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PROYECCIÓN DE UNA RECTA SOBRE UN PLANO - Contenido educativo

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Subido el 30 de noviembre de 2021 por Julio M.

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Proyección de una recta sobre un plano

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Bien, vamos a ver en este vídeo cómo se calcula la proyección ortogonal de una recta sobre el plano pi. 00:00:00
Se pueden dar varias situaciones. 00:00:10
Puede ocurrir que la recta sea paralela al plano pi. 00:00:12
En este caso, la proyección será esta recta. 00:00:20
Vamos a llamarle S. 00:00:26
y que podemos obtener como la intersección del plano pi con el plano determinado por la recta R y el vector normal al plano pi. 00:00:27
El vector normal es este. 00:00:37
Determinar, por lo tanto, la recta R y el vector normal al plano pi, determinar este plano pi sub 1. 00:00:41
La intersección de pi y pi sub 1 es igual a la recta S. 00:00:49
Si la recta es secante al plano, pues el procedimiento es exactamente igual. 00:00:57
Esta es la recta R y este es el plano P. 00:01:08
La proyección va a ser esta recta que vamos a llamar S. 00:01:11
Y la recta S va a venir determinada por la intersección del plano pi con el plano pi sub 1, que está determinado por la recta R, el plano pi sub 1 contiene a R, y es perpendicular a pi. 00:01:20
La intersección de pi y pi sub 1 es igual a la recta S, que es la proyección de R sobre el plano. 00:01:41
En el caso de que la recta R estuviese contenida en el plano, pues esa sería la proyección. 00:01:50
Por lo tanto, lo que debemos hacer es encontrar un plano pi sub 1 que contenga R y que sea perpendicular al plano pi para determinar la recta S. 00:01:59
Bien, nos dan la recta R como la intersección de dos planos. 00:02:09
menos x menos y más z igual a 0, menos x más 3y menos z más 1 igual a 0. El vector 00:02:14
normal de esta recta, de este plano, es el menos 1 menos 1, 1. Y el vector normal de este 00:02:27
otro, es el 2, 3, menos 1. Bien, pues el vector direccional de R es el vector que resulta 00:02:38
desde el producto vectorial de los vectores normales de estos dos planos. Esto es igual 00:02:51
¿Verdad? Desarrollando por la fila, por la primera fila, pues sería igual al determinante de menos 1, 1, 3, menos 1, menos, desarrollando por J es negativo. 00:03:09
Sería menos 1, 2, 1, menos 1. 00:03:26
Y ahora desarrollamos por acá. 00:03:32
Menos 1, menos 1, 2, 3. 00:03:36
Vr, por lo tanto, será igual a 1, menos 3, menos 2. 00:03:42
1, menos 2, menos 1, menos, más 1. 00:03:51
y menos 3 más 2, menos 1. 00:03:54
Bien, nos haría falta también conocer un punto de la recta R. 00:04:01
Vamos a llamarle R. 00:04:05
Como es un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, 00:04:07
pues tenemos que dar un valor a una de ellas. 00:04:10
Vamos a darle ahí el valor 0. 00:04:13
Si la Y vale 0, pues nos queda menos X más Z igual a 0. 00:04:15
y 2x menos z igual a menos 1, pasamos el más 1 al otro lado, y nos queda pues que x es igual a menos 1, si x es igual a menos 1, pues menos menos 1 más z es igual a 0, z también es igual a menos 1, 00:04:22
Por lo tanto, un punto R de la recta R sería el menos 1, 0, menos 1. 00:04:43
Bien, para determinar el plano piso 1, piso 1 va a ser un plano que va a contener a la recta R, por lo tanto va a contener al punto R, menos 1, 0, menos 1, 00:04:55
Y va a tener como vectores direccionales, el vector direccional de recta R porque la contiene, el , y como tiene que ser perpendicular al plano pi, pues va a contener también el vector normal del plano pi. 00:05:09
Y el vector normal del plano pi, pues va a ser el 2, 1, menos 1. 00:05:30
2, 1, menos 1. 00:05:38
Bueno, pues ya tenemos un plano que viene determinado por un punto y dos vectores. 00:05:41
Vamos a hallar la ecuación de ese plano. 00:05:45
Pues será x menos la coordenada del punto, x más 1, y menos 0, zeta, más 1. 00:05:49
El vector direccional de R, menos 2, 1, menos 1. Y el vector normal, 2, 1, menos 1. Igual a 0. Este va a ser el plano y su 1. 00:05:58
Venga, desarrollamos el determinante. Nos queda menos x más 1, menos 2y, menos 2 por z más 1, menos 2 por z más 1, menos x más 1, más x más 1. 00:06:15
Más x más 1, menos 2y, menos 2y, igual a 0. 00:06:50
Bien, damos paréntesis, menos x menos 1, menos 2y, menos 2z, menos 2, menos 2z, menos 2, más x, más 1, menos 2y, igual a 0. 00:06:57
menos x más x, menos 1 más 1, nos queda menos 4y, menos 4z, menos 4 igual a 0. 00:07:18
Este sería el plano pi sub 1. Lo podemos simplificar, dividimos todo por 4 y pi sub 1 es igual a menos i menos z menos 1 igual a 0. 00:07:32
Si multiplicamos por menos 1, pues el plano pi sub 1 puede ser de la forma i más z más 1 igual a 0. 00:07:52
Bien, por tanto, la proyección de R sobre pi va a ser la recta S, que va a estar definida como la intersección del plano pi sub 1, 00:08:00
es I más Z más 1 igual a 0 00:08:22
y el plano pi va a ser 2X más I menos Z más 3 igual a 0. 00:08:28
La intersección de estos dos planos va a ser la proyección de R sobre pi. 00:08:40
Gracias. 00:08:52
Subido por:
Julio M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
Visualizaciones:
188
Fecha:
30 de noviembre de 2021 - 23:41
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
08′ 54″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
169.93 MBytes

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