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Trigonometría: 34.Signo y crecimiento de las razones trigonométricas - Contenido educativo
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- Estudio detallado del signo y el crecimiento de las razones trigonométricas por cuadrantes.
Se recomienda visualización a pantalla completa.
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En este vídeo vamos a estudiar el signo y el crecimiento de las razones trigonométricas
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de un ángulo cualquiera cuadrante a cuadrante de una forma muy detallada.
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Es importante recordar que dado el punto P, ese punto que decíamos en su momento que
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era la clave de la definición de razón trigonométrica de un ángulo cualquiera, ese punto en el
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cual el segundo lado del ángulo cortaba la circunferencia cronométrica, dado ese punto
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su segunda coordenada, la coordenada Y, es el seno del ángulo y la primera coordenada,
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la coordenada X, lo que hablaríamos de la anchura, pues es el coseno, de forma que la
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altura es el seno y la anchura es el coseno.
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También es importante recordar el modo de trazar la línea que nos daba la tangente
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del ángulo.
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Bien, teniendo todo esto claro, pues podremos seguir el vídeo de forma adecuada.
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Si no lo recordamos podemos volver atrás y repasar los vídeos anteriores.
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Esta es nuestra circunferencia cronométrica sobre la cual colocamos los ángulos más
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importantes y trazamos nuestro cuadro para trabajar cómodamente.
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Es un cuadro bastante claro en el cual vamos a poder aclararnos muy bien.
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Bien, empezamos el primer cuadrante y vamos a ver si no crecimiento, empezamos por el
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seno.
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Colocamos ese punto que iría asociado al ángulo de cero grados y cuyo seno es cero
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porque el seno de cero grados es cero.
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Ese punto iría asociado a otro ángulo y la altura, lo que decíamos el seno, sería
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el seno del ángulo que vendría con ese punto, que vendría asociado a ese punto, sería
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ese, cero treinta y tres.
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Ese sería cero cincuenta y seis, vemos que ha aumentado, cero ochenta y uno, aumenta
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a aumentar y ponemos como último punto este cuyo seno es uno, noventa grados, ese punto
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va asociado al ángulo de noventa grados, cuyo seno es uno.
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Si resumimos vemos que ha ocurrido, pues lo que ha ocurrido es que los valores del seno
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son positivos en el primer cuadrante y vemos que han ido en aumento, han ido creciendo.
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Por tanto, signo del seno en el primer cuadrante positivo y van creciendo, ¿bien?
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Vamos a por el coseno.
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El coseno, empezaríamos otra vez desde el punto asociado al ángulo de cero grados,
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el coseno de cero es uno.
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Vamos a ver cómo va variando para los otros puntos, para ese ángulo, el ángulo asociado
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a ese punto sería el coseno cero noventa y cinco, vemos que es positivo, vemos que
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sigue siendo positivo pero va bajando, va disminuyendo, sigue siendo positivo pero va
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disminuyendo hasta que llegamos a cero.
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Vemos como el coseno ha empezado en uno y ha ido disminuyendo hasta llegar a valer cero
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para noventa grados.
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Por tanto el signo del coseno en el primer cuadrante es positivo y el crecimiento en
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este caso es decreciente, ¿bien?
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Vamos ahora por la tangente, recordemos cómo se trazaba, para cero grados pues la tangente
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sería cero, los otros nos interesa partir de ahí, para este punto esa sería la línea
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trigonométrica que nos daba la tangente, tendría un valor de cero treinta y cinco,
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aumenta cero sesenta y siete, aumenta uno treinta y siete, vemos que cada vez es mayor,
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ya sabemos que para noventa grados, para pi medios radianes, no existe el valor de
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la tangente pero si nos vamos dando cuenta de que cada vez va siendo mayor y si forzamos
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un poquito la imaginación veremos que conforme más se aproximan los ángulos a noventa pues
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mayor va siendo la longitud de esa línea.
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Vemos además que los valores son positivos, luego entonces la tangente tiene un signo
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positivo y es creciente en este primer cuadrante, ¿bien?
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Pero la secante, la cosecante y la cotangente no vamos a trabajar con las líneas trigonométricas,
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esto excede un poco del nivel que nosotros pretendemos y además podemos obtener fácilmente
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tanto el signo como el crecimiento a partir de las razones seno, coseno y tangente.
