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Tema 1.-Números Naturales Primera Sesión 30-09-2025 - Contenido educativo

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Subido el 1 de octubre de 2025 por Angel Luis S.

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Buenas tardes, esta es la clase de matemáticas de nivel 1 del día 30 de septiembre. 00:00:00
Vamos a empezar viendo nuestra primera unidad que es el de números naturales y cómo se opera con los números naturales. 00:00:06
Los números naturales, lo primero que vemos es que aparecieron con la necesidad de contar. 00:00:13
Es para lo que los utilizamos normalmente, para poder contar. 00:00:21
El cero, en principio, se puede considerar natural o no. 00:00:26
Si lo pienso como una necesidad de contar, el cero no me vale para nada, porque cuando no hay nada, no hay nada que contar. 00:00:30
Pero, como nuestro sistema de numeración decimos que es decimal posicional, pues el cero nos va a hacer falta. 00:00:34
Vamos a verlo. 00:00:44
Sistema de numeración decimal. 00:00:47
¿Por qué decimos que es decimal? 00:00:57
porque utilizamos 10 dígitos distintos 00:00:59
que son el 0, el 1, el 2, el 3 00:01:04
hasta el 9, cualquier número lo componemos con estos dígitos 00:01:08
y se llama posicional porque 00:01:12
la posición del número le da en parte 00:01:18
su valor, aquí tengo 3 unos, pero no vale lo mismo este 1 00:01:23
que es una unidad, que este otro 1 00:01:26
que serían diez unidades, por estar en la cifra de las decenas, que este otro uno que son cien unidades. 00:01:31
Entonces, la posición que ocupe el dígito dentro del número le da un valor mayor o menor. 00:01:43
Entonces, nuestro sistema de numeración es decimal posicional. 00:01:51
decíamos que el 0 no me hacía falta en principio para contar 00:01:55
pero resulta que si yo quiero pasar a un número mayor de 9 00:02:00
tengo que ir variando las posiciones 00:02:05
si ese número es justo el 10 00:02:08
la forma de representar que el 1 en vez de valer una unidad 00:02:10
como decíamos en el 111 ya vale 10 unidades 00:02:15
es ponerlo en una posición a la izquierda 00:02:17
que tengamos cifra de unidades 00:02:22
que la representaríamos con el 0 para decir 00:02:24
que existe esa posición y está ocupada 00:02:28
y que el 1 estaría ya 00:02:31
en la cifra de las decenas 00:02:34
¿vale? entonces 00:02:36
para eso nos hizo falta el 0 00:02:39
no me vale para contar en sí porque cuando no hay nada 00:02:41
no hace falta contarlo pero le necesito 00:02:45
cuando tengo que hacer esas variaciones de 00:02:48
valor de los dígitos ¿vale? 00:02:51
¿cuántos números naturales tenemos? Pues infinitos 00:02:53
no se acabarían nunca, podríamos ir variando 00:02:57
todo lo que queramos y aumentando todo lo que queramos 00:03:02
vamos a ver ahora 00:03:06
qué operaciones puedo hacer con estos números naturales 00:03:09
y cómo llamo las cosas en las operaciones. Y lo primero que os he querido poner aquí 00:03:14
es algo que luego nos da muchos problemas más adelante en el tema de 00:03:18
números racionales que es que 00:03:22
confundimos lo que es 00:03:24
un múltiplo con lo que es un divisor 00:03:26
vamos a ver 00:03:28
la definición y verla en estos 00:03:30
ejemplos y si hace falta pues escribimos 00:03:32
alguno más, yo digo que si tengo 00:03:34
dos números naturales A y B 00:03:36
A es múltiplo 00:03:38
de B, si puedo 00:03:40
escribir ese 00:03:42
número A como el B multiplicado por A 00:03:44
es decir, si puedo 00:03:46
encontrar ese número A dentro de la 00:03:48
tabla de multiplicar del número B 00:03:50
¿vale? por ejemplo, pues el 12 digo que es múltiplo de 3 00:03:52
puesto que el 12 le puedo calcular 00:03:56
multiplicando al 3 por 4 00:04:00
quita por favor el micrófono ahora para que no esté haciendo ruido 00:04:03
¿vale? desconectate el micrófono porfa 00:04:07
muy bien, muchas gracias, ¿de acuerdo? entonces si yo puedo 00:04:11
encontrar el número B, perdón, el número A 00:04:21
Dentro de la tabla multiplicar el número b es porque el número b es un múltiplo de ese número a, ¿vale? 00:04:25
¿Cuántos múltiplos tiene un número? Pues infinitos, porque la tabla de multiplicar la puedo hacer tan infinita como los números naturales que puedo multiplicar entre sí. 00:04:32
¿De acuerdo? Entonces, múltiplo tiene que ser más grande siempre que el número original porque a este le voy a multiplicar por otro número natural. 00:04:43
Vamos a ver ahora qué es un divisor. 00:04:55
Dos números naturales A y B, otra vez como antes. 00:04:58
Decimos que el número B divide A si al hacer la división de A entre B me sale exacta, 00:05:01
o sea, me sale de cociente un número natural y no me sobra nada, no hay resto en esa división. 00:05:08
