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EvAU Matemáticas II 2017 Septiembre A 2 Geometría - Contenido educativo

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Subido el 19 de marzo de 2018 por Pablo Jesus T.

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Hoy resolvemos un problema de geometría que cayó en el año 2017, convocatoria de septiembre, 00:00:02
el modelo A, el ejercicio 2. 00:00:12
Bueno, pues nos dan dos rectas en forma de corte de dos planos, cada una, 00:00:16
y nos piden estudiar su posición relativa. 00:00:24
Eso nosotros lo podemos hacer con las matrices de los vectores normales de los cuatro planos. 00:00:26
Si hacemos el rango de esta matriz y el rango de esta matriz ampliada con los términos independientes, 00:00:36
pues podríamos estudiar las posiciones relativas. 00:00:46
Hacer esto por determinantes significa hacer dos determinantes. 00:00:50
primera, segunda y tercera fila, primera, segunda y cuarta fila 00:00:54
y veríamos que sale el rango 3 00:00:59
como viene aquí, y luego el de la ampliada 00:01:02
que habría que hacer un determinante 4x4 y sale 4 00:01:06
con lo cual es complicado, también podríamos hacer 00:01:10
por gauss la matriz escalonada 00:01:15
se vería que es 3 y la de la ampliada es 4 00:01:18
En este caso sería más fácil hacerlo por Gauss incluso que el determinante de 4x4. 00:01:21
Pero bueno, en general esto no lo hace nadie así y lo que se suele hacer es convertir la primera recta de corte de dos planos en una recta en forma paramétrica, es decir, obtener punto y vector. 00:01:27
Para obtener el vector se hace el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos, 6-1-1 y 2-1-1, da menos 2, menos 8, menos 4, que como podemos coger el vector que nos dé la gana que sea proporcional a este, pues lo divido por menos 2 y me voy a quedar con el vector 1, 4, 2. 00:01:42
Ahora necesitaré el punto 00:02:05
Bueno, pues esto normalmente nos lo ponen para que lo hagamos a ojo 00:02:07
Aquí vemos que si la y tiene el mismo signo y el término independiente también 00:02:12
Si yo tomo x cero y la z cero 00:02:18
Con la y menos uno se cumplen las dos ecuaciones 00:02:21
Así que el punto cero menos uno cero 00:02:24
Es un punto de los dos planos y por tanto de la recta 00:02:26
también podríamos hacerlo simplemente dando valor a x0 00:02:31
y resolviendo el sistema que nos daría menos 1 y 0 00:02:35
o a z0 y calcular el sistema en x y en y 00:02:39
que nos daría 0 y menos 1 00:02:45
lo hagamos de la manera que lo hagamos 00:02:47
uno de los puntos, porque podríamos obtener más 00:02:49
si por ejemplo hacemos la y0 00:02:52
seguramente nos daría otro punto 00:02:53
o la x3 o lo que sea 00:02:56
Pero bueno, si el más fácil que se puede hacer a ojo es este, el 0, menos 1, 0, y con este punto y este vector, pues he pintado la recta azul. La recta azul es el corte de estos dos planos, ¿de acuerdo? Y es R1. 00:02:59
Ahora vamos a calcular R2, repetimos el procedimiento, producto vectorial de los dos vectores normales a los dos planos, 3 menos 5 menos 2 y 3, 1, 4, da menos 18 menos 18 más 18, si lo divido por menos 18 para que sea más sencillo después, pues 1, 1, menos 1. 00:03:15
para hallar el punto también lo puedo hacer a ojo 00:03:37
porque me doy cuenta de que aquí tengo 3x, 3x, 3, 3 00:03:40
o sea que el punto 1, 0, 0 pertenece a los dos planos 00:03:45
y por tanto a la recta R sub 2 00:03:48
así que utilizo el punto 1, 0, 0 y el vector 1, 1, menos 1 00:03:52
y tengo la recta R2 00:03:57
¿cuál sería la posición relativa? 00:04:00
bueno, si lo estuviera dibujado es que fácil, ¿verdad? 00:04:03
vemos que son dos rectas que se cortan 00:04:06
si las ponemos así, también son dos maneras 00:04:11
de ponerlas para luego intentar calcular la distancia 00:04:15
¿no? muy bien, entonces 00:04:18
¿cuál es la posición relativa? bueno, pues habría que calcular 00:04:22
los rangos de estas dos matrices 00:04:26
de esta matriz, formada por los vectores de las dos rectas 00:04:30
1, 4, 2 y 1, 1, menos 1 00:04:34
y la misma matriz ampliada con el vector P1, P2 00:04:36
1, 1, 0 00:04:42
entonces, el rango de esta matriz es 2 00:04:46
se ve facilísimamente 00:04:50
y el de esta, si hago el determinante, me da menos 3 00:04:52
así que el rango de esa matriz es 3 00:04:55
recordad, si fueran 1 y 1 00:04:58
las dos rectas serían coincidentes 00:05:01
