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Fórmulas de Cardano - Contenido educativo

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Subido el 9 de marzo de 2021 por Manuel D.

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Demuestra las fórmulas de Cardano utilizando las baldosas algebraicas y aprende utilizarlas para determinar y para resolver ecuaciones.

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Existe una relación muy estrecha entre los coeficientes de una ecuación de segundo grado y sus raíces. 00:00:01
Observa que si multiplicamos x-4 por x-5, el término de grado 1 va a resultar de sumar menos 4x con menos 5x. 00:00:09
Es decir, valdrá menos 9x, siendo menos 9 la suma de las raíces cambiada de signo de la ecuación. 00:00:20
Por otro lado, el término independiente se obtiene multiplicando menos 4 por menos 5, es decir, 20, que es justo el producto de las raíces 4 y 5. 00:00:27
Vamos a ver que esto ocurre siempre así. 00:00:41
Ten en cuenta para ello que el producto de dos números es 0 sólo si lo es uno de ellos. 00:00:45
Luego la ecuación que tiene por raíces a y b se obtiene de multiplicar los factores x menos a y x menos b e igual a cero. 00:00:50
Ahora recuerda que podemos pensar los factores x menos a y x menos b como los lados de un rectángulo cuya área será el producto de dichos lados. 00:01:00
Multiplicando y sumando tendremos x por x, x cuadrado 00:01:12
x por menos b, menos bx 00:01:19
menos a por x, menos ax 00:01:22
y menos a por menos b, ab 00:01:25
Los colores rojo indican cambio de signo 00:01:28
Ahora nos quedamos con los rectángulos rojos que representan los monomios de grado 1 00:01:32
Entre los dos suman menos a más b por x 00:01:38
Es decir, el coeficiente de la x coincide con la suma de a y b, pero con signo contrario 00:01:42
Y el término independiente, como ves, coincide con el producto de a por b sin cambio de signo 00:01:49
A estas fórmulas se las conoce como fórmulas de Cardano 00:01:56
En honor del matemático italiano del siglo XVI, Gerolamo Cardano 00:02:01
La utilidad de estas relaciones es doble. 00:02:07
Por un lado, nos permite construir una ecuación a partir de sus soluciones sin hacer cuentas. 00:02:10
Por ejemplo, imagina que queremos encontrar la ecuación cuyas raíces son 5 y menos 7. 00:02:16
La suma de estas dos raíces es menos 2, con lo que el coeficiente de la x en la ecuación de segundo grado será más 2. 00:02:23
Mientras que el producto de 5 por menos 7 es menos 35, que será el término independiente 00:02:31
La ecuación buscada, por tanto, es x cuadrado más 2x menos 35 igual a 0 00:02:38
Pero por otro lado, las ecuaciones de Cardano nos permiten también encontrar las raíces de la ecuación 00:02:47
Sin tener que resolver propiamente dicha ecuación 00:02:54
Para ello, en primer lugar hay que simplificar 00:02:57
En ese ejemplo dividimos por 2. Ahora la ecuación es x cuadrado más x menos 12 igual a 0 y ya tiene por primer coeficiente 1. 00:03:00
Fijémonos en el resto de coeficientes. El de la x vale más 1, por lo que la suma de las raíces buscadas valdrá menos 1. 00:03:12
El término independiente, menos 12. 00:03:21
Estamos buscando, por ello, dos números cuya suma sea menos 1 y cuyo producto sea menos 12. 00:03:24
¿Te animas a buscarlos? 00:03:32
Exacto. Los números buscados eran el menos 4 y el 3. 00:03:38
Ahora no tienes más que practicar este doble camino. 00:03:43
Calcular las raíces a partir de los coeficientes y calcular los coeficientes si conoces las raíces. 00:03:47
Te va a resultar muy útil cuando trabajes con ecuaciones de grado 2 00:03:53
¡Hasta otra! 00:03:58
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Autor/es:
Manuel Domínguez Romero
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
182
Fecha:
9 de marzo de 2021 - 22:23
Visibilidad:
Público
Enlace Relacionado:
https://www.geogebra.org/m/hatppthh
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Descripción ampliada:
Practica los contenidos de este vídeo con el magnífico applet de Javier Cayetano;https://www.geogebra.org/m/hatppthh
Duración:
04′
Relación de aspecto:
16:10 El estándar usado por los portátiles de 15,4" y algunos otros, es ancho como el 16:9.
Resolución:
1728x1080 píxeles
Tamaño:
32.58 MBytes

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