Por ejemplo, el 8 es divisor del 40 porque cuando yo divido 40 entre 8 me sale de cociente 5 00:05:15
y no me ha sobrado nada. Así como los números, como los múltiplos, decíamos que ahí hay infinitos 00:05:23
y solo si ir haciendo la tabla de multiplicar para encontrar los divisores de un número 00:05:30
ya no va a haber infinitos y la forma de calcularlos va a ser utilizando las factorizaciones de ese número. 00:05:35
Aquí os pongo una forma muy larga de calcularlos porque veáis la forma, digamos, que primero nos enseñan en el cole, pero esta no es la más apropiada, de ir dividiendo en la mitad y luego ir cogiendo todos esos factores que me van saliendo. 00:05:44
Así no lo vamos a usar, solo es como curiosidad. Vamos a hacerlo utilizando las factorizaciones en números primos que vamos a ver también en este tema. 00:06:00
Para poder calcular de una forma, digamos, más eficiente y eficaz esos factores primos, vamos a recordar lo que se llaman los criterios de divisibilidad de los números. 00:06:10
y es ver, sin hacer la cuenta, saber a priori entre qué números puedo dividir y entre cuáles no. 00:06:23
Aquí os he puesto del 2 al 9, pero nosotros realmente solo lo vamos a hacer con los números primos, 00:06:32
que ahora un poquito más adelante veremos quiénes son. 00:06:38
Pero antes vamos a recordar estos criterios. 00:06:42
Yo sé que un número es divisible entre 2 sin hacer ninguna división si termina en 0 o en un número par. 00:06:45
O sea que viendo su cifra de las unidades, si la cifra de las unidades es un 0 o un número par, 00:06:54
el número entero, sea lo grande que sea, se va a poder dividir entre 2. 00:07:01
Ahora vamos a hacer un ejercicio en el que lo veamos. 00:07:04
Primero os cuento todas las reglas. 00:07:07
Otra regla que me va a interesar mucho es la de ver qué números se pueden dividir entre 3. 00:07:09
Y para ver si un número se puede dividir entre 3, lo único que tengo que hacer es sumar sus cifras. 00:07:15
Si sus cifras dan 3 o un múltiplo de 3, el número entero va a ser múltiplo de 3. 00:07:22
¿Cómo podría ver si un número es divisible entre 4? 00:07:30
Pues en lugar de fijarme en su última cifra solo, me fijo en las dos últimas. 00:07:34
Y si las dos últimas cifras forman un número que está en la tabla del 4, pues 0, 4, 0, 8, 12, 16, 20, el número entero va a ser múltiplo de 4. 00:07:38
¿Qué números se pueden dividir entre 5? Pues todos aquellos que acaben en 0 o en 5. 00:07:52
si yo pienso en la tabla de 5, tengo 5 por 1, 5 00:07:58
5 por 2, 10, 5 por 3, 15, 5 por 4, 20 00:08:02
se va repitiendo siempre la misma terminación, 0, 5, 0, 5 00:08:06
0, 5, entonces con que me fije en esa terminación 00:08:10
ya voy a poder saber si el número completo es múltiplo de 5 00:08:14
o no, si quisiésemos saber cuáles son los múltiplos de 6 00:08:18
pues como el 6 es 2 por 3, el criterio 00:08:22
para el 6 es combinación del criterio del 2 y del 3, o sea que 00:08:26
acabe en 0 con número par y que además la suma 00:08:30
de sus cifras sea un múltiplo de 3, ese sería el 00:08:34
criterio para el 6. Por ejemplo, el criterio como era el 9 00:08:38
como 9 es 3 por 3, pues es 00:08:42
repetir el criterio del 3, nada más que ahora 00:08:46
con el 9 sumar las cifras y que el resultado final 00:08:49
sea múltiplo de 9. Nos faltan aquí 00:08:54
dentro de estos criterios de divisibilidad, que os he querido poner los más sencillitos 00:08:58
para que vieseis cómo iba la historia, el 7 00:09:01
y el 11. O sea, los que vamos a utilizar nosotros van a ser el criterio del 2 00:09:06
el del 3, el del 5, el del 7 y el del 11 00:09:10
porque son los números primos que nosotros 00:09:14
vamos a utilizar en nuestras factorizaciones. Aquí he saltado al del 10 00:09:18
Diciendo que todo número que sea múltiplo de 10 o que se pueda dividir entre 10 tiene que terminar en 0 y os he puesto el del 11. 00:09:22
Pero voy a recordaros también el del 7 y así tenemos los que a nosotros nos interesan y hacemos un ejercicio para ver cómo lo calcularíamos con distintos números. 00:09:30
Pues tendríamos lo siguiente, criterio de divisibilidad para el 7, vamos a verlo con un ejemplo, cojo por ejemplo el 326 y quiero ver si el 326 es múltiplo de 7. 00:09:42
Una opción sería hacer la división. Quiero dividir entre 7, pues 32 entre 7, 4 por 7, 28, me sobran 4, 46 entre 7, pues 7 por 7, 49 me pasaría, 6 por 7, 42, me sobran 4, pues estoy viendo que como hay resto, no es divisible entre 7. 00:10:18
Pero vamos a hacerlo de otra forma más cómoda, digo el 326. Lo que hago es quitar su última cifra, quito el 6 y me quedo con el 32. 00:10:42
y a ese 32 le voy a restar el doble de la cifra que he quitado, que es 6. 00:10:57
Entonces voy a tener 32 menos 12. 00:11:06
