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Clase 30-01-2025 Tema 5. Sistemas de ecuaciones - Contenido educativo

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Subido el 25 de enero de 2024 por Diego R.

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Bueno, pues comenzamos con la tercera y última sesión dedicada al álgebra, a las ecuaciones en concreto. 00:00:00
Hemos visto las ecuaciones de primer grado, las de segundo grado, y hoy nos vamos a centrar con los sistemas de ecuaciones. 00:00:08
Los sistemas de ecuaciones es cuando tenemos dos o más ecuaciones, con dos o más incógnitas, 00:00:17
y debemos descubrir quién se esconde debajo de cada una de esas incógnitas. 00:00:25
Ahí tenéis un ejemplo, dice x más y igual a 7, x menos y igual a 12. 00:00:34
Esto sería un sistema de ecuaciones. Tengo dos ecuaciones, ¿no? 00:00:41
La primera x más y igual a 7, la segunda x menos y igual a 12, y tengo dos incógnitas. 00:00:48
Tengo la x y tengo la y. Dos ecuaciones y dos incógnitas. 00:00:56
Pues lo que vamos a aprender va a ser a cómo resolver lo que se llama un sistema de ecuaciones. 00:01:01
Este conjunto, ¿vale? Es decir, ver quién es x y quién es y, para que se cumplan esas dos igualdades. 00:01:07
Para qué valores de x y de y eso se cumple. 00:01:14
Habrá casos en los que exista la solución y habrá casos en los que no exista solución, ¿vale? 00:01:17
Y vamos a ver distintas formas de resolverlo. 00:01:23
El día del examen yo no os voy a decir que lo resolváis de un método o de otro. 00:01:27
Yo lo que iba a querer es que sepáis resolverlo correctamente. 00:01:33
Y vosotras tendréis que decidir qué método de los que vamos a ver hoy vais a utilizar. 00:01:37
Lo conveniente es conocer todos los métodos. ¿Para qué? 00:01:43
Para poder elegir el que en cada caso nos resulte más sencillo utilizar. 00:01:48
Habrá casos en los que me puede resultar más sencillo un método y otras veces otro, ¿vale? 00:01:52
Entonces, bueno, en primer lugar aquí tenemos la definición. 00:01:57
Dice, una ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación que se escribe de la forma ax más bi igual a c. 00:02:01
Es decir, es una igualdad algebraica en la cual yo tengo dos incógnitas. 00:02:09
x, y, a, b y c van a ser coeficientes, van a ser conocidos, ¿vale? 00:02:14
Y yo tengo que ver para qué valores de x e y eso se cumple, ¿vale? 00:02:19
Toda ecuación lineal de esta forma ax más bi igual a c, si yo la representara en los ejes coordenados, 00:02:23
estamos hablando de una recta, ¿vale? 00:02:31
Es la expresión que tiene una recta. 00:02:34
Y una recta viene definida por dos puntos. 00:02:36
Yo tengo dos puntos y los uno. 00:02:38
No tengo que estar calculando todos los puntos de esa expresión, ¿vale? 00:02:41
Aquí veis, por ejemplo, que tenemos el ejemplo de 3x más i igual a 12. 00:02:47
Si yo doy valores, por ejemplo, digo, vale, pues cuando x vale 0, para que esta igualdad se cumpla, 00:02:52
¿quién tiene que ser i? Pues 3 por 0, 0. 00:02:59
0 más i igual a 12, pues i vale 12. 00:03:02
Aquí lo tengo desarrollado, x, 0, y, 12. Pues ya tengo un punto, el 0, 12, ¿vale? 00:03:05
Venga, otro punto, pues cuando la x vale 1, si yo sustituyo aquí, 3 por 1, 3, más i, i vale 9. 00:03:11
3 por 1, 3, i, no la conozco, la puedo despejar, ¿vale? aquí, y me da 9. 00:03:19
Pues el 1, 9 será otro punto, ¿vale? 00:03:26
Todos estos puntos yo los puedo representar. Este dibujo está mal hecho, ¿vale? 00:03:29
No estaría bien dibujado, porque es el 0, 12, me han puesto el 1, 12. 00:03:33
El 1, 9, está el 2, 9, ¿vale? 00:03:38
Si habría que dibujarlo bien, es una recta. 00:03:40
Que es lo que, de alguna forma, quiero que veáis. 00:03:42
Ahora bien, ¿cómo vamos a resolver un sistema de ecuaciones y qué casos nos vamos a encontrar? 00:03:45
En vez de trabajar con tantas letras por los coeficientes, ¿vale? 00:03:54
Es una letra genérica, es más fácil simplificarse en un caso particular para entenderlo. 00:03:58
La cosa está que un sistema de ecuaciones de dos incógnitas, ¿vale? 00:04:04
Dos ecuaciones con dos incógnitas, podemos encontrar los tres casos, ¿vale? 00:04:08
Puede que el sistema sea compatible determinado, o lo que es lo mismo, exista una única solución. 00:04:13
Puede que el sistema sea compatible indeterminado, lo que quiere decir que tiene infinitas soluciones. 00:04:21
La diferencia es que compatible significa que exista solución, ¿vale? 00:04:28
Determinado es que es una solución determinada. 00:04:32
Indeterminada significa que es que hay muchas, hay infinitas, ¿vale? 00:04:35
Ese va a ser el caso en el cual las dos ecuaciones, 00:04:40
aunque tengan distintos coeficientes, realmente sean la misma recta a la hora de dibujarla. 00:04:42
Si yo tengo dos rectas y las dos rectas se cortan en un único punto, la solución es única. 00:04:48
Si las dos rectas es la misma, son coincidentes, se solapan. 00:04:54
En ese caso todos los puntos son coincidentes. 00:04:58
Existen infinitas soluciones. 00:05:01
Y si dos rectas son paralelas, ¿cuándo se cortan? 00:05:03
Nunca. 00:05:07
Pues si dos rectas no se cortan nunca, esas dos ecuaciones no tendrían como sistema una solución. 00:05:08
Ese sería el caso de un sistema incompatible. 00:05:16
No tiene solución, ¿vale? 00:05:18
Entonces, sistema compatible determinado, una única solución, 00:05:21
y son dos rectas que se cortan en un único punto. 00:05:25
Sistema compatible indeterminado, infinitas soluciones. 00:05:28
Son dos rectas coincidentes, una superpuesta sobre la otra, ¿vale? 00:05:33
Y sistema incompatible no tiene solución, hablamos de dos rectas que son paralelas, ¿vale? 00:05:39
Gráficamente. 00:05:46
Aquí tienes ejemplos, ¿vale? 00:05:48
Estas dos rectas, x más y igual a 5, 2x más y igual a 9, si yo las representara, 00:05:50
que cuando lleguemos al tema de funciones vamos a aprender a representarlo bien, 00:05:55
se cortan en un único punto, este de aquí, el 4,1. 00:05:59
Este es el punto 4,1, si yo las dibujara. 00:06:03
Este otro, al dibujarlas, me sale siempre la misma recta. 00:06:06
Si os fijáis, mirad, x y 2x, el doble del coeficiente. 00:06:11
