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AE2. 1 Introducción a las ecuaciones - Contenido educativo

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Subido el 10 de noviembre de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad AE2 dedicada a las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones. En la videoclase 00:00:21
de hoy introduciremos las ecuaciones. En esta videoclase vamos a iniciar el estudio de las 00:00:32
ecuaciones con una introducción a la terminología básica que vamos a utilizar no sólo en esta 00:00:50
unidad, sino en las siguientes. Comenzamos con la propia definición de 00:00:54
ecuación. Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que se van a 00:00:58
dominar miembros. Miembro de la izquierda, miembro de la derecha, dependiendo de la 00:01:01
posición con respecto del símbolo de igualdad. Dada una ecuación, nuestro 00:01:05
objetivo fundamentalmente va a ser resolverla, esto es, buscar el conjunto o 00:01:09
conjuntos de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se verifica, 00:01:14
la igualdad se cumple. Ese conjunto o conjuntos de valores de las incógnitas 00:01:17
se denominan soluciones. Y nosotros diremos, dado una ecuación, que queremos resolverla buscando sus 00:01:21
soluciones. Insisto, el conjunto o conjuntos de valores de las incógnitas para los cuales la 00:01:27
igualdad se va a verificar, la igualdad se cumple. Nosotros en general nos encontraremos con una 00:01:32
ecuación que va a tener mal aspecto, que así a primera vista no vamos a saber resolver. Y 00:01:37
buscaremos transformarla mediante transformaciones de equivalencia, puesto que nosotros queremos 00:01:45
transformar en ecuaciones que tengan las mismas soluciones en otras ecuaciones que sean más 00:01:50
sencillas y que sí sepamos resolver. E insisto, la clave va a ser en que buscaremos ecuaciones 00:01:55
equivalentes, ecuaciones que tengan las mismas soluciones. E insisto, con carácter general 00:02:00
buscaremos transformar la ecuación dada en otra que sepamos resolver de una forma sencilla. 00:02:06
Hay distintos tipos de transformaciones y nosotros empezaremos fijándonos ahora en las transformaciones 00:02:12
que se denominan elementales. Son aquellas que producen ecuaciones que van a ser equivalentes 00:02:17
a nuestra ecuación original. Equivalentes quiere decir que tienen las mismas soluciones. 00:02:22
Son transformaciones elementales, pues por ejemplo intercambiar los miembros, cambiar 00:02:28
miembro derecho por izquierdo y viceversa. Lo que coloquialmente llamamos con darle la 00:02:31
vuelta a la ecuación. También podemos sumar o restar una misma cantidad a ambos miembros 00:02:36
o bien multiplicar o dividir por una misma cantidad siempre y cuando sea distinta de 00:02:41
cero, a ambos miembros. Voy a hacer aquí una pequeña pausa, puesto que nosotros coloquialmente 00:02:45
tenemos en la mente la idea de que algo que está en un miembro sumando lo podemos pasar 00:02:51
restando al otro miembro, algo que está restando lo podemos pasar sumando, algo que está multiplicando 00:02:55
pasará dividiendo, algo que está dividiendo puede pasar multiplicando. Esa es la idea 00:03:00
final con la cual nos quedamos después de trabajar con ecuaciones durante los cuatro 00:03:06
cursos de la ESO. Pero en realidad lo que nosotros estamos haciendo, la transformación 00:03:09
que estamos haciendo son estas que he indicado aquí. Cuando yo tengo en un miembro, por ejemplo, 00:03:14
en el miembro de la derecha, una cierta cantidad sumando y quiero eliminarla de ahí, lo que puedo 00:03:19
hacer es esa cantidad restarla en ambos miembros. Lo que digo aquí de sumar o restar una misma 00:03:24
cantidad a ambos miembros. En el miembro de la derecha, donde tenía la cantidad sumada y estoy 00:03:30
