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Propiedades de los determinantes - Contenido educativo

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Subido el 12 de febrero de 2021 por Jose S.

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Bien, vamos a ver las propiedades de los determinantes. Vamos a ver, lo que os estaba comentando, lo interesante de los determinantes reside especialmente en sus propiedades. 00:00:00
Es decir, sus propiedades confieren una capacidad enorme como herramienta matemática. 00:00:17
¿Entendéis lo que quiero decir? 00:00:29
Entonces, vamos a analizar de manera fiel y detallada las propiedades de los determinantes. 00:00:31
¿De acuerdo? La primera propiedad es que, como veis, el determinante de una matriz A es igual al determinante de su traspuesta. 00:00:39
¿De acuerdo? Es decir, si tú calculas el determinante de una matriz, calculas el determinante de la traspuesta, te tiene que dar el mismo resultado. 00:00:53
¿De acuerdo? Bien. Primera propiedad importante. Segunda, si una matriz tiene una fila o una columna íntegramente de ceros, el determinante vale cero. 00:01:06
¿Sabríais por qué? Fijaros, como vimos, cada sumando contiene al menos un elemento de cada fila y de cada columna. ¿Entendéis o no? 00:01:24
Y por tanto, si tienes una fila o una columna íntegramente de ceros, cada sumando ha de tener dentro de esa multiplicación un cero. Por lo tanto, tiene que dar cero. ¿Os dais cuenta o no? 00:01:53
Bueno, conclusión. Si un determinante tiene una fila o una columna íntegramente de ceros, llena íntegramente de ceros, es el determinante vale cero. ¿De acuerdo? Vamos a la propiedad 3. 00:02:11
Propiedad 3 00:02:27
Si permutamos dos filas o dos columnas 00:02:29
Permutar es cambiar una por otra 00:02:37
¿De acuerdo? 00:02:40
Si permutamos dos filas o dos columnas 00:02:42
El determinante quedará cambiado de signo 00:02:46
Con el mismo valor absoluto 00:02:49
Pero cambiado de signo 00:02:52
Por ejemplo, si un determinante vale 3 00:02:54
Si permutamos dos filas, su determinante va a valer menos 3. ¿Se comprende? Y si permuto dos filas y luego otra vez permuto otras dos filas, pues me va a dar el mismo resultado. ¿Esto se entiende o no? 00:02:56
¿Esto se entiende lo que digo? 00:03:16
Por lo tanto, si permuto un número impar de veces 00:03:20
filas o columnas, da igual 00:03:24
si permuto un número impar de veces 00:03:27
el determinante valdrá el mismo valor absoluto 00:03:31
pero cambiado de signo 00:03:34
Si permuto un número par de veces 00:03:36
filas o columnas 00:03:41
el determinante va a dar el mismo resultado 00:03:44
¿Se entiende la idea o no? 00:03:46
¿Se entiende o no? Bien. 00:03:48
La propiedad 4 dice, si una matriz tiene dos filas o dos columnas iguales, el determinante vale cero. 00:03:52
¿De acuerdo? ¿Vale? 00:04:10
Si tienes dos filas o dos columnas iguales, el determinante vale cero. 00:04:17
No demuestro la propiedad. Me interesa eso sí que recordéis, ¿eh? ¿Vale? 00:04:25
Y luego, y esta cuestión es importante. 00:04:30
Propiedad 5. Si multiplicamos cada elemento de una fila o columna de una matriz por un número, 00:04:33
atención, multiplico no la matriz, sino una fila o una columna, ¿entendéis o no? 00:05:00
Si multiplico una fila o una columna por un número, el determinante quedará multiplicado por dicho número. 00:05:07
¿De acuerdo? ¿Se entiende lo que digo? 00:05:15
Por ejemplo, fijaros aquí. Vamos a hacer la prueba. 00:05:18
Si multiplico, por ejemplo, la primera fila de este determinante por 5, como dice aquí, ¿qué me queda? 00:05:37
Pues me quedaría... Vamos a hacer este cálculo primero y este luego. 00:05:43
¿De acuerdo? Y vamos a ver que efectivamente el resultado es el mismo. 00:05:49
¿Vale? Este determinante primero es 20, 45, 3 y 11 00:05:53
¿Estamos de acuerdo o no? 00:06:03
Venga, esto da, pues, 20 por 11, ¿sí o no? 00:06:04
Pues bien, el determinante este da 85, ¿de acuerdo? 00:06:13
