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Aproximación Binomial-Normal y Corrección Continuidad - Contenido educativo

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Subido el 5 de mayo de 2025 por Carolina F.

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Esto va a ser de utilidad para valores grandes del número de muestras. 00:00:05
Para valores grandes de n, la binomial se aproxima bastante bien a una distribución normal. 00:00:16
Y eso es lo que había puesto antes en la pizarra, de resumen, pensando que ya lo habíamos visto, pero que no. 00:00:42
a una normal con media NP y sigma de NPQ. Es decir, vamos a poder hacer esta conversión 00:00:56
en lugar de hacer las fórmulas del factorial y todo eso de la BNP, vamos a utilizar la 00:01:23
normal con su media y su desviación típica, estas que acabamos de escribir aquí. Es lo 00:01:34
único. Ahora pasamos a hacer un ejercicio. Ejemplo. Bueno, pues la binomial 50,0,3. En 00:01:47
la binomial esto significaba n, era el número de experimentos que hacíamos, y 0,3 era la 00:02:09
probabilidad del éxito. Esta se estudia con, vamos a calcular, media n por p, 50 es 15, 00:02:18
y la sigma es la raíz cuadrada de 50 por 0,3 y si p es 0,3 deducimos que q es 0,7. 00:02:51
porque recuerda que la binomial era para casos en los que solo hay éxito o fracaso 00:03:05
y la suma de los dos tiene que dar 1, entonces sería 50 por 0,3 por 0,7, esta sigma da 3,24. 00:03:13
Entonces, estudiar esta binomial 50.0.3 es lo mismo que trabajar con una norma 15.3.24. 00:03:26
Entonces, por ejemplo, ¿cuál sería la probabilidad de que mi variable aleatoria sea menor que 18? 00:03:39
Ya no tengo que hacer absolutamente nada más, ya tengo todos mis cálculos hechos. Me calculo la Z y la Z era 18 menos la media partido de la deviación típica, 3,24. 00:04:35
Esto me da 0,93. Me voy a la tabla y veo que para la zeta 0,93 me da 0,8235. 00:04:57
El 82,35%. 00:05:18
¿Cuál es la probabilidad de que mi variable esté comprendida entre 15 y 18? 00:05:24
La zeta del 18 ya la tengo 00:05:33
La zeta del 15 00:05:44
Voy a llamar zeta 2 00:05:45
Sería 15 menos 15 00:05:49
Partido de 3 con 24 00:05:55
Y es 0 00:05:59
Entonces, la probabilidad de 0 00:06:03
O sea, de que la desviación típica es 0 00:06:06
Es en la gráfica 00:06:08
Viene en la tabla 00:06:12
La gráfica es justo el principio, o sea, la probabilidad de que estemos justo en la media, de que no nos desviemos nada respecto a la media, ¿vale? Y es 0,5. 00:06:13
Entonces, como estoy justo en la media, pues esto de hacer 1 menos 0,5, pues ya sé que me va a dar 0,5, ¿vale? Porque estoy justo en mi media, en este extremo. 00:06:35
Con lo cual la probabilidad de estar en ese intervalo entre 15 y 18 es 0,8235 menos 0,5 es justo 0,32. 00:06:51
Definitiva. Pasamos a hacer lo mismo que siempre porque hemos transformado una binomial en una normal. 00:07:16
vamos a hacer un ejercicio 00:07:21
falta una pequeña cosa 00:07:29
que aprovecho para contar 00:07:30
ahora 00:07:33
y con esto terminamos toda la teoría 00:07:34
perdón 00:07:37
¿el qué? 00:07:39
vale, esto último que queda 00:08:01
no tiene más 00:08:04
fórmulas ni nada 00:08:06
se llama corrección de continuidad 00:08:07
vale, tiene que ver con esto que estamos haciendo 00:08:10
de aproximar la binomial a la normal porque cuando hablamos de la distribución de probabilidad 00:09:30
hay por definición una característica y es que no existe la probabilidad de un valor 00:09:39
