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Tutorial Derivadas - Ciencias - parte 2A - Contenido educativo

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Subido el 25 de mayo de 2024 por Jesús Pascual M.

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Tutorial Derivadas - Ciencias - parte 2A

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Comenzamos la segunda parte del tutorial que muestra cómo se combinan las distintas reglas de integración, 00:00:01
producto, cociente, composición, a la hora de derivar. 00:00:07
Distinguimos entre la parte 2A, que es esta, y la parte 2B, 00:00:13
porque en la parte 2A lo hacemos de forma más rápida, 00:00:17
mientras que la parte B será de forma mucho más gradual. 00:00:20
Son alternativas. 00:00:24
Veamos cómo se combinan distintas reglas de derivación. 00:00:27
por ejemplo, composición y producto, de esta forma o de esta otra, o por ejemplo, pues producto y cociente. 00:00:29
Comenzamos con la primera derivada, observamos que es de la forma e elevado a f, y aquí hacemos una pequeña pausa. 00:01:07
¿Por qué decimos que es de la forma e elevado a f? Es decir, ¿por qué empezamos derivando la función e y no, por ejemplo, este producto? 00:01:14
Y aquí utilizamos un truco, y es que la derivada emplea el orden opuesto al cálculo numérico. 00:01:24
Es decir, supongamos que tenemos un valor para la x, x igual a 5, y que tuviéramos que calcular elevado a x cubo por seno de x en 5. 00:01:32
¿Qué orden seguiríamos? 00:01:41
Supongamos también que no tenemos calculadora y no podemos meter la fórmula directamente, sino que tenemos que buscar, por ejemplo, en tablas, lo que van a ser los cosenos y las exponenciales. 00:01:42
¿Qué haríamos? 00:01:52
Pues primero multiplicaríamos por el x al cubo. Después calcularíamos en la tabla el coseno de x y los multiplicaríamos. Por último, a ese valor que hemos obtenido, pues calcularíamos e elevado a ese valor en una tabla. 00:01:52
¿No? Bien, pues la derivada sigue el orden opuesto. Primero empieza haciendo e elevado a lo que tenemos y después sigue derivando lo que tenemos en el exponente, los productos y cada función. 00:02:09
Así pues, empezamos con e elevado a f. Esto después de todo se va a hacer de forma muy natural, igual que uno haría el cálculo numérico de forma muy natural. 00:02:27
Bien, tenemos e elevado a f donde f es esta función 00:02:35
La derivada de e elevado a f es e elevado a f por f' 00:02:43
Que sería e elevado a x³ coseno de x 00:02:47
Y ahora habría que poner el valor de f' 00:02:53
Ahora bien, f' es la derivada de un producto de dos funciones 00:02:58
f y g 00:03:07
Por lo tanto, habría que poner aquí f' por g más f por g'. 00:03:09
Y aquí un asunto importante. 00:03:16
Cuando tenemos un producto de funciones, un producto, y luego haber una suma que está dentro de ese producto, 00:03:19
es fundamental poner paréntesis. 00:03:26
Si no, estará mal. 00:03:30
El error más común cometido, según mi experiencia, es el no poner los paréntesis. 00:03:31
Muy bien, pues vamos a ponerlo f', f minúscula es x cubo, pues sería 3x cuadrado por g coseno de x más fx al cubo g' menos seno de x. 00:03:36
Bueno, naturalmente, el segundo paréntesis se pondría una vez que se acaba de derivar esto. 00:03:56
Yo es que sabía lo que iba a ocupar. 00:04:03
Bien, esto se puede simplificar un poco porque se puede sacar el signo de aquí y lo ponemos aquí 00:04:05
Habitualmente, cuando uno tiene ya hábito de derivar, este menos lo pone de forma automática 00:04:13
Quiere decir, no espera a hacer este producto 00:04:30
Pero bueno, cuando uno empieza lo normal es hacer esto y luego simplificar 00:04:33
La segunda derivada se descompone en la suma de dos funciones 00:04:37
La segunda muy fácil, la primera un poco más difícil 00:04:44
hacemos primero la primera y luego ya la segunda. A su vez, esta primera función es el producto de dos funciones f y g. 00:04:47
Y aquí vamos a empezar. Una pequeña observación muy breve, es repetir lo de antes, que el orden que empleamos a la hora de derivar 00:04:57
es el contrario que hacemos a la hora de calcular, si tengo dudas. ¿Por dónde yo empezaría a calcular? 00:05:06
Pues yo empezaría a calcular la x7, después calcularía elevado a x más 4, después el logaritmo de ese valor y por último los multiplicaría. 00:05:12
Bueno, pues entonces la derivada empieza con el producto, con lo último que haríamos a la hora de calcular. 00:05:22
Borro lo que está en verde y sigo. 00:05:29
Bien, nos oponemos, esto es f' por g más f por g'. 00:05:32
g'. Bien, pues f es x7, f' es 7x6, g es el logaritmo neperiano de e elevado a x más 4, f es x7 y ahora nos toca calcular g'. 00:05:38
Y ahora observamos que g es de la forma logaritmo neperiano de f, cuya derivada es f' partido por f. Pues lo ponemos. 00:05:57
f' es elevado a x 00:06:11
y f es elevado a x más 4 00:06:15
y ya hemos determinado esta derivada 00:06:19
la siguiente es muy fácil 00:06:24
sería menos 2x y la porcentaje de 1 que desaparece 00:06:25
y ya hemos terminado esta derivada 00:06:29