Es decir, el resultado de multiplicar este determinante, una fila por 5 00:06:17
¿De acuerdo? Como veis aquí 00:06:24
¿Sí o no? 00:06:25
Vamos a comprobar que efectivamente es igual a el resultado de multiplicar el determinante por 5. 00:06:27
¿Se entiende la idea? ¿Se entiende? 00:06:34
Este determinante de aquí, primero, es un determinante al que la primera fila la he multiplicado por 5. 00:06:37
Y me da 85. 00:06:48
Vamos a hacer ahora este mismo determinante pero con el 5 fuera. 00:06:50
Que nadie se confunda. Sabéis todos lo que es multiplicar 5 por una matriz, ¿no? 00:06:57
Sí, ¿qué es esto? ¿Qué se hace? El 5 multiplica a todos los elementos. 00:07:05
Pero, ojo, estamos hablando no de matrices, estamos hablando del determinante. 00:07:12
¿Se entiende la idea? Cuidado, ¿eh? Entonces, ¿qué pasa con esto? 00:07:20
Vamos a ver cuánto da 5 por el determinante este 00:07:23
5 por 44 00:07:31
Bien, hacemos el desarrollo del determinante 00:07:37
Que es esto, da 17 y multiplicado por 5 da 85 00:07:42
Que da lo mismo, ¿entendéis? 00:07:47
Es decir, cuidado, ¿eh? 00:07:48
Bueno, en definitiva, si una fila o columna, si a este determinante le multiplico su primera fila por 5, como veis aquí, el determinante de la nueva matriz va a tener el mismo determinante inicial pero multiplicado por 5. 00:07:51
¿Se entiende o no? ¿Se ve? Cuidado con esta propiedad que es engañosa. Hay que interpretarla bien. Es engañosa porque estoy multiplicando una fila o columna, no toda la matriz. 00:08:13
¿Vale? Y además esto es una pregunta muy típica de la EBAU. En concreto, el siguiente análisis, que es una consecuencia. 00:08:27
¿Vale? Dice, si multiplico alfa, que es un número, atención aquí, por una matriz, el determinante de alfa por dicha matriz va a ser alfa elevado a n por el determinante de la matriz A. 00:08:41
¿Quién entiende esto? Vamos a ver por qué. Fijaros, aquí pone determinante de la matriz alfa por a. ¿Sí o no? Alfa por a, ¿qué es alfa por a? 00:09:00
Multiplicar la matriz A, cada elemento de la matriz A, por alfa, por un número, ¿sí o no? 00:09:19
Es decir, si A tuviera cuatro filas, estoy multiplicando cuatro filas por alfa, ¿sí o no? 00:09:31
Y según la propiedad que hemos visto antes, por cada fila que multiplico por alfa, el determinante queda multiplicado por alfa. ¿Sí o no? ¿Pero cuántas filas hay? Cuatro. Por lo tanto, el determinante quedaría multiplicado por alfa elevado a cuatro. ¿Se comprende o no? ¿Se entiende este matiz? Es importante. 00:09:43
Es decir, el determinante de A tiene que ser lo que alfa por A es el resultado de multiplicar a cada fila de A por alfa. 00:10:03
Y por tanto, el determinante de alfa por A es el resultado de multiplicar el determinante de A por alfa 00:10:18
un número de filas 00:10:28
el mismo número de filas 00:10:31
de veces 00:10:33
¿se entiende la idea? 00:10:33
entonces, por ejemplo 00:10:37
si A es de orden 3x3 00:10:38
si A resulta que es 00:10:41
una matriz de orden 3x3 00:10:43
¿se entiende esto? 00:10:46
cuadrada de orden 3x3 00:10:47
resultará que alfa por A 00:10:49
es igual a alfa al cubo 00:10:51
por el determinante de A 00:10:53
o sea, el determinante de alfa por A 00:10:54
perdón, es igual a alfa al cubo por el determinante de A. Esta propiedad, repito, que es fundamental, ¿eh? N es el orden de la matriz A, o sea, el número de filas o el número de columnas, ¿vale? 00:10:56
Vamos a ver la siguiente propiedad, la 6. Dice, si una matriz tiene dos filas o dos columnas proporcionales, su determinante es 0. 00:11:13
Si una matriz tiene dos filas o dos columnas proporcionales, su determinante es cero 00:11:28
Antes hemos visto que si una matriz tiene dos filas o dos columnas iguales, el determinante vale cero 00:11:42
¿Sí o no? 00:11:50
Bien, esta propiedad es un poco más general que la anterior 00:11:51
Si un determinante tiene dos filas o columnas proporcionales, el determinante vale cero 00:11:54