El resultado de esa operación me va a dar 10. 00:11:15
si el resultado de hacer esta cuenta me sale 00:11:19
un 7 o un múltiplo de 7 00:11:23
es porque el número entero es múltiplo de 7 00:11:27
queremos que el resultado 00:11:31
final salga 00:11:39
múltiplo de 7, que salga un número 00:11:46
de la tabla de multiplicar de 7, ¿de acuerdo? 00:11:50
Entonces, lo que he hecho es, pensemos los paso a paso. Primero, vamos a probar con otro número y lo recordamos. Vosotros lo tenéis en la grabación. A mí es el que no me deja volver para atrás ahora la pizarra. No sé por qué. 00:11:59
Bueno, vamos a probar con otro número y escribimos los pasos. Quiero, por ejemplo, poner, en vez de ese 326, 349. 00:12:33
Como os hemos dicho, primero quito la última cifra, el 9, y me quedo con el 34, ¿vale? 00:12:50
Segundo paso, al número que me queda le resto el doble de la cifra que quité. 00:13:10
O sea, que al 34 le resto el doble de 9. O sea, que al 34 le resto 18. ¿Qué me queda cuando al 34 le resto 18? Pues me quedaría 26. 00:13:35
Si este número que me sale está en la tabla del 7, si este resultado es múltiplo de 7, en este caso no lo es, el número original sería múltiplo de 7, ¿de acuerdo? 00:13:59
el número original, que era el que teníamos arriba 00:14:42
ese 349, como este 26 no es múltiplo de 7 00:14:45
pues el 349 tampoco lo es 00:14:50
en nuestro caso, como 26 00:14:53
no es múltiplo de 7, el 349 00:14:58
tampoco, si lo hubiese sido 00:15:07
el 349 también habría sido múltiplo de 7 00:15:14
O sea que tengo que hacer esa operación en tres pasitos. Es un poco rara. Hay quien dice, pues es que esta no me gusta mucho, prefiero hacer la división entre siete. Como queráis. Si el número me da más de tres cifras, de cuatro, de cinco, de seis, da igual. Lo que voy haciendo es repetir el mismo criterio. 00:15:17
Lo he hecho esa operación y me ha quedado un número todavía de 4 cifras. 00:15:34
Pues vuelvo a repetir el proceso. 00:15:38
Me va a quedar un número de 3 o de 2 cifras. 00:15:39
Vuelvo a repetir el proceso hasta que me quede uno de 2 cifras 00:15:41
que yo puedo comprobar en la tabla de multiplicar del 7 00:15:44
si se encuentra ese número o no. 00:15:48
Bueno, pues este sería el criterio del 7. 00:15:51
Vamos a ver para el 11 cómo sería el criterio, 00:15:54
que también es un poquillo enrevesado y ahora vamos a poner un ejemplo. 00:15:57
Pero ese sí os lo he escrito aquí. 00:16:00
porque ese sí que es más difícil de calcular a mano 00:16:02
la división entre 11 00:16:07
entonces digo, cuando yo quiero ver si un número es divisible entre 11 00:16:09
lo que hago es sumar las cifras que están ocupando posiciones pares 00:16:12
por un lado y las cifras que ocupan posiciones impares por otro 00:16:19
si al restar los resultados de esas dos sumas me sale un 0 00:16:22
o un múltiplo de 11 es porque el número entero es múltiplo de 11 00:16:27
Como es un poco rollo, pues voy a escribirlo con un ejemplo también. Vamos a decir, pues eso, criterio de divisibilidad del 11. Y lo vamos viendo en un ejemplo. Cojo, por ejemplo, 121. 00:16:30
Y cuando hablamos de posiciones pares o impares es ver, mirando de derecha a izquierda, qué posición ocupa cada una de las cifras. Primera posición, segunda posición, tercera posición. 00:17:05
Entonces me dice, suma de las cifras que están en posiciones pares, o en posiciones impares, me da igual en qué orden lo hagáis. 00:17:20
El caso es que las separemos. 00:17:40
Pues vamos a hacerlas impares. 00:17:43
Y las impares son esta primera posición más esa tercera posición. 00:17:45
Pues tengo que sumar los dos unos. Uno más uno, que me va a dar dos. Lo mismo para las posiciones pares. Suma de las cifras que están en posiciones pares. 00:17:50
¿La posición par quién es aquí? La segunda 00:18:12
¿Qué cifra tengo en la segunda posición? Un 2 00:18:19
Entonces no hay nada que sumar porque solo hay una posición par 00:18:22
Esa segunda posición 00:18:26
¿Qué hacíamos después? Pues ahora decimos 00:18:28
Restamos los resultados 00:18:31
El 2 de las posiciones impares 00:18:37
Menos el 2 de las posiciones pares 00:18:45
Me da 0 00:18:47
Y hemos dicho que si nos daba un 0 o un múltiplo de 11, o sea, un 11, un 22, un 33, un 44, el número original, en este caso el 121, sería múltiplo de 11. 00:18:48
Pues aquí, como me ha dado 0, eso quiere decir que el 121 sí es múltiplo de 11. 00:19:06
Vemos que es verdad haciendo la división. 00:19:21
Si yo hiciese el camino largo, que es hacer la división de 121 entre 11, tendríamos 12 entre 11 a 1. 00:19:24
Me sobraba. Bajo el otro 1. 11 entre 11 a 1. Resto 0. 00:19:33
Pues resulta que el 121 sale de hacer 11 por 11, ¿vale? 00:19:37
Como sí que está en la tabla del 11, ¿de acuerdo? 00:19:46