vamos con la siguiente 00:06:32
la tercera derivada es claramente un cociente de funciones 00:06:33
f y g 00:06:38
cuya derivada es una fracción 00:06:39
que tiene en el numerador f' por g menos f por g', y en el denominador tiene g². 00:06:43
Empezamos con el denominador que es más fácil, sería la función seno de x que es g, 00:06:57
cuyo cuadrado sería seno al cuadrado, pero ya sabemos que en las funciones trigonométricas 00:07:03
el cuadrado se pone sobre el seno, aunque eso no estaría malo con el puesto, 00:07:09
Pero eso está mejor. Bien, ahora empezamos con el numerador y empezaríamos con la derivada del numerador que es esta. 00:07:13
Tendríamos f' que sería una suma de dos funciones, esto y luego esto. 00:07:26
Bien, empezamos con esta parte de aquí y ese f' es el producto de dos funciones f por g. 00:07:39
por lo tanto 00:07:46
su derivada sería 00:07:48
f' por g 00:07:50
más f por g' 00:07:51
ahora bien 00:07:54
ya sea por esta más que hay aquí 00:07:56
o por esta derivada que está después 00:07:58
toda esta f' tiene que estar 00:08:00
entre paréntesis 00:08:02
porque luego se va a multiplicar por g 00:08:03
el error más típico que hay en derivadas 00:08:05
es olvidarse de paréntesis 00:08:09
bien, sigamos 00:08:11
f' es x7, luego f' es 7x6 00:08:15
g es el logaritmo de p1 de x 00:08:21
f es x7 y g' es la derivada del logaritmo que es 1 partido por x 00:08:24
cerramos el paréntesis, perdón 00:08:30
seguimos que falta la segunda parte del numerador 00:08:32
la derivada de menos x es menos 1 y el 3 desaparece al derivar 00:08:35
ahora cerramos el paréntesis 00:08:42
y hemos terminado esta parte 00:08:44
ahora lo que multiplicar por g 00:08:48
ahora hay que restar 00:08:50
abrimos paréntesis porque tenemos una suma que luego se va a multiplicar 00:08:55
x7 logaritmo de pleno de x 00:08:59
menos x más 3 00:09:01
cerramos paréntesis 00:09:02
y derivamos g 00:09:04
que es la derivada del seno que es el coseno de x 00:09:05
y ya hemos terminado esta parte 00:09:08
solo faltaría 00:09:12
simplificar un poco 00:09:13
realmente 00:09:16
los paréntesis en parte se podrían dejar, la única parte que sería un poco más simplificable 00:09:18
sería este producto, que sería x elevado a 6. De modo que la derivada sería, voy a 00:09:23
poner solamente eso, así que lo pongo de golpe, y esta sería la simplificación. Y 00:09:32
ya hemos terminado estas tres derivadas. Ahora os opongo cuatro ejercicios que contengan 00:09:39
dos reglas de derivación diferentes 00:09:57
para la grabación 00:09:59
realizad estos cuatro ejercicios 00:10:03
y cuando acabéis pues 00:10:04
retoméis la grabación 00:10:07
y miráis la corrección 00:10:09
corregimos, hago un zoom 00:10:11
menos de antes y cambio la disposición 00:10:14
de estos ejercicios para poder 00:10:16
corregirlos 00:10:18
calculamos esas derivadas 00:10:19
empezamos con esta 00:10:23
es el coseno de una 00:10:32
función cuya derivada 00:10:35
es menos seno de f por f'. Pues lo ponemos. Menos seno de f, que es seno de adentro, x5 00:10:37
elevado a x menos 3x más 9. Ahora por la derivada de lo de adentro. Y ya me olvido del anterior 00:10:49
del coseno de lo que sea. Y ahora nos focalizamos en esta función. Es la resta de dos funciones, 00:10:57
bueno, la suma de dos funciones, y empieza con el producto de dos funciones f y g. 00:11:03
Así que ponemos un paréntesis y tendríamos f' por g más f por g'. 00:11:14
f' sería la derivada de x5, que es 5x4, por g, que es elevado a x, 00:11:23
más f, que es x5, por g', que es la derivada de elevado a x, que es elevado a x. 00:11:31
Después la segunda parte de la función, cuya derivada es menos 3. 00:11:38
Y cerramos la paréntesis, que hemos utilizado tanto por esta parte de la suma 00:11:44
como por el producto que requiere un paréntesis. 00:11:49
Vamos con la siguiente, que va a ser esta. 00:11:53
La derivada es la de la suma de dos funciones, la primera de la forma, elevado a f, donde la f es el exponente. 00:11:56
Y la derivada de esto es elevado a f por f', es decir, elevado a x cuadrado entre 3x más 2. 00:12:11
f' es de la forma f partido por g, cuya derivada es una fracción 00:12:22
donde el numerador es f' por g menos f por g' y cuyo denominador es g cuadrado 00:12:36
podemos empezar por el denominador, que es más sencillo 00:12:43
3x más 2, todo ello al cuadrado 00:12:47
ahora empezamos con el f' que es 2x por g, que es 3x más 2 00:12:51
menos f, que sería x cuadrado, por g prima, que es 3. 00:12:56
Ahora seguimos con la segunda parte, que sería menos la derivada de coseno, que es menos el seno de x, 00:13:08
y el 7 que desaparece. 00:13:15
Eso se puede simplificar de dos formas. 00:13:18
Una sería simplificando esto, y la otra es quitando este signo. 00:13:21
Lo primero es fácil, esto es 6x cuadrado más 4x menos 3x al cuadrado y esto es 3x al cuadrado más 4x. 00:13:26
Podemos ponerlo incluso delante de elevado a f, que es un poco más elegante, 3x cuadrado más 4x entre 3x más 2 todo y al cuadrado, por e elevado a x al cuadrado entre 3x más 2 más seno de x. 00:13:42
