Calculo del área y el volumen de una pirámide

Vamos a calcular el área y el volumen de una pirámide recta, en este caso de base cuadrada. 00:00:01

Entonces vamos a empezar por lo más fácil que es el área. 00:00:10

Vamos a suponer que los datos que me han dado en este caso, que podría haberlos conseguido yo, 00:00:14

de hecho yo lo he hecho así, midiendo, son las medidas de las aristas que veo. 00:00:20

Esto mide 6 centímetros, por tanto la base es un cuadrado de lado 6 y esta otra arista que va al vértice superior mide 8 centímetros. 00:00:24

Por tanto las cuatro aristas que van al vértice superior miden 8 centímetros. 00:00:33

Si queremos empezar por calcular el área conviene que pensemos en el desarrollo plano de esta figura. 00:00:39

Si yo abriera la pirámide como si pelara un plátano, lo que me queda es este desarrollo de la figura 00:00:46

Se podría desarrollar de distintas formas, pero en esta forma se ve muy bien 00:00:56

Entonces, vamos a comenzar a calcular el área 00:01:00

El área total de la figura será igual a la suma del área de la base más las áreas laterales 00:01:06

es decir, el área de cada cara, y como tengo cuatro caras laterales, pues multiplicado por cuatro. 00:01:18

Estas cuatro caras, como la pirámide es recta, son iguales. 00:01:23

Lo más sencillo de calcular es el área de la base, porque el área de la base se trata de un cuadrado, 00:01:27

por tanto es simplemente lado al cuadrado. 00:01:34

¿Y esto qué me queda? Cuando hago lado al cuadrado, este lado, hemos visto en la pirámide que mide seis centímetros, 00:01:38

Por tanto, esto será 6 al cuadrado, 36 centímetros cuadrados 00:01:45

Y ya sé lo que mide la base 00:01:54

Vamos a ver lo que mide un lado 00:01:57

Entonces, como cada lado, perdón, una cara 00:01:59

Cada cara es un triángulo 00:02:04

El área de un triángulo sabemos que es base por altura dividido entre 2 00:02:06

Aquí sabemos lo que mide la base 00:02:15

porque la base es esto de aquí que son 6 centímetros 00:02:18

pero no sabemos lo que mide la altura 00:02:24

entonces lo que vamos a hacer es dividir este triángulo 00:02:25

puesto que mi pirámide era recta 00:02:30

las caras sabemos que son triángulos isósceles 00:02:33

es decir, estos dos lados miden lo mismo que en mi pirámide eran 8 centímetros 00:02:37

esto mide 8 y esto mide 8 00:02:42

y por tanto cuando yo trazo la altura 00:02:45

se me forma un triángulo rectángulo 00:02:48

voy a quedarme por ejemplo con este triángulo de la derecha 00:02:51

por tanto tengo un triángulo cuya hipotenusa es 8 00:02:54

este cateto pequeño es la mitad de este lado 00:02:58

por tanto 3 centímetros 00:03:01

y la altura, que sería el cateto que me falta 00:03:03

no sé lo que vale, mide 8, mide x, perdón 00:03:06

pues vamos a calcularlo usando el teorema de Pitágoras 00:03:09

Sé que x al cuadrado más 3 al cuadrado es igual a 8 al cuadrado, es decir, x al cuadrado más 9 es igual a 64, el 9 está aquí sumando, pasa al otro lado restando, es decir, es igual a 55x al cuadrado. 00:03:12

Por tanto, X era la raíz de 55 y esto es aproximadamente 7,42 centímetros. 00:03:36

Por tanto, ya conozco la altura de mi triángulo y puedo calcular ya el área de la cara. 00:03:48

Esto era base. La base era todo el lado, 6 centímetros. 00:03:57

Por la altura que acabamos de ver, que es 7,42 partido por 2. 00:04:01

Hago esta multiplicación y luego divido entre 2 y me queda 22,26 centímetros cuadrados. 00:04:06

Entonces, ya sé lo que mide la base y lo que miden las caras, por tanto, el área total será el área de la base, 36, más 4 veces el área de cada cara, 22,26. 00:04:17

Hago primero la multiplicación, esto me queda 89,04 y ahora hago la suma y esto me queda 124,04 centímetros cuadrados. 00:04:34

Por tanto, ya tengo el área de mi figura. 00:04:49

Vamos a ver cómo calculamos ahora el volumen. 00:04:55

El volumen de una pirámide sabemos que es área de la base por la altura de la pirámide dividido entre 3. 00:04:57

Entonces, ¿qué es lo que pasa? 00:05:09

En mi pirámide he medido las aristas, pero la altura sería la longitud que va desde este punto, desde el vértice, hasta el centro de la base. 00:05:11

Y esa longitud no la conozco, pero la puedo calcular con los datos que tengo. 00:05:23

Vamos a imaginarnos que cortamos mi pirámide por la mitad, ¿vale? 00:05:27

De forma que la atravieso con un plano en vertical, que me corta esta cara por la mitad, la base por la mitad, esta otra cara por la mitad 00:05:34

Y entonces, si yo mirara mi pirámide cortada, ¿qué vería? Vería exactamente este triángulo 00:05:45

Este triángulo, ¿qué medidas tiene? 00:05:52

Si me fijo en mi figura, de base va a tener 6 centímetros 00:05:55

Y de lado va a tener la altura del lado, que habíamos dicho que era 7,42 00:06:02

Y como va a ser un triángulo isósceles 00:06:13

Porque fijaos que cuando corto mi pirámide, al cortar por aquí 00:06:18

Y al cortar por aquí, estoy cortando por las alturas de dos triángulos que son iguales. 00:06:22

Por tanto, tanto este lado como este lado miden 7,42. 00:06:27

Necesito la altura del triángulo, que eso coincidirá exactamente con la altura de mi pirámide. 00:06:34

Bueno, pues vuelvo a usar el teorema de Pitágoras. 00:06:42

Divido mi triángulo por la mitad. 00:06:45

Este lado de aquí mide 3. 00:06:49

la hipotenusa mide 7,42 00:06:51

y a la altura del triángulo que coincide con el cateto de este triángulo rectángulo 00:06:55

lo voy a llamar I porque no sé lo que vale 00:07:02

y vamos a calcular lo que vale I 00:07:03

yo sé por el teorema de Pitágoras que 00:07:06

I al cuadrado más 3 al cuadrado es igual a 7,42 al cuadrado 00:07:09

es decir, y al cuadrado más 9 es igual a 7,42, fijaos que salió de hacer la raíz de 55, si yo meto esto en la calculadora me va a salir 55, algo, bueno, yo por tomar una aproximación un poco mejor voy a coger directamente 55, puesto que este número lo había sacado de hacer la raíz cuadrada de 55, al elevarlo al cuadrado voy a decir que esto es 55. 00:07:18

El 9 lo quito al otro miembro y por tanto me queda que I al cuadrado es igual a 46 00:07:47

Hago la raíz cuadrada y será la raíz cuadrada de 46 que es aproximadamente 6,78 cm 00:08:00

Y con esto ya puedo calcular el volumen 00:08:09

El volumen de la figura es el área de la base, que la había calculado al principio, 36 centímetros, por la altura de mi pirámide, 6,78, dividido entre 3. 00:08:13

Entonces, si hago esta cuenta, primero la multiplicación, luego la división, veréis que sale 81,36 centímetros cúbicos. 00:08:31

Y aquí tengo el volumen de mi pirámide 00:08:41