1 por 2, 2. 00:06:16
Y, y 2y, 1 por 2, 2. 00:06:18
Y 5 por 2, 10. 00:06:21
Lo que hago es multiplicar todos los coeficientes, en este caso por 2, ¿vale? 00:06:23
Y por eso es la misma recta, por así decir, al dibujarla. 00:06:27
Y aquí tengo otras dos rectas que en este caso son paralelas, no se cortan nunca. 00:06:30
Gráficamente se ve que no existe solución, ¿vale? 00:06:34
Ahora bien, en ocasiones dibujarlo puede ser una forma de resolverlo, 00:06:37
pero en muchas otras formas necesitamos una forma de proceder algebraica. 00:06:42
Igual que hacemos con las ecuaciones de primer grado que digo, 00:06:47
las letras a un lado, los números al otro, lo que estás sumando vas a estar restando, 00:06:50
pues aquí lo mismo, ¿vale? 00:06:54
Y para eso vamos a tener tres métodos para resolver los sistemas de ecuaciones. 00:06:56
Cuatro si contamos la resolución gráfica, ¿vale? 00:07:01
Entonces, tenemos los métodos que se llaman de sustitución, de igualación y de reducción, 00:07:07
más el método gráfico, ¿vale? 00:07:14
El método de sustitución, aquí tenemos un ejemplo que lo vamos a hacer en el papel. 00:07:18
Tenemos x más y igual a 30 y x menos y igual a 10. 00:07:25
En el método de sustitución lo que voy a hacer va a ser despejar en una de las dos ecuaciones, 00:07:31
yo despejo una de las imponentes, la x o la y. 00:07:37
Y una vez que la consigo despejar, es decir, yo tengo por ejemplo x igual a lo que toque. 00:07:41
Me voy a la otra ecuación y sustituyo x por lo que he calculado previamente, ¿vale? 00:07:45
Entonces, por ejemplo en esta, la estoy copiando en el papel y ahora paso ahí, 00:07:53
x más y igual a 30 y x menos y igual a 10. 00:07:58
Vamos a resolverla en este sistema de ecuaciones. 00:08:07
Yo debo elegir y de una de las dos ecuaciones despejo o la x o la y, la que quieras. 00:08:10
Y me da igual hacerlo de la primera ecuación que de la segunda. 00:08:16
Yo os recomiendo siempre que miréis el tema de los signos. 00:08:19
Cuantas menos signos negativos nos afecten a la hora de sustituir, menos posibilidad de equivocarnos. 00:08:22
También es importante cuando tengo la x o la y con coeficiente 1. 00:08:30
Porque cuando yo voy a despejar no me vale tener 3x igual. 00:08:34
Yo necesito tener x igual. 00:08:38
Luego si yo tengo 3x, yo sé que luego voy a tener que dividir. 00:08:41
Luego lo primero es buscar un coeficiente 1 o menos 1. 00:08:45
En este caso es fácil, porque los coeficientes en este caso son 1 o menos 1. 00:08:48
Pues yo me tiraría a despejar la x, porque además es positiva en ambos sitios. 00:08:53
Puedo despejar la y, pero aquí tengo un signo negativo. 00:08:58
Use la que use, el resultado va a ser el mismo. 00:09:03
Por ejemplo aquí voy a despejar la x de esta primera. 00:09:07
Pues ¿qué es lo que hago? 00:09:14
La y me tengo que llevar a la derecha. 00:09:16
Como está sumando pasa a restar. 00:09:18
x es igual a 30 menos y. 00:09:20
Pues la primera parte ya está. 00:09:23
He despejado la x. 00:09:25
¿Qué hago ahora? 00:09:27
Me vengo a la segunda ecuación. 00:09:29
Y voy a sustituir. 00:09:31
Donde tenga una x, voy a poner 30 menos y. 00:09:33
¿Vale? 00:09:39
En este caso, en vez de x, pues 30 menos y. 00:09:41
Y ahora continúo. 00:09:46
Menos y igual a 10. 00:09:48
De esta forma tengo una ecuación con una única incógnita. 00:09:52
La resuelvo. 00:09:56
¿Vale? 00:09:58
30 menos una y menos una y es menos 2y igual a 10. 00:10:00
El 30 pasa restando. 00:10:06
Luego me queda menos 2y es igual a 10 menos 30. 00:10:08
O lo que es lo mismo. 00:10:13
Menos 2y es igual a menos 20. 00:10:15
Este menos 2y me molesta. 00:10:20
Está multiplicando. 00:10:23
Pasa dividiendo. 00:10:25
Signo incluido. 00:10:27
Pues iba a ser menos 20 entre menos 2. 00:10:29
Menos entre menos, más. 00:10:33
Y 20 entre 2, 10. 00:10:35
Pues ya sé que la y vale 10. 00:10:37
Y vale 10. 00:10:39
Ahora tengo que ver quién es la x. 00:10:41
¿Dónde lo hago? 00:10:43
Aquí ya tengo la x despejada, ¿no? 00:10:45
Yo ahora cojo y vuelvo aquí arriba. 00:10:47
Y digo, oye, que yo aquí ya tengo la x en función de la y. 00:10:50
¿Quién es x? 00:10:53
30 menos y, pues 30 menos 10, 20. 00:10:56
Esta es la x. 00:11:01
Es decir, lo que yo estoy buscando es decir que la solución es x igual a 20 y igual a 10. 00:11:03
Esta es la solución. 00:11:12
¿Vale? 00:11:14
Puedo comprobarlo. 00:11:20
Si yo sustituyo x más y, 20 más 10, 30. 00:11:22
Se cumple. 00:11:25
Y aquí menos y, 20 menos 10, 10. 00:11:27
Podría haber cogido y haber despejado, por ejemplo, la y. 00:11:31
Pues podría haberlo hecho. 00:11:38
Podría haber hecho, despejo la y. 00:11:41
Aquí en la primera ecuación. 00:11:43
Bueno, aquí despejo y es igual a 30 menos x. 00:11:51
Vengo a la segunda ecuación y tengo x menos, digo menos y. 00:11:57
Este menos afecta a todo. 00:12:03
Afecta al 30 y afecta al menos x. 00:12:06
Pues donde hay una y, yo pongo todo esto. 00:12:10
¿Qué hago? Lo pongo entre paréntesis. 00:12:12
Menos 30 menos x. 00:12:14
Igual a 10. 00:12:17
Una ecuación con una única incógnita. 00:12:20
Este menos, recordad. 00:12:23
O este menos 1, porque aquí habría un menos 1. 00:12:25
Afecta al 30 y afecta al menos x. 00:12:28
¿Vale? 00:12:30
Luego tengo x y ahora, menos 30 menos 30. 00:12:31
Menos, menos x. 00:12:35
Menos por menos, más. 00:12:37
Más x. 00:12:40
Este menos cambia el signo a todo lo de dentro. 00:12:41
¿Vale? 00:12:43
Igual a 10. 00:12:44
Ahora tendría una x y otra x. 00:12:47
Una x y otra x son 2x. 00:12:49
Y en la derecha tendré 10 más 30. 00:12:51
O lo que es lo mismo, 40. 00:12:54
Es decir, x será 40 entre 2, 20. 00:12:56
x es 20. 00:13:01
¿Y quién es y? 00:13:03
Pues aquí arriba, y es 30 menos x, que es 30 menos 20, 10. 00:13:04
¿Qué es lo que me ha dado antes? 00:13:10
Aquí no se ha visto. 00:13:12
Se ha tapado. 00:13:14
Cuando aquí despejo 2x es igual a 40, x es 40 entre 2, que es 20. 00:13:16
Vengo arriba y sustituyo. 00:13:22
Y es 30 menos x, 30 menos 20, 10. 00:13:24
La misma solución. 00:13:28
¿Sí? 00:13:30
Método de sustitución. 00:13:32
Muy útil, muy práctico, cuando tenemos al menos un coeficiente 1. 00:13:35