Bueno, pues vamos a ver que esto me sirve luego para factorizar los números compuestos. 00:19:51
el ir buscándose divisores que a mí me interesan, 00:20:05
que son los números primos, 00:20:11
que luego me ayudan a descomponer los números que no son primos 00:20:13
en productos de esos números que sí son primos. 00:20:16
Vamos a ver qué es esto de un número primo y un número compuesto. 00:20:20
Decimos que un número es primo 00:20:25
si sólo tiene dos divisores, 00:20:26
que son el mismo, que es el que se llama divisor propio, 00:20:31
Y el 1, ¿vale? 00:20:35
¿Qué números son primos? 00:20:39
Pues el 2, que solo se puede dividir entre 1 y entre 2. 00:20:40
El 3, que solo se puede dividir entre 1 y entre 3. 00:20:44
El 5, el 7, el 11, el 13, el 17, el 19, el 23, el 29. 00:20:47
Así tendríamos hasta infinitos números primos. 00:20:54
Con que nos sepamos hasta el 19, nos basta y nos sobra. 00:20:57
No nos va a recibir nunca factorizaciones con números más grandes en lo que vamos a hacer, ¿vale? 00:21:00
¿Y el 1? ¿El 1 es un número primo? Pues no, porque el 1 solo tiene un divisor, que es el mismo. 00:21:05
Yo quiero que para ser primo tenga 2, el 1 y el número que estoy mirando. 00:21:12
Y cuando tenga más de 2, pues diremos que el número es compuesto. 00:21:17
Digo, si cualquier número natural mayor que el 1, que no era ni primo ni nada, tiene más de 2 divisores, entonces no es compuesto. 00:21:22
Entonces, el 0 y el 1, que son los números naturales primeros, no son ni primos ni compuestos 00:21:32
A partir de ahí, los números primos, esto que solo tienen dos divisores 00:21:40
Y los números compuestos, los que tengan más de dos divisores 00:21:45
Vamos a ver algún ejercicio antes de seguir para adelante 00:21:49
Me dice, el ejercicio 2 00:21:56
Por probar que es un múltiplo de un divisor, recordad 00:22:03
calcula 5 múltiplos del número 7 00:22:08
y otro 5 del 13 00:22:12
pues lo único que tengo que hacer es ir haciendo la tabla de multiplicar 00:22:14
de cada uno de ellos 00:22:17
pues múltiplos del 7 00:22:18
tengo el 14, el 21, el 28 00:22:19
así hasta los que me pregunten 00:22:25
hasta los 5 que me pregunten 00:22:28
podría haber empezado por el 7 00:22:30
porque el 7 es el primer múltiplo de sí mismo 00:22:31
7 por 1 00:22:34
como vosotros queráis 00:22:35
Ahora me dice, haya 5, perdón, quiero uno de divisores. Calcula los divisores de 28. Pues el método ese largo me decía que hiciese mitad. Bueno, pues la mitad de 28 es 14. 00:22:37
O sea que el 2 divide al 28, el 14 también divide al 28, el 1 divide al 28, también es otro divisor suyo, el 28 divide también al 28. 00:23:02
Entonces, si lo pensásemos así, mirando uno por uno las divisiones que son exactas o no, tendríamos que los divisores del 28 son los siguientes. 00:23:16
Digo, el 1, seguro, y el 28 también, porque el 1 y cualquier número se dividen a sí mismos. 00:23:33
Entonces, ahora lo que quiero ver es si puedo hacer mitad desde ese 28. 00:23:43
¿Lo puedo dividir entre 2? Sí, y me da 14. 00:23:48
Pues el divisor y el cociente que me ha salido también son divisores de 28, 00:23:57
Porque podría haber hecho la cuenta al revés, es decir, divido 28 entre 14 y me daría 2. Aquí he hecho 28 entre 2 que es más fácil y me hago 14. Entonces diríamos el 1 y el 28 y a esos tengo que sumarles el 2 y el 14. 00:24:03
Entonces, todos los divisores de 28 serían el 1, el 2, el 14 y el 28. Esto es camino largo haciendo las cuentas que no queden exactas y cogiendo de esas cuentas siempre el divisor y el cociente de la división que está haciendo. 00:24:19
Pero esto es un rollo. Si el número es muy grande, me puedo morir haciendo divisiones. Vamos a ver que si utilizo lo que vamos a llamar factorizaciones del número, es mucho más rápido y más fácil de hacer. 00:24:42
Para eso, vamos a ver, antes de ver esto de las operaciones con números naturales, cómo se factoriza un número compuesto. Aunque hayamos dado un saltito, lo vamos a aprovechar para poder ver esos divisores de una forma más rápida y más apropiada. 00:24:54
¿Qué es factorizar un número? 00:25:17
Factorizar un número es encontrar todos los números primos que son capaces de dividirle. 00:25:20
Y para hacer eso, lo que voy a poner es las divisiones de esta forma. 00:25:27
Pongo el número 72 al lado izquierdo de la rayita. 00:25:34
Y empiezo de menores a mayores con los números primos que habíamos visto antes en nuestra tablita. 00:25:38
el 2, el 3, el 5, el 7 00:25:45
empiezo a hacer las divisiones 00:25:48
a ver cuáles me salen exactas y cuáles no 00:25:50
pero no lo hago a voleo 00:25:52
lo hago utilizando los criterios de divisibilidad 00:25:54
si yo ya sé de antemano 00:25:57
que no va a poder dividirse 00:25:59
