Ecuaciones de segundo completas | Mediateca de EducaMadrid

Vamos a estudiar a continuación las ecuaciones de segundo grado completas. 00:00:05

Decimos que una ecuación de segundo grado es completa cuando después de simplificar la ecuación presenta la siguiente forma. 00:00:10

ax cuadrado más bx más c igual a cero. 00:00:19

a, b y c son números reales llamados coeficientes de la ecuación. 00:00:22

x es la incógnita de nuestra ecuación. 00:00:29

Como primer ejemplo vamos a resolver la ecuación x cuadrado menos 3x menos 4 igualada a 0 00:00:32

Lo primero que hacemos es reconocer los coeficientes 00:00:39

A es el número que multiplica a x cuadrado 00:00:44

Si no hay nada recordamos que hay un 1 multiplicando 00:00:47

Por lo tanto A es igual a 1 00:00:51

B es el número que multiplica a la x 00:00:54

podemos observar que nuestra ecuación que es el número menos 3 00:00:58

y c es el término independiente, el que no lleva ninguna letra, es menos 4. 00:01:02

Una vez hallados los coeficientes vamos a utilizar la fórmula de las soluciones de la ecuación de segundo grado 00:01:14

que viene dado por la expresión menos b más menos raíz cuadrada de b cuadrado 00:01:25

Menos 4 por a por c, todo ello dividido entre 2 por a 00:01:31

Así vamos a sustituir en la fórmula 00:01:36

Nuestras soluciones x vienen dadas por menos b 00:01:39

Que significa escribir el opuesto de nuestro coeficiente b 00:01:44

Como era menos 3, el opuesto es 3 00:01:48

Ahora escribimos más menos raíz cuadrada 00:01:51

Tenemos que escribir b al cuadrado 00:01:54

Como b es negativo, lo ponemos entre paréntesis. Así nos queda menos 3 al cuadrado. 00:01:57

Luego copiamos un menos, 4 por a. a vale 1. 00:02:04

Por c, como c es un número negativo, también lo escribimos entre paréntesis. 00:02:08

Todo ello va dividido entre el producto de 2 por a, que vale 1. 00:02:16

A continuación, copiamos 3 más menos raíz cuadrada y comenzamos a operar el discriminante 00:02:23

Empezamos con la potencia, que tiene base negativa y exponente par 00:02:33

Recordar que el signo es positivo 00:02:38

Así nos queda 9 00:02:41

A continuación, vamos a realizar la multiplicación 00:02:43

Multiplicamos los signos, menos por menos, más 00:02:48

Y ahora, 4 por 1 es 4, por 4 es 16. 00:02:52

Todo ello va dividido por el producto de 2 por 1, que nos da 2. 00:03:00

Nuestras soluciones vienen dadas por la expresión 3 más menos la raíz cuadrada de 9 más 16, que lo realizamos y nos queda 25. 00:03:06

Dividido todo entre 2. 00:03:17

Es decir, 3 más menos 5, dividido todo entre 2. 00:03:19

Observemos que nos van a salir dos soluciones de la ecuación. 00:03:31

La primera solución, considerando el signo más del numerador, nos queda 3 más 5, que es 8, dividido entre 2. 00:03:36

Queda el resultado de 4. 00:03:47

La segunda solución, que vamos a llamar x sub 2, se obtiene con el signo negativo. 00:03:49

3 menos 5 da como resultado menos 2. 00:03:56

Entre 2 queda menos 1. 00:04:02

Así, esta ecuación de segundo grado tiene dos soluciones. 00:04:06

La primera es 4 y la segunda es menos 1. 00:04:09

Veamos un segundo ejemplo. 00:04:14

Es una ecuación de segundo grado completa, dado que hay un número que multiplica x cuadrado, otro número multiplica la x y luego tenemos un término independiente. 00:04:16

Lo primero que tenemos que hacer es ordenar la ecuación para que nos quede número por x cuadrado más número por x más número igual a cero. 00:04:28

Así que movemos menos 40 hacia la izquierda. 00:04:39

Recordad que al pasar los términos al otro lado de la igualdad tenemos que cambiar el signo. 00:04:43

Así nos queda 20x cuadrado menos 40x más 40 igual a 0. 00:04:50

A continuación y antes de aplicar la fórmula de las soluciones de la ecuación de segundo grado, 00:04:57

podemos observar que los coeficientes todos acaban en 0, por lo que podemos dividir toda la ecuación entre 10. 00:05:02

De esta manera conseguimos que los números sean más pequeños. 00:05:10

La ecuación equivalente es 2x cuadrado menos 4x más 4 igual a 0. 00:05:15

Además, los coeficientes todos acaban en par, por lo que podemos seguir dividiendo toda la ecuación entre 2. 00:05:20

Y así obtenemos la ecuación equivalente simplificada, 00:05:29

que es x cuadrado menos 2x más 2 igual a 0. 00:05:33

Ahora escribimos los coeficientes de la ecuación. 00:05:42

A es el número que multiplica x cuadrado, que es 1. 00:05:44

B es el número que multiplica a la x, vemos que es menos 2. 00:05:49

Y c es el término independiente, que es 2. 00:05:57

Una vez escrita la ecuación que da las soluciones de la ecuación de segundo grado, comenzamos a sustituir. 00:06:05

