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TRIGONOMETRÍA. Razones trigonométricas

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Subido el 20 de marzo de 2020 por M.carmen G.

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Vamos a ver en este vídeo razones trigonométricas, pero antes vamos a introducir lo que es un 00:00:02
radian. Todos conocemos el sistema sesagesimal para la medida de ángulos, que tiene comunidades 00:00:10
el grado, el minuto y el segundo. El radian es otro modo de medir ángulos. Se define 00:00:18
un radian al ángulo que se forma al coger la longitud del radio de la circunferencia 00:00:26
y ponerlo sobre la circunferencia. Eso equivale a un radiano. Si nosotros ponemos dos veces el radio de la circunferencia tendríamos dos radianes 00:00:32
y si ponemos pi veces el radio de la circunferencia tendríamos pi radianes. Es decir, una semicircunferencia tiene 180 grados o pi radianes 00:00:43
y una circunferencia tiene 360 grados o 2 pi radianes. 00:00:55
Conociendo esto, podemos calcular la conversión entre grados y radianes para cualquier ángulo. 00:01:01
Es decir, si nos preguntan cuántos radianes son 30 grados, 00:01:09
pues nosotros podemos decir si 180 grados equivalen a pi radianes, pues 30 grados equivalen a x. 00:01:13
Y aquí aplicando la regla de 3, pues nos quedaría 30 pi partido 180, que son pi sextos radianes. 00:01:20
También podríamos hacer la conversión al revés, de radianes a grados. 00:01:27
Otro método, si no queremos hacer la regla de 3, es que nosotros sabemos que 360 son 2pi, 00:01:31
180pi, 90pi medios, 60pi tercios, 45pi cuartos, etcétera, etcétera. 00:01:37
Entonces, si nos piden pasar a radianes 75 grados, podemos descomponerlo como 60 más 15, 00:01:45
y tendríamos que son 60 son pi tercios radianes y 15 es la mitad de 30, es decir, pi doceavos. 00:01:52
Si sumamos eso, nos sale 5 pi doceavos. 00:01:59
También siempre podemos hacer la regla de 3. 00:02:03
180 grados son pi radianes, 75. 00:02:06
Nos metemos ya con las razones trigonométricas. 00:02:10
Las principales son seno, coseno y tangente. 00:02:16
Si nosotros trazamos esta circunferencia de aquí, de radio r, marcado en azul, llamamos seno a la coordenada de las y que tenemos aquí, partido del radio de la circunferencia. 00:02:20
Llamamos coseno al valor de las coordenadas x, es decir, la proyección del radio sobre el eje de las x, partido del radio de la circunferencia. 00:02:34
Y la tangente sería y partido de x. 00:02:43
Si nos fijamos, aquí se está formando un triángulo rectángulo, cuyos catetos son x e y y la hipotenusa es r. 00:02:47
Pues llamamos seno del ángulo alfa al cateto opuesto partido por la hipotenusa. 00:02:56
Llamamos coseno de alfa al cateto contiguo partido de la hipotenusa. 00:03:03
Y llamamos tangente de alfa al cateto opuesto partido del cateto contiguo. 00:03:09
Si nosotros cogemos esta circunferencia de radio r, ya hemos dicho que el seno sería y partido de r, 00:03:14
que el coseno sería x partido de r y que la tangente sería y partido de x. 00:03:25
Pero si yo en lugar de coger esta circunferencia cojo esta otra, pues las razones trigonométricas serían las mismas. 00:03:30
seno, el nuevo valor de y partido del nuevo valor de r, 00:03:36
coseno, nuevo valor de x partido del nuevo valor de r 00:03:44
y tangente, nuevo valor de y partido del nuevo valor de x. 00:03:48
Y lo mismo ocurre si yo cojo otra circunferencia. 00:03:55
Pero si nos damos cuenta, esto de aquí que se están formando 00:03:59
son triángulos rectángulos semejantes, 00:04:03
están en la posición de tales. Tienen mismos ángulos y los lados son proporcionales. 00:04:05
Es decir, que a mí me da igual coger la circunferencia que sea para el cálculo del seno, el coseno 00:04:12
