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Estudio y representación de una función racional - Contenido educativo
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Vamos a ver cómo hay que representar una función racional, los pasos que hay que dar
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y lo que hay que estudiar para poderla representar. Recordemos que una función racional es aquella
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que está formada por un cociente de polinomios. El caso que vamos a estudiar o la función
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que vamos a estudiar es ésta, igual a 7-2X dividido por X-2. Seguiremos una serie de
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pasos y lo primero que vamos a ver es el dominio y recorrido. Recordemos que el dominio de
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una función son aquellos valores de X para los cuales tenemos una Y y podemos hallar
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el valor de Y. Para poder hallar el dominio lo que tenemos que hacer es ver aquellos valores
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que anulan el denominador, que son los que no van a tener un valor de Y, porque no podemos
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dividir por cero. Igualamos el denominador a cero, con lo cual obtenemos X-2. Luego el
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dominio de la función sería todos aquellos números reales, pero excluimos los valores
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que anulan el denominador. En cuanto al recorrido, es difícil hallarlo sin tener la función
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representada. La vamos a representar y luego pondremos el recorrido o imagen. Siguiente
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paso, el punto de cortes con ejes coordenados. Hallaremos los puntos de corte con el eje
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X y con el eje Y. Para los puntos de corte con el eje X lo que hacemos es igualar la
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coordenada Y a cero y vemos los valores de X correspondientes. Igualamos a cero la función
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y para hallar esos valores lo que tenemos que hacer es igualar únicamente el numerador
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a cero. De aquí nos sale 7-7, con lo cual sale el valor X igual a 7 medios. Punto de
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corte tiene coordenadas 7 medios, 0. Con el eje Y lo que hacemos es igualar la coordenada
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X a cero y hallamos el valor de Y correspondiente. El punto va a tener coordenada X cero y 7-2
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por cero, que es cero, y 0-2. Esto es menos 7 medios. Sabemos que menos 7 medios es con
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5, pero lo dejamos siempre en forma de fracción. Vamos a representar estos puntos en los ejes
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coordenados. 7 medios, cero, pues 3 con 5 aproximadamente por aquí y cero. Y el otro
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punto 0-7 medios, pues menos 3 con 5. Siguiente paso. Hallamos las asíntotas. Asíntotas
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son las rectas que se aproximan a nuestra función. Mejor explicado es que la función
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se aproxima a la recta sin llegar a tocarla ni cortarla. Tenemos dos tipos, horizontal
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y vertical, para este tipo de función, dado que el grado del numerador es igual al grado
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del denominador. Vamos por la asíntota vertical, que sería la más fácil de hallar. Tienen
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una ecuación X igual a una constante. Para hallar la asíntota vertical, lo único que
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tenemos que hacer es igualar el denominador a cero. En este caso, igualamos X-2 a cero.
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¿Qué nos sale? Pues mi asíntota vertical sería esa, X igual a 2.
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Luego la vamos a dibujar con una recta de líneas discontinuas. X igual a 2 sería esta. Es la
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asíntota vertical. Vamos con la horizontal. Para hallar la asíntota horizontal, dado que el grado
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del numerador es igual al grado del denominador, lo que tenemos que hacer es dividir el numerador
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entre el denominador, o sea, 7-2X entre X-2. Si queremos ponerlo en otro orden, sería esto,
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sería menos 2, dividimos menos 2X entre X, menos 2. Aquí quedaría menos 2 por menos 2, 4, y aquí
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tendríamos que poner un menos 4. Restamos, 7-4 es 3, menos 2X, vale, luego entonces, 7-2X dividido por X-2 es igual a menos 2 más el resto dividido por X-2.
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Por lo tanto, mi asíntota horizontal va a tener la ecuación X igual a este número que me ha salido aquí.
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Entonces mi asíntota horizontal tiene la ecuación igual a menos 2.
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Bueno, igualmente, la dibujamos mediante línea discontinua
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y esta sería la asíntota horizontal de ecuación Y igual a menos 2. Bueno, pues entonces sabemos
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ahora que nuestra curva va a tener que estar entre esas rectas que hemos dibujado sin llegar a cortarlas.
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Vamos ahora a estudiar la continuidad. Es un cociente de polinomios. Los polinomios son funciones continuas.
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Lo único que en este caso, al tener un polinomio en el denominador, pues deja de ser continua justamente en los valores que anulan el denominador.
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Entonces diríamos que sería una función continua, bueno, es discontinua, pero no es continua en X igual a 2, como queramos entenderlo.
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Es decir, continúa en todos los reales menos el 2, o bien en este caso podemos poner desde lo menos infinito hasta el 2 abierto, 2 más infinito, que es lo mismo que excluir el 2.
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Posteriormente, cuando la representemos, veremos que en X igual a 2 hay un punto de discontinuidad o hay una discontinuidad inevitable.
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De salto infinito.
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Otro aspecto que nos va a ayudar bastante a representar la función es el signo de la función, es decir, los valores de Y que están por encima del eje de las X o por debajo del eje de las X.
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Bueno, pues entonces lo que tenemos que hacer es estudiar el signo de este cociente.
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Recordemos que el signo cambia justamente en aquellos valores que anulan el numerador y el denominador.