Y ya hemos terminado esta derivada. 00:14:08
Corrijamos la tercera derivada, es una resta de dos funciones 00:14:11
La primera es un producto de la forma f por g 00:17:02
Cuyo derivada es f' por g más f por g' 00:17:07
Pues empecemos, f' es la derivada del coseno que es menos seno de x 00:17:14
por g que es elevado a x cubo más 2x 00:17:22
más f que es el coseno de x 00:17:27
y ahora hay que calcular g' 00:17:29
y observamos que g' es de la forma 00:17:31
e elevado a una función 00:17:35
esta función 00:17:37
y la derivada es 00:17:39
elevado a f por g' 00:17:44
que sería 00:17:46
e elevado a x al cubo más 2x 00:17:48
por f' que como es una suma habrá que poner un paréntesis 00:17:54
que sería 3x cuadrado más 2 00:17:59
cerramos paréntesis 00:18:05
y terminamos lo que nos quedaba que es esta parte de aquí 00:18:06
menos 5 00:18:10
y ya hemos terminado 00:18:13
la siguiente derivada es un cociente de dos funciones 00:18:15
f y g 00:18:21
cuya derivada es de la forma 00:18:23
f' por g 00:18:26
menos f por g' entre g cuadrado. 00:18:29
Podemos empezar por g cuadrado, que es más sencillo, ya que no hay ninguna derivada. 00:18:37
Sería coseno de x más 2, todo ello al cuadrado. 00:18:45
Y ahora empezamos con f'. 00:18:49
f' es este numerador que empieza con un producto de la forma f por g. 00:18:51
así que va a haber que poner un paréntesis 00:18:59
porque hay una resta aquí 00:19:03
también por el producto que viene ahora 00:19:05
que es de la forma 00:19:07
f' por g 00:19:09
más f por g' 00:19:10
pues lo ponemos 00:19:13
f' 5x4 00:19:15
por g 00:19:17
logaritmo de p1 de x 00:19:19
más 00:19:21
f x5 00:19:22
por g' 1 partido por x 00:19:25
y ahora 00:19:28
Acabamos la derivada del numerador 00:19:32
Que sería derivar el menos 3x que es menos 3 00:19:34
Cerramos paréntesis 00:19:37
Ponemos g que es el coseno de x más 2 00:19:38
Ahora restamos f 00:19:43
Que sería entre paréntesis porque hay una resta 00:19:45
Y luego hay que multiplicar 00:19:49
x5 logaritmo de piano de x menos 3x 00:19:51
Cerramos paréntesis 00:19:55
Y derivamos la g que es el denominador 00:19:56
y ponemos un paréntesis porque coseno tiene un signo menos 00:20:00
y sería menos la derivada de coseno que es seno de x 00:20:04
y cerramos paréntesis y ya está 00:20:08
bueno, esto ya no lo voy a simplificarlo, es bastante complicado 00:20:11
la simplificación que se podría hacer, de hecho únicamente 00:20:14
sería poner aquí x4 por ese producto 00:20:17
x5 por 1 partido por x es x4 00:20:21
pero lo demás, bueno, también se podría quitar este signo con este menos 00:20:23
bueno, voy a ponerlo 00:20:28
Pongo el igual y ahora pongo la que sería la simplificación. 00:20:29
Y así quedaría. 00:20:36
Dentro de la regla de la cadena o derivada de la composición hay una que habéis visto un poco más, que es la derivada de una potencia. 00:20:41
Pero se hace igual que las demás. 00:20:50
En este caso la derivada sería 4f³ por f'. 00:20:51
Pues lo hacemos. 00:20:57
así pues ponemos 4f al cubo, 4 por x7, el logaritmo de piano de x, más 5, todo ello al cubo 00:20:58
y ahora ponemos la derivada de lo de dentro 00:21:09
pero al ver lo de dentro observamos que hay un producto 00:21:11
que es de la forma f por g y cuya derivada es f' por g más f por g' 00:21:15
pues nada, lo hacemos 00:21:24
Ahora bien, ponemos un paréntesis porque hay una suma tras un producto 00:21:27
f' es 7x6, logaritmo de piano de x, más f, que es x7 por g', que es 1 partido por x 00:21:33
Y luego ya, pues, lo que queda derivada, que es esto, que como es una constante, desaparece 00:21:46
Cerramos, paréntesis, y ya está 00:21:55
Como mucho se puede simplificar, y lo único que se puede simplificar realmente es esto, que es x a la 6. 00:21:58
Quedaría así. 00:22:09
Bien, pues como ejercicio podéis hacer la siguiente derivada. 00:22:15
Elevado a x, coseno de x menos x al cuadrado. 00:22:24
Todo ello elevado a 8. 00:22:33
y ahora pues la derivada de esto 00:22:37
para ir a la grabación lo hacéis y corregimos 00:22:40
corregimos 00:22:43
tenemos una función de la forma f elevado a 8 00:22:45
cuya derivada es 8f7 por f' 00:22:49
pues lo ponemos 00:22:53
f es todo esto que está aquí 00:22:55
sería 8 por e elevado a x 00:22:59
coseno de x menos x cuadrado 00:23:04
todo ello elevado a 7 00:23:06
Ahora ponemos f' pero f' tiene un producto f por g cuya derivada es f' por g más f por g'. 00:23:08
Lo ponemos, no sin antes poner el paréntesis. 00:23:20
f' es elevado a x, g es coseno de x más f es elevado a x y g' es la derivada de coseno que es menos seno de x. 00:23:25
por último pues ponemos este menos x cuadrado, su derivada 00:23:36
que sería menos 2x 00:23:41
y cerramos este paréntesis 00:23:44
ya está casi simplificado 00:23:48
lo único que se podría simplificar en todo caso sería quitar este menos y ponerlo aquí 00:23:51
quedando así 00:23:57
un paso más en la derivación 00:23:59
podría ser cuando tenemos un producto 00:24:05
pero no ya de una función que se compone sino de dos 00:24:07