1 y 2 serían paralelas 00:05:05
sistema compartido indeterminado, ningún punto en común 00:05:08
2 y 2 se cortarían, un punto en común 00:05:11
y 2 y 3, que es el caso, se cruzan 00:05:15
así que la respuesta al apartado A es 00:05:19
las rectas R1 y R2 se cruzan 00:05:23
por eso tiene sentido ahora calcular la distancia entre las dos rectas 00:05:26
también si fueran paralelas también se podría calcular, claro, aunque sería otro método diferente. 00:05:30
¿Cómo se calcula la distancia entre dos rectas que se cruzan? 00:05:36
Bueno, pues la manera más sencilla es utilizar esta fórmula, 00:05:39
el cociente entre el módulo del producto mixto de P1, P2, U y V, 00:05:43
dividido por el módulo del producto vectorial de U por V. 00:05:51
En realidad esta fórmula lo que nos dice es que hemos construido un parámetro de P2, 00:05:54
que está en verde, con la base en negro 00:05:58
y el volumen del par de epípedo 00:06:01
entre el área de la base, pues nos daría 00:06:06
si lo podemos poner, no está bien porque 00:06:09
lo negro tiene que dejar de verse, ahí estaríamos, ahora 00:06:13
ahora estamos dividiendo el volumen del par de epípedo entre la superficie 00:06:17
de la base, que no se ve, porque está, digamos, perpendicular 00:06:22
a la pantalla y eso nos daría la altura de este 00:06:26
romboide, vamos a decir, en realidad del parámetro epípedo, que es la distancia 00:06:29
entre las dos rectas que se cruzan. En realidad, para verlo perfecto 00:06:34
la recta roja no debería verse como recta, sino sólo como 00:06:38
un puntito. Esta es la explicación de esta fórmula. No vamos a hacer aquí 00:06:42
como en otros ejercicios, lo de calcular la recta perpendicular 00:06:46
a las dos, ni nada de eso. Simplemente vamos a utilizar la fórmula y ya está. 00:06:49
Bueno, ¿cuál es el producto mixto? Pues anda, resulta que el producto mixto lo hemos hecho en el apartado anterior, cuando estudiamos esta matriz para ver cuál era la posición relativa, el resultado era el producto mixto, así que este menos 3 en valor absoluto, es decir, 3 va a ser el numerador de esta fórmula. 00:06:53
Para hacer el denominador, pues hacemos el punto vectorial de u por v 00:07:16
Me da este vector, aquí no puedo simplificar porque esto me está dando un área 00:07:20
Cuidado con cuando se pueden simplificar vectores y cuando no 00:07:25
Si hacemos pitágoras, o la longitud del vector, pues nos da 3 raíz de 6 00:07:28
Y si dividimos el resultado del producto mixto, que era 3, entre 3 raíz de 6 00:07:33
Pues me queda 1 partido raíz de 6 00:07:41
Que si alguno lo quiere ver en decimales, ahora veré por qué 00:07:42
da 0,41 00:07:45
¿por qué lo quería en decimales? 00:07:48
porque le he preguntado a GeoGebra que me lo dijera 00:07:49
y me ha dicho que da 0,41 00:07:51
lo cual quiere decir que 00:07:55
por si acaso 00:07:56
el ejercicio está perfecto 00:07:57
así que ya tenemos la respuesta al apartado B 00:08:00
1 partido por raíz de 6 00:08:04
raíz de 6 partido por 6 00:08:05
sería la manera correcta racionalizada 00:08:06
y vamos con el apartado C 00:08:10
allá la ecuación del plano que contiene a r1 y al punto 1, 2, 3 00:08:14
bueno, pues ecuación de un plano 00:08:19
la hemos sacado aquí, ya lo tenemos en GeoGebra 00:08:21
la ecuación del plano sería 00:08:24
x y z menos un punto del plano 00:08:28
en este caso no he querido utilizar p 00:08:31
sino he utilizado p sub 1 00:08:34
que es igual de válido 00:08:36
porque para luego hacer el determinante 00:08:38
creo que me salía más sencillo 00:08:41
El vector 1, 4, 2, que es el vector director de R1, todas esas cosas las tenemos aquí, 1, 4, 2, el punto P1, y el punto PP1, bueno, pues PP1 es 1 menos 0, 1, 2 menos menos 1, 3, y 3 menos 0, 3. 00:08:43
así que hago este determinante y le igual a 0 para obtener la ecuación del plano 00:09:07
me ha salido 6x menos y menos z menos 1 igual a 0 00:09:11
que es la respuesta al apartado c 00:09:15
y que es este plano, que como veis incluye al punto p y a la recta r1 00:09:17
o sea que está todo perfecto 00:09:25
bueno, espero que hayáis aprendido cosas 00:09:28
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
229
Fecha:
19 de marzo de 2018 - 0:19
Visibilidad:
Público
Centro:
IES CARMEN CONDE
Duración:
09′ 31″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
31.17 MBytes

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