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PR4. 3. Ejercicio 2 resuelto - Contenido educativo

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Subido el 13 de marzo de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad PR4 dedicada a las variables aleadoras continuas y a la distribución normal. 00:00:21
En la videoclase de hoy resolveremos el ejercicio propuesto 2. 00:00:30
En este ejercicio se nos pide que consideremos esta función f mayúscula de x, definida 00:00:47
por trozos, idénticamente nula si x es menor que 0, idénticamente igual a la unidad si x es mayor 00:00:53
que 2 y entre 0 y 2 ambos incluidos igual a x al cuadrado partido por 4. Y en primer lugar se nos 00:00:59
pide que comprobemos que se trata de la función de distribución que corresponde con la función de 00:01:05
densidad de probabilidad del ejercicio 1 anterior que resolvimos en la sección 2, función de densidad 00:01:10
de probabilidad de una variable aleatoria continua. Para ello lo que vamos a hacer es tomar la función 00:01:16
f mayúscula de x, derivarla y compararla con la función f minúscula, aquella que se nos pedía 00:01:22
que comprobáramos que era la función de densidad de probabilidad que le corresponde. Pues bien, 00:01:28
si derivamos la definición del primer trozo, que es 0, es una constante, es igual a 0. La del tercer 00:01:33
trozo, que es una constante igual a 1, también es igual a 0. Y en el caso del segundo trozo, 00:01:39
x cuadrado partido por 4, su derivada es x partido por 2. Así pues, si x es menor que 0, 00:01:44
la derivada es 0, coincide con f minúscula. Si x es mayor que 2, la derivada es 0, coincide con f 00:01:50
minúscula. Y entre 0 y 2, la derivada es x partido por 2, coincide con f minúscula. Y así podemos 00:01:57
concluir que efectivamente f minúscula, siendo la derivada de f mayúscula, es la función de densidad 00:02:04
de probabilidad que corresponde a esta función de distribución. Quisiera hacer una salvedad, 00:02:12
quise hacer un pequeño comentario acerca de este estudio que acabo de hacer. 00:02:18
En sentido estricto no es del todo correcto. 00:02:24
Cuando yo derivo estas funciones en mayúscula, 00:02:27
0x partido por 2 y 0 sin más es o corresponde con la derivada 00:02:29
en los intervalos abiertos contenidos dentro del dominio de cada trozo. 00:02:35
Y debería estudiar por separado, antes de decir que x partido por 2 00:02:39
está definida entre 0 y 2, ambos incluidos, al cerrar estos intervalos, debería discutir la 00:02:45
derivabilidad de esta función f mayúscula en 0 y en 2. En el caso de 0 no tengo más problema, 00:02:51
la función es continua y la función tiene derivadas que van a coincidir, las derivadas 00:02:58
laterales van a coincidir en 0 por la izquierda y por la derecha, de tal forma que no debería 00:03:05
tener más problema la función es derivable en x igual a cero y puedo 00:03:10
cerrar en esta parte igual que puede haber cerrado en la otra pero voy a 00:03:14
cerrar en cero para mantener el paralelismo con la forma en la que está 00:03:18
definido f mayúscula en cuanto a qué es lo que ocurre en 2 no 00:03:21
es así la función es en mayúscula es continua en x igual a 2 pero no es 00:03:27
derivable porque fijaos la derivada lateral en 2 por la izquierda va a ser 00:03:32
igual a 1, la derivada lateral del 2 por la derecha va a ser igual a 0. Así que en sentido estricto no 00:03:38
debería poder cerrar este extremo y esta función derivada está definida para todos los valores de 00:03:44
x distintos de 2. No obstante, puesto que me piden que compruebe que se trata con la función, con una 00:03:51
cierta función de densidad de probabilidad, necesito que esta función f mayúscula y su 00:03:58
derivada desde luego esté definida, puesto que es una función de densidad de 00:04:04
probabilidad en x igual a 2. Puesto que añadir o quitar un único punto del 00:04:07
dominio o alterar la imagen en f minúscula de x en un único punto no 00:04:13
altera, no desvirtúa el sentido de cuál es su significado, el que las integrales 00:04:18
en intervalos correspondan con probabilidades, me puedo permitir el lujo 00:04:25
de cerrar aquí la derivada sencillamente para que quede más de manifiesto, como 00:04:29
f' de x es f minúscula. Insisto, la derivada de f difiere de f minúscula en un único punto, 00:04:34
pero eso no es relevante a efectos de para qué sirve f mayúscula, para qué sirve f minúscula. 00:04:42
El análisis detallado y justificado de esto excede con mucho de los contenidos de segundo 00:04:49
de bachillerato y desde luego de primero de bachillerato, con lo cual en este caso sencillamente 00:04:55
lo voy a mencionar, lo he explicado un poquito, pero lo voy a dejar aquí. 00:05:00
Alternativamente podemos comprobar que la función f mayúscula se puede obtener por 00:05:05
integración de la función f minúscula. En este caso lo que vamos a hacer es la integral 00:05:09
de menos infinito a un cierto valor de x de la función f minúscula que teníamos definida 00:05:15
en el ejercicio 1, esa función de densidad de probabilidad. Tenemos que distinguir tres 00:05:21
casos, puesto que nuestra función f minúscula está definida en tres trozos. Si x es menor o igual que 00:05:27
0, en este caso f mayúscula se calculará como la integral de menos infinito a x menor o igual que 0 00:05:33
