Conservación de la energía en un campo gravitatorio - Contenido educativo
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En este vídeo se va a aplicar el principio de conservación de la energía
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para estudiar el movimiento de un cuerpo en el seno de un campo gravitatorio.
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El principio de conservación de la energía nos dice que la energía total en el movimiento de un cuerpo
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permanece constante cuando está en un campo gravitatorio.
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Si el cuerpo cambia entre dos posiciones, A y B del campo gravitatorio,
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se tiene que cumplir que la energía total en el punto A tiene que ser igual a la energía total en el punto B.
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Vamos a aplicar este principio de conservación a distintas situaciones que nos podemos encontrar.
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Una primera sería la caída libre, que podría ser un meteorito que se mueve en un campo gravitatorio,
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de tal forma que su energía, la energía total, permanece constante.
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Cuando está en una posición A tendrá una energía total que será cinética más potencial.
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Cuando está en otra posición B tendrá una energía que será cinética más potencial.
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La posición del meteorito será siempre el radio del planeta más la altura a la que se encuentra.
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Por el principio de conservación de la energía se tiene que cumplir que la energía total en el punto A
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tiene que ser igual a la energía total en el punto B, donde la cinética en el punto A
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más la potencia en el punto A tiene que ser la cinética en el punto B más potencia en el punto B,
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sustituyendo la expresión de la cinética por un medio de la masa por la velocidad en el punto A al cuadrado
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menos la energía potencial, gmm dividido por RA, tiene que ser igual a la energía cinética en el punto B,
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un medio de la masa por la velocidad al cuadrado, más la energía potencial, que vale menos gmm partido por RB.
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En esta ecuación tenemos implicadas cuatro variables, que son la velocidad y las posiciones del meteorito,
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por lo que con las cidas tres podemos calcular la cuarta.
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Otra situación, también bastante usual, es el lanzamiento hacia arriba desde la superficie del planeta
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para alcanzar una altura máxima.
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En el punto de altura máxima se tiene que cumplir que la velocidad tiene que ser nula,
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y por lo tanto la energía total en el punto B será igual a la energía potencial,
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y la energía total en el punto A será la energía aplicada más la energía potencial.
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Por el principio de conservación, la energía total en el punto A tiene que ser igual a la energía total en el punto E,
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sustituyendo, quedará que en el punto A tendremos la energía aplicada más la potencial,
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y en el punto B tendremos la energía potencial.
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La energía aplicada es a un medio de la masa por la velocidad aplicada, si es en forma de cinética,
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más la energía potencial, que es menos gmm dividido por RB,
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tiene que ser igual a la energía potencial en B, que es menos gmm partido por RB,
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más la altura a la que se encuentra.
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Aquí tenemos tres variables, con la utilidad 2 se puede calcular la tercera.
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Otra situación, también importante, es el lanzamiento hacia arriba desde la superficie de un planeta
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para poner un satélite en órbita a una altura h.
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La energía que tenemos que comunicar para ponerlo en órbita se llama energía de satelización,
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y también el principio de conservación de energía mecánica,
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se tiene que cumplir que la energía aplicada en el punto A, que es la superficie del planeta,
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tiene que ser igual, perdón, que la energía total en el punto A, que es en la superficie del planeta,
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tiene que ser igual a la energía total en el punto B, que es donde se encuentra orbitando.
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La energía total en el punto A, sea igual a la suma de la energía aplicada,
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que es la energía de satelización, más la energía potencial en el punto B,
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puesto que se encuentra orbitando, tendrá energía cinética orbital más energía potencial orbital.
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El principio de conservación de la energía, igualamos la energía total en el punto A a la que hay en el punto B,
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y nos quedará que la aplicada en el punto A más la potencial en el punto A,
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sea igual a la cinética en el punto B más la potencial en el punto B,
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teniendo en cuenta que la cinética más la potencial en B, la suma de ambas en la mecánica,
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nos quedará que la energía aplicada más la energía potencial en el punto A,
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sea igual a la energía mecánica en el punto B.