o por ejemplo un cociente pero no de un producto sino de dos productos 00:24:09
y sería exactamente igual que antes 00:24:13
vamos a hacerlo 00:24:17
tenemos aquí el producto de dos funciones f y g 00:24:18
cuya derivada es de la forma f' por g más f por g' 00:24:22
ahora se va a complicar no solamente la f' sino también la g' 00:24:28
pero es igual 00:24:33
Empezamos por f', es el coseno de una función y su derivada es menos seno de f por f'. 00:24:35
Pues lo ponemos, f minúscula es lo que hay dentro, menos seno de lo que hay dentro, x al cubo menos 3x por f', 00:24:46
que lo ponemos como un paréntesis porque es una resta ligada a un producto, 3x cuadrado menos 3. 00:25:02
cerramos paréntesis 00:25:10
ahora multiplicamos por g 00:25:12
que es el logaritmo de elevado a x menos 5 00:25:13
más f 00:25:17
que lo dejamos igual 00:25:19
coseno de x al cubo 00:25:21
menos 3x 00:25:22
y ahora miramos g' 00:25:24
y vemos que g' 00:25:26
es de la forma logaritmo de prima de f 00:25:28
ojo, podríamos poner logaritmo de prima de g 00:25:33
pero como ya hemos utilizado la f 00:25:36
y ya no vamos a utilizarla 00:25:37
no pasa nada porque para nuestro interior 00:25:39
Pongamos una f. Pues lo ponemos. Tenemos la derivada de esto. Es f' partido por f. Vamos a ponerlo. f' es elevado a x y f es elevado a x menos 5. 00:25:41
Bueno, vayamos con la siguiente derivada. Es un cociente de dos funciones, f y g, cuya derivada es de la forma f' por g menos f por g', poniendo g cuadrado en el denominador. 00:26:01
Bueno, pues lo hacemos. Ponemos una operación grande y ahora se complican tanto la g como la g. 00:26:22
Podemos empezar por el denominador, que es más sencillo, x elevado a 6, logaritmo de b a 1 de x, todo ello al cuadrado. 00:26:30
Y ahora empezamos con f'. f' es la derivada de todo esto y la primera parte de esa derivada es un producto de dos funciones f' y g'. 00:26:42
Pues, diríamos que estas funciones serían f' por g más f por g', cuya derivada sería f' es 5x4, g es el coseno de x, más f es x5, y g' es menos el seno de x. 00:26:53
Entre paréntesis, porque si no, se tiene otra cosa. 00:27:18
Ahora la derivada de 1, pues es 0, se desvanece 00:27:20
Como tenemos una suma y luego hay que multiplicar 00:27:25
Ponemos un paréntesis 00:27:28
Más vale poner paréntesis de más que de menos 00:27:30
Ahora multiplicamos por g 00:27:33
x6 logaritmo de p no de x 00:27:36
Aquí no se va a poner paréntesis porque es un producto ligado a otro producto 00:27:38
Menos f x5 coseno de x menos 1 00:27:42
Entre paréntesis porque luego hay que multiplicar 00:27:47
Y ahora ponemos g', que nuevamente es un producto de dos funciones. Voy a poner otra vez la misma notación, f' y g', porque ya las he utilizado antes, pero ya no tengo que volver a utilizarlas aquí. 00:27:49
Así que ponemos f' por g más f por g' y ahora son funciones nuevas. 00:28:06
f' es la derivada de x6, que es 6x5, por g, que es el logaritmo de piano de x, más f, que es x6, por la derivada del logaritmo, que es 1 partido por x. 00:28:15
Y ahora ponemos paréntesis y ya está. 00:28:31
pocas significaciones se pueden hacer aquí 00:28:35
una sería poner aquí x5 y la otra sería pasar este menos aquí 00:28:38
no voy a hacerlas, a partir de ahora ya me centro en las técnicas de derivación 00:28:43
os propongo tres ejercicios de derivadas de ese tipo 00:28:48
podéis parar la grabación y después realizar las derivadas 00:28:53
y luego reanudar la grabación para ver la corrección 00:29:00
bueno, corregimos, antes de nada voy a hacer un poco de zoom 00:29:04
para que quepa todo mejor. Corregimos la primera derivada, es de la forma f por g 00:29:10
y su derivada es f' por g más f por g'. Empezamos con g' mayúscula y observamos que f es de la forma 00:29:19
otra función elevado a 7 y de hecho 4 veces otra función elevado a 7, cuya derivada sería 00:29:35
7 por 4, 28, por esa función elevado a 6, por la derivada de esa función. 00:29:44
Pues lo ponemos. 00:29:51
Sería 28, abrimos paréntesis para poner esa función, elevado a x más x cuadrado, 00:29:52
todo ello elevado a 6, y abrimos un paréntesis porque la derivada es una suma, 00:29:59
que sería elevado a x más la derivada de x cuadrado, que es 2x. 00:30:06
ahora multiplicamos por g y ahora sumamos f y nos falta por calcular g' 00:30:11
y aquí observamos que g es una función de la forma la raíz cuadrada de f 00:30:27
cuya derivada es 1 partido por 2 raíz de f por f' 00:30:37
por lo que es lo mismo f' entre 2 raíz de f 00:30:44
podemos poner esto último, aunque el otro también estaría bien 00:30:50
f' entre 2 raíz de f 00:30:54
esto es f' que es la derivada de x al cuadrado 00:30:58
2x entre 2 veces la raíz cuadrada de 1 menos x al cuadrado 00:31:04
Muy bien, realicemos la segunda derivada 00:31:09
es una fracción de la forma f partido por g 00:31:14
cuya derivada es otra fracción de la forma 00:31:17
f' por g menos f por g' y con un denominador que es g cuadrado. 00:31:24
Podemos empezar a poner el denominador. 00:31:33