por ejemplo entre 3 00:26:01
porque no cumple la regla del criterio de divisibilidad del 3 00:26:02
pues no lo intento siquiera 00:26:05
entonces viendo esto 00:26:07
vamos a ver qué pasaría con el 72 00:26:08
digo el 72 00:26:10
le puedo dividir entre 2 00:26:12
que es el número primo más pequeño 00:26:14
Pues como el 72 acababa en una cifra par, sí puedo dividirle. 00:26:16
Pues cojo y me hago la división en mi hoja ensucia, digo 72 entre 2 me va a dar 36. 00:26:20
Pues el cociente de esa división la pongo debajo del 72 en el lado izquierdo de la rayita esta. 00:26:27
Vuelvo a pensar otra vez, si ese 36 que me ha salido le podría volver a dividir entre 2. 00:26:34
y como resulta que el 36 acaba en cifra par, sí que puedo dividirle entre 2, 00:26:39
luego vuelvo a dividir otra vez, 36 entre 2 y me da 18, pues el 18 le pongo debajo del 36. 00:26:45
Vuelvo a repetir el proceso, ¿el 18 le puedo dividir entre 2? 00:26:53
Sí, pues el resultado de esa división que es 9 lo pongo debajo del 18. 00:26:57
¿El 9 le podría seguir dividiendo entre 2? Pues resulta que no puedo, porque es un número impar, 00:27:02
impar, entonces ya no cumple la regla del 2, del criterio de divisibilidad del 2. 00:27:07
Voy a ver el siguiente número primo, que era el 3, y el criterio del 3 me decía que sumase las cifras 00:27:13
y viese si el resultado era un número múltiplo de 3 o no, pero aquí no hay cifras que sumar, porque solo hay una. 00:27:20
Bueno, pues entonces me es más fácil ver directamente si 9 está en la tabla del 3. 00:27:26
¿Está el 9 en la tabla del 3? Sí, porque es 3 por 3, el 9. 00:27:31
Pues entonces digo, 9 dividido entre 3 me da 3. 00:27:35
Ha sido la división exacta. 00:27:41
¿Pero ese 3 le podría volver a dividir entre 3 entre sí mismo? 00:27:43
Sí. 00:27:46
¿Me daría el resultado? 00:27:48
Pues cuando yo llego a este 1 es cuando he terminado la factorización. 00:27:50
Si no llego hasta ese 1 final es porque me he comido algún factor. 00:27:54
Y lo que tengo que hacer es ir pensando 00:27:59
si se cumple el criterio de divisibilidad o no 00:28:01
antes de hacer la división 00:28:04
para que así me ahorre trabajo cuando 00:28:06
haya criterios que no se cumplan 00:28:09
no pierda tiempo en intentar hacer las divisiones 00:28:13
que ya sé de antemano que no van a ser exactas 00:28:16
bueno, cuando ya he encontrado todos esos números primos 00:28:18
que dividían al 72 00:28:22
todos esos factores primos que se llaman 00:28:24
lo que hago es escribirlos de una forma agrupada 00:28:27
digo, como el 2 se me ha repetido 3 veces 00:28:30
pues le escribo con un 3 encima 00:28:33
o sea, esto es lo que se llama la notación de potencias 00:28:36
que vamos a ver también en este tema 00:28:39
y que me dice que este 2 que le he puesto más en grande 00:28:41
se estaría multiplicando 3 veces 00:28:47
que me lo dice el número chiquitito de encima 00:28:50
como el 3 se ha repetido 2 veces, hago lo mismo 00:28:53
Bueno, pues a ese resultado de 2 elevado a 3 le tendría que haber multiplicado por 3 dos veces para conseguir el 72. 00:28:56
1 y 2, 3 es, por 3, 2 es, y multiplicase todos estos números, llegaría al 72. 00:29:07
Vamos a verlo pensándolo al revés. 00:29:14
Si multiplico 3 por 3, me da 9. 00:29:17
Si ese 9 que me ha salido le multiplico por 2, me va a dar 18. 00:29:19
Si le multiplico por otro 2 me da 36 y si no multiplico por otro 2 me da 72. 00:29:23
O sea, si gasto los dos 3 que tengo aquí con los tres 2 que tengo aquí, termino llegando al 72. 00:29:28
Luego la factorización de este número está correcta. 00:29:36
Pues fijaos, ayudándonos de esto es como yo puedo encontrar los divisores de un número más rápido. 00:29:40
Vamos a hacer esto mismo pensando en encontrar los divisores de ese 72. Calcular todos los divisores del 72. Pues hacemos esa factorización que hemos dicho que era 72 entre 2, 36 entre 2, 18 entre 2, a 9. 00:29:49
No puedo seguir dividiendo entre 2, voy a ver si puedo dividir entre 3 00:30:23
Si puedo, 9 entre 3 me da 3 00:30:27
Que lo podría volver a dividir entre 3, que me daría 1 00:30:29
Pues fijaos, cuando yo digo los divisores del 72 00:30:32
Empiezo en orden, digo, el primer divisor va a ser el 1 00:30:36
Después del 1, tengo el 2 00:30:40
Después del 2, tengo un 3 00:30:45
O sea, lo que estoy cogiendo es todos los factores 00:30:49
que tiene ese 72 más las combinaciones 00:30:51
de ellos, digo, podría haber cogido también 00:30:56
este 2 con este 3 de abajo y que me daría un 6 00:30:59
¿vale? podría haber cogido este 2 00:31:04
por este 2, que me daría un 4, perdón, me había saltado 00:31:08
y lo quería poner en orden, me daría un 4 00:31:12
el 2 por el 3 me daría un 6, este 2 00:31:15
