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M.c.m de polinomios - Contenido educativo
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Nos planteamos el siguiente problema, que es el mínimo común múltiplo de polinomios.
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Nos planteamos cómo calcular el mínimo común múltiplo de los polinomios, por un lado x más 1 y por otro x cuadrado menos 1.
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Pensemos en lo siguiente. La clave para calcular mínimo común múltiplo de números está en la factorización numérica, es decir, porque descomponíamos los factores primos y después, a partir de la descomposición en factores, calculábamos el mínimo común múltiplo.
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la idea del mínimo común múltiplo entre polinomios va a ser la misma que en el caso de los números
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es decir, estaríamos hablando de que el mínimo común múltiplo de dos polinomios
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es otro polinomio que es múltiplo de, en este caso, estos dos polinomios
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y que es el menor de todos
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Por ejemplo, si pensemos que tuviéramos el polinomio x cuadrado y el polinomio x
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Pues lógicamente el mínimo común múltiplo de x y x cuadrado sería x cuadrado
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Que es múltiplo de x y de x cuadrado a su vez
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O sea que la idea del mínimo común múltiplo de dos polinomios es exactamente la misma que
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o análoga al concepto de mínimo como múltiplo entre números
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¿de acuerdo?
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ahora, el cálculo, pues es análogo al cálculo del mínimo como múltiplo de varios números
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se descompondrán en factores, en los polinomios en este caso
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tal y como ya sabemos hacer
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como sabemos, por ejemplo, x más 1 ya está factorizado
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Este sería el único factor
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Este sería, en términos numéricos, sería análogo a un número primo
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Porque solamente tiene como factores, o divisores, perdón
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X más 1 y el 1, ¿verdad?
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X cuadrado más 1, si lo factorizamos, vemos que nos dará
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Pues el producto X más 1 por X menos 1
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Aplicando los productos notables al revés o como os dé la gana
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Bien, y una vez que tenemos esta descomposición en factores de cada polinomio, pues el mínimo común múltiplo será exactamente igual que con los números, los divisores comunes y no comunes al mayor exponente.
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En este caso, por ejemplo, los que se repiten en ambos números, en ambos polinomios es x más 1, entonces pondríamos que el mínimo común múltiplo es igual a x más 1, que es el que se repite, y por otro lado el que no se repite, que es x menos 1, ¿de acuerdo?
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Entonces, en este caso, el mínimo común múltiplo será el producto este, que es x cuadrado menos 1, ¿de acuerdo?
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En definitiva, lo que hacemos es, por resumirlo, descomponer cada polinomio en factores primos, como aquí tenemos, en factores, la descomposición en factores,
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Y después tomamos los comunes y los no comunes al mayor exponente y así obtenemos el mínimo común múltiplo de los polinomios.
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En este caso sería x cuadrado menos 1.
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¿De acuerdo?
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Vamos a hacer otro ejemplo, un pelín más complicado.
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Veamos, por ejemplo, calculemos el mínimo común múltiplo del polinomio x cuadrado más x y el polinomio x cuadrado menos 1.
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Pues como hemos dicho antes, lo que hacemos es factorizar cada polinomio.
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La factorización de este primer polinomio sería x por x más 1.
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En este caso es sacando directamente el factor común x, como podéis observar.
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En cuanto a la factorización de este polinomio, pues lo producto notable es al revés.
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Ya se sabe que es x más 1 por x menos 1.
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Entonces, ¿cuál sería el mínimo común múltiplo de estos dos polinomios?
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Pues sería, tomemos los que se repiten, en este caso x más 1 y después al mayor exponente, como no hay ningún elevado al cuadrado, pues ponemos tal cual x más 1.
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Si hubiera aparecido que en la descomposición aquí hubiera un cuadrado, aquí tendríamos que haber puesto un cuadrado, ¿de acuerdo? Pero no es el caso, ¿vale?
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Entonces, serían los que se repiten, como digo, que son x más 1, lo ponemos
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Y luego los que no se repiten, que serían por x, por, en este caso, x menos 1
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Y lo que resulta de esta multiplicación es el mínimo común múltiplo
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Que sería, pues este por este es x cuadrado menos 1, todo por x
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Entonces estamos hablando del polinomio x cubo menos x
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Este es el mínimo común múltiplo de este polinomio y este
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Calculemos ahora el mínimo común múltiplo de los polinomios que tenemos aquí
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En este caso, pues como ya hemos dicho, factorizamos el polinomio por un lado x cubo más 2x cuadrado
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Y el otro polinomio, bien, tal y como ya hemos aprendido
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Es decir, ya sea sacando factor común en primer lugar o aplicando los productos notables al revés o aplicando la regla de Ruffino.
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Bien, ya tenemos aquí los polinomios factorizados.
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En este primer polinomio lo que he hecho es sacar factor común x cuadrado y directamente ha quedado factorizado.
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Y en este segundo, pues he sacado factor común x y luego aquí he aplicado el producto notable al revés y me da esta factorización.
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de acuerdo, una vez factorizado pues como os he dicho
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para hacer el mínimo común múltiplo de estos polinomios
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tomamos los comunes y no comunes al mayor exponente
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entonces en este caso es interesante este ejemplo
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porque observamos que los que se repiten son x por x más 2
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porque está tanto arriba como en el polinomio de abajo
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pero con una particularidad y es que en el de arriba
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x al cuadrado
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x está elevado al cuadrado
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es decir, y como hemos dicho
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hay que tomarlo al mayor exponente
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y por tanto en este caso
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pondríamos x al cuadrado
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en base a esta idea
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y este caso x
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pues quedaría ya absorbido en este x al cuadrado
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¿de acuerdo?
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en el siguiente pues ya tomamos
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x al cuadrado que como vemos
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es uno de los polinomios
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de las factorizaciones que está en ambos
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Se repite, ya hemos puesto los comunes y ahora vamos a los no comunes, que es x menos 2.
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Así que el mínimo común múltiplo de este polinomio y este sería el resultado de este producto.
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¿De acuerdo? Que es, por un lado, x cuadrado por x cuadrado menos 4, que es igual a x cuarta menos 4x cuadrado.
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Este es el mínimo común múltiplo.
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- 11 de enero de 2021 - 15:06
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- IES BARRIO SIMANCAS
- Duración:
- 07′ 30″
- Relación de aspecto:
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