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Si nos damos cuenta, claro, la secante es la inversa del coseno, por lo tanto tiene
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que tener el mismo signo, es decir, una razón y otra su signo no cambia, sigue siendo el
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mismo, por lo tanto la secante tiene el mismo signo que el coseno y sería más, sin embargo
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el crecimiento es justo el contrario, si unos números van siendo cada vez más pequeños
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los inversos de esos números van siendo cada vez mayores y al contrario, por tanto el crecimiento
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para la secante es creciente, ¿bien? Vamos ahora a la cosecante, la cosecante es la inversa
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del seno, por tanto tiene el mismo signo y con respecto al crecimiento es el contrario
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del seno, por tanto decreciente y la cotangente tiene el mismo signo que la tangente, positivo
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y crecimiento contrario, por tanto decreciente, ¿bien? Bien, hemos terminado por el primer
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cuadrante, vamos a por el segundo. Segundo cuadrante empezaríamos donde lo dejamos,
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ahí, 90 grados, el seno es, recordemos, 1, estamos ahí, vamos a ir colocando puntos
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asociados a ángulos del segundo cuadrante, vamos a ir viendo cómo va variando la altura
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de esos puntos, ¿bien? Este punto tendría la altura 0,81, estamos en la parte positiva
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del eje, por tanto vemos cómo los valores del seno van siendo cada vez más pequeños
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hasta llegar a 180 grados cuyo seno es 0, ¿bien? Vemos entonces que ha ocurrido, pues
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que ha empezado valiendo 1, va cada vez más pequeño, por lo tanto si bien los valores
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son positivos el crecimiento en este caso es decreciente, ¿vale? Para el coseno empezaríamos
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en 0, el coseno es 0 y vemos cómo ese valor es menos 0,59, si nos damos cuenta menos 0,59
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es un número más pequeño que 0, ¿bien? Este número es también más pequeño que
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el anterior, este número es más pequeño que el anterior y este número es menos 1
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también más pequeño que el anterior. Vemos entonces cómo hemos empezado con el coseno
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valiendo 0 y hemos terminado con el coseno valiendo menos 1, por tanto los valores del
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coseno son negativos, han sido todos negativos y han ido disminuyendo, ¿bien? Tenemos que
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tener en cuenta que alguien puede pensar, ¿si la longitud de los segmentos es cada
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vez mayor? Sí, pero los números son negativos puesto que estamos trabajando en la parte
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negativa del eje X y los números son cada vez más pequeños, ¿bien? Es decir, si empieza
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valiendo 0 y termina valiendo menos 1 esos números son cada vez más pequeños, si se
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deben 59 céntimos uno debe menos dinero que si debe un euro, es decir, estos valores son
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cada vez más pequeños, por tanto, signo negativo y decreciente, el coseno va decreciendo,
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¿bien? La tangente para ese ángulo sería menos 1 37, es negativa, tenemos que tener
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en cuenta que está en la parte negativa del eje Y, es negativa, el siguiente número asociado
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al punto, sería la tangente asociada al siguiente, es menos 0 67, este número es mayor que el
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anterior y este número es también mayor que el anterior, ¿bien? Vemos entonces que los
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valores de la tangente han sido cada vez mayores, la longitud de los segmentos es más pequeña
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pero los números son cada vez mayores puesto que son números negativos, esto a veces lleva
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un poco a contradicción, pero si lo pensamos un poco vemos que es perfectamente correcto,
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por tanto, la tangente es negativa y sus valores son crecientes en este segundo cuadrante,
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y sacamos los otros como hemos dicho antes, el signo es igual y el crecimiento el contrario,
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por ser funciones inversas, de manera que, signo de la secante igual que el del coseno
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y crecimiento el contrario, la secante es creciente, la cosecante es positiva, igual
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que el seno y el crecimiento es creciente, y la cotangente, mismo signo de la tangente,
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signo contrario, decreciente. Pasamos al tercer cuadrante y comenzamos con el seno, el seno
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vale cero y este sería el seno de ciento ochenta, vamos colocando puntos, nos damos
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cuenta de que sería menos cero treinta y tres, este sería otro punto asociado a un