Menos b es el opuesto de menos 2, que es 2 más menos raíz cuadrada de b al cuadrado. 00:06:13

Fijaros que como b es negativo, lo escribimos entre paréntesis. 00:06:21

Ahora escribimos el menos 4 por a, que vale 1, y c vale 2. 00:06:26

Todo ello va a ir dividido por el producto de 2 por 1 00:06:30

Así obtenemos que x es igual a 2 más menos 00:06:37

Vamos a calcular dentro de la raíz cuadrada lo primero la potencia 00:06:42

Que es base negativa y exponente par, por lo tanto nos queda la raíz cuadrada de 4 00:06:46

A continuación hacemos el producto 00:06:51

Fijaros que el signo nos va a quedar negativo 00:06:54

Menos por más, menos 00:06:58

Por lo tanto, menos 8 00:07:00

Todo dividido por el producto de 2 por 1 queda 2 00:07:02

Calculamos lo de dentro de la raíz cuadrada 00:07:06

4 menos 8 queda menos 4 00:07:09

Todo dividido entre 2 00:07:12

Observar que la raíz cuadrada del número negativo menos 4 00:07:15

No existe en el conjunto de los números reales 00:07:20

¿Eso qué significa? 00:07:24

Que esta ecuación de segundo grado no tiene solución 00:07:27

Resolvamos este último ejemplo 00:07:30

Podemos observar que aparece un binomio al cuadrado, es una identidad notable 00:07:36

Lo primero que tenemos que hacer es aplicar la fórmula número 2 de las identidades notables 00:07:43

Y así nos queda cuadrado del primero 4x cuadrado menos el doble del primero por el segundo 00:07:50

Hay que multiplicar 2 por 2x, 4x, por 3 son 12x, más el cuadrado del segundo término, 9. 00:07:59

Es igual a 11 menos 10x. 00:08:14

A continuación vamos a simplificar la ecuación. 00:08:18

Para ello pasamos el término menos 10x a la izquierda. 00:08:21

Recordad que hay que cambiar el signo. 00:08:25

Así nos queda 4x cuadrado menos 12x más 9 más 10x. 00:08:28

También pasamos el término independiente 11 hacia la izquierda. 00:08:36

Cambiando el signo nos quedará menos 11, igual a 0, ya que no nos queda nada a la derecha de la ecuación. 00:08:41

Ahora vamos a simplificar la ecuación. 00:08:51

Observamos que los términos semejantes menos 12x y más 10x podemos simplificarlos 00:08:54

así como los términos independientes más 9 y menos 11 00:09:01

Así la ecuación nos queda 4x al cuadrado 00:09:06

Fijaros que menos 12x más 10x da menos 2x 00:09:09

y 9 menos 11 queda menos 2, igual a 0 00:09:13

Observa que los coeficientes de la ecuación son pares 00:09:16

Por lo tanto, podemos dividir toda la ecuación entre 2 00:09:21

Así nos queda 2x cuadrado menos x menos 1 igual a 0 00:09:25

Tenemos una ecuación de segundo grado completa con los coeficientes simplificados 00:09:31

Siendo el coeficiente a el número que multiplica a x cuadrado, que es 2 00:09:37

El coeficiente b es el número que multiplica a la x, que es menos 1 00:09:44

y c es el término independiente, que es menos 1. 00:09:50

Utilicemos ahora la fórmula que nos da las soluciones de la ecuación de segundo grado completa. 00:09:58

Así, sustituyendo, x es igual a menos b. 00:10:05

Hay que poner el opuesto de menos 1, que es 1, más menos la raíz cuadrada de menos 1 al cuadrado. 00:10:08

Fijaros que como es negativo, lo tenemos que escribir entre paréntesis. 00:10:16

menos 4 por a que vale 2 por c que vale menos 1 00:10:20

como es negativo también lo escribimos entre paréntesis 00:10:27

todo ello va dividido por el producto de 2 por a 00:10:30

en este caso vale 2 00:10:34

así nuestras soluciones vienen dadas por 1 más menos 00:10:36

la raíz cuadrada de, calculamos primero la potencia 00:10:41

menos 1 al cuadrado como es base negativa y exponente par 00:10:45

el resultado es positivo, da 1. Luego realizamos la multiplicación. Observar que menos por menos, más. 00:10:49

Y ahora 4 por 2 por 1 nos queda 8. Todo ello dividido por el producto de 2 por 2 queda 4. 00:10:59

Así tenemos que las soluciones vienen dadas por 1 más menos la raíz cuadrada de la suma de 1 más 8. 00:11:10

es decir, la raíz cuadrada de 9, dividido entre 4, es decir, 1 más menos 3 entre 4. 00:11:17

La primera solución la obtenemos con el signo más. 00:11:30

Vamos a llamar x1 a la primera solución y es igual a 1 más 3, que es 4, entre 4, igual a 1. 00:11:34

La segunda solución que llamaremos x sub 2 se obtiene con el signo negativo 00:11:42

1 menos 3 es menos 2 00:11:48

Dividido entre 4 00:11:52

Fijaros que esto es una fracción que la podemos simplificar dividiendo el numerador y el denominador entre 2 00:11:55

Así queda menos 1 medio 00:12:01

Las soluciones son por tanto x1 igual a 1, x2 igual a menos 1 medio 00:12:04

Ecuaciones de segundo completas - Contenido educativo

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