Raíz cuadrada de x, logaritmo de piano de x, menos x, todo y al cuadrado. 00:31:36
Y ahora podemos poner f'. 00:31:42
f es todo esto, pero f, perdón, f mayúscula. 00:31:46
Y f mayúscula es la suma de una derivada ligeramente más complicada y otra pues muy sencilla 00:31:55
Empezamos por la ligeramente más complicada que es un producto de f por g 00:32:01
Cuya derivada es f' por g más f por g' 00:32:05
f es 4x7, f' sería 7 por 4, 28x6 00:32:13
g es el coseno de x más f ahora es 4x7 00:32:18
y g' es la derivada del coseno que es el menos seno de x 00:32:24
eso entre paréntesis porque si no estaría restando 00:32:28
seguimos con lo que queda de la función 00:32:33
35x cuadrado, su derivada es 35 por 270 00:32:36
menos 70x y 2 que desaparece 00:32:40
y ahora ponemos un paréntesis alrededor de g' 00:32:43
porque luego se va a multiplicar por g 00:32:49
g ahora es el denominador 00:32:51
raíz de x, logaritmo de piano de x, menos x 00:32:54
ponemos un paréntesis porque está multiplicando por g' 00:32:58
y una r está dentro 00:33:02
ahora estamos f, que es todo el numerador 00:33:04
4x7 coseno de x menos 35x cuadrado menos 2 00:33:07
y ahora multiplicamos por la derivada de g 00:33:13
¿qué es esto? 00:33:17
g es una resta de dos funciones, una un poco más complicada y de la forma f partido por g 00:33:18
y una muy sencilla, empezamos por la que es un poquito más complicada y cuya derivada es f' por g más f por g' 00:33:27
f' es la derivada de la raíz cuadrada de x, 1 partido de 2 raíz de x 00:33:37
g es el logaritmo de piano de x más f es raíz de x 00:33:43
y g' es la derivada del logaritmo que es 1 partido por x 00:33:49
después restamos lo que queda 00:33:54
la derivada de x que es 1 00:33:59
y ponemos paréntesis porque está multiplicando 00:34:01
ampliamos la fracción y ya hemos terminado 00:34:04
aquí se podría simplificar en varios puntos 00:34:07
como este signo pasar aquí 00:34:09
unir esto en la fracción, realizar 00:34:11
bueno, eso ya está bien porque está racionalizado 00:34:14
raíz de x partido por x 00:34:18
y poco más se puede hacer, no vamos a hacerlo 00:34:19
porque estamos ahora mismo practicando la derivación 00:34:23
no la simplificación 00:34:27
sigamos, nos queda la última 00:34:28
es un cociente de la forma f partido por g 00:34:31
y su derivada es una fracción 00:34:35
donde el numerador es f' por g 00:34:40
menos f por g' 00:34:44
y el denominador es g cuadrado 00:34:46
podemos empezar por el denominador 00:34:50
x5 tangente de x 00:34:52
menos 3 00:34:55
todo ello al cuadrado 00:34:56
y ahora ponemos el numerador 00:34:58
empezamos por la derivada de f mayúscula 00:35:01
y vemos que es 00:35:03
el coseno de la función 00:35:06
cuya derivada es 00:35:10
menos seno 00:35:17
de f por f' 00:35:19
pues lo ponemos 00:35:21
menos seno de f 00:35:23
que es elevado a x 00:35:27
más 3x 00:35:28
por la derivada que sería como un paréntesis elevado a x más 3 00:35:29
ahora multiplicamos por g que es el denominador 00:35:35
lo ponemos al cuadrado x5 tangente de x menos 3 00:35:39
ahora restamos f coseno de elevado a x más 3x 00:35:46
y lo multiplicamos por g' 00:35:52
Y aquí observamos que g' es de la forma, la resta de las funciones, una es una constante, se va a desaparecer, y luego un producto que es de la forma f por g y cuya derivada es f' por g más f por g'. 00:35:54
Derivamos f', x5, su derivada es 5x4 00:36:18
Ahora g es la tangente de x 00:36:26
Ahora usamos f, que sería x5 00:36:31
Y ponemos la derivada de la tangente de x 00:36:36
Bueno, yo voy a poner, por ejemplo, 1 más tangente cuadrado de x 00:36:40
Aunque, bueno, si hubiéramos puesto, por ejemplo 00:36:45
1 partido por coseno cuadrado de x 00:36:47
también estaría bien 00:36:51
y luego pues la derivada de 3 00:36:53
se va, es 0 00:36:57
con lo cual desaparece 00:36:58
y no hemos acabado porque falta poner aquí 00:37:00
un paréntesis, porque si no 00:37:02
solo estaría multiplicando 00:37:04
esto a esto 00:37:06
y ya hemos terminado 00:37:08
estos ejemplos, podemos observar 00:37:10
bueno, aquí si hemos juntado 00:37:12
aquí hemos enseñado como se hacen los productos 00:37:14
aquí hemos hecho una pequeña variante, hemos puesto aquí una composición 00:37:16
pero se hace igual 00:37:18
vamos a combinar ahora 00:37:21
varias veces la regla de la cadena. Por ejemplo, si tenemos elevado al coseno de x cuadrado menos el logaritmo de periano de x derivada. 00:37:24
O por ejemplo, el seno de e elevado a x menos el logaritmo de Periano de x al cubo más 3, derivada. 00:37:44
O por ejemplo, pues e elevado a x menos el coseno de x al cubo, todo ello elevado a 4, derivada. 00:37:59
Bien, pues ya hemos con cada una de ellas. 00:38:13
Esta es una función de la forma elevado a f, cuyo derivada es elevado a f por f', es decir, elevado al coseno de x cuadrado menos el logaritmo de periodo de x. 00:38:15
Ahora bien, f es esta función y f es de la forma coseno de otra función f minúscula, con lo cual al poner f', tendremos que poner menos seno de f por f', 00:38:34
que sería, abriendo paréntesis 00:38:48
menos seno de 00:38:51