En la x o en la y. 00:13:41
Porque nos vamos a quitar el poder llevar denominadores, que muchas veces es una lata. 00:13:43
¿Vale? 00:13:48
Método de sustitución. 00:13:50
¿Vale? Sustituir. 00:13:53
Despejo una letra y la sustituyo en la otra ecuación. 00:13:55
Vale. 00:14:00
Método de igualación. 00:14:02
El método de igualación va a tratar de despejar en las dos ecuaciones la misma letra. 00:14:06
¿Vale? 00:14:15
Y una vez que yo la despejo en las dos ecuaciones, tengo x igual y x igual, pues hablamos de la misma cosa. 00:14:17
Pues esas dos expresiones puedo igualarlas. 00:14:23
Y voy a tener dos expresiones, en este caso con la y, que son igualadas. 00:14:26
Con una única ecuación, que es la y, que consigo despejar. 00:14:32
En este caso, tenemos aquí un ejemplo desarrollado, que es 2x menos y es igual a menos 1. 00:14:36
Y 3x más y igual a 11. 00:14:46
Vamos a ir al papel, aquí, y lo vamos a resolver. 00:14:55
Yo necesito despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones. 00:15:01
A simple vista, por los coeficientes que os encontráis, si yo, los denominadores son un problema, 00:15:07
¿Cuál despejaréis? ¿La x o la y? 00:15:14
¿La y? 00:15:17
Yo iría a la y. 00:15:19
Vale, pues la despejamos. 00:15:21
Pues en esta primera tendré menos y es igual a menos 1 menos 2x. 00:15:23
¿Cómo cambio este menos? O sea, lo que está aquí multiplicando la y pasa dividiéndolo. 00:15:31
Cuando es menos 1, significa cambiar a todo de signo. 00:15:36
Si yo divido entre menos 1, no es que sea dividir entre 1, es el menos el que me afecta. 00:15:39
Luego, en este caso, y será 1 más 2x. 00:15:44
Dividir entre menos 1 es cambiar el signo a todo. 00:15:50
Por un lado, ya tengo la y despejada en la primera ecuación. 00:15:53
En la segunda, hago lo mismo. 00:15:57
Esta es más fácil porque el coeficiente es 1 positivo. 00:16:00
Y es igual a 11 menos 3x. 00:16:03
Ya tengo dos expresiones para la y. 00:16:09
Como la solución es la misma, estas dos expresiones tienen que ser iguales. 00:16:13
Por eso se llama igualación en el método. 00:16:18
Y ahora es igual o es decir, por un lado, 1 más 2x tiene que ser igual a la otra expresión. 00:16:20
11 menos 3x. 00:16:28
Una ecuación con una única incógnita. 00:16:31
Pues la resolvemos. 00:16:36
Letras a un lado, números al otro. 00:16:38
2x más 3x a la izquierda. 00:16:41
Y 11 menos 1 a la derecha. 00:16:45
2 más 3, 5x. 00:16:49
11 menos 1, 10. 00:16:52
Y este 5 está aquí multiplicando. 00:16:56
Lo que está multiplicando pasa dividiendo. 00:16:59
Luego x será 10. 00:17:02
Entre 5, 2. 00:17:05
x vale 2. 00:17:08
¿Quién es y? 00:17:10
Me voy a cualquiera de las dos expresiones en las que yo quiera. 00:17:12
Y sustituyo. 00:17:15
¿Puedo irme a esta que es positiva, por ejemplo? 00:17:17
1 más 2x. 00:17:20
Si yo tengo y es igual a 1 más 2x, pues será 1 más 2 por x. 00:17:22
x ahora hemos dicho que es 2. 00:17:29
Pues 1 más 2 por 2. 00:17:31
1 más 4, o lo que es lo mismo, 5y. 00:17:34
¿Puedo comprobarlo? 00:17:41
Pues sí. A ver. 00:17:43
2 por x, 2 por 2, 4. 00:17:45
4 menos y, y vale 5. 00:17:47
4 menos 5, menos 1. Se cumple. 00:17:49
Segunda ecuación. 3 por x, pues 3 por 2, 6. 00:17:52
6 más y, y vale 5. 00:17:56
6 más 5, 11. Se cumple. 00:17:58
Podría haber elegido resolver, en este caso, 00:18:01
o despejar, mejor dicho, la x. 00:18:06
Sí. No pasa nada. 00:18:09
Otra cosa está que los números nos aparezcan luego denominadores. 00:18:12
Si yo despejo la x, fijaros, ¿qué me quedaría? 00:18:18
2x es igual a menos 1 más y. 00:18:22
Y este 2 está multiplicando. 00:18:26
Tiene que pasar dividiendo. 00:18:28
Es decir, x será menos 1 más y. 00:18:31
Todo ello partido de 2. 00:18:35
Ya tengo despejada 1. 00:18:37
En la otra, 3x será igual a 11 menos y. 00:18:40
Pues el 3 que está multiplicando pasa dividiendo. 00:18:47
Es decir, x será 11 menos y partido de 3. 00:18:52
Ya tengo dos expresiones para la x. 00:18:59
Estas dos expresiones tienen que ser iguales. 00:19:03
Igualamos. Método de igualación. 00:19:05
Menos 1 más y partido de 2 es igual a 11 menos y partido de 3. 00:19:09
¿Dónde está aquí la dificultad? 00:19:19
En que me tengo que cargar primero estos denominadores. 00:19:22
¿No? 00:19:26
Puedo irme a buscar el mínimo como un múltiplo, como decía en las fracciones. 00:19:28
Si pongo los dos con el mismo denominador, luego ya lo tacho. 00:19:33
Yo puedo decir, vale, 2x3 es 6. 00:19:36
O directamente, si existe otra forma, multiplicar en cruz. 00:19:39
Porque aquí no hay sumas, no hay restas. 00:19:42
Yo puedo multiplicar directamente en cruz como cuando estábamos con fracciones proporcionales. 00:19:45
¿Vale? 00:19:51
Puedo multiplicar 3 por el menos 1 más y y 2 por el 11 menos y. 00:19:53
Que es lo mismo que si yo pongo... 00:19:58
Lo voy a hacer con el 6, que es multiplicarlo por 3x6. 00:20:01
Es lo mismo. 00:20:05
6 entre 2 es 3. Pues 3 por lo de arriba. 00:20:07
3 por menos 1 más y. 00:20:10
En la segunda, 6 entre 3 es 2. 00:20:13
2 por lo de arriba, pues 2 por 11 menos y. 00:20:16
Como es una igualdad de dos fracciones y los denominadores son los mismos, 00:20:20
pues los numeradores son iguales. 00:20:23
Por eso nos decía que podíamos directamente multiplicar en cruz, además. 00:20:25
¿Vale? 00:20:30
Luego, ¿qué me queda? 00:20:31
3 por menos 1 más y igual 2 por 11 menos y. 00:20:32
Ahora, aunque hemos quitado los denominadores, hay que quitar los paréntesis. 00:20:39
Multiplicamos 3 por menos 1 menos 3. 00:20:46
3 por y, pues 3y. 00:20:50
Igual 2 por 11, 22. 00:20:52
2 por menos y, menos 12. 00:20:56
Una ecuación con una única incógnita, que es la y. 00:21:02
Ya no hay paréntesis, ya no hay denominadores. 00:21:05
Despejo la y. 00:21:08
Letras a la izquierda. 00:21:11
Pues 3y y el menos 2y pasa sumando, más 2y. 00:21:13
A la derecha, 22 más 3. 00:21:16
3 más 2, 5, 5y. 00:21:20
5y es igual a 25, o lo que es lo mismo, y es 25 entre 5. 00:21:23
Es decir, y vale 5. 00:21:30
¿Y vale 5 cuánto vale la x? 00:21:35
Cojo cualquiera de las dos expresiones que tenemos aquí arriba. 00:21:37
¿Vale? 00:21:40