introduciendo la misma cantidad restada, va a desaparecer. La suma y la resta se van a cancelar. 00:03:35
Y en el miembro de la izquierda, donde no tenía nada en relación con ese término, veo que me 00:03:40
aparece ese término restando. La idea que yo puedo acabar teniendo cuando comparo la ecuación inicial 00:03:43
donde había una cantidad sumando en el miembro de la derecha y la ecuación transformada equivalente 00:03:49
donde tengo esa misma cantidad pero restando en el miembro de la izquierda es, oh, lo que he hecho es 00:03:53
llevarme algo que estaba sumando al otro miembro restando. Eso es una regla mnemotécnica, es una 00:03:58
forma de recordar qué es lo que está pasando, pero no es una transformación mágica. Lo que estamos 00:04:04
haciendo es esto. Algo que está sumando lo voy a eliminar restándolo en ambos miembros para que la 00:04:09
ecuación que yo obtenga sea equivalente. Lo mismo si, por ejemplo, tengo una cantidad que está 00:04:15
multiplicando a todo un miembro. Tengo algo entre paréntesis multiplicado por una cierta expresión 00:04:19
y eso lo quiero eliminar. Bueno, pues lo que podré hacer es dividir los dos miembros por completo por 00:04:24
esa cantidad y entonces la cantidad que estaba multiplicando por completo al término, al miembro, 00:04:30
perdón y la que está dividiendo que acabo de introducir se cancelan y lo que yo puedo observar 00:04:35
es que esa cantidad que estaba multiplicando en el miembro en este caso de la derecha aparece 00:04:40
dividiendo a todo el miembro de la izquierda. Nuevamente algo está multiplicando veo que ha 00:04:45
aparecido dividiendo al otro miembro puedo pensar que es que lo he llevado de acá hacia allá. Eso 00:04:50
tiene un problema pensarlo así tiene un problema y es que debemos tener siempre en mente y debemos 00:04:55
tener mucho cuidado en cuál es la relación de operaciones, puesto que nosotros podemos pasar 00:05:00
sumando, restando, multiplicando o dividiendo aquellas cantidades que están sumando, restando, 00:05:07
multiplicando o dividiendo a todo el término. Fijaos en que cuando he dicho algo que está 00:05:13
multiplicando lo paso dividiendo, en mi ejemplo tenía algo entre paréntesis y multiplicado a 00:05:19
una cierta cantidad. Esa cantidad multiplica a todo el término. Si yo me encontrara con algo 00:05:23
como por ejemplo igual a 2x más 3, el 2 que está multiplicando a la x no lo puedo pasar dividiendo, 00:05:28
puesto que no está multiplicando a todo el término. 2x más 3, el 3 sí está sumando a todo el miembro 00:05:35
y ese 3 sí que puedo pasarlo restando. Fijaos en que si yo restara 3, en el miembro de la derecha, 00:05:44
2x más 3 menos 3, 3 menos 3 desaparece, me queda solo 2x. Y en el miembro de la izquierda ha aparecido menos 3. 00:05:50
Pero si yo tengo 2x más 3 y divido todo el miembro entre 2, 2x entre 2 me va a quedar x. 00:05:56
Es cierto que de ahí he conseguido eliminar el 2, pero en el siguiente término, más 3, lo que voy a obtener es más 3 medios. 00:06:05
No he quitado ese 2 que está multiplicando, pasándolo dividiendo al otro miembro. 00:06:11
¿Por qué? Porque el 2 no está multiplicando a todo el miembro y entonces no puedo pasarlo dividiendo. 00:06:16
Tenemos que tener cuidado en el orden de preglación a la hora de transformar las ecuaciones y llevar elementos que están multiplicando, sumando, dividiendo, de un miembro al otro miembro. 00:06:21
Hay otras transformaciones, aparte de las transformaciones elementales, que nosotros podremos realizar y que en algún momento necesitaremos realizar, 00:06:34
pero hemos de tener en mente que esas transformaciones pueden transformar el conjunto de soluciones de la ecuación inicial 00:06:40
y producir ecuaciones que tengan como soluciones un subconjunto o un supraconjunto del de la original. 00:06:47
Subconjunto quiere decir que nos vamos a encontrar con menos soluciones que las que teníamos inicialmente. 00:06:56