x cuadrado 00:38:53
logaritmo del primero de x 00:38:55
perdón, menos logaritmo del primero de x 00:38:56
por la derivada 00:38:59
de lo de dentro, que sería 00:39:01
el f' 00:39:03
2x menos 1 partido por x 00:39:04
y ya hemos terminado 00:39:07
en la siguiente 00:39:09
pues se generó la función 00:39:11
de la forma seno de f 00:39:13
cuya derivada es 00:39:15
coseno de f por f', donde esta es la función f. Lo ponemos, esto es el coseno de elevado 00:39:17
a x menos logaritmo neperiano de x al cubo más 3, cerramos los paréntesis. Ahora, a 00:39:28
la hora de poner la f', sería esta función más larga, empezamos derivándola, la derivada 00:39:36
de elevado a x es elevado a x, menos, y ahora tenemos el logaritmo neperiano de una función cuya derivada es f' partido por f, es decir, 3x entre x al cubo más 3. 00:39:43
Aquí tenemos una función de la forma f elevada a 4, cuya derivada sería 4f al cubo. 00:40:06
Pues lo ponemos. Tenemos 4 veces elevado a x menos coseno de x al cubo, todo ello elevado al cubo. 00:40:20
Ahora ponemos la f' empezamos con la derivada por aquí elevado a x menos y ahora tenemos el coseno de una función cuya derivada es el seno de f menos seno de f por f' sería menos el seno de x al cubo por 3x cuadrado. 00:40:39
Cerramos paréntesis, que hemos cerrado este paréntesis, pues cerramos más paréntesis. 00:41:05
Hay alguna cosa que nos podríamos haber ahorrado como este signo menos doble con más práctica, pero podemos hacerlo así ahora. 00:41:12
Bien, vamos a hacer unos ejemplos después. 00:41:22
Os pongo como ejercicio las siguientes derivadas. 00:41:26
el seno de x al cubo menos el coseno de x al cuadrado derivada. 00:41:29
Otra sería el seno al cuadrado de x al cubo menos elevado a x cuadrado. 00:41:46
Bueno, esa es un poco complicada además, vamos a quitar esto por ahora. 00:42:05
Y ahora sí que ponemos un último, un poco más complicado, incluyendo eso. 00:42:11
Por ejemplo, pues elevado a x más el coseno de elevado a x al cubo, todo ello elevado a 5, derivada. 00:42:13
Esta es más complicada que las demás. 00:42:40
Pues paráis la grabación y lo realizáis. 00:42:43
Y luego corregimos. 00:42:48
Corregimos, tenemos aquí el seno de una función cuya derivada es el coseno de f por f'. 00:42:50
¿Dónde f es todo esto? 00:42:59
Pues lo ponemos. Esto es el coseno de x al cubo menos el coseno de x al cuadrado por la derivada de f. 00:43:02
Ahora bien, empezamos a derivar f 00:43:15
f sería todo esto, empieza con la derivada de x al cubo 00:43:19
que es, ahora paréntesis, porque hay una resta 3x cuadrado menos 00:43:25
y ahora tenemos el coseno de la función 00:43:30
coseno de f cuya derivada es 00:43:34
el seno de f por f' 00:43:43
que sería, perdón, menos el seno de f 00:43:47
quiere poner menos el seno de x cuadrado por la derivada que es 2x. Aquí lo natural habría sido 00:43:54
ya cuando vamos a poner el menos seno de f y a poner menos por menos más y ahorrarse pues un signo, ¿no? 00:44:08
Sigamos. Aquí tenemos una función de la forma seno de f pero está al cuadrado. Entonces la última 00:44:18
función realmente es el cuadrado. Con lo cual, lo que tenemos es una función al cuadrado 00:44:29
cuya derivada es 2f por f'. Lo suponemos. Sería dos veces el seno de x³ menos e elevado 00:44:36
a x. ¿Y cuál es f'? Pues la derivada de este seno quitando el cuadrado. Tenemos seno 00:44:52
de una función cuya derivada es coseno de f por f'. Pues pongamos ese coseno, que sería 00:45:06
al coseno de x al cubo menos elevado a x, y luego la derivada de lo de dentro es 3x 00:45:17
cuadrado menos elevado a x. Y ya hemos terminado. Vayamos con lo más compleja. Primero tenemos 00:45:26
una función elevada a 5, cuya derivada es 5f elevado a 4, por f' pues lo ponemos. 00:45:35
Tenemos, pues, 5 por e elevado a x más el coseno de e elevado a x al cubo, todo ello elevado a 4 00:45:46
Ahora ponemos esta derivada, que sería e elevado a x más 00:46:08
Y ahora de derivar esta parte de la función, vemos que de la forma coseno de f, cuya derivada es menos seno de f por f', con lo cual ponemos menos el seno de elevado a x al cubo, y ahora hay que poner f'. 00:46:17
Pero observamos que f es de la forma elevado a una función, vamos a poner otra vez la mayúscula, por ejemplo, cuya derivada es elevado a f por f', con lo cual tenemos que poner elevado a f, que es elevado a x al cubo, por f', que es 3x al cuadrado. 00:46:39
Y ahora ya cerramos los dos paréntesis, este y el otro. Y ya hemos terminado. 00:47:00
Pero otra combinación de las reglas de derivación es el producto de tres funciones. Por ejemplo, x elevado a 5, elevado a x, seno de x, derivada. 00:47:15
Hay dos formas de hacer esto. Una de ellas sería considerar esto como producto de dos funciones, por ejemplo, f y g, 00:47:31
donde f a su vez es un producto de dos funciones 00:47:40
f y g 00:47:44
y aplicar así las reglas de derivación 00:47:47
en primer lugar ponemos 00:47:49
por g 00:47:54
más f por g' 00:47:56
y a su vez 00:47:59
cuando vayamos a derivar f' 00:48:01
vamos a ver un producto 00:48:05