En concreto, si son iguales, son proporcionales, ¿no? 00:12:00
¿Sí o no? 00:12:05
Si dos filas son iguales, son proporcionales. 00:12:06
Por lo tanto, la propiedad esta de que si tiene dos filas o columnas iguales, vale cero el determinante, 00:12:09
es una propiedad pobre en relación a esta, que es más general y de alguna manera la engloba. 00:12:15
¿Se entiende o no? 00:12:23
Bien. 00:12:24
Mirad, por ejemplo, esta columna es la misma que esta multiplicada por 10. 00:12:27
¿Lo veis? 00:12:33
Y el resultado da cero. 00:12:34
¿De acuerdo? Vamos a la propiedad 7. Dice, si una fila o columna de una matriz es suma de dos, su determinante puede descomponerse en suma de los determinantes de dos matrices del siguiente modo. 00:12:36
Mira, en definitiva, vamos a verlo mediante un ejemplo, pero veis que aquí hay un determinante y otro, tienen esta columna iguales, pues la suma de estos determinantes sería el valor de este determinante, 00:12:57
de esta matriz que hemos construido con la misma columna que se repite, 00:13:19
pero sumando las columnas que no se repiten. 00:13:26
¿Se entiende? Los elementos de las columnas que no se repiten. 00:13:30
Vamos a ver un ejemplo. 00:13:33
Mirad este ejemplo. 00:13:39
Esta matriz tiene... 00:13:43
Primera columna son distintas, 00:13:48
Pero las segundas columnas son iguales y las terceras son iguales, ¿de acuerdo? Pues según esta propiedad sería igual a, sumaríamos elemento a elemento de la columna que es diferente. 3 más 0, 3. 1 más menos 1, 0. Y 2 más 7, 9. ¿De acuerdo con lo que hemos hecho? 00:13:51
Y ahora el resto las dejamos igual. ¿Se entiende lo que hemos hecho? Y esta propiedad es interesante también para ser aplicada al revés. De aquí a aquí. Veremos más adelante por qué es interesante en ese sentido. ¿De acuerdo? 00:14:14
Vamos a ver la propiedad 8. Dice, si a una fila o columna de una matriz se le suma una combinación lineal de líneas paralelas, el determinante no varía. 00:14:41
¿Veis? Repito 00:15:05
Si a una fila o columna de una matriz 00:15:09
Se le suma 00:15:11
Una combinación lineal de líneas paralelas 00:15:12
El determinante no varía 00:15:15
Atención 00:15:18
Mirad en este ejemplo 00:15:20
Mirad este ejemplo 00:15:22
Voy a recorrerlo pero al revés 00:15:28
¿De acuerdo? 00:15:31
Atención 00:15:33
A este determinante 00:15:34
A, B, C, D 00:15:38
¿Vale? Con K en la segunda, ¿vale? B más K, A. Vale, perfecto. Es que tengo que ver cómo lo han hecho. O sea, que han sumado a este más K. Vale. 00:15:40
Vamos a ver. Vamos a sumar a la segunda fila una combinación lineal de líneas paralelas. ¿Entendéis? Es decir, perdona, a la segunda columna. 00:16:02
¿Vale? Esto se puede hacer con cualquier fila y con cualquier columna, ¿eh? Pero quiero que entendáis qué está diciendo esa propiedad con este ejemplo, ¿vale? La segunda columna, ¿quién es? BD, ¿vale? Es BID. Esta es la segunda columna. 00:16:16
Ahora, quiero sumar a la segunda columna, o sea, a B, D, a cada uno de ellos, una combinación lineal de líneas paralelas a ella. En este caso, como es de orden 2, solo hay una línea paralela, que es esta. ¿Sí o no? ¿Me seguís? 00:16:37
Pues bien, ¿qué es una combinación lineal? Era multiplicar por coeficientes cada una de las filas. ¿Recordáis o no? ¿Qué es una combinación lineal en términos generales? 00:17:03
O sea, era un concepto, por ejemplo, ¿qué es una combinación lineal de ecuaciones? Pues una suma que se construye a partir de una serie de ecuaciones que multiplico por un número y que la sumo entre ellas. ¿Entendéis o no? 00:17:19
En la misma idea trabajábamos con las filas o columnas de una matriz, que es lo que hacíamos en realidad para hacer ceros en el método de Gauss. ¿Recordáis o no? Lo mismo se hace con vectores en geometría, que no es el caso vuestro, que no lo habéis dado, pero lo mismo se hace, esa misma idea se traslada al campo de los vectores, de los espacios vectoriales. 00:17:36