Por ejemplo, me traigo esta de aquí, que era x igual 11 menos y partido 3. 00:21:41
Sustituyo. 00:21:47
11 menos y, y vale 5, pues 11 menos 5 partido 3. 00:21:48
6 entre 3, 2. 00:21:53
x vale 2. 00:21:56
Luego, x2 y 5, que era lo que nos había dado antes. 00:21:58
x2 e y5. 00:22:02
Pero fijaros que según cojamos la elección de despejar la x o despejar la y, 00:22:04
el camino puede ser más corto o más largo. 00:22:10
En el primero no había paréntesis, no había denominadores. 00:22:13
Es cierto que tenía la suerte de que tanto la y, aunque sea más o menos, 00:22:18
tengo un signo menos, pero el coeficiente es 1 como valor absoluto. 00:22:23
Cuando me voy a despejar la y, ya tengo un 2 y un 3 que me va a generar unos denominadores. 00:22:27
¿Vale? 00:22:33
Método de igualación. 00:22:35
Y ahora vamos a ir... 00:22:39
Bueno, aquí viene también, pues eso, resuelto y explicado el mismo ejercicio. 00:22:41
Método de reducción. 00:22:46
En el método de reducción, yo lo que voy a tener que hacer va a ser conseguir 00:22:50
ecuaciones que sean equivalentes. 00:22:55
Ecuaciones equivalentes son aquellas que tienen la misma solución. 00:22:57
Como es una igualdad, si yo multiplico todos los términos de la igualdad, 00:23:01
la izquierda y la derecha, por un mismo término, no me cambia la solución. 00:23:05
Yo voy a poder jugar con eso. 00:23:10
¿Con qué finalidad? 00:23:12
Con la finalidad de poder, digamos, sumar y restar expresiones algebraicas. 00:23:14
¿Vale? 00:23:18
Sumar igualdades. 00:23:19
Como mejor se va a ver, va a ser con... 00:23:21
Igualmente, con un ejemplo desarrollado. 00:23:23
Voy a copiarlo en el papel. 00:23:25
Aquí viene en pantalla. 00:23:27
2X más 2Y es igual a 25Y. 00:23:29
2X más 3Y igual a 40. 00:23:34
Bien. 00:23:42
Yo lo que iba a necesitar va a ser que 00:23:50
la misma incógnita, o bien la X o bien la Y, 00:23:54
tengan en la X, ambas, el mismo coeficiente. 00:23:58
¿El mismo? 00:24:03
O el opuesto. Es decir, ¿me vale tener 2Y-2? 00:24:05
¿Vale? Eso me vale. 00:24:09
¿Me da igual tener 2Y2 o que una sea 2 y otra menos 2? 00:24:11
Pero que al final la parte numérica sea la misma. 00:24:14
Para poder al final hacer una suma o una resta. 00:24:17
¿Vale? 00:24:20
A mí no me vale tener 3Y2. 00:24:21
¿Vale? 00:24:24
Y en la parte independiente, me da igual. 00:24:25
Entonces, yo lo que se puede hacer es multiplicar, ¿vale? 00:24:28
Una o las dos ecuaciones, todos sus términos por un mismo número. 00:24:32
No cambia la solución. 00:24:36
¿Vale? 00:24:38
Si yo quiero tener... 00:24:41
Abajo mirad, tengo un 2. 00:24:43
Y aquí tengo un 1, ¿no? 00:24:45
¿Por qué tengo que multiplicar este 1 para tener un 2? 00:24:46
Por 2, ¿no? 00:24:50
Pues oye, esta la voy a multiplicar por 2. 00:24:51
Si esta la multiplico por 2. 00:24:53
Tengo 2X más 2 por 2, 4Y. 00:24:55
Igual 2 por 25. 00:25:01
50. 00:25:04
Multiplico todos los términos. 00:25:05
Y esta ecuación es una ecuación equivalente a la anterior. 00:25:07
¿Vale? Estas dos son equivalentes. 00:25:10
La solución no cambia la misma. 00:25:12
¿Vale? 00:25:14
La de abajo la copio. 00:25:15
Y tengo 2X más 3Y. 00:25:17
Igual a 40. 00:25:21
¿En qué consiste el método de reducción? 00:25:26
Que yo aquí voy a poder sumar o restar, según lo que me interese. 00:25:30
En este caso aquí voy a decir sumar o restar. 00:25:33
Restar. 00:25:35
Pero como es una igualdad, el valor total de la izquierda es igual al valor total de la derecha. 00:25:36
Es decir, voy a restar el mismo número. 00:25:41
Luego, no cambia la solución. 00:25:44
Yo sigo haciendo operaciones que cumplen la igualdad. 00:25:46
En este caso voy a restar. 00:25:49
Pues restamos todo. 00:25:51
2 menos 2. 00:25:53
Cero. 00:25:55
Se me van las X. 00:25:56
Resto 4 menos 3. 00:25:59
Una Y. 00:26:02
Una Y. 00:26:05
Igual 50 menos 40. 00:26:07
10. 00:26:11
Fijaros, me ha salido. 00:26:12
Hasta preparado. 00:26:13
Que no me queda 3Y igual a otra cosa y tengo que dividir. 00:26:15
La clave está aquí. 00:26:22
Al tener el mismo coeficiente, yo voy a poder restarlo. 00:26:23
Si hubiera tenido 2Y menos 2, en vez de restar, ¿qué hacía? 00:26:26
Sumar todo. 00:26:28
Una vez que he calculado la Y, ¿qué hago? 00:26:31
Me voy a cualquiera de todas estas ecuaciones en las que me interese más. 00:26:34
Y sustituyo la Y. 00:26:37
Voy a esta, que es la más sencilla del coeficiente, la primera. 00:26:39
X más 2Y es igual a 25. 00:26:42
Pues si la Y vale 10, tengo que X más 2 por 10 es 20. 00:26:46
Igual a 25. 00:26:53
Luego X será 25 menos 20, o lo que es lo mismo, X vale 5. 00:26:55
X es 5 y Y es 10. 00:27:02
Por el método de igualación. 00:27:06
Sí, reducción, lo he dicho mal, perdóname. 00:27:12
Método de reducción. 00:27:16
Dependiendo de los coeficientes, podrá interesar usar más una u otra. 00:27:31
Luego la de sustitución es quizás la más sencilla, muchas veces. 00:27:38
Porque estamos acostumbrados a despejo una letra y sustituyo. 00:27:42
Es a veces, a nivel inicial, la más sencilla. 00:27:48
La de igualación a veces puede resultarnos bastante útil. 00:27:54
Incluso la de reducción, si tenemos cierta soltura. 00:27:58
Y yo veo porque tengo que multiplicar. 00:28:00
También puede ser bastante mecánico. 00:28:03
Sobre todo, esta bien utilizada, no me van a salir ni denominadores ni paréntesis. 00:28:07
Por ejemplo, imaginar que tenemos... 00:28:13
Vamos a ver. 00:28:18
Me la invento aquí ahora mismo. 00:28:19
Al final lo que has hecho es ir buscando equivalentes. 00:28:24
Exacto, en todo momento voy buscando equivalentes, no hay más. 00:28:27
Tengo 3X más 4Y es igual a 7. 00:28:30
Y 5X más 6Y es igual a 11. 00:28:33
En esta, mirad. 00:28:41
Si yo pienso en sustitución. 00:28:43
Digo, despeje la X, despeje la Y y ya voy a arrastrar un denominador. 00:28:46
Porque los coeficientes no son uno. 00:28:50
Si me voy a igualación, voy a tener denominadores. 00:28:52
Sí o sí. 00:28:56
Claro, fíjate en los coeficientes. 00:28:58
No tengo unos y menos unos, que son, digamos, los fáciles de manejar. 00:29:00
Voy a tener denominadores, tengo que quitar los denominadores, multiplico en cruz. 00:29:04