por este 2 y por este 2 me daría un 8, este 4 que me daba aquí arriba o este de aquí multiplicado por el 3 de abajo me daría un 12, 00:31:20
pues el 12 también es múltiplo de ese número, el 3 por el 3 que me le he saltado me daría un 9, perdonad que por querer correr 00:31:34
que me queda poco tiempo, me estoy acelerando, me daría un 9 00:31:44
tendría también la multiplicación 00:31:47
de ese 9 por este 2, que sería este 3 00:31:52
por 3, con un 2, que me daría el 18 00:31:56
que tengo aquí a la izquierda, si ese 18 lo 00:32:00
multiplico por otro 2, me daría el 36 00:32:04
que tengo arriba, si multiplico por el último 2, el 72 00:32:08
Pues ya tengo todos los divisores del 72 00:32:12
Que han salido de hacer combinaciones de sus factores primos 00:32:16
Me han salido 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 00:32:21
Y 11 divisores distintos 00:32:28
Para el número 72 00:32:31
¿Vale? 00:32:33
Pues la forma rápida de hacerlo, aunque ahora os parezca un poco lío 00:32:35
Es esta 00:32:39
porque el ir haciendo las divisiones 00:32:40
una a una, probando con el 2 00:32:43
luego con el 3, luego con el 4, el 5 que no me saldría 00:32:46
el 6, el 7 no me valdría, pues me puedo 00:32:49
tirar 10 siglos hasta que pruebe todos los números 00:32:52
hasta llegar a la mitad que me decía el otro criterio que era 00:32:55
el 36, fijaos todos los números que hay aquí entre 00:32:58
medias, el 12 y el 18 que no me valen y todos los que hay 00:33:01
entre el 18 y el 16 que no me van a valer 00:33:04
Pues, ¿para qué los voy a probar? Es perder mucho tiempo, ¿vale? Es más fácil coger estas factorizaciones y hacer sus combinaciones con cuidadito para no dejarme ninguno atrás. 00:33:06
Bueno, ya hemos visto cómo puedo encontrar todos los divisores de un número utilizando eso que hemos adelantado, que es las factorizaciones. 00:33:23
Entonces, vamos a ver qué operaciones puedo hacer con los números naturales. Pues puedo hacer sumas y restas. Sumar es acumular, restar es descontar. Eso lo sabemos todos muy bien. 00:33:33
Pues cuando yo estoy tratando solo con números naturales 00:33:49
Y quiero que el resultado sea un número natural 00:33:53
Me tengo que asegurar de que el sustaendro 00:33:56
Que se llama el número que resta 00:33:59
Sea más pequeño que el minuendo 00:34:00
Porque si no, no podría restar 00:34:02
Por ejemplo, yo hago 5 menos 3 00:34:04
Y sin ningún problema puedo hacer la resta 00:34:07
Y me da 2, que es un número natural 00:34:09
Pero si quiero hacer 3 menos 5, no puedo 00:34:11
No sé restar un número más grande a otro más pequeño 00:34:13
en qué momento, se lo veremos cuando hagamos el tema de los números enteros, que es donde 00:34:18
ya aprenderemos a manejar números negativos. O sea, que en este primer tema eso no me puede 00:34:23
ocurrir. ¿Cómo será la forma más eficiente de hacer sumas y restas de números enteros 00:34:28
si hay más de una suma y de una resta acumuladas en la misma operación? Pues lo más fácil 00:34:37
es coger todos los positivos por un lado, sumarlos, todos los negativos por otro, sumarlos 00:34:42
y restar los resultados. O sea, es como si estuviese mirando la cartilla del banco. 00:34:48
Todo lo que esté en positivo es dinero que yo he ahorrado. 00:34:53
Lo que esté en negativo, dinero que me he gastado. 00:34:57
Lo que se trata es juntar todos los ingresos por un lado, todos los gastos por otro 00:34:59
y al final restar a los ingresos los gastos para ver cuánto dinero me sobra. 00:35:04
Pues aquí sería un poco lo mismo, ¿vale? 00:35:10
en el ejemplo de aquí, lo veis, he juntado todos los positivos 00:35:13
el 125, el 216, el 58 00:35:18
y luego digo, voy a restar todos aquellos que eran negativos 00:35:22
el 75, el 14, el 100 00:35:26
¿qué me ha quedado? pues que había ingresado en total 444 euros 00:35:29
y que me he gastado en total 99, pues la diferencia es lo que me queda 00:35:34
345, esto si estáis hartos todos a hacerlo 00:35:37
en las cuentas de vuestras casas. 00:35:41
¿Multiplicaciones y divisiones? 00:35:45
Espero que todos os acordéis de las tablas de multiplicar 00:35:49
y veríamos que para multiplicar íbamos cifra a cifra 00:35:51
y la cifra de las unidades por todas las de arriba. 00:35:55
Y iba teniendo cuidadito con las que me llevaba. 00:36:00
Cuando multiplico la cifra de las decenas 00:36:04
también por todas las de arriba, me tengo que acordar de que es una posición. 00:36:07
Porque ese 2 por 17, perdón, ese 2 por 7 ya sería, he hecho aquí esta cuenta, se ha comido números. 00:36:11
Aquí se ha comido números, falta aquí un número que es un 1, ¿vale? 00:36:22
Que sería 1 por 1.257, 1.257, perdón, que no sé qué ha pasado, que se le ha comido. 00:36:29
No sé si vosotros le veis o soy yo el que no le veo solamente. 00:36:36