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La energía aplicada en el punto A es la energía de satelización,
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la energía potencial en el punto A vale menos gmm dividido entre el radio del planeta,
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y sea igual a la energía mecánica en el punto B, que es menos gmm dividido por dos veces el radio de la órbita.
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Por lo tanto, despejando la energía de satelización, será igual a gmm dividido entre el radio del planeta,
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menos gmm dividido entre dos veces el radio de la órbita.
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Otra situación muy usual es la energía que hay que aplicar en un satélite para cambiarlo de órbita.
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Bien, cuando está en una órbita de radio A, tendrá su energía cinética orbital más energía potencial orbital,
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y en la órbita de radio B tendrá su energía cinética orbital y su energía potencial.
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Bien, para cambiarlo de órbita en el punto A tendremos que aplicar una energía,
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por lo que la energía total en el punto A tendrá que ser igual a la energía total en el punto B,
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según el principio de conservación de energía, por lo que en el punto A tendremos la energía aplicada,
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más la energía cinética orbital, más la energía potencial orbital,
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en el punto A tendrá que ser igual a la energía cinética orbital más la energía potencial orbital en el punto B.
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Puesto que la energía cinética orbital más la potencial orbital en la mecánica,
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nos quedará que la energía aplicada en el punto A más la energía mecánica en el punto A
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tiene que ser igual a la energía mecánica en el punto B, sustituyendo la expresión de la energía mecánica,
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nos quedará que la energía mecánica más la energía aplicada más la energía mecánica en el punto A
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que será menos gmm dividido por 2rA, tiene que ser igual a la energía mecánica en el punto B
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igual a menos gmm dividido por 2rB.
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Despejando la energía aplicada, me quedará que será igual a gmm dividido por dos veces el radio de la órbita A
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menos gmm dividido por dos veces el radio de la órbita B.
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También es muy usual utilizar el principio de conservación de la energía mecánica
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para calcular la velocidad de escape, teniendo en cuenta que la energía de escape,
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la energía que hay que aplicarle a un satélite para que abandone el campo gravitatorio terrestre
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y que en ese punto de abandono su altura se considera que está en el infinito
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por lo que no tiene energía potencial y se supone que la velocidad en ese punto es cero.
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La energía total en el punto B será nula, será igual a cero, y la energía total en el punto A
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será la energía aplicada, que es la energía cinética, más la potencial.
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La energía total en el punto A tiene que ser igual a la que tiene el punto B,
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por lo tanto la energía aplicada en el punto A más la potencial tiene que ser igual a cero,
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por lo que la energía aplicada, sustituyéndola por la expresión de un medio de la masa
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por la velocidad al cuadrado y la energía potencial por la expresión menos gmm
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dividido entre el radio del planeta, nos queda que la velocidad de escape
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será igual a la raíz de 2gm dividido entre el radio del planeta.
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Aquí podemos también comprobar que la velocidad de escape es independiente de la masa del cuerpo
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y que depende exclusivamente de la masa del planeta y del radio del planeta.
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Si nos piden que calcule la velocidad de escape desde una altura determinada,
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en lugar de hacerlo en la superficie, la expresión será idéntica a la obtenida anteriormente,
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todo el planteamiento lo mismo, por conservación de la energía total,
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y en el punto A tiene que ser igual a el punto B,
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la energía aplicada más la potencial en A tiene que ser igual a cero,
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la medida de masa por velocidad de escape en el punto A menos gmm partido por RA
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será igual a cero, donde la velocidad de escape será la raíz de 2gm dividido entre RA.
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La diferencia con el caso anterior es que, en este caso,
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la posición del satélite o del cuerpo que estamos sacando fuera del campo gravitatorio
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se encuentra a una distancia que es el radio del planeta más la altura h sobre el planeta.
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Jorge Alfonso Moya Casas
- Subido por:
- Jorge Alfonso M.
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- Fecha:
- 6 de noviembre de 2023 - 13:45
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