Eso me va a llevar a paréntesis. 00:29:08
Y yo digo, vale, reducción. 00:29:11
Y aunque se haya puesto estos números, que no haya ni uno ni menos uno. 00:29:13
Un método muy fácil. 00:29:16
Yo quiero despejar la X o la Y. 00:29:18
¿Cuál queréis? 00:29:20
Que me cargue, que elimine. 00:29:21
La X. 00:29:24
Pues la X, vale. 00:29:25
¿Qué coeficientes tengo? 00:29:26
¿El 3 y el 5? 00:29:27
¿Sí? 00:29:29
Pues voy a multiplicar. 00:29:30
¿La primera? 00:29:31
Pues el coeficiente de abajo, por 5. 00:29:32
¿Y la de abajo por qué? 00:29:35
Por el coeficiente de arriba. 00:29:37
De esa forma me garantizo que tengo 3 por 5, 15X. 00:29:39
Y 5 por 3, 15X. 00:29:41
Pues, 15X más 4 por 5, 20Y. 00:29:44
Igual 7 por 5, 35. 00:29:49
La segunda, 5 por 3, 15X. 00:29:52
6 por 3, 18Y. 00:29:56
Y 11 por 3, 33. 00:30:00
Ahora ya puedo restar. 00:30:04
Yo ahora ya puedo restar. 00:30:07
¿Vale? 00:30:09
¿Sí? 00:30:10
Si a alguien no le gusta el restar así directamente, bueno, lo hago primero restando. 00:30:12
15 menos 15, se me va. 00:30:15
20 menos 18, 2Y. 00:30:17
No me suméis, ¿vale? 00:30:21
Que hay una resta aquí. 00:30:23
¿Sí? 00:30:24
Y 35 menos 33, 2. 00:30:25
Luego, y será 2 entre 2, o lo que es lo mismo, y vale 1. 00:30:31
¿Vale? 00:30:37
Podría haber cogido y haber dicho, venga, me voy a restar, si yo me guío mucho con los signos, 00:30:38
pues lo primero que voy a hacer va a ser a la de abajo, le cambio a todo el signo. 00:30:43
Lo que es positivo lo pongo negativo, y lo que es negativo lo pongo positivo. 00:30:48
Y digo, mira, pues 15X más 20Y igual a 35. 00:30:51
Y abajo, a todo le cambio el signo. 00:30:56
¿Era 15X? 00:30:58
Menos 15X. 00:31:00
¿Era más 18? 00:31:01
Pues menos 18Y. 00:31:03
¿Era más 33? 00:31:06
Pues pongo menos 33. 00:31:07
Y ahora lo que hago, me de restar va a ser sumar. 00:31:09
Es decir, mandar los signos que están literalmente escritos. 00:31:13
15 menos 15, fuera. 00:31:16
20 menos 18, 2Y. 00:31:18
35 menos 33, 2. 00:31:21
Y luego ya lo sumo antes. 00:31:24
Aquí al final, multiplicando los coeficientes cruzados, me quito denominadores, que muchas veces son una lata. 00:31:29
Me quito paréntesis. 00:31:34
Puede parecer más difícil, pero si pillo la idea de buscar ahí dos equivalentes con los coeficientes, 00:31:36
y luego ya me vengo a sustituir en cuál, en la que quieras. 00:31:42
¿Me vengo a la primera? 00:31:45
¿A 3X más 4Y igual a 7? 00:31:47
Pues tengo 3X más 4Y igual a 7. 00:31:49
Sustituyo este Y igual a 1, que hemos calculado. 00:31:53
Pues tendré 3X más 4 por 1, 4. 00:31:56
Igual a 7. 00:32:00
Este 4 pasa restando. 00:32:02
3X es igual a 7 menos 4. 00:32:04
3X es igual a 3. 00:32:08
Luego X es 3 entre 3. 00:32:10
O lo que es lo mismo, X, ¿vale? 00:32:13
X, 1 y 1. 00:32:17
Método de reducción. 00:32:22
En resumen, en el método de sustitución, 00:32:29
despejo una icónica en una ecuación y me voy a la segunda ecuación. 00:32:34
Y lo que hago es sustituir, cambio esa letra por lo que he calculado. 00:32:38
En el método de igualación, en las dos ecuaciones despejo 00:32:43
la misma incógnita, la X o la Y. 00:32:47
Y luego las igual. 00:32:50
Pero en ese, si los coeficientes no nos acompañan, 00:32:52
numéricamente puede ser un poco más tedioso. 00:32:55
Y en el método de reducción, lo que voy a tener al final va a ser 00:32:58
que calcular ecuaciones equivalentes, o lo que es lo mismo, 00:33:03
ajustar esos coeficientes para poder sumar o restar 00:33:06
las dos ecuaciones que he ido calculando 00:33:09
y cargarme o bien la X o bien la Y. 00:33:12
Si yo multiplico coeficientes cruzados, pues... 00:33:15
creo que es bastante sencillo, ¿vale? 00:33:20
Aunque a veces yo vea números y digo 00:33:24
es más difícil que si hay unos. 00:33:27
Pero es bastante mecánico, ¿vale? 00:33:29
¿Puede haber, por ejemplo, un ejercicio que te pida 00:33:33
utilizar el método de igualación? 00:33:37
A ver, claro, se os puede decir que lo resolváis 00:33:40
por un método concreto, ¿vale? 00:33:43
Pero si no se os dice nada, 00:33:45
hacedlo por el método que queráis, ¿vale? 00:33:47
Yo en el examen a lo mejor os pongo un sistema 00:33:50
y os digo resuélvelo por dos métodos diferentes. 00:33:53
Lo coge los dos que te dé la gana. 00:33:56
O a lo mejor os pongo un problema, 00:33:58
como los que vamos a ver ahora. 00:34:00
¿Cómo lo resuelves? Como quieras. 00:34:02
Si yo no te digo nada, usáis el método que queráis. 00:34:04
En los ejercicios que tenéis de cuestionarios, 00:34:07
de ejercicios ahí en el aula virtual, 00:34:10
pues si hay algunos que te dicen resuélvelos 00:34:12
por un método o por otro, ¿vale? 00:34:15
Pero los suyos que conozcáis, los tres métodos, 00:34:18
pero que luego podáis elegir 00:34:22
cuál es el que os resulta más fácil, más sencillo, 00:34:24
lo importante es que sepamos hacerlo, ¿vale? 00:34:28
Y luego el método gráfico que os decía, 00:34:31
que es dibujar en los ejes cortados, ¿vale? 00:34:34
Si a mí me dan dos ecuaciones, 00:34:37
x más y igual a 7 y x menos y igual a 2, 00:34:39
lo que hay que hacer es dibujarlas 00:34:42
y ver cuál es el punto de encuentro, ¿vale? 00:34:44
Para dibujarlas basta que yo calcule un punto. 00:34:47
Digo, si la x vale 0, 00:34:50
en la primera ecuación, x vale 0, 00:34:52
¿cuánto vale y? Pues 7. 00:34:54
0 más y igual a 7, y vale 7. 00:34:56
Punto 0, 7, 0, 7. 00:34:58
Y dibujo el puntito. 00:35:00
Me voy abajo y he dicho 0, 7, 00:35:02
pues 0 menos... 00:35:04
Perdón. 00:35:06
Si la y vale 0, pues si la y vale 0, 00:35:07
x más 0 igual a 7. 00:35:10
x, 7 en la primera ecuación. 00:35:12
Pues el punto 7, 0, x, 7, y 0. 00:35:14
¿Tengo estos dos puntos? 00:35:18
Los uno, ¿vale? 00:35:20
Segunda ecuación, hago lo mismo. 00:35:22
Cuando x vale 0, ¿cuánto vale la y? 00:35:24
Cuando y vale 0, ¿cuánto vale la x? 00:35:26
Son dos puntitos. 00:35:28
Y a continuación los uno. 00:35:30
Puedo probar cuando x vale 1, 00:35:32
¿cuánto vale y? También. 00:35:34
Pero a lo mejor los cálculos son más complicados. 00:35:36
Claro, que yo los dibuje, 00:35:38
tengo que dibujarlos muy bien para ver 00:35:40
exactamente cuál es el punto de corte. 00:35:42
