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Bach1 - Mediatriz de un segmento

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Subido el 26 de enero de 2020 por Pablo Jesus T.

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Hola, hoy toca Mediatriz de un segmento, nuestro primer lugar geométrico. 00:00:13
¿Y qué es un lugar geométrico? 00:00:20
Pues es el conjunto de los puntos del plano que verifica una misma propiedad geométrica. 00:00:21
¿De acuerdo? 00:00:29
Entonces nosotros empezamos con esta, la Mediatriz de un segmento. 00:00:30
¿Qué lugar geométrico es la Mediatriz de un segmento? 00:00:34
¿Qué propiedad cumple? 00:00:39
Pues la mediatriz de un segmento va a estar formado por todos los puntos que equidistan de dos puntos dados, A y B. 00:00:41
Si nosotros definimos el segmento AB, pues de los extremos del segmento. 00:00:49
Conjunto de todos los puntos que equidistan de los extremos del segmento. 00:00:55
Si nosotros intentamos aplicar esta propiedad para construir la mediatriz, 00:01:00
pues que mejor que utilizar un compás que es un transportador de segmentos, que las distancias se mantienen. 00:01:06
Si yo pincho con el compás en los extremos A y B, está claro que tendré con un compás la misma distancia desde A que desde B 00:01:13
y la intersección de las dos circunferencias serán puntos que pertenezcan a la mediatriz. 00:01:23
Si yo cambio el compás y lo abro más o lo abro menos, cada vez iré obteniendo dos puntos que pertenecen a la mediatriz y así podría pintar muchos puntos de la mediatriz. 00:01:30
Está claro que la apertura del compás tiene que ser mayor que la mitad de la distancia B, ¿de acuerdo? 00:01:45
Así tendríamos, y así es como solemos dibujar la mediatriz. 00:01:51
Y así es como vemos que cuando nosotros dibujamos la mediatriz, que pasa por todos esos puntos, la recta, que pasa por todos esos puntos, 00:01:56
nos damos cuenta que es perpendicular y por la definición del lugar geométrico que hemos dado, tiene que cortar en el punto medio del segmento AB. 00:02:04
Y esta es la estrategia que vamos a utilizar para calcular la ecuación de la mediatriz de un segmento. 00:02:12
Podemos hacerlo de dos maneras, como la distancia de A a B, que sea la misma que A a B, 00:02:20
o como la recta perpendicular que pasa por el punto medio, que es la manera más sencilla. 00:02:28
Vamos a ver si somos capaces de verlo de las dos maneras. 00:02:34
Lo primero que vamos a hacer es, para poder hallar la perpendicular, calcular la recta que pasa por A y por B. 00:02:38
Para ello necesitamos un vector y vector. 00:02:47
Si yo hago el vector AB, 3 menos 1, 2, 2 menos 4, menos 2. 00:02:51
El vector AB, uno de los vectores y vectores de la recta que pasa por A y por B, es 2 menos 2. 00:03:00
Podemos si queréis hoy utilizar la ecuación continua para hallarlo, sería más fácil directamente intentar darnos cuenta que si el vector AB es 2-2 y el perpendicular sería 2-2 o 1-1 y por tanto podríamos sacar de ahí la ecuación general o implícita. 00:03:08
Pero para que lo veáis más sencillo y que no hagamos nada más, pues hoy vamos a utilizar la forma continua. 00:03:31
Si yo utilizo la forma continua, quiero que pase por el punto 1, 4 y el vector y vector fuera 2, menos 2, ni siquiera lo voy a simplificar, 00:03:38
pues podría trabajar con esto simplemente para que cojáis confianza, más 2, 2 y menos 8. 00:03:49
de paso hacemos un pequeño ejercicio de sacar la ecuación ahí, voy a pasar todo a la derecha para que me quede positivo, menos 10 igual 0, lógicamente esto es muy importante, al ver que todos los coeficientes son pares, pues divido todo por 2 y ya tendría la ecuación de la recta que pasa por A y por B, 00:04:01
Fijaros que si sustituyo 1, 4 o si sustituyo 3, 2 se cumple la ecuación. 00:04:28
Así que ya tengo la ecuación de la recta que pasa por A y por B. 00:04:34
Ahora necesitaríamos el punto medio AB. 00:04:39
El punto medio AB, muy sencillo, ya sabéis que simplemente sale de hacer la semisuma de las coordenadas. 00:04:41