Cuando eso ocurra, cuando hagamos una de estas transformaciones, 00:07:03
deberemos tener cuidado de en qué momento estamos haciendo la transformación para preguntarnos y 00:07:06
buscar el otro conjunto de soluciones que estamos perdiendo. En el caso en el que nosotros queramos 00:07:12
encontrar una solución, una, da igual la que sea, esta estrategia no es mala. Me voy a quedar con 00:07:16
menos soluciones que las de la ecuación original, pero si yo necesito encontrar una, con tal de que 00:07:23
al menos encontremos una solución, tendré suficiente. Necesito una. ¿Cuál? Una de estas. Y no me importará 00:07:28
haber perdido un conjunto por el camino. En el caso en el que tengamos que encontrar todas las 00:07:33
soluciones y seamos conscientes de que estamos dando un paso en el cual estamos perdiendo 00:07:37
posiblemente soluciones, deberemos en ese momento hacer una bifurcación en el razonamiento y pensar 00:07:42
qué haríamos si no hiciéramos esto, puesto que necesitaríamos encontrar ese otro conjunto de 00:07:47
soluciones que estamos perdiendo. Un ejemplo de esto que estoy mencionando es lo que tengo aquí 00:07:51
en esta primera nota a pie de página. Tenemos una ecuación y igual a y por x y cuando nos planteamos 00:07:57
cuáles son las soluciones de esta ecuación hay un número infinito de soluciones. En el caso en el 00:08:03
que la y fuera 0, aquí lo que tenemos es que 0 es igual a 0 por x, 0 es igual a 0. Evidentemente 00:08:10
la ecuación se va a verificar puesto que 0 igual a 0 es una identidad y entonces tenemos aquí un 00:08:19
primer conjunto de soluciones en forma de punto xy igual a x0 donde podéis ver que la y vale 0 y la 00:08:24
x va a ser cualquier número real. Así que si la y vale 0 y la x toma cualquier valor real, la ecuación 00:08:32
se va a verificar. Y igual a 17, y igual a 0. 0 es igual a 0 por 17, 0 es igual a 0. Sí, ahí tengo una 00:08:39
posible solución. También hay otro conjunto de soluciones, en el caso en el que la x valiera 1. 00:08:49
En ese caso, lo que tengo es y es igual a y por 1, y es igual a y, vuelvo a tener otra identidad. 00:09:00
Entonces, independientemente del valor de y, si la x valiera 1, aquí volvería a tener otro conjunto 00:09:07
de soluciones. En forma de punto, aquí tengo xy es igual a 1,y, con y perteneciente a los números 00:09:13
reales. Por ejemplo, la x vale 1 y la y vale 17. Bueno, pues en este caso lo que tengo es 17 igual 00:09:19
a 17 por 1. ¿Es 17 igual a 17? Sí, ahí tengo una solución. Fijaos que tengo un conjunto infinito de 00:09:28
soluciones y lo que tengo son dos familias. Por un lado, si la y vale 0, la x puede tomar cualquier 00:09:34
valor real y por otro lado, si la x vale 1, la y puede tomar cualquier valor real. Esas son las 00:09:40
soluciones de esta ecuación inicial. En un momento dado yo podría decidir simplificarla y lo que voy 00:09:46
a hacer es dividir ambos miembros por y o puedo pensar en que estoy cancelando un factor común 00:09:53
y que lo veo que es común a los dos miembros de la ecuación. Aquí tengo y por 1, aquí tengo y por x, 00:10:01
si divido todo entre y, si simplifico por ese factor y, la ecuación que me queda es 1 igual a x, 00:10:08
que es muy fácil de resolver, ya la tengo, x es igual a 1. Y en cuanto a la y que ha desaparecido, 00:10:14
la ecuación no me da más información y entonces y podrá tomar cualquier valor. Y con la simplificación 00:10:20
puedo pensar que lo que tengo es las soluciones x igual a 1 y cualquier número real en forma de 00:10:25
punto xy igual a 1, y cualquier número real. Fijaos que con este razonamiento he perdido el infinito 00:10:32
conjunto de soluciones que tenía aquí. ¿Qué es lo que pasa si la y vale 0 y la x toma cualquier 00:10:41
valor real? Y me he quedado únicamente con este otro. He perdido infinitas soluciones. 00:10:47