Bien, pues, una combinación, dice la propiedad, si sumo a una columna o una fila una combinación lineal del resto, entonces el determinante no varía. Una combinación lineal del resto, el resto en este caso es solo la columna AC. ¿Sí o no? 00:18:03
Bien, la quiero multiplicar, quiero multiplicarlo por un número, porque es una combinación lineal cualquiera, ¿sí o no? Por ejemplo, por K. ¿Os vale con letras? Luego hago un caso concreto numérico, ¿vale? 00:18:28
Bien, pues, si a la columna segunda le sumo una combinación lineal del resto, como veis aquí, me va a quedar B más KA y D más KC. ¿Vale? Pues bien, a la primera columna, a la segunda columna, le sumo combinación lineal del resto y me va a quedar esto. 00:18:40
Pues estos dos determinantes valen lo mismo 00:19:05
Y aquí está la cuestión 00:19:19
Una de las cuestiones 00:19:21
¿Se ha entendido la idea? 00:19:29
Por ejemplo, una 00:19:31
¿Se ha entendido? 00:19:32
Voy a pasar a la propiedad siguiente que es la que me importa 00:19:35
¿Vale? 00:19:37
Atención, esta es la propiedad interesante 00:19:43
Lo que pasa es que la propiedad 8 00:19:45
Es la que acabamos de ver 00:19:48
Y la anterior también 00:19:49
Demostraría la 9 00:19:51
Que es la que se lleva la palma 00:19:52
Esta propiedad, la propiedad 9, confiere al determinante una cualidad de herramienta potente para el álgebra, ¿de acuerdo? Así que no perdamos atención, ¿de acuerdo? 00:19:55
Vamos a ver. Dice, si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero, y recíprocamente. 00:20:12
Mirad, en el tema anterior estábamos trabajando todo el tiempo intentando ver qué ecuaciones son o no redundantes respecto de las anteriores. ¿Recordáis o no? Es decir, redundante es lo que se entiende por linealmente dependiente, ¿vale? 00:20:30
Pero aquí lo hemos llamado redundante porque no aporta información nueva. ¿Me entiendes lo que te quiero decir? Vale. Es decir, por ejemplo, si yo tengo una ecuación, un sistema de ecuaciones y añado una ecuación que es combinación lineal de las anteriores, ¿qué está pasando en ese sistema? ¿Qué le sucede al sistema? 00:20:56
Pues que al hacer Gauss, esa nueva ecuación que he creado se va a eliminar. 00:21:19
¿Entendéis o no? 00:21:26
¿Sí o no? 00:21:27
Porque no aporta nada. 00:21:28
Vimos que si a un sistema de ecuaciones le sumo, le añado una ecuación que es combinación lineal del resto, 00:21:29
esa que añado no aporta nada al sistema de ecuaciones. 00:21:39
Tampoco lo hace incompatible, pero no aporta. 00:21:48
¿Entendéis o no? 00:21:50
Quiere decirse que las soluciones de las anteriores lo van a ser de ella, de la que he añadido. ¿Sí o no? Esto es lo que se llama ecuación linealmente dependiente de las demás, ¿vale? Que depende de las demás linealmente. 00:21:52
En definitiva, pero lo que nosotros hemos llamado, o sea, decir, si por ejemplo tengo un sistema de ecuaciones, ¿no? De tres ecuaciones, ¿vale? Imagínate que tengo una ecuación como esta, otra. Un sistema como este, ¿cuántos grados de libertad tiene? Uno. 00:22:10
¿Sí o no? Porque X y Z, si partimos de la terna numérica de soluciones, tiene tres grados de libertad. Lo que pasa es que cada una de las ecuaciones me va a reducir un grado de libertad. ¿Sí o no? ¿Me seguís? 00:22:36
Entonces, de tres baja a dos y de aquí baja a uno, pues te queda un grado de libertad. Quiere decirse que voy a tener que parametrizar una ecuación con un parámetro. ¿Se entiende la idea o no? Lo que vimos en el tema anterior. ¿Se recuerda o no? 00:22:52
Bueno, ¿qué pasa si añado una tercera ecuación? Pues en términos generales va a reducir un grado de libertad y lo va a hacer sistema compatible, salvo que la ecuación que yo añada sea linealmente dependiente de las dos primeras. ¿Se comprende o no? Es decir, sea fruto de una combinación lineal de las dos primeras. ¿Esto se entiende o no? ¿Se ve? 00:23:05
Pues vamos a la propiedad 3, perdón, a la propiedad 9 del determinante. Dice, está dando en el corazón de esa cuestión que hemos dicho, ¿entendéis? Porque dice, si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, 00:23:30