Cuidado con esto, que aprenderse esto es muy rápido para hallar el punto medio, 00:04:51
pero si quiero dividir un segmento en tres partes iguales puede llevar a equivocación. 00:04:55
1 más 3, 4 entre 2, 2 y 4 más 2, 6 entre 2, 3. 00:05:02
Es decir, el punto M va a ser 2, 3. 00:05:11
Ya tengo mi punto medio y simplemente ahora tengo que hacer la perpendicular a la recta que me han dado por el punto medio. 00:05:16
si yo cojo que el vector perpendicular 00:05:26
serán los coeficientes de la x y de la y 00:05:29
tengo que darle la vuelta 00:05:32
y cambiar uno de ellos de signo 00:05:35
así que sería 1 menos 1 00:05:37
o hasta podría utilizar sabiendo que ahora es perpendicular 00:05:41
no habría necesitado hacer todo esto 00:05:43
y directamente lo habría podido poner 00:05:46
esto pongo 1 menos 1 00:05:48
por x menos 2 00:05:53
y por y menos 3, no sé si os dais cuenta 00:05:55
de que me habría ahorrado todo esto 00:05:59
porque en realidad no necesito la ecuación de la recta 00:06:02
que pasa por a b, simplemente esto para tener 00:06:05
los coeficientes, vale 00:06:08
el vector a b va a ser perpendicular 00:06:11
el vector que va de a b perpendicular a la recta 00:06:13
perpendicular que estamos buscando 00:06:17
esto me quedaría x 00:06:20
falta el igual a cero para que sea una ecuación 00:06:23
x menos y 00:06:26
menos dos más tres 00:06:27
más uno 00:06:30
igual a cero, comprobamos que pasa por el punto 00:06:32
dos tres 00:06:34
y esta recta es 00:06:35
la ecuación de la mediatriz 00:06:38
¿vale? 00:06:40
así de fácil y así de 00:06:42
simple, incluso 00:06:44
solo con hacer esto y 00:06:45
tener el vector a b nos podríamos 00:06:48
haber ahorrado también esto 00:06:50
simplemente es para que lo entendáis 00:06:52
pero luego en la práctica se explica y ya está 00:06:54
siguiente, ¿cómo lo podríamos haber hecho? 00:06:59
por igualdad de distancias 00:07:02
si yo pongo la distancia de un punto P a A 00:07:04
tiene que ser igual que la distancia de un punto P a B 00:07:10
si recordamos la ecuación de la distancia entre dos puntos 00:07:14
Pues esto sería la raíz cuadrada de x menos 1 al cuadrado más y menos 4 al cuadrado y esto sería la raíz cuadrada de x menos 3 al cuadrado más y menos 2 al cuadrado. 00:07:19
Las raíces se pueden ir, hago ya los cuatro binomios, cuidado con esto de hacer los binomios, el cuadrado de un binomio es una identidad notable, cuidado. 00:07:37
sería x cuadrado menos 2x más 1 00:07:52
y cuadrado menos 8y más 16 00:07:56
x cuadrado menos 6x más 9 00:08:00
y cuadrado menos 4x más 4 00:08:04
toda esa ecuación 00:08:07
pues se me va a cancelar las x cuadrado 00:08:09
se me van a ir las y cuadrado 00:08:13
aquí tengo, si queréis que empecemos por la x 00:08:15
menos 2x, este menos 6x 00:08:18
esto es una y, perdón 00:08:22
menos 2x menos 6x me queda 4x 00:08:25
las y es, pues tenemos menos 8y 00:08:29
menos 4y menos 4y 00:08:35
y los números tendríamos 17 en la izquierda 00:08:39
13 en la derecha más 4 00:08:43
igual 0, lo que no es muy difícil ver 00:08:47
que si divido por 4 pues me vuelve a quedar 00:08:51
la ecuación que teníamos al principio 00:08:54
lógicamente por definición 00:08:58
del lugar geométrico sería esta la manera de entenderlo 00:09:03
una vez que hemos visto que es la mediatriz 00:09:07
que es la perpendicular por el punto medio pues es mucho más sencillo esto 00:09:11
no hace falta hacer esos pasos 00:09:15
El vector AB, como tiene que ser perpendicular a la mediatriz, 00:09:20
puede utilizar las coordenadas del vector AB como coeficientes de la mediatriz. 00:09:25
Y espero que os haya servido. 00:09:35
Materias:
Matemáticas
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
744
Fecha:
26 de enero de 2020 - 20:07
Visibilidad:
Público
Centro:
IES CARMEN CONDE
Duración:
09′ 39″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
157.35 MBytes

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