¿Vale? 00:35:44
Entonces, si yo lo dibujo, 00:35:46
a lo mejor es que no sé si es 4,5 00:35:48
o es 4,3 a la hora de dibujarlo. 00:35:50
Este método yo no os lo voy a pedir. 00:35:52
Pero sí es importante que, sobre todo, 00:35:54
lo entendáis. 00:35:56
¿Vale? Para entender el significado 00:35:58
de lo que es un sistema de ecuaciones. 00:36:00
¿Sí? 00:36:02
Claro, esto, además, 00:36:04
nos puede llevar a 00:36:06
hacer problemas. 00:36:08
Que los problemas, pues, 00:36:10
siempre cuestan un poquito más. 00:36:12
La mayor dificultad del problema 00:36:14
no es resolverlo, 00:36:16
es platearlo. 00:36:18
Es decir, tenemos 00:36:20
un párrafo ahí que nos cuenta 00:36:22
algo y yo tengo que 00:36:24
escribir un sistema de ecuaciones. 00:36:26
Yo tengo que decidir a qué voy 00:36:28
a llamar X y a qué voy a llamar Y. 00:36:30
Y una vez que yo tenga 00:36:32
el sistema de ecuaciones, ya tengo que resolverlo. 00:36:34
Por el método que queráis. 00:36:36
¿Vale? 00:36:38
Lo difícil que es plantearlo. 00:36:40
¿Vale? 00:36:42
Algunos ejemplos que tenéis por aquí 00:36:44
resueltos, ¿vale? 00:36:46
Me dice 00:36:48
las edades de dos hermanos 00:36:50
es 29 años. 00:36:52
Pues yo tengo 00:36:54
dos hermanos. La edad de uno 00:36:56
lo voy a llamar X, ¿no? 00:36:58
Y la edad de otro hermano lo voy a llamar 00:37:00
Y. Mirad, aquí viene 00:37:02
explicado. ¿Vale? 00:37:04
Dice, hermano mayor, hoy 00:37:06
lo voy a llamar X. Y al menor lo voy a llamar 00:37:08
La suma de las edades es 29. 00:37:12
Pues X más Y es 00:37:14
29. Ya tengo una ecuación. 00:37:16
Sigo leyendo. 00:37:18
Dice, dentro de ocho 00:37:20
años, la edad del 00:37:22
mayor será el doble que la edad del menor. 00:37:24
hay muchas palabras y 00:37:28
esto ya parece que se complica. ¿Vale? 00:37:30
Entonces, dice, 00:37:32
dentro de 00:37:34
ocho años, vamos a ver, si yo ahora tengo 00:37:36
uno tiene X años y otro tiene Y, 00:37:38
esto hoy, 00:37:40
en ocho años 00:37:42
¿Cuántos años tiene cada uno? Pues el primero 00:37:46
¿Cuánto va a tener? Ocho años más. 00:37:48
Va a tener X más ocho. 00:37:50
Y el otro ¿Cuánto va a tener? 00:37:52
Ocho años más. Y más 00:37:54
ocho. Esta es la edad que van a tener. 00:37:56
Y ahora sigo leyendo. 00:37:58
Y me dice, 00:38:00
dentro de ocho años, 00:38:02
la edad del mayor 00:38:04
va a ser el doble 00:38:06
que la del menor. 00:38:08
La edad de uno es el doble que la del otro. 00:38:10
Pues si, por ejemplo, decido que 00:38:12
el mayor va a ser X, 00:38:14
yo puedo decidir que, bueno, pues 00:38:16
X va a ser el mayor e Y va a ser 00:38:18
el menor. O al revés, como yo 00:38:20
quiera, no me hace. 00:38:22
Dice, la edad del mayor es el doble que la del menor. 00:38:24
¿Cuántos años tiene el mayor? 00:38:26
X más ocho. 00:38:28
Pues X más ocho 00:38:30
es igual a, ¿dos veces 00:38:32
el qué? La edad 00:38:34
del otro, que es 00:38:36
Y más ocho. 00:38:38
Y más ocho. Pues esta es la segunda ecuación. 00:38:40
Que no la tengo preparada 00:38:42
posiblemente para, 00:38:44
como antes que echaría, tres X 00:38:46
más dos Y igual a veinticinco. 00:38:48
Está la X a un lado, la Y a otro. 00:38:50
¿Vale? Pero yo ya tengo 00:38:52
dos ecuaciones. La primera que decía que era 00:38:54
X más Y 00:38:56
igual a veintinueve, creo que era. 00:38:58
Veintinueve, sí. 00:39:00
Igual a 00:39:02
veintinueve. Y la otra 00:39:04
que es X más ocho 00:39:06
igual dos por Y 00:39:08
más ocho. 00:39:10
Sistema de ecuaciones de dos 00:39:12
ecuaciones con dos incógnitas. 00:39:14
Que quiero, perdón, aquí 00:39:18
el paréntesis me falta. 00:39:20
No me quiero 00:39:22
el paréntesis. Pues antes de plantearme 00:39:24
qué método uso, digo yo me voy a quitar el paréntesis 00:39:26
y me lo voy a poner con las X y Y a la izquierda 00:39:28
y ya veo lo que hago. 00:39:30
Pues oye, lo cambiamos. Digo X más Y igual a 00:39:32
veintinueve. Y este 00:39:34
de aquí tendré X más ocho 00:39:36
igual 00:39:38
dos Y más ocho. Dos Y más dieciséis, 00:39:40
perdón. Dos por Y 00:39:42
dos Y. Dos por ocho, dieciséis. 00:39:44
O lo que es lo mismo. 00:39:46
X más Y 00:39:48
igual a veintinueve. 00:39:50
Y ahora si muevo 00:39:52
la Y a la izquierda tendré X menos 00:39:54
dos Y igual 00:39:56
y el ocho pasa restando. Dieciséis menos 00:39:58
ocho, ocho. 00:40:00
Bueno, aquí parece que se asemeja 00:40:02
más a como lo teníamos antes 00:40:04
organizado. Pero yo podría haber decidido 00:40:06
desde el comienzo calcular ya la 00:40:08
no sé, la X y sustituir, por ejemplo. 00:40:10
Con esto yo ya elijo 00:40:12
qué método usar para resolver. 00:40:14
¿Vale? Lo difícil es 00:40:18
plantearlo. 00:40:20
¿Qué método usaríais aquí? 00:40:22
En la reducción. En la reducción 00:40:24
viene muy bien porque tengo, uy, uno y uno. 00:40:26
Si yo resto, me pilla 00:40:28
muy bien. Si yo aquí resto 00:40:30
o le cambio de signo a todo lo de abajo y 00:40:32
luego sumo. 00:40:34
Una X menos una X. 00:40:36
Pues me van las X. 00:40:38
Una Y y cuidado con esto. 00:40:40
Menos menos dos Y. 00:40:42
Menos por menos 00:40:44
más. Luego uno más dos 00:40:46
tres Y. 00:40:48
Igual. 00:40:50
Veintinueve menos ocho. 00:40:52
Veintiuno. 00:40:54
Luego Y 00:40:56
va a ser veintiuno entre tres 00:40:58
siete. 00:41:00
Ya tengo quien es Y. 00:41:02
¿Quién es X? 00:41:04
Pues mira, la fácil es usar la de X más Y 00:41:06
igual a veintinueve. 00:41:08
Como tengo X más Y igual a veintinueve 00:41:10
si la Y vale siete 00:41:12
X más siete es veintinueve 00:41:14
X será 00:41:16
veintinueve menos siete o lo que es 00:41:18
lo mismo, X será 00:41:20
veintidós. 00:41:22
¿Cuántos años tienen los hermanos actualmente? 00:41:24
Pues uno tiene siete años 00:41:26
y el otro tiene veintidós años. 00:41:28
¿La dificultad? 00:41:30
El planteamiento. 00:41:32
Cuando me habla de 00:41:34
dentro de cinco años o hace 00:41:36
tres años, pues tendré que ponerme 00:41:38
¿Cuál es la edad hoy? ¿Cuál es la edad 00:41:40
en ese otro momento? 00:41:42
Y luego ya intentaré escribir la ecuación. 00:41:44
¿Vale? 00:41:46
Sí. Hoy tengo X 00:41:48