que habrá que derivar 00:48:06
poniendo f' por g 00:48:08
más f por g', pues hacemos eso 00:48:11
cogemos f', que sería 5x4 00:48:17
por g, que es e elevado a x 00:48:21
más f, x5, por g', que es 00:48:25
e elevado a x, y ponemos un paréntesis, porque se sumando 00:48:31
y vamos a multiplicarlo ahora mismo, por g, que es seno de x 00:48:35
ponemos la suma, ahora f 00:48:40
mayúscula que es x5 elevado a x 00:48:42
y ahora g' que es la derivada del seno que es el coseno de x 00:48:47
y ahí se hace sin ninguna dificultad 00:48:51
luego se puede quitar el paréntesis, etc. 00:48:55
que quedaría 5x4 elevado a x seno de x 00:48:58
más x5 elevado a x seno de x 00:49:03
más x5 elevado a x coseno de x 00:49:06
La otra forma sería utilizar una regla de derivación, lo que pasa es que ya es algo más de memoria que hay que utilizar 00:49:09
Y es que si tenemos tres funciones, pues tenemos f'gh más fg'h más fgh', siempre hay una que está derivando 00:49:18
Incluso con 4 sale lo mismo, FGHI' sería FGHI con la prima aquí, más FG'HI, más FGH'I, más FGHI'. 00:49:32
Entonces de esta forma pues obtendríamos exactamente esto último. 00:49:50
F'GH pues F' por G por H más G' que es esta por H más F por G por H' y así lo tendríamos 00:49:59
porque es que de hecho esto no es más que hacer F' por G más F por G' por H más FG H' 00:50:15
prima. Entonces estamos convirtiendo esto en f y esto en g, haciéndolo de antes. Bueno, 00:50:32
pues hacemos otro ejemplo. Bueno, hacéis vosotros otro ejemplo, bien utilizando esto 00:50:43
o bien utilizando esto de aquí y corregimos. El ejemplo que os propongo sería logaritmo 00:50:49
de periódico de x por el seno de x, 5 por ejemplo, por elevado a x, derivada. 00:50:58
Bueno, corrijo, voy a utilizar ahora esta fórmula, 5 logaritmo de x, pues sería 5 por 00:51:17
1 partido por x, cogeríamos fgh y f' por g por h más f por g por y por h más f por g h'. 00:51:24
Pues nada, sería esto. Ahora cogeríamos la g, que es seno de x, y la h elevado a x más la f, 00:51:39
que es 5 logaritmo de pi a no de x 00:51:50
por la derivada de g que es el coseno de x 00:51:53
por h que es elevado a x más 00:51:57
la f que es 5 logaritmo de pi a no de x 00:52:00
por el seno de x 00:52:03
por h' que es la derivada de elevado a x que es elevado a x 00:52:06
y ya está 00:52:09
bueno, pasemos a otra cosa 00:52:10
hay un caso particular de derivada 00:52:13
que tiene un método distinto que es la de f elevado a g 00:52:15
Una opción es, sin aprenderse ya fórmulas nuevas, hacer lo siguiente. 00:52:18
Si yo tengo la función, por ejemplo, coseno de x, todo ello elevado a x al cuadrado más 3, 00:52:27
entonces, y calculo su derivada, entonces el coseno de x es lo mismo que e elevado al logaritmo de periódico del coseno de x. 00:52:38
Y todo ello lo elevamos a x al cuadrado más 3. 00:52:48
Esto es igual a e elevado al logaritmo del coseno de x por x cuadrado más 3 00:52:51
Derivada 00:53:08
Y ahora aquí ya podemos utilizar las reglas de la derivación que conocemos 00:53:13
Esto es de la forma e elevado a f 00:53:17
Cuyo derivada es e elevado a f por f' 00:53:19
Entonces serían e elevado al logaritmo del coseno de x por x cuadrado más 3 00:53:24
A la hora de hacer la f' observamos que eso es un producto de funciones f y g cuya derivada es f' por g más f por c' 00:53:34
A su vez f' es de la forma logaritmo de una función cuya derivada es f' partido por f 00:53:51
Pues lo ponemos. Ponemos f' que sería menos seno de x entre f que es coseno de x. 00:54:03
Ahora multiplicamos por g y sumamos f multiplicando por g'. 00:54:15
Por último ponemos los paréntesis y ya está. 00:54:26
Ahora bien, hay otra forma de resolver esto 00:54:35
Y es saber que esta función requiere 00:54:38
Tiene un método propio 00:54:44
Que es saber que es de la forma 00:54:46
Que esta derivada es 00:54:50
g por f elevado a g menos uno 00:54:57
Por f prima más 00:55:02
El logaritmo negativo de perinodo f 00:55:06
Por f elevado a g 00:55:08
por G'. 00:55:11
Ahora bien, esta fórmula 00:55:14
no pido que os la aprendáis 00:55:19
ni siquiera de pedir los ejercicios 00:55:20
yo nunca he hecho un ejercicio 00:55:23
con la fórmula 00:55:25
nunca 00:55:26
o sea que ni siquiera en los problemas 00:55:28
menos en la teoría 00:55:30
y de hecho este truco 00:55:32
es perfectamente válido 00:55:35
y pues nada, aparece en otro tipo 00:55:36
de ejercicios de la materia 00:55:38
el truco de convertir esto 00:55:41
en esto, por ejemplo, en los límites del hospital 00:55:42
Bueno, calculemos la derivada de esta función 00:55:46
teniendo en cuenta que esta es la función f y esta es la función g 00:55:52
Empezamos con la primera parte de la derivada 00:55:57
Sería g, que es x cuadrado más 3 00:56:02
por f, coseno de x 00:56:06
elevado a g menos 1 00:56:09
Bueno, pues, si g es x cuadrado más 3 00:56:11
Entonces g menos 1 es x cuadrado más 2 por f' que es menos seno de x más, ahora vamos con la segunda parte de la función, logaritmo neperiano de f, pues el logaritmo neperiano del coseno de x por f elevado a g, pues el coseno de x elevado a x cuadrado más 3 por g' pues por 2x. 00:56:15
