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Sistemas de ecuaciones lineales. (Método de sustitución) - Contenido educativo
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Ejemplos resolviendo sistemas de ecuaciones lineales con el método algebraico de sustitución.
Vamos a comenzar resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones por el método algebraico
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de sustitución. Comenzamos nombrando las ecuaciones. A la primera ecuación le voy
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a llamar E1 y a la segunda ecuación le vamos a llamar E2. Lo primero que tenemos que hacer
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es observar las dos ecuaciones y fijarnos si alguno de los coeficientes de las incógnitas
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X o Y es 1 o menos 1. Observando las dos ecuaciones podemos ver que en la primera ecuación la
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incógnita X tiene coeficiente 1 y en la segunda ecuación la incógnita Y tiene coeficiente
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menos 1. Decidimos quedarnos con la primera ecuación en la cual lo que vamos a hacer
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es despejar la incógnita X y nos queda 11 menos 2 por Y. Observemos que para despejar
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la incógnita X el término más 2Y ha pasado a la derecha de la ecuación restando. A continuación
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vamos a sustituir la expresión 11 menos 2Y en la X de la segunda ecuación. Así nos
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queda 4 por, fijaros que la X es un dinomio de los dos términos que es 11 menos 2Y por
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lo tanto para escribirlo correctamente tenemos que escribir entre paréntesis 11 menos 2Y
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de forma que el 4 multiplique a los dos términos al 11 y al menos 2Y. Una vez escrito el primer
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término 4 por X de la segunda ecuación continuamos escribiendo toda la ecuación menos Y igual
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a 8. Ahora procedemos a resolver la ecuación con paréntesis de primer grado en la incógnita
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Y. Multiplicamos 4 por 11 y nos queda 44. Ahora multiplicamos 4 por menos 2Y y nos queda menos 8Y
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y seguimos copiando menos Y igual a 8. Una vez que hemos quitado el paréntesis para resolver
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la ecuación agrupamos términos semejantes. De esta manera menos 8Y menos Y nos da como
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resultado menos 9Y más 44 igual a 8. Es decir, menos 9Y es igual a 8 menos 44. Fijaros que
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el término 44 pasa a la derecha de la ecuación restando porque anteriormente estaba sumando
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y nos queda menos 9Y igual a menos 36. Para despejar la Y el menos 9 que está multiplicando
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la incógnita pasa dividiendo. O sea, menos 36 entre menos 9. Si hacemos menos entre menos
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nos queda más y 36 entre 9 es igual a 4. Una vez resuelta la ecuación no nos olvidemos
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que tenemos que hallar el valor de la incógnita que falta. El valor de la incógnita que falta
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lo teníamos ahí despejado inicialmente. Es 11 menos 2 el valor de la Y así que nos queda 11
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menos 2 por 4 que era el valor de la Y obtenido. Es decir, 11 menos 8 que nos da 3. La solución
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del sistema es por tanto X igual a 3 Y igual a 4. Por último realizaremos la comprobación. Para ello
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sustituimos en la primera ecuación. Nos queda 3 más 2 por 4 igual a 11. Es decir, 3 más 8 igual a
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11. Es una igualdad numérica verdadera. Sustituyendo en la segunda ecuación tenemos 4 por 3 menos 4
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que vale la Y nos tiene que dar 8. Es decir, 12 menos 4 tiene que dar 8. Es una igualdad numérica
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verdadera. Hemos comprobado que la solución del sistema X igual a 3 igual a 4 es correcta.