¿Hace tres años cuántos años tenía? 00:41:50
X menos tres. 00:41:52
Una vez que tome la referencia de quién es X e Y 00:41:54
los demás será o sumando 00:41:56
o restando. 00:41:58
¿Vale? 00:42:00
Bueno, aquí viene resuelto 00:42:02
y, bueno, son 00:42:04
las mismas soluciones. 00:42:06
¿Vale? 00:42:08
Un problema en este caso de geometría 00:42:10
Una parcela rectangular 00:42:12
Un rectángulo tiene dos dimensiones 00:42:14
¿No? 00:42:16
Un lado más grande que el otro 00:42:18
Ahí me cita 00:42:20
el perímetro. 00:42:22
Si una parcela rectangular tiene un perímetro de 00:42:24
320 metros 00:42:26
El perímetro en cualquier 00:42:28
polígono es la suma de 00:42:30
todos sus lados 00:42:32
¿Vale? 00:42:34
El perímetro 00:42:36
es 320 metros. Dice 00:42:38
Si mide el triple de largo que de ancho 00:42:40
¿Cuáles son las dimensiones de la 00:42:42
parcela? Con estos datos 00:42:44
El perímetro son 320 metros 00:42:50
El perímetro es la suma de todos los lados 00:42:52
¿Si? Bien. Estos lados 00:42:54
Si pongo nombres a todos tengo 00:42:56
X, X y Y 00:42:58
¿No? O dos X y dos Y 00:43:00
O sea, si yo sumo todo voy a tener 00:43:02
dos veces X 00:43:04
más dos veces Y 00:43:06
La suma de todos los lados 00:43:08
me dice que mide 320 00:43:10
El perímetro es 320 00:43:14
La suma de todos los lados 00:43:16
es 320 00:43:18
La segunda frase dice 00:43:20
Si el triple que de largo que de ancho 00:43:22
El largo es tres veces el ancho 00:43:24
El lado más largo 00:43:28
¿Vale? El largo es 00:43:30
tres veces el otro 00:43:32
La X va a ser tres veces 00:43:36
la Y 00:43:38
X va a ser 00:43:40
tres veces la Y 00:43:42
Ya tengo mis dos 00:43:44
ecuaciones 00:43:46
Ahora es resolverlo 00:43:48
Esto es lo difícil 00:43:50
¿Qué método usaríais aquí? 00:43:52
Que lo tenéis ahí ya a mitad de camino 00:43:56
Pero mirad, no tengo X igual 00:44:00
Ya tengo la X despejada 00:44:02
Yo aquí me iba a sustitución 00:44:04
Si ya sé quién es X en función de la Y 00:44:06
Me iba arriba 00:44:08
Y sustituía 00:44:10
Podéis pasar 00:44:12
el 3Y restando a la izquierda 00:44:14
Que te quede aquí 00:44:16
3Y igual a cero 00:44:18
y aplicar el de reducción 00:44:20
No hay ningún problema 00:44:22
En este caso, por cambiar, voy a hacerlo con sustitución 00:44:24
2 por X 00:44:26
¿Quién es X? 3Y 00:44:28
2 por 3Y 00:44:30
más 2Y es igual a 00:44:32
320 00:44:34
2 por 3 00:44:36
más 2Y 00:44:40
320 00:44:42
8Y es 00:44:44
320 00:44:46
El 8 que está multiplicando, ¿qué hago con él? 00:44:48
Dividiendo 00:44:50
Y es 00:44:52
320 partido 8 00:44:54
O lo que es lo mismo 00:44:56
Ya tengo la Y 00:45:02
Y es 40 00:45:04
¿Quién es X? X será 3 veces Y 00:45:06
3 por Y 00:45:08
3 por 40 00:45:10
120 00:45:12
120 es X 00:45:14
Ya tengo las dimensiones 00:45:16
40 y 120 00:45:18
Puedo comprobar que verifica las dos ecuaciones 00:45:20
¿Vale? 00:45:22
Más ejercicios 00:45:30
A ver 00:45:32
Así tipo que podamos 00:45:34
Encontrarnos 00:45:36
Mirad 00:45:38
Voy a hacer este 00:45:40
Que viene aquí como número 15 00:45:42
¿Vale? 00:45:44
Ejercicios de mezclas 00:45:46
Y estos de mezclas gustan mucho 00:45:48
Para los exámenes 00:45:50
¿Vale? 00:45:52
Se quiere obtener 00:45:54
90 kilos de café 00:45:56
8,5 euros el kilo 00:46:00
Mezclando café de 15 kilos 00:46:02
Con café de 6 kilos 00:46:04
Tengo dos cafés 00:46:06
¿Vale? A y B 00:46:08
Puedo llamarles 00:46:10
Café de Colombia y café de Kenya 00:46:12
Como queramos 00:46:14
Dos cafés diferentes 00:46:16
Cada café tiene su precio 00:46:18
Uno es más caro y otro es 00:46:20
Más barato 00:46:22
La cosa es que yo los voy a mezclar 00:46:24
Y como yo los mezclo 00:46:26
Pues el precio va a ser una mezcla de esos dos 00:46:28
¿Vale? 00:46:30
Pero dependiendo de las cantidades 00:46:32
Tendrá un precio u otro 00:46:34
A mi me dice que 00:46:36
Calcule 00:46:38
¿Vale? 00:46:40
¿Cuántos kilos de cada clase debo de echar? 00:46:42
¿Para qué? 00:46:44
Para que la mezcla sea 90 kilos 00:46:46
90 kilos 00:46:48
A 8,5 euros 00:46:50
Pero lo resto 00:46:52
Es que yo tengo dos cafés 00:46:54
Pues a uno como lo voy a llamar 00:46:56
A un café lo voy a llamar X 00:46:58
Y al otro café como lo voy a llamar 00:47:00
¿Vale? 00:47:04
El precio del café X 00:47:06
O mejor dicho 00:47:08
X, no es que eche el nombre del café 00:47:10
Va a ser el número de kilos 00:47:12
Que voy a echar del primer café 00:47:14
O sea, si yo pusiera un café lo voy a llamar A y B 00:47:16
Colombia y Kenya 00:47:20
X y Y va a ser el número de kilos del primer café 00:47:22
Del A 00:47:24
Y la Y va a ser el número de kilos del otro 00:47:26
El precio 00:47:28
De un café es 15 euros 00:47:30
El kilo 00:47:32
Y el segundo son 00:47:34
6 euros 00:47:36
El kilo 00:47:38
Yo lo que sé es que lo primero es que 00:47:40
Se quieren obtener 90 kilos 00:47:42
Pues si se quieren 00:47:44
Obtener 90 kilos 00:47:46
Y tengo X kilos 00:47:48
De un tipo de café 00:47:50
E Y kilos del otro café 00:47:52
Ya tengo una relación 00:47:54
Porque suman X más Y ¿Cuánto suman? 00:47:56
90 kilos 00:47:58
La primera relación es fácil 00:48:00
X más Y es igual a 90 00:48:02
Esta es la primera ecuación 00:48:04
Ahora busco una segunda ecuación 00:48:06
Que esta quizás sea más 00:48:08
Más complicada 00:48:10
Me dicen que 00:48:12
La mezcla 00:48:14
¿Vale? 00:48:16
El precio final va a ser 00:48:18
El precio final 00:48:20
Va a ser de 8,5 euros 00:48:22
El kilo 00:48:24
¿Vale? 00:48:26
Y me dice que 00:48:28
¿Cuánto? 00:48:30
No me dice más, tengo aquí los precios 00:48:32
La cosa está 00:48:34
Que este es el precio final 00:48:38
Y al final ¿Cuántos kilos tengo? 00:48:40
90 ¿No? 00:48:42
Pues yo voy a decir 00:48:44
X kilos ¿A qué precio? 00:48:46
A 15 euros 00:48:48
Si yo multiplico el número de kilos por su precio 00:48:50
Yo sabré cuánto cuesta todo este café 00:48:52
Si el segundo tipo de café 00:48:56
Multiplico el número de kilos por su precio 00:48:58
Sabré cuánto vale este café 00:49:00
Si yo lo sumo 00:49:02
Me tiene que coincidir con los 90 kilos a este precio 00:49:04
En este caso 00:49:06
Yo digo tengo 00:49:08
X kilos a 15 euros 00:49:10
Pues 15 por X 00:49:12