concreto, siempre estamos hablando de intervalos, la probabilidad de un valor concreto en una 00:09:48
distribución normal es 0. Decíamos, si se estudia la estatura de una población, pues 00:09:55
la probabilidad de que alguien mida 174,38, 22, 45, 15 es 0. O sea, estudiamos probabilidades 00:10:03
de que mida entre 173 y 174, pero no tiene sentido hablar de la probabilidad de un valor 00:10:16
concreto. Y sin embargo, con la binomial sí, la binomial sí que decía mejora la probabilidad 00:10:23
de que alguien tenga exactamente 15 años. Entonces hay que hacer esto de aquí de la 00:10:28
corrección de continuidad. Entonces consiste, por ejemplo, en el caso anterior, en este 00:10:34
ejemplo que estamos haciendo, si nos pidiesen la probabilidad de que la variable x fuese 00:10:41
exactamente 15, si nos piden esto, entonces lo que hacemos es un pequeño truco que consiste 00:10:47
en calcular la probabilidad de un intervalo muy estrecho. Por ejemplo, calcularíamos 00:11:02
la probabilidad de que la variable esté, siempre se suele hacer con medio, con la mitad 00:11:08
de un dato 00:11:16
o sea, calcularíamos la probabilidad 00:11:18
de que esté comprendida entre 14,5 00:11:20
y 15,5 00:11:23
¿de acuerdo? 00:11:24
entonces 00:11:28
vamos a hacerlo 00:11:28
lo escribo aquí 00:11:30
muy rápidamente 00:11:31
la Z1 00:11:34
sería 00:11:36
14,5 00:11:38
menos 15 00:11:39
estoy usando el ejemplo anterior 00:11:43
La media era 3,24 y la Z2 15,5 menos 15 partido de 3,24. 00:11:45
Entonces, esta es menos 0,15 y esta 0,15. 00:12:10
Si miro 0,15 en la tabla, me da 0,5596. 00:12:16
Y ahora tenemos que 0,5596, 0,4404. 00:12:28
Este es 1 menos 0,5596. 00:13:03
Entonces, si hacemos 0,5596 menos 0,4404, nos queda 0,1192. 00:13:11
¿Vale? Si restamos este menos este 00:13:24
Z2 menos Z1 00:13:28
¿Vale? Vamos a ver qué hubiera sido 00:13:31
Si lo hubiéramos hecho con la binomial 00:13:47
Subo un momentito para ver cuál era la binomial 00:13:51
La binomial era 50, 0.3 00:14:12
Entonces habríamos hecho 00:14:16
50 sobre 15, 0,3 elevado a 15, por 0,7 elevado a 50 menos 15, que es 35. 00:14:38
Entonces sería 50 factorial partido de 15 factorial por 35 factorial. 00:15:00
Yo no sé si la calculadora soporta estas científicas, sí, pero uno se coge la calculadora de andar por casa para calcular estos números y no son muy prácticos. 00:15:14
Bueno, pues hecho esto, con calculadora sale 0,122. 00:15:37
Entonces esto es para comprobar que redondeando mi resultado con la aproximación de la binomía a la normal es 0.12 y este es 0.12. 00:15:44
O sea que se puede hacer la aproximación perfectamente. 00:16:01
Bueno, pues vamos a aplicar esto, ya que esto era lo último. Vamos a aplicarlo al ejercicio 37. Dice, en un determinado país se ha estimado en un 22% el porcentaje de hombres con alopecia. 00:16:06
Está claro que va a ser una distribución del tipo alopecia, no alopecia 00:17:56
Entonces vamos a poner que la probabilidad de alopecia es 0,22 00:18:04
Y dice que se toma una muestra aleatoria de 40 hombres 00:18:14
Entonces N es 40 00:18:21
¿Cuánto será Q? 00:18:25
Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 10 de ellos tengan problemas de alopecia? 00:18:36
Esto si lo hacemos con la binomial es 40 sobre 10 por 0.22 elevado a 10 por 0.78 elevado a 30. 00:18:58
Cuando son estos cálculos así tan complejos, lo que se hace es la aproximación. 00:19:36
Bueno, si resolvemos esto, ya te digo que da 0,13. Pero vamos a hacer la aproximación a la normal. Necesitamos la media y la sigma. La media es NP, que es 40 por 0,22, que da 8,8. 00:19:43
