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Problemas de integral definida - ejercicio 1 - Contenido educativo

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Subido el 15 de marzo de 2020 por Manuel D.

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Problema 1 de la hoja de problemas de integral definida

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Hola, ¿qué tal? Empezamos con una serie de vídeos sobre integrales, problemas de 00:00:02
integral definida. Vamos a resolver estos cuatro problemas. En este primer caso 00:00:14
vamos a resolver en este primer vídeo el primer problema. Se trata de la integral 00:00:19
definida entre menos 1 y 1 de la función raíz de 1 menos x cuadrado y nos piden 00:00:23
que lo interpretemos geométricamente. Para integrar la integral indefinida va 00:00:27
a haber que realizar este cambio de variable x igual a seno de t. Pues vamos con ello. 00:00:32
En primer lugar, lo que vamos a hacer, escribimos la función y realizamos el cambio de variable 00:00:38
que nos piden para calcular la integral indefinida. Para ello, x igual a seno de t. Tenemos que 00:00:48
tener en cuenta que siempre que queramos calcular un cambio de variable hay que calcular el 00:00:59
diferencial ya lo sabemos en este caso sería coseno de t diferencial de t 00:01:03
tenemos que tener en cuenta siempre que tengamos relaciones trigonométricas pues 00:01:09
la fórmula fundamental de la trigonometría de donde se deduce que 00:01:14
pues seno pues que seno de x va a ser raíz de 1 menos coseno cuadrado de x o 00:01:21
Al revés, la que necesitemos, coseno de x igual a raíz cuadrada de 1 menos seno cuadrado de x. 00:01:34
Alguna de las dos la podemos necesitar. 00:01:41
Y luego, esto es una diferencia con las integrales indefinidas. 00:01:43
Cuando tenemos integrales definidas, va a haber que cambiar también los límites de integración. 00:01:46
El menos 1 y el 1 son límites para la x, límite inferior y límite superior. 00:01:53
Pero ahora tenemos que calcular los correspondientes de la y. 00:02:01
¿Y cómo lo vamos a hacer? 00:02:03
pues con esta ecuación, la relación que hay entre la x y la y. 00:02:04
Es decir, que si la x vale 1, es el seno de t el que vale 1, 00:02:08
con lo que la t tiene que valer necesariamente para que el seno valga 1, 00:02:13
sabemos que la t pues tiene que valer pi medios, por ejemplo, vamos, pi medios más 2kpi. 00:02:18
Y este sería el primer caso, límite superior y el límite inferior, 00:02:24
si la x vale menos 1, es decir, el seno de t vale menos 1, 00:02:28
calculamos el correspondiente valor de t que será pues por ejemplo menos pi medios, eso es, entonces con todos estos datos sustituimos, tenemos que aplicar todo esto para sustituir en la integral 00:02:32
y tendríamos la integral ahora ya entre menos pi medios y pi medios, observamos que han cambiado los límites de integración de la raíz cuadrada de 1 menos x cuadrado, es decir, sería 1 menos seno cuadrado de x, 00:02:44
1 menos seno cuadrado de x y luego diferencial de x que va a ser coseno de t, diferencial de t, perdón, aquí esto es 1 menos seno cuadrado pues de t. 00:02:56
Aquí evidentemente tenemos no seno de x sino seno de t, así que aquí en estas letras serían todo t. 00:03:08
Bien, y después vamos a tener diferencial de x, decía que era coseno de t, diferencial de t. 00:03:15
bueno, de acuerdo, ojo importante 00:03:21
en todas estas letras 00:03:25
no vamos a utilizar en todas estas fórmulas 00:03:26
que son ciertas para X también 00:03:28
pero también para T y vamos a utilizar la T seno de T 00:03:29
y coseno de T, bien 00:03:32
entonces ahora esta integral la simplificamos 00:03:33
un poquillo 00:03:37
esta integral la vamos a simplificar un poquillo 00:03:37
y como quedaría 00:03:54
pues quedaría 00:03:56
raíz cuadrada de coseno cuadrado de T 00:03:57
por coseno de T 00:04:01
diferencial de T, es decir 00:04:03