Y ya hemos terminado. Bueno, es un poco más elegante esta función que esta, todo hay que decirlo. 00:56:44
Una observación es que si cogemos la derivada de arriba, y es la suma de dos funciones, a la primera función se le llama parte potencial y a la segunda parte exponencial. 00:56:54
Este nombre viene de la siguiente observación 00:57:10
Si cogemos la función potencial f elevado a n y derivamos nos queda n por f elevado a n-1 por f' 00:57:14
Y podemos observar que es la misma función que esta pero cambiando la n por la g 00:57:24
Por otra parte, si cogemos la función exponencial a elevado a g, cogemos la g porque es el exponente de la otra, y derivamos, pues tenemos el logaritmo de Periano de a por a elevado a g por g'. 00:57:31
Y es fácil comprobar que tenemos la misma función, solo que cambiando la a por la f, y ahí el nombre. De hecho, ese es el truco para brandejes de fórmulas. 00:57:51
Bueno, tiene su sentido, porque si consideráis que g es constante, entonces g' es igual a cero, esto desaparece y tenemos una potencial. 00:58:02
Y si consideráis que f es constante, entonces f' es cero y tenemos una exponencial. 00:58:13
Una observación rápida, hemos dicho que cuando cogemos en cálculo una función donde y puede tomar todos los valores reales, la x tiene que ser positiva. 00:58:23
Bueno, pues eso quiere decir que estamos considerando esta función exponencial en los valores donde el coseno de x es positivo. 00:58:32
De hecho, fijaos que cogemos el logaritmo del coseno, que también solo está definido si el coseno es positivo. 00:58:41
Bien, sigamos. Ahora propongo un ejercicio. Vamos a hacer, por ejemplo, el ejercicio x al cubo más x, todo y elevado al seno de x. 00:58:48
derivada 00:59:00
paráis la grabación 00:59:02
lo realizáis 00:59:04
y ahora lo corregiremos 00:59:06
borramos métodos 00:59:09
bien, corregimos 00:59:11
con el primer método 00:59:14
pues observamos 00:59:15
lo voy a hacer con todos los pasos 00:59:18
pero lo suelo pasar directamente 00:59:20
de aquí 00:59:22
aquí 00:59:24
que esto es 00:59:26
elevado al 00:59:29
logaritmo de periano de x cubo más x 00:59:31
todo ello elevado al seno de x 00:59:35
y esto es igual, que es a lo que uno tiene que acostumbrarse 00:59:37
al logaritmo de periano de x cubo más x 00:59:40
por el seno de x 00:59:44
y ahora pues nada, habría que derivar 00:59:46
y derivar 00:59:50
entonces tenemos 00:59:52
elevado a una función 00:59:53
cuya derivada es elevado a f por f' 00:59:56
que ponemos 00:59:59
elevado al logaritmo de periano de x cubo más x por seno de x. 01:00:00
Ahora, por f' pues f' sería un producto de dos funciones f y g. 01:00:09
Por lo tanto, su derivada es f' por g más f por g'. 01:00:23
A su vez, observamos que f, que es esta, es de la forma logaritmo de periano de una función 01:00:27
cuya derivada es f' partido por f 01:00:35
pues lo ponemos 01:00:38
ponemos f' 01:00:40
que es 01:00:42
3x más 1 01:00:45
partido por f 01:00:47
que es x al cubo más x 01:00:51
ponemos un paréntesis porque vamos a tener luego una suma 01:00:54
multiplicamos por g 01:00:57
que es el seno de x 01:00:59
sumamos f 01:01:01
que es el logaritmo de periano de x al cubo 01:01:03
más x 01:01:06
y multiplicamos por la derivada de g 01:01:08
que es el coseno de x 01:01:10
por último cerramos el paréntesis 01:01:12
vamos con la segunda forma de hacerlo 01:01:14
esta es la función f 01:01:18
esta es la función g 01:01:23
y empezamos a aplicar 01:01:25
esta fórmula 01:01:28
g pues sería 01:01:30
el seno de x 01:01:32
por f 01:01:36
elevado a g menos 1 01:01:39
pues al seno de x menos 1 01:01:43
por la derivada de f, que sería 01:01:47
3x cuadrado más 1. Ahora sumamos 01:01:51
logaritmo de periano de f, pues el logaritmo de periano 01:01:56
de x al cubo más x 01:01:59
por f elevado a g, pues por x al cubo 01:02:03
más x, todo y elevado al seno de x 01:02:08
por la derivada de g 01:02:10
pues por coseno de x 01:02:13
y tenemos dos fórmulas en apariencia distintas 01:02:15
pero si se calcula y se simplifica 01:02:19
y se quitan estas cosas 01:02:21
se puede ver que 01:02:24
acaba siendo igual que 01:02:26
esta de aquí abajo 01:02:27
un último apunte 01:02:29
con esas derivadas 01:02:32
concluimos 01:02:34
la combinación de derivadas con dos reglas 01:02:35
y en algunos casos particulares 01:02:38
de tres reglas 01:02:40
como puede ser este. Faltaría hablar de la combinación de todo tipo de reglas y todo 01:02:42
tipo de derivadas. Para ello está la continuación de este tutorial, que sería la parte 3. 01:02:48
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Autor/es:
Jesús P Moreno
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
7
Fecha:
25 de mayo de 2024 - 11:21
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LA ESTRELLA
Descripción ampliada:
Tutorial Derivadas - Ciencias - parte 2A
Duración:
1h′ 02′ 57″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
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