Y la sigma es raíz de NPQ, que es raíz de 8,8, que es lo de antes, por 0,78. 00:20:38
8,8 que ya es NP. 00:21:04
Entonces esto es 2,62. 00:21:08
La recuadramos aquí, la normal 8,8, 2,62. 00:21:15
Y ahora, como me están preguntando por un valor concreto, que es 10, pues tenemos que hacer la corrección esa de continuidad. 00:21:23
Vamos a coger, es decir, me piden un valor concreto que es 10, pues vamos a hacerlo para 9,5 y 10,5 en este intervalo. 00:21:43
Entonces, Z1, 9,5 menos 8,8, que es la media, partido de 2,62, que es la desviación típica. 00:22:06
Z2, 10,5 menos 8,8, partido de 2,62. 00:22:30
Entonces, Z1 da 0,27 y Z2 da 0,65. 00:22:47
Ojo, ahora están los dos, fíjate que en la normal aquí tengo el 8,8, pero los dos datos que me han salido son el 9,5 y el 10,5. 00:23:03
O sea, los tengo los dos a la derecha de la media, luego ahora no tengo que andar haciendo el 1 menos el resultado, lo miramos directamente en la tabla. 00:23:19
Y en la tabla, para el 0,27 da 0,7422 y para el 0,65 da 0,6064 y para el 0,65 entonces da 0,7422. 00:23:27
Hay que restar z2 menos z1 y entonces la resta da 0.13.58. 00:24:13
El resultado se parece mucho y a lo mejor para este caso tan sencillo y si el ejercicio no nos dice nada, lo podríamos haber hecho con el cálculo de la binomial, si la calculadora lo permite. 00:24:56
Pero fíjate en el apartado B, dice ¿cuál es la probabilidad de que haya más de 10? ¿Cuál es la probabilidad de que X sea mayor que 10? 00:25:09
Bueno, pues esto con la binomial habría sido prácticamente imposible de tirar la toalla porque sería calcular, fíjate que la muestra es de 40, sería calcular la probabilidad de 10, la probabilidad de 11, la probabilidad de 12, la probabilidad de 13, ¿vale? 00:25:31
Cada uno haciendo la fórmula, porque no hay otra manera. 00:25:57
Sin embargo, con esta, la probabilidad de que haya más de 10, lo que vamos a hacer, que es más fácil, es 1 menos la probabilidad de que haya menos de 10. 00:26:03
Y entonces, nuestro z ahora es 10-8,8 partido de 2,62, que es 0,458 y esto da 0,46 en la 00:26:17
tabla. Y es 0.6772. Entonces, hemos calculado, si aquí está el 10, hemos calculado la probabilidad 00:27:09
de que sea menor que 10. Pero como hemos dicho que íbamos a hacer 1 menos la probabilidad 00:28:04
de que fuera menor que 10, pues haríamos 1 menos 0, 67, 72, para calcular la probabilidad 00:28:11
de que sea mayor que 10 el número de personas con alopecia. Y esto sale 0, 32, 28. 00:28:18
Después, con esto terminamos el ejercicio de la otra parte, antes de empezar con las 00:28:28
distribuciones de la otra hoja, esa que eran tantísimos ejercicios. No sé si te los has 00:29:13
terminado. ¿Te acuerdas? La probabilidad tenía dos partes. La primera era ejercicios 00:29:21
más sencillos de probabilidad, de empezar con las distribuciones, combinatoria, el teorema 00:29:29
de Bayes. 00:29:36
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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      • Segundo Curso
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Carolina F.
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Fecha:
5 de mayo de 2025 - 19:27
Visibilidad:
Clave
Centro:
CEPAPUB SIERRA DE GUADARRAMA
Descripción ampliada:
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Duración:
29′ 39″
Relación de aspecto:
1.75:1
Resolución:
894x512 píxeles
Tamaño:
445.77 MBytes

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