y la tangente, porque los lados son proporcionales y los cálculos van a ser siempre los mismos. 00:04:18
Entonces, si yo cojo una circunferencia de radio 1, es decir, este valor de aquí es 00:04:27
1, si yo cojo una regla y mido esta longitud de aquí, eso será el seno. Si mido con la 00:04:33
regla esta longitud de aquí, eso será el coseno. Y si divido el valor de y, me ha salido 00:04:42
por el valor de x, me sale la tangente. Como además esto es un triángulo rectángulo, 00:04:48
se tiene que aplicar Pitágoras, es decir, que esto al cuadrado, que vale 1, es igual 00:04:55
a x al cuadrado, que es el coseno de alfa al cuadrado, más y al cuadrado, que es el 00:05:01
seno de alfa al cuadrado. Es decir, que si cogemos el seno del ángulo y le elevamos 00:05:08
al cuadrado, el coseno del mismo ángulo y le elevamos al cuadrado, siempre va a dar. 00:05:12
Vamos a ver cómo se construye la función coseno. Si nosotros vamos moviendo, si nosotros 00:05:22
Entonces, cogemos nuestra circunferencia con radio R, esta de aquí, y vamos moviendo el radio sobre la circunferencia, nos paramos en 30 grados y tomamos el valor de esta longitud. 00:05:37
Ese es el coseno para 30 grados. 00:06:02
Si nos movemos en 60, cogemos la longitud, ese es el valor del coseno para 60. 00:06:05
Cuando llegamos a 90, el valor del coseno es 0, porque la proyección sobre el eje X es un punto. 00:06:11
Si me muevo a 120 grados, el coseno ya es negativo, porque me estoy moviendo en el eje de las X, pero ya en los valores negativos. 00:06:20
para 150 también sigue siendo negativo 00:06:29
y para 180 grados el valor del coseno es menos 1 00:06:34
porque estamos tomando una circunferencia de radio 1 00:06:40
así continuamos 00:06:44
este sería el coseno, la proyección sobre el eje X 00:06:47
para cada uno de los ángulos 00:06:52
cuando llegamos a 270 grados 00:06:54
el coseno vuelve a ser 0 00:06:57
porque la proyección sobre el eje X es un punto. 00:07:00
Y una vez que pasamos de 270 grados, por ejemplo, a 300 grados, 00:07:05
ya tenemos que el coseno vuelve a ser positivo 00:07:11
porque nos empezamos a mover otra vez en el eje de las X positivo. 00:07:13
Si nos damos cuenta, cuando damos la vuelta completa volvemos al valor 1 00:07:19
y volveríamos a empezar. 00:07:24
Es decir, el coseno de un ángulo es un número que está comprendido 00:07:27
siempre entre 1 y menos 1. 00:07:30
No puede darnos un valor que esté fuera del rango de menos 1 a 1. 00:07:35
Y lo mismo ocurre para el seno. 00:07:39
El seno tampoco puede ser un valor que esté por debajo de menos 1 ni por encima de 1. 00:07:42
Ahora, recapitulando, seno, valor de la proyección sobre el eje Y, coseno, valor de la proyección sobre el eje X, para que os acordéis, coseno, cateto contiguo, seno, cateto opuesto, y la tangente es cateto opuesto partido del cateto contiguo. 00:07:55
Entonces, aquí que aplicaríamos para calcular? Esto de aquí. Yo tengo este ángulo de aquí y conozco esto y esto. Esto no lo conozco. 00:08:23
Pues lo primero que tengo que calcular es el ángulo. ¿Cuánto vale el ángulo? Pues el ángulo, yo tengo el cateto contiguo y la hipotonusa. 00:08:38
lo puedo sacar a partir del coseno. 00:08:45
Aquí vuelvo a conocer el lado contiguo, 00:08:49
el cateto contiguo y la hipotenusa, vuelve a ser el coseno. 00:08:53
Aquí lo que conozco es el cateto opuesto y la hipotenusa, 00:08:57
aquí sería el seno. 00:09:03
A partir del seno, coseno y tangente 00:09:07
tenemos unas nuevas razones trigonométricas 00:09:09
que son la cosecante, que es la inversa del seno, 00:09:11
la secante, que es la inversa del coseno 00:09:14
en la cotangente, que es la inversa de la tangente. 00:09:15
Signos. Pues ya hemos comentado en el vídeo de antes 00:09:21
