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Puntos en el espacio afín

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Subido el 10 de septiembre de 2019 por Manuel D.

238 visualizaciones

Se analizan las distintas posiciones de puntos en el espacio afín: colineales, coplanarios o en posición general

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En la geometría clásica, los objetos matemáticos, puntos, planos, rectas, poliedros, suelen estudiarse en función de las reglas del juego que se consideran. 00:00:02
Por ejemplo, en la geometría afín se consideran sólo puntos, vectores entre puntos y las operaciones más sencillas entre ellas, que es decir, suma-resta de vectores y producto por escalares. 00:00:16
En la geometría afín pueden estudiarse nociones, pues las más sencillas, como por ejemplo incidencia o paralelismo. 00:00:28
Si además de todas estas operaciones incluimos el producto escalar de vectores, estamos en el dominio de la geometría euclídea. 00:00:34
En esta geometría podremos, además de lo anterior, estudiar ángulos, distancias, etc. 00:00:41
En este vídeo vamos a estudiar el objeto más sencillo de todos, el punto, desde la geometría más sencilla de los dos, la geometría afín. 00:00:48
¿Estás preparado? Pues adelante 00:00:56
Si solo tenemos un punto, pues no hay nada que estudiar 00:00:58
Un punto es un punto, lo mires por donde lo mires 00:01:03
Y si solo tenemos dos, pues la cosa es igual de sencilla 00:01:06
O están alineados, o definen una única recta, que es lo mismo 00:01:10
Supongamos que tenemos tres puntos, P, Q y R, en el espacio afín 00:01:14
¿Hay dos situaciones distintas que pueden darse? ¿Sabrías decir cuáles? 00:01:20
¡Exacto! O los tres puntos están alineados o determinan un triángulo. 00:01:24
Pero, ¿cómo distinguir en cuál de las dos situaciones estamos mediante el uso de vectores? 00:01:31
Pues muy fácil. Si los tres puntos PQ y R están alineados, los vectores PQ y QR tienen la misma dirección, por lo que son proporcionales. 00:01:35
Si no están alineados, los vectores PQ y QR son linealmente independientes, por lo que la matriz de sus coeficientes tendrá rango 2. 00:01:46
Por ejemplo, los puntos P123, Q-1211 y R5211 están alineados, pues PQ y QR son vectores proporcionales. 00:01:53
Si te fijas, la matriz de los coeficientes tiene rango 1. 00:02:09
Por supuesto, hay otras formas de ver que los tres puntos están alineados. 00:02:13
Podríamos calcular la recta que pasa por P y por Q y ver si R está en dicha recta, si verifica su cocción. 00:02:17
O también podríamos calcular las rectas PQ y QR y ver si son la misma recta. 00:02:23
En fin, en geometría hay muchos caminos que conducen a un mismo fin. 00:02:29
Lo importante es buscarse un buen plan. 00:02:32
Pasemos ahora al caso de cuatro puntos, P, Q, R y S en el espacio fin. 00:02:36
Ahora la situación es un poquitín más complicada, pero poco más. 00:02:42
En general, P, Q, R y S definirán un tetraedro, 00:02:46
Al no ser que estén en el mismo plano, es decir, que sean puntos coplanarios, o en la misma recta, puntos colineales. 00:02:51
Para ver en cuál de las tres situaciones estamos, bastará con calcular tres vectores usando los cuatro puntos, por ejemplo, PQ, PR y PS, 00:02:59
y calcular el rango de la matriz 3x3 que forman sus coeficientes. 00:03:09
Si el rango es 1, los puntos son colineales. Si es 2, coplanarios. Y si es 3, están en posición general. Es decir, definen un tetraedro. 00:03:13
Hay una forma de determinar si los cuatro puntos son coplanarios o están en posición general sin necesidad de andar con los vectores. 00:03:24
Esta forma necesita las coordenadas de los cuatro puntos. Imaginemos que tenemos P, A1, B1, C1, Q, A2, B2, C2 y así con R y con S. 00:03:31
Con estos cuatro puntos vamos a formar un determinante 4x4 de la siguiente forma. La primera fila tenemos las coordenadas de P, la segunda las de Q, las de R después y luego las de S. 00:03:39
Y para que sea una matriz cuadrada añadimos una columna de unos. Bien, pues este determinante nos va a determinar, valga la redundancia, si los cuatro puntos están en posición general. 00:03:51
¿Los cuatro puntos determinan un tetrahedro? Sí, solo si ese determinante es no nulo. Vamos a ver por qué. 00:04:01
En primer lugar, recordad que para calcular un determinante 4x4 conviene hacer ceros. Es decir, en la primera fila la vamos a utilizar de pivote y en la segunda fila le vamos a restar la primera. 00:04:08
A las dos últimas también. A la fila 3 le restamos la primera y a la fila 4 la primera. Recordad que de esta forma el valor del determinante no cambia. 00:04:19
Bien, ahora lo que hacemos es orlar por la primera fila y, bueno, en realidad por la primera columna. 00:04:28
Y el valor del determinante sería ese. 00:04:34
Y ahora bien, ¿este determinante qué es? 00:04:37
Bueno, pues este determinante es precisamente el determinante formado por los tres vectores PQ, PR y PS que habíamos utilizado anteriormente. 00:04:39
Es decir, que si este determinante es distinto de cero, los cuatro puntos están en posición general. 00:04:49
Y si es igual a 0, pues serán coplanarios o colineales. 00:04:54
Tendremos que mirar. 00:04:58
Bien, vamos a ver un ejemplo. 00:04:59
Supongamos que tenemos esos 4 puntos y queremos ver si son coplanarios o son colineales o están en posición general. 00:05:01
Para ello, ¿qué hacemos? 00:05:08
Construimos nuestro determinante 4x4. 00:05:09
La primera columna, unos, y las otras, las otras columnas, corresponden por filas con las coordenadas de los 4 puntos. 00:05:12
Calculamos el valor de ese determinante. 00:05:19
Resulta que ese determinante vale 62. 00:05:20
es distinto de cero y, por tanto, los cuatro puntos están en posición general. 00:05:23
Así de sencillo. 00:05:27
Bueno, y si tenemos cinco o más puntos, la situación se puede complicar muchísimo 00:05:28
y conviene utilizar un software de representación geométrica, 00:05:33
por ejemplo, el GeoGebra, que es magnífico. 00:05:36
En futuros vídeos vamos a estudiar las posiciones relativas entre dos rectas, 00:05:38
entre dos planos o entre recta y plana. 00:05:42
Situaciones un pelín más complicadas que las que se han visto en este vídeo. 00:05:44
¡Hasta la próxima! 00:05:48
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Autor/es:
Manuel Dominguez Romero
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
238
Fecha:
10 de septiembre de 2019 - 23:21
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
05′ 58″
Relación de aspecto:
16:10 El estándar usado por los portátiles de 15,4" y algunos otros, es ancho como el 16:9.
Resolución:
1554x972 píxeles
Tamaño:
43.40 MBytes

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