Es decir, que si a una matriz le añado una línea, una fila o una columna que es combinación lineal de las demás, su determinante vale cero. 00:23:52
Y por tanto, fijaros, lo que me está diciendo es, esta propiedad la puedo utilizar para ver si en un sistema de ecuaciones, por ejemplo, me sobran, hay ecuaciones que son linealmente dependientes de las demás. 00:24:04
Porque si el determinante vale cero, esto significa que hay una ecuación que es combinación lineal de las demás 00:24:24
¿Se comprende o no? ¿Se entiende? 00:24:34
Y en consecuencia, al hacer Gauss, se me van a eliminar algunas de las ecuaciones 00:24:37
¿Se ha entendido o no? 00:24:44
Por lo tanto, es una propiedad, el determinante es una herramienta excelente por esta misma propiedad 00:24:47
Porque me permite, en definitiva, ver si una fila o, en el caso de los vectores, si un vector, o en este caso una fila o una columna, es linealmente dependiente del resto. ¿Se ha entendido la idea? La propiedad 10 dice, el determinante del producto de dos matrices es el producto de los determinantes. 00:24:54
Veremos que esta cuestión también la utilizaremos y es importante, ¿vale? 00:25:18
Y hay que saber interpretar esto 00:25:30
Lo dejo para vosotros el análisis, ¿eh? ¿Vale? 00:25:34
Y luego en la propiedad 11 dice 00:25:38
El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal 00:25:40
¿Triangular qué era? 00:25:46
Pues que debajo de la diagonal todos los elementos son cero 00:25:48
O, por encima de la diagonal, todos los elementos son cero. Pues la propiedad dice que un determinante de una matriz triangular, pues el determinante va a valer el producto de todos los elementos de la diagonal. 00:25:51
¿De acuerdo? 00:26:08
Y vamos a la última que es muy importante 00:26:15
Bien, la última propiedad es importante 00:26:17
Que dice 00:26:19
Mirad 00:26:20
El determinante de la matriz identidad vale 1 00:26:22
La matriz identidad era la que tiene diagonal 1 y el resto 0 00:26:26
¿Sí o no? 00:26:31
Bien, pues la matriz identidad, el determinante de la matriz identidad vale 1 00:26:32
¿Vale? 00:26:36
Y luego, fijaros en esto 00:26:37
¿qué pasa con el 00:26:39
qué relación hay entre el determinante 00:26:41
de una matriz y su inversa? 00:26:43
¿vale? 00:26:47
vamos a ver esta cuestión que es importante 00:26:48
¿qué le pasa 00:26:51
a la inversa de una matriz? 00:26:52
pues una matriz 00:26:55
y su inversa 00:26:56
como vimos el otro día han de ser 00:26:58
dos matrices que multiplicadas den 00:27:01
la unidad, la identidad 00:27:02
que es la unidad para el elemento 00:27:05
neutro para el producto de matrices 00:27:07
¿se recuerda o no? 00:27:09
Bien. Por lo tanto, tiene que ser igual a la unidad. ¿Cuál es el determinante de A por A menos 1? Pues ha de ser el determinante de la identidad, que es 1. ¿Se entiende o no? ¿Se ve? 00:27:10
Y en consecuencia, según la propiedad anterior que decía que el determinante de A por B es igual al producto de los determinantes, ¿recordáis o no? 00:27:29
Aplicando esta propiedad aquí, aquí me quedaría que el determinante de A por el determinante de la inversa de A es igual a 1. 00:27:46
y despejando, obtendríamos esta fórmula. 00:27:59
¿Se ve? 00:28:05
Que viene a decir que el determinante de la matriz inversa 00:28:06
es el inverso del determinante de la matriz. 00:28:10
¿Lo veis o no? 00:28:16
Por ejemplo, si el determinante de A vale 3, 00:28:17
¿cuánto vale el determinante de A a la menos 1? 00:28:21
Pues un tercio. 00:28:24
¿Se entiende o no? 00:28:26
¿Se entiende? 00:28:28
El inverso, numérico. 00:28:31
¿Se ha entendido la idea? 00:28:33
Bien, pues... 00:28:34
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12 de febrero de 2021 - 13:02
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Público
Centro:
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