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ángulo del tercer cuadrante, menos cero cincuenta y seis, menos cero ochenta y uno, vemos que
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estos números son cada vez más pequeños, son números negativos, por tanto, son cada
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vez más pequeños, a pesar de que la longitud de los segmentos sea mayor, pero tenemos que
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fijarnos bien en eso, y llegamos a menos uno, nos damos cuenta entonces de que el seno ha
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empezado valiendo cero, termina valiendo menos uno, por tanto los valores cada vez han ido
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siendo más pequeños, son además negativos y cada vez más pequeños, por lo tanto es
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decreciente, el coseno empieza valiendo menos uno, después es menos cero noventa y cinco,
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este número es mayor que menos uno, este número es mayor que menos cero noventa y
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cinco, menos cero ochenta y tres es mayor, este número también es mayor y por último
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llegamos a cero, vemos entonces que los valores del coseno son negativos pero han ido siendo
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cada vez mayores y han pasado de menos uno hasta cero, vemos entonces que el seno es
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negativo y va creciendo, el coseno en el tercer cuadrante crece, con respecto a la tangente,
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la tangente en el tercer cuadrante vemos que es positiva y si vamos fijándole las líneas
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que nos va dando la tangente son positivas y los valores son cada vez mayores, por tanto
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la tangente es positiva y los valores son crecientes, siendo cada vez mayor creciente,
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la secante ya hemos dicho antes que hay que hacer mismo signo, crecimiento contrario que
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el coseno, cosecante, mismo signo que el seno, crecimiento contrario, cotangente, mismo signo
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que la tangente, crecimiento contrario. Bien, vamos a por el cuarto cuadrante, empezaríamos
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con el seno y partimos del seno de doscientos setenta grados, tres pi medio radianes que
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es menos uno, vamos viendo como va variando, el siguiente ángulo tendría de seno menos
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cero ochenta y uno, el siguiente menos cero cincuenta y seis, el siguiente menos cero
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treinta y tres, vemos que estos números son cada vez mayores, hasta llegar a trescientos
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sesenta grados, dos pi radianes, hemos dado ya una vuelta de la circunferencia y el seno
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ahora es cero, entonces hemos empezado en menos uno, hemos terminado en cero, hemos
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visto que los valores son negativos pero que cada vez son mayores, luego signo negativo
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creciente, vamos ahora por el coseno, empezamos con coseno cero para doscientos setenta grados
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y a partir de ahí cero cincuenta y nueve, un número mayor, positivo, mayor, mayor, mayor
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hasta llegar a valer uno, vemos entonces que el coseno ha ido aumentando, son números
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positivos, va aumentando desde cero hasta uno, por tanto signo positivo creciente, vamos
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por la tangente, la tangente empieza valiendo esa cantidad, menos uno treinta y siete, el
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siguiente valor es mayor, hemos dicho antes que aunque el segmento es más pequeño pero
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son números negativos y este número es mayor que el anterior, este número es mayor también
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que el anterior, vemos por tanto que el signo de la tangente en el cuarto cuadrante es negativo
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pero sus valores son crecientes, y completamos ya lo poquito que nos queda de la misma manera
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que hemos hecho hasta ahora, secante, mismo signo del coseno, crecimiento distinto, cosecante,
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mismo signo del seno, el crecimiento en este caso es decreciente y por último la cotangente,
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mismo signo de la tangente y en este caso es decreciente. Bien, este video es un poquito
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largo pero creo que merece la pena repasarlo y estudiarlo en detalle para llegar a entender
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todo esto de una manera adecuada.
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- Idioma/s:
- Materias:
- Matemáticas
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- Primer Curso
- Autor/es:
- José Antonio Ortega
- Subido por:
- EducaMadrid
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 1343
- Fecha:
- 7 de noviembre de 2007 - 12:57
- Visibilidad:
- Público
- Enlace Relacionado:
- José Antonio Ortega
- Descripción ampliada:
Realizado por José Antonio Ortega, licenciado en Matemáticas por la Universidad de Granada y Profesor de Enseñanza Secundaria en el IES "Diego Gaitán" en Almogía (Málaga).
Extraído de Open Trigo.- Duración:
- 14′ 48″
- Relación de aspecto:
- 4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
- Resolución:
- 800x600 píxeles
- Tamaño:
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