es mayor que f de x, es decir, g de 0 es mayor que f de 0. Por lo tanto, yo pongo aquí g de x menos f de x, integro, que son además integrales inmediatas, sustituyo primero por el límite superior y luego le resto el límite inferior porque esto es aplicar la regla de Barrow, ¿vale?
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Esto no es más que aplicar barrow y obtengo ya el área definida entre esas dos funciones. Y nos vamos a ir ya al último caso y con esto termino.
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¿Qué nos puede ocurrir? Pues nos da una función, vemos que es una función también cuadrada, que es una parábola,
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vemos que va hacia arriba, no sabemos si corta o no corta el eje de los x, lo podemos hallar.
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Y luego ya me dice que está entre x igual a menos 1 y x igual a 2.
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¿Cuál es la recta x igual a menos 1? Pues esta de aquí.
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Voy a hacer ahora la de x igual a 2 en colorado, pues si aquí está el 2, la resta x igual a 2, pues me da igual cuál es el valor de y que siempre x va a valer 2 y aquí me da igual el valor de y que siempre x va a valer menos 1.
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Entonces, ¿qué ocurre? Pues si mi función es esta de aquí, este es el área que me están pidiendo y si mi función es esta de aquí, pues esta será el área si esto es menos 1 y esto es 2. Siempre hacemos lo mismo.
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Límites de integración iría desde menos 1 a 2, pero sí que es importante ver el signo. ¿Qué ocurre aquí? Pues que tenemos una recta, como siempre, menos 1 y 2.
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Con lo cual vamos a ver un momentillo que nuestra función, si nos fijamos, que es la colora, es hacia arriba, vemos que tiene dos puntos de corte en 0 y 1 y luego ya nos dicen el menos 1 y el 2.
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¿Vale? Entonces vamos a hallar lo primero, los puntos de corte de mi función con el eje de las x. Y eso es tan sencillo como hacer, perdona porque me he saltado este paso que es fundamental, x cuadrado menos x igual a 0.
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Aquí esto es incompleto, lo puedo hacer por la ecuación de segundo grado de toda la vida, pero al ser incompleta yo veo que puedo sacar el factor común, por lo tanto esto es x por x menos 1, que es igual a 0, de donde x es igual a 0 y x es igual a 1.
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Con lo cual yo en 0 tengo un punto de corte y en 1 tengo el otro punto de corte. El menos 1 y el 2 me lo definen estos límites de integración de aquí.
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Volvemos a lo de siempre. ¿Cómo sé yo si mi función está por encima o está por debajo o por encima? No lo sé, ¿no? Es sencillo. Al final, perdonad, lo que es sustituir, sustituir valores, ¿no? Por ejemplo, cojo f de... vaya tela, vaya tela, perdonad.
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Cojo f de menos 0,5. Voy aquí y hago f de menos 0,5. ¿Por qué menos 0,5? Porque es un valor que está en el intervalo menos 1,0.
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Y si lo sustituyo, vaya tela, uno es mi día, esto que es, es menos 0,5 al cuadrado menos 0,5, esto es 0,25 menos 0,5, yo sé que esto es negativo, esto es negativo, me tiene que salir positivo.
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Ah, claro, menos por menos, esto es más, perdonad.
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Esto es menos 0, 0, 5, que es más 0, 0, 5, esto me sale positivo.
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Con lo cual, aquí yo estoy por encima del eje de las X.
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Sin embargo, si yo cojo F de 0, 5, pues esto es igual a 0, 5 al cuadrado menos 0, 5, ahora sí,
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y esto es 0, 25 menos 0, 5 es igual a menos 0, 25 es menor que 0.
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Entonces, entre 0 y 1 es negativa la función. Y luego, por ejemplo, cojo f de 1,5, que es 3 medios, y entonces esto sería 3 medios al cuadrado menos 3 medios.