Bueno, multiplicar, todos sabemos hacerlo ya 00:36:39
Y dividir, pues con una cifra también 00:36:43
Y cuando era por dos cifras, pues había que tener cuidadito 00:36:45
De que la parte que ocogía del dividendo 00:36:48
Puede ser mayor que entre lo que iba a dividir 00:36:52
Que se llama divisor 00:36:55
Para que pudiese hacer el reparto 00:36:56
Y debajo poníamos lo que nos iba a sobrar 00:36:58
Y íbamos bajando cifra a cifra 00:37:01
Eso supongo que lo sabéis hacer 00:37:02
Entonces se lo he puesto aquí un poco de recordatorio 00:37:04
lo que vamos a ver es, para cerrar las operaciones 00:37:07
las potencias, y aquí cortaríamos la parte de teoría 00:37:12
y os digo que ejercicios podéis ir haciendo 00:37:14
para que me podáis preguntar las dudas para el próximo día 00:37:18
las potencias, que ya os he comentado 00:37:21
antes un poco lo que eran 00:37:23
¿qué es una potencia? pues una potencia es una forma abreviada 00:37:26
de escribir multiplicaciones 00:37:30
cuando esas multiplicaciones son siempre por el mismo número 00:37:33
Ahora, me explico. La potencia va a tener esta estructura, un número que pondremos en grande con otro chiquitito encima, donde al número grande le vamos a llamar base y va a ser el número que se esté multiplicando todo el rato por sí mismo y al número chiquitito le voy a llamar exponente. 00:37:36
El exponente me indica cuántas veces se está multiplicando la base. 00:37:54
Ejemplo, digo 15 elevado a 2. 00:37:59
Pues 15 elevado a 2 me está diciendo el 2 de arriba que son dos 15 los que quiero multiplicar. 00:38:02
Que 15 elevado a 2, que también se lee 15 al cuadrado, es lo mismo que 15 por 15. 00:38:08
6 elevado a 5, pues me está diciendo que quiero multiplicar 5 veces el 6. 00:38:14
Por 6, por 6, por 6, por 6, por 6, 5 veces. 00:38:20
Y ahora, tengo dos casos especiales. Cuando tengo un número elevado a 0, que siempre va a valer 1, sea el número que sea, 3 elevado a 0 es 1, 5 elevado a 0 es 1, 10.000 elevado a 0 es 1, cualquier número elevado a 0 va a valer 1. 00:38:23
Es una forma de encontrar y representar el informe de potencia a la unidad. 00:38:41
Y cualquier número elevado a 1 se queda como está, porque me dice que no multiplico ninguna vez, que solo tengo una vez a ese número. 00:38:47
Pues 3 elevado a 1 es 3. 00:38:57
Ahí tendríamos las operaciones que podemos hacer con números naturales. 00:39:01
Sumas, restas, multiplicaciones y divisiones y potencias, que es una forma abreviada de escribir multiplicaciones. 00:39:05
¿Podríamos hacer cualquier suma de dos números naturales y medir un resultado natural? Sí. 00:39:15
¿Puedo hacer cualquier multiplicación? Sí. 00:39:21
Pero veremos más adelante que no puedo hacer cualquier resta, que me puede pasar lo que os decía antes, 00:39:24
Es que si intento restar un número más grande que lo que tenía, pues que no tengo número con que representarlo. 00:39:30
Y ahí es donde aparecerán los números enteros. 00:39:37
¿Podría hacer cualquier división de números naturales? 00:39:40
Pues tampoco voy a poder. 00:39:43
Yo puedo dividir 8 entre 4, que me da 2, pero no puedo dividir 4 entre 8, 00:39:45
porque me daría 0,5 y en los números naturales no hay decimales. 00:39:50
Entonces, no me valdrían los números naturales para poder representar esa división. 00:39:53
pues eso lo veremos más adelante 00:39:58
que para poderlo solucionar vamos a crear unos números 00:40:00
que se llaman los números racionales 00:40:04
que son todos aquellos que se puedan escribir en forma de fracción 00:40:05
o de ración, pero eso lo tenemos como para el tema 4 00:40:09
así para final de la evaluación 00:40:13
hasta ahora solo queremos números naturales 00:40:14
y solo quiero que el resultado vuelva a ser 00:40:19
otro número natural 00:40:22
los demás no nos valen 00:40:23
Hemos visto que es un número primo y no compuesto y hemos visto cómo se factorizan. 00:40:28
Las raíces, que os las voy a contar para rematar a partir de operaciones, en realidad es como pensar las potencias al revés. 00:40:34
me explico, cuando yo digo que quiero hacer la raíz 00:40:44
enésima de un número A, lo que estoy buscando es 00:40:48
otro número B que multiplicado n veces por sí mismo 00:40:52
me dé ese A que quería encontrar, por ejemplo 00:40:56
la raíz cuadrada de 144 00:41:00
sería 12 porque si yo multiplico 00:41:03
12 por 12 me da 144 00:41:08
4. La raíz cuadrada, que llamamos raíz cuadrada 00:41:10
cuando no hay ningún numerito aquí en el símbolo este de la 00:41:15
V esta rara. La raíz cuadrada de 4 sería 2 00:41:18
porque 2 por 2 me da 4. La raíz cuadrada de 9 sería 00:41:22
3 porque 3 por 3 me da 9. O sea que es buscar un número 00:41:26
