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AE1. 1 Introducción a los polinomios - Contenido educativo

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Subido el 26 de septiembre de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12

arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17

de la unidad AE1 dedicada a los polinomios y las fracciones racionales. En la videoclase 00:00:22

de hoy introduciremos el estudio de los polinomios. En esta videoclase vamos a iniciar el estudio 00:00:32

de los polinomios, que es a lo que se dedica esta unidad completa, introduciendo la terminología 00:00:50

que vamos a utilizar no sólo en esta unidad de polinomios, sino a lo largo de todo el bloque de álgebra elemental. 00:00:56

La primera definición que nos encontramos es la de expresión algebraica. 00:01:02

Y vemos que se denomina expresión algebraica a la reunión de letras y números ligadas por operaciones. 00:01:06

Como carácter general de una expresión algebraica, para hacerlo pensamos que debe contener letras. 00:01:13

No obstante, veremos dentro de unos minutos que existen ciertas expresiones particulares 00:01:17

que no contienen letras, que aún así vamos a considerar expresiones algebraicas. 00:01:22

Pero, como he dicho, una expresión algebraica habitualmente va a contener letras, casi seguro también números, 00:01:26

y todos ellos, letras y números, van a estar ligados por operaciones, operaciones aritméticas o de otro tipo. 00:01:32

Vamos a denominar término a la expresión algebraica más sencilla, que va a tener esta forma que podemos ver aquí. 00:01:39

Alfa es un número real, se denomina coeficiente, y va a estar multiplicando al resto del término que se denomina parte literal. 00:01:45

Literal porque contiene las letras. 00:01:54

X1, X2 y así sucesivamente hasta Xn son n letras que se encuentran multiplicando entre sí y a su vez multiplicadas por el coeficiente. 00:01:56

Estas letras, dependiendo del contexto, se van a denominar o bien variables o bien incógnitas. 00:02:05

Incógnitas cuando, por ejemplo, nos encontremos con una ecuación y entonces las letras van a representar magnitudes que queremos determinar dadas una serie de condiciones que van a formar las ecuaciones. 00:02:10

O bien variables cuando lo que tengamos entre manos sea una fórmula y lo que nos encontremos es una forma de relacionar entre sí distintas magnitudes. 00:02:21

Y entonces hablaremos de variables mejor que de incógnitas, puesto que no es algo que queremos determinar, sino que son expresiones generales que nos aportan una serie de informaciones. 00:02:30

Como vemos aquí, cada una de estas letras, x1, x2, etc., está elevado a un cierto exponente. 00:02:41

g1, g2, etc., hasta gn, son los grados de cada una de las variables, son exponentes naturales. 00:02:47

Y aquí, por ejemplo, g1, que es el exponente de x1, diríamos que es el grado de x1 dentro de este término. 00:02:54

Al igual que este gn, que es el exponente de xn, diríamos que es el grado de xn dentro de este término. 00:03:01

La suma de los grados de todas y cada una de las incógnitas es lo que se denomina grado del término. 00:03:08

Y antes de continuar, un par de definiciones en relación con los términos. 00:03:15

Se va a denominar término independiente, como veis, al que no tiene parte literal, esto es, al que está formado únicamente por un coeficiente. 00:03:20

Podemos pensar que ese término independiente, que tiene únicamente coeficiente, sí tiene una parte literal, lo que pasa es que no la podemos ver. 00:03:29

Podemos pensar que lo que ocurre es que el coeficiente está multiplicando por las letras que nosotros quisiéramos, pero todas ellas elevadas a 0. 00:03:37

Algo elevado a 0 es 1 y lo que tengo es alfa por 1, en realidad es alfa. Así que por eso solamente veo el coeficiente. 00:03:45

No porque no haya letras, sino porque las letras están elevadas a 0. Por eso esto que digo aquí, término independiente, tiene grado nulo. 00:03:53

Puedo pensar que tengo letras, no las veo, lo que pasa es que están elevadas a 0. 00:04:00