¿Qué es lo que ha pasado? ¿Cómo puedo darme cuenta de que he perdido soluciones? Pues me 00:10:53
puedo dar cuenta pensando en que si yo lo que estoy haciendo es dividir ambos miembros de la 00:11:00
ecuación por y, para que esa transformación sea elemental, esa cantidad debe ser distinta de 0. 00:11:05
Así que, implícitamente, cuando yo simplifico la y de factor común dividiendo entre y ambos miembros, estoy abriendo una hipótesis en la cual y es distinta de 0. 00:11:11
Y si y es distinta de 0, me encuentro con este conjunto de infinitas soluciones. 00:11:25
¿Qué es lo que debo hacer para no perder las hipotéticas en este momento restantes soluciones? 00:11:30
Entonces, abrir una ramificación, a partir de ahí, he supuesto que la y es distinta de 0 y entonces puedo simplificar. ¿Qué ocurre si la y es igual a 0? Bueno, si la y es igual a 0, lo que va a ocurrir es que la ecuación se me transforma en 0 es igual a 0 por y, 0 es igual a 0, tengo la tautología, la identidad, y en ese caso ya he terminado. 00:11:36
Y lo que tengo es que y igual a 0 y x ha desaparecido, luego x pertenece entre el conjunto de los números reales, sería otras posibles soluciones. 00:11:54
Otro infinito conjunto de soluciones que es precisamente este que tengo aquí, este que me he dado cuenta que he perdido. 00:12:04
Así pues, hemos de tener cuidado con ciertas transformaciones que a priori pienso que pueden ser elementales. 00:12:10
Y en concreto, cuando yo opere con valores algebraicos, no con valores numéricos, siempre que multiplique por una cierta cantidad o divida entre una cierta cantidad, 00:12:16
debo tener cuidado de, tácitamente, implícitamente, esta cantidad es distinta de cero. ¿Qué ocurre si fuera cero? 00:12:27
Si es relevante a lo que estamos haciendo. En ese caso, tengo que abrir un posible segundo camino, un segundo universo alternativo, en el cual, ¿qué ocurre si esa cantidad es igual a cero? 00:12:34
Conforme vayamos avanzando y veamos distintos tipos de ecuaciones, veremos en qué momento esta disquisición va a ser o no va a ser importante. 00:12:44
En cuanto a cómo podría ser que una transformación me produjera más soluciones de las que yo tuviera inicialmente, eso ocurre cuando estamos aplicando una función que sea no inyectiva. 00:12:52
aquí tenemos la definición de función directiva, aquella que asocia, o que no asocia, perdón, la misma imagen a dos orígenes diferentes, 00:13:03
y antes de entrar a esta disquisición, que lo veremos más adelante, quisiera ver un ejemplo con vosotros. 00:13:11
Aquí tengo la ecuación x más 2 igual a 4, es una ecuación polinómica de primer grado, súper sencilla, 00:13:16
que tiene como solución única x igual a 2, 2 más 2 igual a 4. 00:13:23
Si aplico una función cuadrática y aplico la transformación elevada al cuadrado en ambos miembros, 00:13:27
y lo que digo es que si estas dos cantidades son iguales al elevarlas al cuadrado, evidentemente también van a ser iguales, 00:13:32
lo que me va a quedar es que x más 2 al cuadrado es igual a 4 al cuadrado, 00:13:39
que desarrollando el cuadrado, llevando todo al miembro de la izquierda, lo que es equivalente es a esta ecuación de segundo grado, 00:13:44
x al cuadrado más 4x menos 12 igual a 0. 00:13:52
Esta ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, x igual a menos 6 y x igual a 2. 00:13:55
Y lo que ocurre es que al elevar al cuadrado me pueden aparecer más soluciones de las que yo tenía inicialmente. 00:13:59
Aquí inicialmente tiene una única, fijaos, es una ecuación de primer grado, una única solución de existir, que es x igual a 2. 00:14:06
Y al hacer esta transformación me aparece una ecuación de segundo grado que incluye la ecuación, perdón, la solución que estoy buscando, x igual a 2, e introduce una solución espuria, una solución ficticia. 00:14:13