que multiplicado dos veces por sí mismo me dé el número grande que hay dentro de aquí 00:41:30
de la V esta del símbolo del radical que se llama. 00:41:34
Si en vez de no poner nada, o un 2, como podrían poner, me pone un 3, lo que quiero buscar es un número que he multiplicado 3 veces por sí mismo, me dé ese 125. 00:41:38
Pues en este caso sería el 5, porque 5 por 5 me da 25, y si multiplico por otro 5 más, me da 125. 00:41:50
Solo quiero que os quedéis con el concepto de lo que es una raíz, que es, por así decirlo, la operación contraria o inversa que se llama a la potencia. 00:42:01
Yo quiero encontrar qué número A, qué número tiene que estar en la base de la potencia que me está diciendo la raíz que me están pidiendo para que me dé resultado el número que yo quería más grande. 00:42:13
nada más, solo es eso 00:42:26
hacer la potencia que me daría de resultado ese radical 00:42:30
y de esa potencia quedarme con el número grande que estaría en la base 00:42:37
así ya puedo saber el resultado de ese radical 00:42:43
bueno, ¿qué ejercicios vamos a poder hacer? 00:42:47
pues en todas las actividades habréis visto que pongo debajo en rojo 00:42:53
qué ejercicios son los que tenéis que entregar 00:42:57
los alumnos que estáis en esta modalidad de estancia 00:43:00
son una selección 00:43:03
de todo lo que hay en la hoja de actividades, quien quiera hacer todos 00:43:08
ningún problema, cuanto más practiquéis mejor 00:43:11
pero como mínimo tenéis que hacer 00:43:13
los que yo os he puesto en rojo 00:43:17
aquellas personas que queráis seguir la evaluación continua y que me los queráis enviar 00:43:18
para que os los evalúe, todos serían 00:43:23
muchos, pero bueno, que me mandéis un mínimo también para que no me hagáis dos ejercicios 00:43:26
sueltos, yo piense que lo estáis haciendo bien y resulta que es que ha sonado 00:43:30
la flauta en esos dos ejercicios sueltos, entonces 00:43:34
debajo de cada actividad en cada tema, en rojo 00:43:36
os pondrá que ejercicios tenéis que entregar 00:43:42
¿qué ejercicios puedo hacer aquí ya para ir practicando 00:43:45
para el próximo día? pues podríais hacer 00:43:50
los que correspondan 00:43:53
a esos que os he dicho en rojo, si me los queréis entregar 00:43:56
hasta que lleguéis al 18 00:44:00
os había puesto este tema que hicieseis 00:44:02
los que los queréis entregar, el 4, el 5 00:44:05
el 11, pero no todos los apartados 00:44:08
el 14, pero no todos los apartados 00:44:12
el 16, 17 00:44:14
pues esos son los que me podríais ir haciendo 00:44:16
quienes los queréis entregar para que no se os acumulen 00:44:19
todos luego para el final del tema 00:44:22
y me los vais mandando, yo los voy corrigiendo 00:44:25
os voy solucionando las dudas que me preguntéis sobre ellos 00:44:28
en matemáticas, ya os dije el otro día, vuelvo a repetir 00:44:31
es muy importante que practiquéis 00:44:34
si yo intento estudiar el día antes del examen 00:44:37
luego en el examen, con los nervios 00:44:41
y con la falta de soltura 00:44:44
es muy fácil que me equivoque 00:44:46
y a lo mejor creyendo que me lo sé, pues meta la pata hasta arriba 00:44:48
Entonces, hay que coger lápiz y papel y practicar todo lo que podáis. Mínimo, los que queréis que os entregue esos ejercicios que he dicho, máximo, el que vosotros os pongáis. Todo lo que queráis. Esto es que os he puesto. Si queréis me pedís más o buscáis en internet todo lo que practiquéis, bueno será. 00:44:51
Bueno, pues vamos a dejarlo aquí por hoy 00:45:12
Gabriela, ¿se ha oído bien más o menos toda la clase? 00:45:16
Sí, todo bien 00:45:24
¿Alguna duda antes de que cortemos? 00:45:25
¿O más o menos? 00:45:31
Sí, todo bien 00:45:33
¿He ido muy deprisa, despacio, bien? 00:45:34
Bien 00:45:37
Bien, bueno, pues eso 00:45:38
os echáis un ojillo a las cosas 00:45:40
y las dudas que tengáis pues me escribís 00:45:42
un correo y me preguntáis 00:45:45
o el próximo día os conectáis 00:45:47
y me preguntáis, ¿vale? 00:45:48
Muchísimas gracias, Gabriela 00:45:50
por haberte conectado 00:45:52
porque si no me siento un poco solo 00:45:54
por lo menos de vez en cuando te puedo preguntar 00:45:56
y ver que no estoy solo en la inmensidad 00:45:58
Bueno, pues 00:46:01
muchísimas gracias 00:46:02
nos volvemos a escuchar el martes que viene 00:46:03
Venga, hasta luego 00:46:06
Hasta luego 00:46:08
CC por Antarctica Films Argentina 00:46:10
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Autor/es:
Angel Luis Sanchez Sanchez
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Fecha:
1 de octubre de 2025 - 8:13
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Público
Centro:
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Duración:
46′ 11″
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