Por último, en relación con los términos, dos términos se dicen semejantes cuando, pudiendo tener distintas partes literales, perdón, distintos coeficientes, sí tienen la misma parte literal. Esto es, tienen las mismas letras y todas ellas elevadas a los mismos exponentes. 00:04:04

Antes de continuar con las definiciones, vamos a echar un vistazo, vamos a avanzar un pelín a la siguiente diapositiva, 00:04:24

vamos a echar un vistazo a esta expresión algebraica que tenemos aquí, vamos a ver dentro de un momento que es un polinomio, 00:04:30

y que está formado por distintos términos. Aquí el primero que yo veo es menos 2 por x al cuadrado por y al cuadrado. 00:04:37

Es un término porque tiene la estructura de un término. Tengo un coeficiente que es menos 2, 00:04:45

que multiplica a el resto del término que es la parte literal x al cuadrado y al cuadrado. 00:04:49

Aquí es donde encuentro las letras. 00:04:55

Las letras son 2, x e y, variables o incógnitas dependiendo del contexto, 00:04:57

y x está elevado a 2, así que el grado de x en este término es 2, 00:05:02

y también está elevado al cuadrado, el grado de y en este término también es 2. 00:05:07

2 más 2 es 4, perdón, la suma de los grados de las incógnitas es 4, 00:05:12

así que el grado de este término es 4. Si voy al final, por ejemplo, me encuentro otro término, en este caso menos un tercio de y, puesto que os recuerdo que a la hora de traducir estas fórmulas al lenguaje natural, 00:05:17

a veces al producto, lo podemos leer como d. En este caso el coeficiente es menos un tercio, en este caso es una fracción, no importa, podría haber sido cualquier otro número real, 00:05:30

y la parte literal es sólo la y. La parte literal está formada por una única letra y, el grado de y en este término es 1, 00:05:40

no veo nada, pero eso es porque el exponente es 1, y en el caso en el que hay una única letra, 00:05:49

el grado del término coincide con el grado de la única letra en el término. En este caso es 1. 00:05:54

Algo importante que también quería mencionar, y voy a aprovechar este mismo ejemplo, es, fijaos, 00:06:01

En este término que hay a continuación, más x al cuadrado por y. Veo que solamente tiene parte literal, que es x al cuadrado por y, solamente veo las letras. El grado de x es 2, el grado de y es 1, el grado del término es 3. 00:06:06

Entonces, el que solamente vea la parte literal no quiere decir que no haya coeficiente y no puedo, no debo decir no hay coeficiente porque no lo veo. El coeficiente es 1. No lo veo, efectivamente, porque un 1 que multiplica no se suele representar, no se suele escribir. Entonces no puedo decir no hay coeficiente, el coeficiente es 1. No lo veo, el coeficiente es 1. 00:06:22

Vamos a continuar con las definiciones y la siguiente que nos encontramos es la de polinomio 00:06:43

Hemos hablado de términos hace un momento y un polinomio es la suma o resta de distintos términos 00:06:49

Dependiendo de cuántos términos contenga el polinomio, cuando hay solamente uno habitualmente diría que es un monomio 00:06:55

Cuando haya dos diría que es un binomio, cuando haya tres que es un trinomio y así sucesivamente 00:07:01

Pero con carácter general hablaremos de polinomios 00:07:06

El grado de un polinomio, esto va a ser importante, va a ser el mayor de los grados de todos los términos que lo forman. 00:07:10

En el caso de que tuviéramos un monomio, un único término, el grado del monomio es el grado del término. 00:07:17

Eso es lo que viene aquí representado. 00:07:24

Algo importante porque lo vamos a utilizar es lo que se denomina coeficiente principal. 00:07:27

En el caso en el que el polinomio tenga una única variable, se denomina coeficiente principal al del término de mayor grado. 00:07:31