Ahora, es solución de la ecuación que yo creo que es equivalente, pero no es solución de la ecuación inicial. 00:14:25
¿Qué ocurre? Que estoy pensando que al elevar 4 al cuadrado, lo que me va a quedar es 16, que coincide con 4 al cuadrado. 00:14:32
Pero eso no ocurre solamente con 4. 4 al cuadrado es igual a 16, pero menos 4 al cuadrado también es igual a 16. 00:14:41
Entonces, al elevar al cuadrado, es cierto que dos cantidades iguales al elevarlas al cuadrado son iguales entre sí, 00:14:50
pero hay otra cantidad, la inicial con el signo cambiado, que al elevarla al cuadrado también va a ser igual a la anterior. 00:14:56
Y si la clave para resolver la ecuación es que estas dos cosas al cuadrado son iguales, me va a aparecer esa solución extra, esa solución espuria. 00:15:02
E insisto que cuando esto sea lo que nos ocurra, nosotros hemos de ser conscientes y todas las soluciones que nos aparezcan en la última ecuación, 00:15:13
la ecuación equivalente, comprobarás con la ecuación inicial, puesto que seremos conscientes 00:15:20
de que posiblemente alguna de estas soluciones, o todas, no lo sean de la ecuación inicial. 00:15:24
Dentro de las ecuaciones vamos a distinguir dos tipos que van a ser importantes a lo largo de 00:15:31
esta unidad. En primer lugar, los denominados absurdos matemáticos. Son ecuaciones, son 00:15:35
igualdades entre expresiones algebraicas que no se van a verificar nunca. No existe ningún conjunto 00:15:41
de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se va a cumplir. Lo que nos encontramos 00:15:47
es ante un absurdo, desde el punto de vista matemático. No vamos a decir que la ecuación no 00:15:52
tenga solución, vamos a decir que la solución es el conjunto vacío, ¿de acuerdo? Así pues, en el caso 00:15:58
de que la ecuación sea un absurdo, la solución es el conjunto vacío. También vamos a distinguir 00:16:05
identidades matemáticas, son igualdades que se van a cumplir siempre con independencia del valor o 00:16:11
valores de las incógnitas en este caso las soluciones serían pues para las 00:16:16
incógnitas cualquier número real siempre que estuviéramos dentro de este conjunto 00:16:21
y las identidades matemáticas van a ser equivalentes a las tautologías en lógica 00:16:24
lo que ocurre es que esas ecuaciones esas identidades se expresan una 00:16:29
relación entre las variables que va a ser cierta siempre va a ser una 00:16:34
identidad estructural de tal manera que independientemente el valor o valores se 00:16:40
va a verificar siempre. El hecho de decir que por ejemplo x por x es igual a x al cuadrado es una 00:16:44
identidad matemática puesto que es algo que se va a cumplir siempre con independencia del valor de x 00:16:52
y es que esa es la definición estructural de elevar al cuadrado. Una misma cantidad multiplicada por 00:16:57
sí misma dos veces x por x equivale a x al cuadrado. Esto es una tautología desde el punto de vista de 00:17:03
la lógica formal en este caso en las matemáticas hablaremos de identidad y en ese caso diríamos 00:17:10
que la ecuación si lo fuera tiene infinitas soluciones y en este caso sería x perteneciente 00:17:15
a r todos los valores dentro del conjunto de los números reales para x cualquier valor verifica 00:17:20
que x por x es igual a x al cuadrado. En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros 00:17:25
recursos y cuestionarios asimismo tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en 00:17:34
la web. No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en 00:17:40
el aula virtual. Un saludo y hasta pronto. 00:17:45
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
5
Fecha:
10 de noviembre de 2025 - 12:12
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
18′ 15″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
46.16 MBytes

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