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Tenemos que estudiar en toda la recta real ese signo de ese cociente y luego entre los intervalos que se correspondan con las raíces del numerador y del denominador.
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Recordemos que el numerador se anulaba en X igual a 7 medios y el denominador en X igual a 2.
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Bueno, pues hacemos nuestra tabla para estudiar el signo.
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Bueno, ya la tenemos hecha, entonces podemos dar valores que estén en cada uno de estos intervalos, por ejemplo, aquí estaría el 2, aquí el 3, aquí el 5.
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¿Cómo queda esto? Pues positivo. Aquí quedaría también positivo y a la derecha de 7 medios negativo.
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Este va a quedar negativo, positivo y positivo, cociente más entre menos menos, más y menos.
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A la izquierda del 0 va a estar por debajo del eje de las X, es decir, hasta que lleguemos al 2, la función queda por debajo, es negativa.
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En este pequeño tramo va a ser positiva y luego de aquí en adelante vuelve a quedar por debajo del eje X, con lo cual ya podemos intentar representarla.
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Bueno, en este tramo, voy a volverla a dibujar, aquí está por debajo del eje X y además tiene que estar entre las asíntotas.
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Está por debajo y entre las asíntotas y tiene que pasar por este punto.
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Bueno, voy a intentar hacerla un poquillo mejor.
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Entonces aquí se aproxima, se aproxima, pero no llega a tocar, tiene que pasar por ese punto, luego lo vemos un poquillo mejor.
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Y ahora aquí, en este pequeño tramo, hemos visto que está por encima, tiene que estar entre las asíntotas, luego estaría por aquí, más o menos.
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A ver, un momento que me quede un poquito mejor.
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Dibujamos, dibujamos, no hay forma.
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Bueno, pues he conseguido dibujarla un poquito mejor.
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Y bueno, pues esta sería la función.
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Ahora vamos a ver el resto de cosas que nos quedan por estudiar, que a menos que la tengamos dibujada es bastante complicado poderlo estudiar.
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Bueno, entre ellos estaba el recorrido que había quedado pendiente.
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Entonces el recorrido es el conjunto de valores de Y que toma la función.
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Vemos que toma todos los valores hasta que llegamos justo aquí a esta asíntota, que es el menos dos.
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El menos dos no lo toma, entonces yo tengo que excluir ese punto del recorrido.
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Luego vuelve a tomar todos los valores de Y.
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Entonces podemos ponerlo como que va desde el menos infinito hasta el menos dos.
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Unión menos dos más infinito.
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Son intervalos en el eje Y.
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O reales menos el menos dos.
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Bueno, el crecimiento y decrecimiento.
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Si nos fijamos en la gráfica, la función es decreciente.
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Es decreciente siempre.
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O sea, a medida que aumenta el valor de X, el valor de Y va siendo más pequeño.
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O sea, el decreciente podemos poner desde menos infinito hasta el menos dos.
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Unión menos dos más infinito, porque el menos dos no pertenece al dominio.
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Hay otra forma de verlo, es observando la función, pero tenemos que fijarnos en ella ya puesta de esta forma que tenemos aquí.
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Entonces aquí nos aparece la función, que es la básica, que es del tipo K dividido por X menos A.
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Y esta función es siempre decreciente.
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Entonces si nos fijamos en este término que nos aparece ahí, si aparece con positivo, con signo positivo, es que va a ser siempre decreciente.
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Si fuese, por ejemplo, del tipo esta, tiene un menos delante de la expresión racional, con lo cual esta sería creciente.
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En nuestro caso es decreciente.
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Por tanto, máximos y mínimos no hay, porque este tipo de funciones son siempre crecientes o son siempre decrecientes, pero hay que ponerlo.
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Recordemos también que cuando hemos hablado de los puntos de discontinuidad, aquí en X igual a dos era discontinua y vemos perfectamente con la gráfica que es una discontinuidad inevitable de salto infinito.
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Vamos ahora con las simetrías.
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Para ello lo que tenemos que hallar es F de menos X y ver si es igual a F de X o igual a F de X cambiado y sí.
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Entonces hallamos F de menos X.
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¿Dónde pone X? Nosotros ponemos menos X.
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Vamos a ponerlo bien.
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Menos 2 por menos X y menos X menos 2.
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Esto queda 7 más 2X dividido por menos X menos 2, que no es igual a F de X y tampoco es igual a F de X cambiado y sí.
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No hay simetrías.
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Depende de la función.
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En cuanto a la periodicidad, no es una función periódica, es decir, la gráfica no se repite cada cierto tiempo.
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Se ve perfectamente. Hay que ponerlo. Yo no lo he puesto, pero habría que ponerlo.
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Si queremos representarla mejor, lo que tenemos que hacer es una tabla de valores.
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Es decir, vamos dando valores a X y hallamos los valores de Y para poderla representar mejor,
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sobre todo si no sabemos muy bien cómo va entre las asíntotas.
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Y esto sería todo.
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- Autor/es:
- CTH
- Subido por:
- M.rosario T.
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- Visualizaciones:
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- Fecha:
- 1 de mayo de 2023 - 18:40
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES LUIS DE GONGORA
- Duración:
- 15′ 01″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
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- Tamaño:
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