que si yo me muevo en el primer cuadrante, 00:09:23
tanto el coseno como el seno son positivos 00:09:26
y la tangente, como los dos son positivos 00:09:28
y es un cociente entre los dos, pues más por más, 00:09:30
pues positivo también. 00:09:33
Si nos movemos en el segundo cuadrante, 00:09:35
el seno es positivo, pero el coseno es negativo 00:09:36
y al dividir más por menos, 00:09:40
me quedaría que la tangente es negativa. 00:09:41
Si me muevo por el tercer cuadrante, 00:09:44
Seno negativo, coseno negativo y la tangente es menos por menos más. 00:09:48
La tangente es positiva. 00:09:53
Y si me muevo por ángulos en el cuarto cuadrante, 00:09:56
nos estamos moviendo con senos negativos, con senos positivos 00:10:00
y la tangente es negativa, menos por más. 00:10:03
Casos prácticos. 00:10:14
Pues imaginaos que yo pongo una escalera para coger un gato que se me ha subido al árbol, es lo más común del mundo. Este problema es, vamos, a todo el mundo le pasa. Entonces yo pongo una escalera, conozco la longitud de la escalera que estoy utilizando y conozco la altura del árbol y quiero calcular el ángulo que forma la escalera con el suelo. 00:10:15
Pues yo estoy conociendo el cateto opuesto y la hipotenusa, es decir, voy a aplicar la fórmula del seno. 00:10:39
Aplico la fórmula del seno y me sale que el seno de alfa es 3 partido de 4 y el ángulo alfa va a ser el arco seno de 3 cuartos, es decir, 48.6 grados. 00:10:49
A partir de ahí yo podría ya calcular, si no quiero aplicar Pitágoras, esto de aquí, 2.65 metros. 00:11:01
Yo quiero calcular el ángulo con el que tengo que tirar un balón para meterlo por la escuadra desde el punto de penalti. 00:11:07
¿Qué conozco? Conozco la altura de la portería y la distancia desde la cual se tira el penalti. 00:11:17
¿Qué aplico? Si yo conozco x e y, aplico la fórmula de la tangente. 00:11:25
aplicando la fórmula de la tangente 00:11:31
tendríamos que es 2.5 00:11:35
que es el valor de y partido de x que es 10 00:11:36
y me quedaría 00:11:38
el ángulo que forma es el arco tangente de un cuarto 00:11:39
es decir 14.04 grados 00:11:42
luego otra cosa es que tengas puntería 00:11:44
y metas el arco 00:11:47
aquí por ejemplo 00:11:47
nosotros tenemos 00:11:50
que hacer una escalera 00:11:54
para subir a una segunda planta 00:11:55
y sé que yo voy a tener un ángulo 00:11:58
de la escalera 00:12:00
pues 50 grados o 45, lo que sea. ¿Cuál va a ser la longitud de la escalera? Pues si 00:12:01
yo lo que necesito saber es la longitud de la escalera, tengo cateto opuesto y tengo 00:12:10
hipotenusa, sería el seno. Si lo que yo quiero conocer es esta distancia, ¿qué espacio 00:12:17
me va a ocupar la escalera? Pues tendría cateto opuesto y cateto contiguo, aplicaría 00:12:26
la tangente. Aquí igual, si yo conozco la altura que tengo que solventar con esta rampa y el ángulo 00:12:30
que voy a poner en la rampa, no muy alto obviamente para que se pueda subir, pues imaginaos 15 grados, 00:12:41
20 grados, lo que sea, este ángulo me lo dan, puedo calcular hasta dónde va a llegar la rampa. 00:12:47
Conocería el cateto opuesto y conozco el ángulo y necesito saber el cateto contiguo. Como estamos 00:12:55
trabajando con catetos aplicaríamos la fórmula de la tangente y estos son los casos prácticos que vamos a ver. 00:13:00
Subido por:
M.carmen G.
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Todos los derechos reservados
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Fecha:
20 de marzo de 2020 - 13:41
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES LEONARDO DA VINCI
Duración:
13′ 20″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
10.94 MBytes

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