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02 Función de distribución normal
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Este vídeo pertenece a una lista de 11 vídeos en los que intento explicar la distribución normal y ejercicios.
Ya hemos visto lo que es la curva de distribución normal, que era una curva que tenía esta forma y que me resultaba muy útil porque muchísimas de las encuestas que yo hago, si represento los datos, se ajustaban a esta curva.
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Entonces, esta curva tenía en el centro un valor que es mu, la media poblacional, y también tenía un parámetro que era la desviación típica, que me servía para ver si una población tenía valores muy heterogéneos o muy homogéneos y concretados en torno a la media.
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Bueno, esto además se representaba de esta manera, ¿no? n, y entre paréntesis, primero va la media, coma, y luego va la desviación típica.
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Bueno, pues aquí está Karl Friedrich Gauss, no creo que lo haya pronunciado bien, era un matemático, un alemán, una bestia que hizo muchísimas aportaciones al mundo de la matemática y entonces se decidió a encontrar una función que si la representara se ajustara, o sea que tuviera esta forma, quería que esta curva que servía para ajustar muchísimas encuestas tuviera una forma de función matemática que se podía representar.
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y lo consiguió, lo consiguió y la función es nada más y nada menos que esto
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que es una barbaridad de función, muy interesante porque si os fijáis
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tiene por ahí el número pi, también tiene por ahí el número e
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también considera la media y la desviación típica
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si os dais cuenta, pues esta función tiene por ahí los parámetros de media y desviación típica
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de manera que en cada encuesta que yo haga, pues tengo una media y tengo una desviación
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y entonces al representar pues me saldrá una función de una manera o de otra
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Entonces, características de esta función. En primer lugar, le salió bien porque es una función simétrica, que es lo que necesitábamos que fuera, igual a la derecha de la media que a la izquierda de la media.
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Es una función que tiene una asíntota horizontal, en torno al eje X, al eje horizontal, pues tiene una asíntota.
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Y luego, la característica más importante. El área entre la función y el eje horizontal es igual a 1. El área que encierra esa función y el eje horizontal es igual a 1.
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¿Y qué utilidad puede tener esto? Pues fijaos, si os acordáis, ¿cómo se calcula el área entre una función y el eje horizontal? Pues ni más ni menos que haciendo la integral.
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Entonces, si nosotros hiciéramos la integral entre menos infinito e infinito de esta función, que no os deseo que la tengáis que hacer, pero si tuviéramos que hacer la integral entre menos infinito e infinito de esta función, o sea, la integral de todo esto, resulta que el resultado daría exactamente 1.
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¿Y qué utilidad es que ese resultado tenga 1? Pues significa que todo el área que queda por debajo de la función es 1 y entonces yo lo puedo equiparar a que eso es el 100% de la población.
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Porque en definitiva toda la población está englobada debajo de esa función. Como en el ejemplo del vídeo anterior de la altura, midas mucho, midas poco o tengas una estatura normal,
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estás por debajo de esa curva. Entonces, toda la población, el 100%, está dentro de esa curva. Está representado en esa función.
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Entonces, fijaos. Un ejemplo. Supongamos que en un determinado país la estatura de la población adulta sigue una distribución normal
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de media 170 cm y desviación típica igual a 12 cm. O sea, tengo una población donde la media de estatura es 170 cm
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y desviación típica 12. Mu es 170, sigma es 12, y ya sabéis que lo representamos ya a partir de ahora como n, y entre paréntesis, 170, 12, ¿vale? La media y la desviación típica.
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Bueno, pues entonces la fórmula que desarrolló Gauss sería así. ¿Veis que donde había desviación típica hemos puesto 12? Donde había media hemos puesto 170.
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Si yo represento esa función, es una función muy difícil, pero si yo la representara saldría exactamente esto, o sea, la curva de distribución normal, que por cierto, ahora ya lo puedo decir, por eso mucha gente lo llama la curva de Gauss o la campana de Gauss, ¿vale? Porque Gauss fue el que desarrolló la fórmula que representa esta curva.
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Y entonces si os fijáis en esta función, exactamente en el centro está el valor de 170, como debería ser porque es la media, y luego es una curva que, fijaos, ¿cuánta gente mide 2 metros? Pues ya muy poquita, 2.10 ya ni te digo.
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Y por el otro lado lo mismo, ¿cuánta gente mide 1.40? Pues muy poco, y 1.30 casi nadie. Entonces es una curva, o sea, es una función que me vale para esta clase de curvas.
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Entonces, ¿qué porcentaje de esa población mide más de 170 centímetros? Me pregunto yo.
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Como aquí tengo la curva ya, gracias a la función desarrollada por Gauss,
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el porcentaje de población que mide más de 170 centímetros representa los que están a la derecha de 170.
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Como 170 es la media, yo ya sé que es el 50% de la población. La mitad de la gente mide más que la media.
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En eso consiste. Pero realmente, si hiciera la integral entre 170 e infinito, ¿vale? A partir de 170, si hago la integral de 170 e infinito de esa función, resulta que el resultado da exactamente 0,5, o sea, el 50%.
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Es decir, que puedo utilizar esta fórmula para responder preguntas sobre la población. Por ejemplo, ¿qué porcentaje de esa población mide menos de 1,80? ¿Mide menos de 180 centímetros?
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Pues si esta es la curva, estoy buscando el área por debajo de la curva que va desde menos infinito hasta 180, ¿vale? Y ese área al final lo puedo convertir a un porcentaje de la población.
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Si hago la integral entre menos infinito y 180 de la función, resulta que me da 0,7977. Pues yo utilizo este dato para saber que entonces el 79,77% de la población mide menos de un 80.
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Es el porcentaje de gente que mide menos de 1,80. Claro, mucha gente mide menos de 1,80. Otra pregunta, ¿y qué porcentaje de esa población mide entre 1,65 y 1,90? Ahora lo que me estoy preguntando es cuánta gente hay entre estas dos alturas.
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Entre 1,65 y 1,90, ¿cuánta gente hay? Pues deberíamos hacer la integral entre 1,65 y 1,90 de la famosa fórmula de Gauss. Y entonces, si lo hiciera, me daría el resultado 0,6137.
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¿Qué significa esto? El área de esa función entre 165 y 190 es 0,6137, o sea, que un 61,37% de la población mide entre 165 y 190 centímetros. Y este es el uso que le damos a la función que desarrolló Gauss.
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- Autor/es:
- Paco Gil
- Subido por:
- Francisco G.
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- Reconocimiento - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 49
- Fecha:
- 13 de abril de 2020 - 11:30
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES VICTORIA KENT
- Duración:
- 06′ 23″
- Relación de aspecto:
- 16:10 El estándar usado por los portátiles de 15,4" y algunos otros, es ancho como el 16:9.
- Resolución:
- 1280x800 píxeles
- Tamaño:
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