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Vamos a ver otro ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones por el método de sustitución. En
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este ejemplo observamos que ninguno de los coeficientes de la X o la Y en ninguna de las
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dos ecuaciones es 1 o menos 1. Entonces, ¿cómo podemos proceder? Despejaremos una de las incógnitas
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X o Y en cualquiera de las dos ecuaciones. Por ejemplo, voy a decidir despejar la incógnita X
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en la primera ecuación. Para ello, comenzamos despejando el término 6X que es igual a 1 menos
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7Y. Fijaros que ha pasado el término 7Y que estaba sumando pasa a restarlo. Ahora, para despejar la X,
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dado que el 6 multiplica a la incógnita, pasa dividiendo. Pero pasa dividiendo a los dos términos,
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es decir, a 1 y a menos 7Y. Por eso lo escribimos de esta forma. A continuación, dado que hemos
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despejado la incógnita X en la primera ecuación, vamos a sustituir esta expresión algebraica de
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la X en la segunda ecuación del sistema de ecuaciones. Donde ponga la X voy a escribir
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1 menos 7Y dividido entre 6. Comenzamos escribiendo la segunda ecuación 5X. Fijaros que escribimos
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entre paréntesis toda la X que es 1 menos 7Y dividido entre 6. Y seguimos copiando la segunda
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ecuación. Menos 4 es igual a menos 9. Hemos obtenido una ecuación de primer grado en la incógnita Y
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que contiene paréntesis y denominadores. Comenzamos quitando los paréntesis. Para ello multiplicamos
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el número 5 por los términos 1, 5 por 1 es 5, y por el segundo término que es menos 7Y nos queda
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menos 35Y. Todo ello va dividido entre 6 y seguimos copiando. Menos 4Y igual a menos 9.
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Vamos a quitar denominadores. Es decir, realizamos el mínimo común múltiplo de 6, 1 y 1 que serían
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los denominadores que tienen los otros dos términos. Eso nos queda 6. Es decir, ponemos
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denominador común 6 en toda la ecuación y calculamos los nuevos numeradores. En el primer
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caso se queda igual. En el segundo caso, para hallar el nuevo numerador, recordad que lo que
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tenemos que hacer es dividir 6 entre 1. Eso nos queda 6. Y multiplicamos ese resultado por 4.
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Nos queda 24Y. De la misma forma realizamos 6 entre 1 que tendremos aquí. Nos queda 6. Hay
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que multiplicarlo por menos 9 y nos queda menos 54. Una vez que tenemos puestos denominadores
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comunes multiplicamos toda la ecuación por 6. De esta manera los denominadores se van y nos
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queda una ecuación con los numeradores. Agrupando los términos semejantes menos 35Y y menos 24Y
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nos queda la siguiente ecuación.
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Menos 59Y más 5 igual a menos 54. Es decir, menos 59Y es igual a menos 54 menos 5. Donde hemos pasado
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el término más 5 pasa a la derecha restando y por lo tanto nos queda menos 59Y igual a menos 59 y la
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Y es igual a menos 59 entre menos 59 menos entre menos nos queda más y 59 entre 59 es 1. O sea,
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que el valor de la Y es 1. No olvidemos que resolver el sistema es hallar ambos valores,
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el de la X y el de la Y. El valor de la X lo tenemos ahí en la expresión anterior. Es decir,
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la X se calcula restando 1 menos 7 por el valor de la Y entre 6. 1 menos 7 por 1 que hemos obtenido
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en la Y entre 6. Realizamos la operación primero el numerador 7 por una 7 así que nos queda menos
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6 entre 6 que es igual a menos 1. Por último vamos a comprobar que la solución es correcta.
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Sustituyendo la primera ecuación nos queda 6 por menos 1 más 7 por 1 igual a 1. Es decir,
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menos 6 más 7 igual a 1. Es una igualdad numérica verdadera. Sustituyendo en la segunda 5 por menos
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1 menos 4 por 1 nos tiene que dar menos 9. Efectivamente nos queda menos 5 menos 4 que es
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menos 9. Como ambas igualdades numéricas son verdaderas la solución del sistema X igual a
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menos 1 igual a 1 es correcta.
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- Autor/es:
- Miguel Gras Gigosos
- Subido por:
- Miguel G.
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- Fecha:
- 31 de diciembre de 2023 - 17:28
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- CEPAPUB SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES
- Duración:
- 11′ 15″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 960x540 píxeles
- Tamaño:
- 47.95 MBytes