es la integral entre menos pi medios y pi medios de coseno de t por coseno de t, 00:04:04
o lo que es lo mismo, será la integral entre menos pi medios y pi medios de coseno cuadrado de t. 00:04:13
Bien, y llegados a este punto, en este tipo de integrales, cuando tenemos la integral de coseno cuadrado o seno cuadrado, 00:04:20
tenemos que utilizar la siguiente fórmula. 00:04:26
coseno cuadrado de t es igual a 1 menos coseno del ángulo doble partido por 2 y esta fórmula 00:04:28
recuerdo que sale de la fórmula seno cuadrado de t más coseno cuadrado de t igual a 1 es la 00:04:38
fórmula fundamental de la trigonometría junto con el coseno del ángulo doble la fórmula del 00:04:44
coseno del ángulo doble, que es coseno cuadrado menos seno cuadrado de t. 00:04:51
Si aquí restamos, vamos a obtener, restando, que 1 menos coseno de 2t 00:04:56
será igual al doble del coseno cuadrado de t. 00:05:02
Y de aquí sacamos esta fórmula, que es la que vamos a utilizar para poder integrar ahí. 00:05:06
Entonces esto quedaría la integral entre menos pi medios y pi medios de lo siguiente. 00:05:11
Y ahora lo que hacemos es integrar, separar el 1 medio lo podemos sacar fuera de la integral y ahora tenemos aquí un 1 menos pues la integral entre menos pi medios y pi medios de coseno de 2t, diferencial de t, cierro paréntesis. 00:05:16
Y ahora lo que tenemos que hacer es resolver esas dos integrales. Un medio de la integral de 1 es t entre menos pi medios y pi medios menos un medio de la integral del coseno es el seno porque la derivada del seno es el coseno pero como aquí tenemos un 2 para que nos aparezca la derivada de lo de dentro necesitaríamos tener ahí un 2 por lo que multiplicamos y dividimos por 2. 00:05:47
De manera que aquí tenemos la derivada de lo de dentro, es decir, que eso es la integral, la integral del coseno de 2t por 2 sería pues seno de 2t. 00:06:16
Si derivamos aquí obtenemos esto y eso tenemos que evaluarlo en los límites para la t, menos pi medios y pi medios. 00:06:29
Es decir, que aquí ya sustituyo, aplico la regla de barro y se acaba. 00:06:37
Quedaría un medio de pi medios menos pi medios, ojo con los dobles signos al aplicar barro, menos un medio de seno de 2t por pi medios será seno de pi menos seno menos pi medios por 2 menos pi por seno de menos pi. 00:06:49
Y tened en cuenta que seno de pi y seno de menos pi es cero, así que toda esta parte es cero y aquí tenemos pi medios menos menos pi medios, es pi medios más pi medios que es pi, así que el resultado sería un medio de pi, pi partido por dos. 00:07:13
Muy bien, y nos piden que interpretemos esto geométricamente. Para ello, pues nos tenemos que fijar que esto será el área de esta función y pues tendremos que representar esta función entre menos uno y uno. 00:07:30
Si nosotros representásemos esa función entre menos 1 y 1, veríamos que la función y igual a raíz de 1 menos x cuadrado, 00:07:42
si le vamos al cuadrado y despejamos, pues esto es un círculo de radio 1, es una circunferencia de radio 1. 00:07:52
Y justo estamos integrando entre menos 1 y el 1, es decir, que estamos calculando el área de media circunferencia de radio 1. 00:07:59
Y recuerdo que el área de un círculo sería pi r cuadrado, es decir, en nuestro caso pi, con lo que el área de un semicírculo de radio 1 sería pi medios. 00:08:10
Es este pi medios que hemos obtenido aquí. Y esa sería la interpretación geométrica. 00:08:28
Bueno, en el siguiente vídeo vamos a realizar otro problema de integral definida. 00:08:34
Espero que este os haya quedado claro. ¡Hasta luego! 00:08:39
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Manuel Domínguez
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
69
Fecha:
15 de marzo de 2020 - 11:11
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
08′ 44″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
241.66 MBytes

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