de una función que es idénticamente igual a 0 y obtenemos el valor 0. Fijaos en que f de 0 coincide 00:05:39
con el valor 0. Si x está comprendido entre 0 y 2, 2 incluido, x menor o igual que 2, esta f de x 00:05:47
se calculará como dividiendo el intervalo de integración la integral de menos infinito a 0 de 00:05:56
f minúscula que está definida idénticamente nula más la integral de 0 a x menor o igual que 2 y en 00:06:02
ese caso f minúscula definida como t partido por 2. Esta primera integral con el integrando 00:06:08
idénticamente nulo es igual a 0 y tal y como discutimos en el ejercicio 1 esta integral será 00:06:14
un medio que hemos sacado fuera, la integral de t al cuadrado partido por 2, límites de 00:06:20
integración entre 0 y x. En el límite superior, en el límite inferior, hacemos la resta aplicando 00:06:27
la regla de Barrow y lo que obtenemos en este caso para esta f de x es x al cuadrado partido 00:06:33
por 4. Y fijaos que podemos calcular f de 2 que sería idénticamente igual a 1. Si x es mayor que 00:06:38
2, esta f de x que calculamos de esta manera, la vamos a calcular con tres integrales de 00:06:46
menos infinito a 0, de 0 a 2 y de 2 a este x mayor que 2. La primera integral de 0 hemos 00:06:52
discutido ya que va a ser idénticamente nula, aquí la tenemos. En cuanto a la tercera, 00:06:59
con independencia del valor de x, la integral de 2 a cualquier valor de x mayor que 2 de 00:07:04
un valor idénticamente igual a 0 va a ser igual a 0, que es este que tenemos aquí. 00:07:10
En cuanto a la integral de 0 a 2 de t partido por 2, cuya primitiva es 1 medio de t cuadrado partido por 2, va a ser, en este caso, idénticamente igual a 1. 00:07:15
Luego, esta suma va a ser igual a 1. 00:07:27
Así pues, como queríamos comprobar, para esta f de x obtenemos, si x es menor que 0, 0. 00:07:30
para el valor 0 también. Si x está comprendida entre 0 y 2, x al cuadrado partido por 4. En el 00:07:37
caso en el que x vale 2 obtenemos el valor 1 y ese valor 1 también lo obtenemos si x es estrictamente 00:07:46
mayor que 2. Esta es la definición de nuestra función f de x. Luego efectivamente f de x es la 00:07:53
función de distribución que corresponde a f minúscula, función de densidad de probabilidad 00:08:01
de una cierta variable aleatoria. En el apartado b se nos pide que representemos gráficamente la 00:08:07
función y en este caso lo que obtenemos es esta representación que tenemos aquí. Para x menores 00:08:13
que 0 la función es idénticamente nula. Para valores de x mayores que 2 la función es 00:08:20
idénticamente igual a la unidad y entre 0 y 2 la función se define como la parábola x al cuadrado 00:08:27
partido por 4, que se corresponde con esta rama de parábola, por cierto, con el vértice en x igual a 0. 00:08:34
En el apartado c, una vez que hemos representado la función, se nos pide que comprobemos que cumple 00:08:42
con las propiedades que le corresponden para ser una función de densidad de probabilidad de una 00:08:47
cierta variable aleatoria continua. Y en este caso, sin más que observar la gráfica de la función, 00:08:52
observamos que, desde luego, el límite cuando x tiende a menos infinito de f de x es igual a 0, 00:08:58
puesto que de entre menos infinito y cero la función es idénticamente nula. 00:09:03
Por supuesto, el límite cuando x tendrá más infinito de la función es igual a 1, 00:09:07
puesto que de 2 hasta más infinito la función es idénticamente igual a la unidad. 00:09:11
Vemos cómo la función f mayúscula de x es monótona, no decreciente, puesto que 00:09:16
desde menos infinito hasta cero la función es constante. 00:09:23
Desde 0 hasta 2, la función es la rama de la derecha, puesto que aquí estaría el vértice de una parábola, 00:09:28
que efectivamente es monótona no decreciente, de hecho es monótona creciente. 00:09:34
Y desde 2 hasta más infinito, la función es idénticamente igual a la unidad, luego es constante. 00:09:39
Así pues, es monótona no decreciente. 00:09:44
En cuanto a la continuidad de la función, esta función f mayúscula de x es continua. 00:09:47
En x igual a 0 la función es idénticamente nula, límite por la izquierda y por la derecha es igual a 0 00:09:52
En x igual a 2 la función toma el valor 1, límite por la izquierda y por la derecha es igual a 1 00:09:59
Así pues la función es continua y por ello en consecuencia continúa por la derecha, también es por la izquierda por cierto 00:10:05
consecuentemente podemos deducir que efectivamente f mayúscula de x es la función de densidad perdón 00:10:10
la función de distribución de una cierta variable aleatoria continua por cierto la que corresponde 00:10:18
a la función f minúscula que habíamos visto en el ejercicio 1 anterior en el aula virtual de la 00:10:24
asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios asimismo tenéis más información 00:10:33
en las fuentes bibliográficas y en la web. No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes 00:10:39
a clase o al foro de dudas en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto. 00:10:44
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
4
Fecha:
13 de marzo de 2025 - 12:30
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
11′ 16″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
27.81 MBytes

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