Habitualmente cuando tenemos polinomios, como podéis ver en las notas al pie, los términos se suelen escribir ordenados. 00:07:39

Si no hay un criterio único, habitualmente, y es el que yo suelo utilizar personalmente, se ponen los términos en orden de mayor a menor grado. 00:07:48

Dentro de un mismo término, las letras se suelen colocar en orden alfabético. 00:07:57

Y entonces, por ejemplo, aquí tengo un polinomio, se llama P, P mayúscula, 00:08:03

entre paréntesis pone X e Y para recordarme que este polinomio tiene dos variables, X e Y, 00:08:08

y estoy viendo que tiene un término, menos 2X cuadrado y cuadrado, grado 4, 00:08:14

más X cuadrado Y, grado 3, menos X y cuadrado, también de grado 3, 00:08:18

Pero he puesto este x cuadrado y antes que este otro porque el grado de x que está delante es mayor. Aquí es 2, aquí es 1. A continuación, menos 3 medios x por y, el grado es 2, más 2x, el grado es 1, menos un tercio de y, el grado también es 1. 00:08:24

y he puesto este antes que el otro porque aquí x en el orden alfabético tiene prioridad delante que y. 00:08:42

Tengo 1, 2, 3, 4, 5, 6 términos. 00:08:48

No veo un término independiente ya que estamos hablando de los términos de este polinomio. 00:08:54

Y vuelvo un poco atrás al concepto de término independiente. 00:08:58

Término independiente, os recuerdo, es un término que no contiene parte literal. 00:09:02

Y aquí, que no contenga parte literal, no veo ningún coeficiente. 00:09:05

No puedo decir que no haya un término independiente, sí puedo decir que no lo veo, porque efectivamente no lo veo, pero sí está, el término independiente es 0. 00:09:09

Fijaos, más 0, más 0 no se escribe, pero yo podría decir que aquí tengo más 0 y podría escribirlo expresamente. 00:09:18

Ese 0 sería el término independiente, es el coeficiente de una parte literal que puede ser la que yo quiera, por ejemplo, con x y con y, 00:09:26

dado que me han dicho que el polinomio tiene como variables x e y, pero tendría x elevado a 0 y elevado a 0. Insisto, x elevado a 0 y elevado a 0 son 1, no aparecerían en esa expresión, tendría 0 por 1, 0 por 1 es 0, y nuevamente, 0 no se suele escribir. 00:09:34

Así que, volviendo a este ejemplo, cuidado con cosas como no tiene término independiente. Bueno, en realidad sí lo tiene, lo que pasa es que es 0. O decir que este término, x al cuadrado y, no tiene coeficiente. Aquí no hay bueno que valga si tiene coeficiente, lo que pasa es que es 1 y por eso no lo veo. 00:09:50

En cuanto a la última definición dentro de esta introducción, vamos a hablar de valor numérico. 00:10:10

El valor numérico de una expresión algebraica es un número y es el que se obtiene al sustituir las variables por distintos valores numéricos y efectuar las operaciones que yo me encuentre. 00:10:16

Recuerdo que una expresión algebraica tiene letras y números ligados por operaciones. 00:10:27

Bien, pues lo que voy a hacer es sustituir todas las x por el valor numérico que me digan, todas las y por el valor numérico que me digan. 00:10:31

voy a tener al final un montón de números, porque ya no tengo letras, 00:10:38

ligados por operaciones, haré las operaciones, 00:10:41

y el valor numérico que se obtenga será el valor numérico de la expresión algebraica 00:10:44

para esos valores de las incógnitas. 00:10:48

Con esto que he mencionado, ya se puede resolver este ejercicio. 00:10:51

Una parte ya la he hecho, puesto que he identificado los términos, 00:10:55

he señalado coeficientes, etc., pero ya se puede resolver este ejercicio, 00:10:58

que resolveremos en clase, probablemente resolveremos en alguna videoclase posterior. 00:11:02

En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios 00:11:08

Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web 00:11:15