Este es lo que me cuesta el primer café 00:49:16
Más 00:49:18
El segundo café es a 6 euros el kilo 00:49:20
Y tengo Y kilos, pues 6 por Y 00:49:22
Y yo sé que esta mezcla 00:49:24
La suma del primer café más el segundo 00:49:26
Me lo van a pagar a 00:49:28
8,5 euros el kilo 00:49:30
¿No? 00:49:32
8,5 euros el kilo 00:49:34
¿Pero cuántos kilos tengo? 00:49:36
Esto lo sé 00:49:38
Tengo 90 00:49:40
8,5 por 00:49:42
Bueno, yo aquí tengo ya una segunda ecuación 00:49:46
¿No? 00:49:48
Tengo una igualdad con la X y por ahí 00:49:50
Pues ya tengo 00:49:52
Mi sistema de ecuaciones 00:49:54
¿Vale? 00:49:56
Esta es la parte difícil, el plantamiento 00:49:58
¿Vale? 00:50:02
Aquí lo veis ya desarrollado 00:50:04
Que una vez que dice 15X más 6Y 00:50:06
Es igual a 765 00:50:08
Es ese producto, el de 8,5 por 00:50:10
¿Vale? 00:50:14
A partir de aquí ya resolverlo por el método que se quiera 00:50:16
¿Sí? 00:50:18
Eh... 00:50:20
Más ejercicio, por ejemplo 00:50:24
¿En este? 00:50:26
Hombre, pues tienes 00:50:30
Digamos si todavía 00:50:34
Puedes despejar la X o la Y fácilmente en la primera ecuación 00:50:36
Y luego sustituir abajo 00:50:38
Porque pues coeficiente 1 00:50:40
No te va a llevar ni a paréntesis ni a denominadores 00:50:42
Que quieres usar 00:50:44
Reducción 00:50:46
La primera ecuación la puedes multiplicar 00:50:48
Por 6, por ejemplo 00:50:50
Que es el coeficiente más pequeño de abajo 00:50:52
Para igualar las Y 00:50:54
Es la otra acción 00:50:56
Muchas veces 00:50:58
Bueno, aquí está hecho con sustitución 00:51:00
Que dice despejo la X y sustituyo 00:51:02
Pues ya, para gustos 00:51:04
El que no usaría sería el de 00:51:06
Igualación 00:51:08
Porque te va a llevar a denominadores 00:51:10
Voy a hacer por ejemplo 00:51:14
Este que pone el número 2 00:51:16
Dice, en un corral 00:51:18
Hay 25 00:51:20
Ovejas y gallinas 00:51:22
Ovejas más gallinas igual a 25 00:51:24
Sin leer más 00:51:26
¿Qué va a ser X y qué va a ser Y? 00:51:28
Ovejas y gallinas 00:51:30
Ovejas y gallinas 25 00:51:32
Y contando las patas hay 80 en total 00:51:34
¿Cuántas ovejas y gallinas hay? 00:51:36
A ver 00:51:38
Hay 25 en total 00:51:40
Pues yo voy a decir, oye, X van a ser las ovejas 00:51:42
Y van a ser, ¿qué? 00:51:46
Las gallinas 00:51:48
Y en total, ¿qué tengo? 00:51:50
Que X más Y es igual a 25 00:51:52
Tengo 25 animales 00:51:54
Pero luego me dice que en total 00:51:56
El número de patas que tienen es 00:51:58
¿Cuántas patas 00:52:02
Tienen las ovejas? 00:52:04
4, luego en total, si yo tengo X ovejas 00:52:06
¿Cuántas patas tengo? 00:52:08
4 por X 00:52:10
4 patas por cada oveja que tenga 00:52:12
Más 00:52:14
Las gallinas, ¿cuántas patas tienen las gallinas? 00:52:16
2, pues 00:52:18
2 patas por cada gallina que yo tenga 00:52:20
Y en total hay 00:52:22
80 patas 00:52:24
Ya tengo mi sistema de ecuaciones 00:52:26
Igualmente 00:52:28
O desplazo X e Y por sustitución 00:52:30
O igualo 00:52:32
Los coeficientes 00:52:34
Y restamos 00:52:36
¿Vale? 00:52:38
Aquí lo difícil es siempre 00:52:40
El planteamiento 00:52:42
Por ejemplo 00:52:44
El anterior que es muy fácil 00:52:46
Calcula dos números cuya suma es 10 00:52:48
Y cuya diferencia es 6 00:52:50
Los números, ¿cómo llamamos los números? 00:52:52
X e Y 00:52:54
La suma es 10, X más Y 00:52:56
Igual a 10 00:52:58
La diferencia es 6, X menos Y 00:53:00
¿Vale? 00:53:04
El 16 que es muy parecido al de 00:53:06
Al de las gallinas 00:53:08
Y las patas 00:53:10
En un taller hay 154 vehículos 00:53:12
Entre coches y motos 00:53:14
Pues si llamo X al número de coches 00:53:18
Y al número de motos 00:53:20
En total tengo 154 00:53:22
X más Y, 154 vehículos 00:53:24
Si el número de ruedas 00:53:26
Es 458 00:53:28
¿Cuántas motos y cuántos coches hay? 00:53:30
El coche tiene 4 ruedas 00:53:32
4 por X 00:53:34
La moto tiene 2 ruedas 00:53:36
2 por Y 00:53:38
4 X más 2 Y 00:53:40
Es igual al número total de ruedas 00:53:42
Es como el de las patas de las gallinas y de las ovejas 00:53:44
Igual, pero cambiándolo por ruedas 00:53:46
De motos y de coches 00:53:48
¿Vale? 00:53:50
Este método 00:53:52
¿Aquí cuál lo ha usado? 00:53:54
A ver, que me fije yo 00:53:56
Bueno, aquí lo que he hecho ha sido 00:54:00
Dividir entre dos, en esta ecuación 00:54:02
Para hacerlo más pequeño 00:54:04
Y sí, lo ha usado 00:54:06
Por reducción 00:54:08
Para luego aquí restar la X 00:54:10
¿Vale? 00:54:12
¿Sí? 00:54:14
Esto está aquí, en el contenido teórico 00:54:16
¿Vale? Esto lo que estamos aquí 00:54:18
Viendo 00:54:20
No, ese no 00:54:22
Esto está en concreto 00:54:24
Bueno, la teoría que estamos viendo 00:54:26
Está aquí, donde pone sistema de ecuaciones 00:54:28
¿Vale? 00:54:30
Este otro no 00:54:32
Este es el ejemplo, el tercero, que no está resuelto 00:54:34
Dice, Paloma tiene monedas de 2€ y de 1€ 00:54:36
¿Sabiendo que tiene 20 monedas? 00:54:38
Pues 00:54:40
Yo tengo monedas de 1 y de 2€ 00:54:42
Una la llamo X y otra es Y 00:54:44
¿En total hay 20? 00:54:46
Pues X más Y son 20€ 00:54:48
Y sé que en total tengo 33€ 00:54:50
Pues las de 1€ valen 1, ¿no? 00:54:54
Pues el valor total de esas monedas es 00:54:56
1 por X 00:54:58
1€ por X monedas 00:55:00
2€ 00:55:02
Tengo Y monedas, pues en total ¿Cuánto vale? 00:55:04
2 por Y 00:55:06
Pues una X más dos Y va a ser igual a 00:55:08
Lo voy a resolver 00:55:12
¿Sí? 00:55:14
Pues con esto quedaría visto 00:55:16
Lo que es toda la parte de 00:55:20
Álgebra 00:55:22
¿Vale? Con vistas al 00:55:24
Bueno, al examen aún no nos queda 00:55:26
Pero nos vamos a meter ya en la parte más 00:55:28
La parte de geometría 00:55:30
Que es lo siguiente que nos toca ¿Vale? 00:55:32
La parte de Álgebra 00:55:34
Pues ya la hemos terminado con esto 00:55:36
La comenzamos 00:55:38
Antes de 00:55:40
Antes de Navidades ya con Polinomios 00:55:42
Que entró en la primera evaluación 00:55:44
Y lo siguiente sería ya la parte de 00:55:46
Geometría plana 00:55:48
Que comenzaremos a ver la semana que viene 00:55:50
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25 de enero de 2024 - 20:17
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