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3 medios al cuadrado vemos que es 9 cuartos menos 3 medios
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esto es 9 cuartos menos 6 cuartos
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esto es 3 cuartos que es mayor que 0
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a mi lo que me interesa realmente es si es positivo o negativo
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entonces veo que mi función es esta de aquí
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aquí parto con ventaja en el sentido de que yo ya lo tengo aquí representado
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vemos que coincide que entre menos 1 y 0 son todos positivos
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todos los valores son positivos aquí
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justo entre 0 y 1 hemos dicho
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que el 0,5 me da negativo
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y luego el 1,5 que está aquí
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pues son todos de aquí ya son positivos
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pero son los valores de la f
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habéis dicho que yo aquí ni he derivado ni nada
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¿qué ocurre?
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porque a mí realmente lo que me piden
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lo voy a poner aquí en azul
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a mí lo que me piden realmente
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es la integral desde menos 1 a 2, ¿vale? Desde menos 1 a 2 de f de x diferencial de x, pero ¿qué ocurre?
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Que aquí vemos que hay una parte que es positiva, esta parte que es negativa y esta parte que es negativa,
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todo el área positiva, perdón, entonces todo el área que me piden, si yo lo hago del tirón, pues se me sumaría
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esta parte que es positiva y se me sumaría esta parte que es positiva, pero le restaría
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esta que es negativa. Entonces, ¿qué ocurre? Pues que aquí volvemos a aplicar una de las
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propiedades de las integrales definidas y la vamos a hacer por parte. Vaya tela, la
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vamos a hacer por parte, ¿vale? Vamos a ver. Aquí lo que me dice es, voy a hacer entre
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menos 1 y 2, la voy a hacer entre menos 1 y 0, que sé que es positivo, de f de x diferencial
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de x, le voy a sumar de 0 a 1 f de x diferencial de x, que yo sé que es negativo, y le voy
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a sumar desde 1 a 2 f de x diferencial de x, que sé que es positiva. ¿Qué ocurre?
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Que como esta de aquí entre 0 y 1 es negativa, pues hay otra propiedad que me dice que ABF de X es igual a menos BAF de X.
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Es decir, yo tengo los límites de integración que va de A a B, pues si yo hago los límites de integración al revés, de B a A, pues el valor es igual pero es negativo.
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¿Vale? Con lo cual, ¿qué es lo que se hace aquí? Pues si os fijáis, divide el área total en tres zonas. Va desde menos uno a cero, con lo cual lo hace, como siempre, son integrales inmediatas, sustituye primero el límite superior, le resta el límite inferior y da cinco sextos de u al cuadrado.
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Luego hace de 0 a 1, pero si os fijáis, da en valor absoluto, da en valor absoluto, se puede hacer en valor absoluto o en vez de hacer esto entre 0 y 1, lo hacemos entre 1 y 0, como este va a dar negativo, el otro ya da positivo y nos va a dar aquí, a ver si consigo minimizarlo, pues nos da un sexto de unidades al cuadrado.
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Y ya el área 3 y última, el límite de integración es entre 1 y 2, se hacen las inmediatas, se sustituye primero el límite superior y luego el límite inferior, esto es para x igual a 2 y esto es para x igual a 1, aquí se hace x igual a 1 y aquí x igual a 0 y me sale 5 sextos de unidades cuadradas.
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Si yo sumo esto, más esto, más esto, que me da 5 más 1 más 5 es 11 sextos unidades cuadradas, que es el área total.
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Entonces aquí es muy importante siempre saber dónde queda la función respecto a los ejes, es decir, si la función está por encima o por debajo de las X o las Y, mejor dicho, las Y positivas o negativas, es decir, si está por encima o por debajo del eje de las X.
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Y cuando esté por debajo, lo único, o bien se cambian los límites de integración y el signo, o bien lo que se hace, como se pone aquí, pues valor absoluto para que no salga siempre positivo porque las áreas son positivas.
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Espero, es un vídeo un poco largo, espero que lo hayáis entendido. Si hay algo en concreto que no entendéis, por favor preguntadme. Saludos.
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- Fecha:
- 13 de febrero de 2022 - 12:00
- Visibilidad:
- Público
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- IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
- Duración:
- 36′ 40″
- Relación de aspecto:
- 1.70:1
- Resolución:
- 1224x720 píxeles
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