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(3) Crecimiento-Decrecimiento-MÁX-MíN de una función - Contenido educativo

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Subido el 9 de noviembre de 2020 por Esteban S.

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Hola otra vez, chicas y chicos de segundo bachillerato, estamos aquí para estudiar un problema ya conocido, pero con una peculiaridad importante. 00:00:02
Tengo que avisar que este vídeo solo tiene sentido que lo veáis después de haber visto los dos vídeos anteriores y después de haberlos estudiado. 00:00:16
Muy bien. Vamos a ver de qué trata este problema. Pues este problema, ¿veis? Nos piden crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos, relativos de una función. Muy bien. En este caso es una función a trozos. 00:00:23
Vamos a recordar rapidísimamente y luego lo voy a borrar 00:00:42
Cómo calculábamos esto 00:00:46
Para esto necesitábamos estudiar el signo de la derivada 00:00:48
Y para estudiar el signo de la derivada 00:00:51
En la recta real señalábamos unos puntos importantes que los voy a recordar 00:00:52
Los primeros puntos que señalábamos importantísimos 00:00:57
Son aquellos puntos cuya derivada era 0 00:01:00
Estos puntos eran muy importantes porque eran candidatos 00:01:04
Candidatos a ser máximos o mínimos relativos 00:01:07
Luego puede que no lo fueran, acordaros, pero podrían serlo. 00:01:12
Otros puntos que señalábamos aquí en la recta real, muy importantes, eran los agujeros del dominio. 00:01:17
Eran los puntos x sub 2, tales que x sub 2 no pertenecían al dominio. 00:01:23
¿Por qué los señalábamos estos puntos? 00:01:28
Los señalábamos porque estos puntos a veces eran punto de cambio del signo de la derivada. 00:01:29
Antes y después de él, pues cambiaba la derivada, o no cambiaba, pero había que señalarlo. 00:01:35
Estos puntos x sub 2 no iban a ser ni máximos ni mínimos 00:01:38
Porque no están en el dominio, pero eran importantes señalar 00:01:42
Pues aparte de eso, hay otros puntos que tenemos que señalar 00:01:44
No lo hemos dicho antes, pero lo vamos a decir ahora 00:01:50
Y son estos puntos que pueden ser máximos o mínimos 00:01:52
Por ejemplo, mirad esta función 00:01:55
¿Veis? Esta función, ya estáis viendo 00:01:57
Que aquí tiene un máximo, cuya tangente es cero 00:02:03
Y aquí tiene un mínimo 00:02:07
pero como es un pico no tiene derivada 00:02:09
este punto no tiene derivada 00:02:12
en cambio es un mínimo relativo 00:02:14
bueno, pues estos puntos 00:02:16
los voy a poner aquí en azulito 00:02:18
también podrían ser 00:02:20
podrían ser 00:02:23
no existen 00:02:26
podrían ser máximos o mínimos relativos 00:02:30
estos puntos cuya derivada no existe 00:02:33
¿por qué no lo dije esto en los otros vídeos? 00:02:35
no lo dije en los otros vídeos 00:02:37
¿por qué? 00:02:39
cuando una función está definida 00:02:40
como de la manera habitual, una parábola 00:02:42
un polinomio, una exponencial 00:02:45
pues esa función es derivable 00:02:47
suelen ser, casi todas son derivales 00:02:49
casi todas las funciones con las que vais a trabajar son derivales 00:02:50
por eso no 00:02:53
lo dije, pero ahora sí vamos a incidir 00:02:54
en ello, porque cuando la función es 00:02:57
a trozos, puede que en el punto 00:02:59
este de solapamiento 00:03:01
de un tramo con otro 00:03:03
sea 00:03:04
no derivable 00:03:06
voy a hacer una pequeñita observación 00:03:07
una pequeñita observación 00:03:11
que tiene que ver, por ejemplo 00:03:13
con funciones de este tipo 00:03:15
¿qué pasa con la función 00:03:16
1 partido por x menos 9? 00:03:18
pues esta función, que es una función 00:03:20
habitual, no es complicada 00:03:22
esta es la derivada 00:03:24
resulta que f' de 9 00:03:26
no existe 00:03:29
no existe 00:03:30
entonces alguien me podría decir, eh profesor, entonces aquí 00:03:33
este 9, según esto 00:03:37
podría ser candidato a máximo mínimo 00:03:39
pues no, no va a ser candidato 00:03:42
¿por qué? 00:03:44
porque x igual a 9 00:03:45
no pertenece al dominio de la función 00:03:48
luego no es candidato 00:03:50
luego en este punto no 00:03:52
no es candidato 00:03:54
aunque su derivada no existe 00:03:56
acordaros que esto si hay que ponerlo aquí 00:03:57
pero no va a ser 00:03:59
ni máximo ni mínimo 00:04:02
bueno, dicho esto 00:04:04
empieza la explicación 00:04:05
así que empezamos 00:04:07
Vamos a ver cómo calcular crecimiento de crecimiento de máximos y mínimos relativos cuando la función está definida a trozo. 00:04:09
Entonces, en estas funciones tenemos que ver qué ocurre con puntos que no sean derivables. 00:04:16
Podrían ser máximos o mínimos o podrían no ser. 00:04:27
Vamos a intentarlo, a hacer este problema. 00:04:30
Ya estoy borrando esto, creo que hay otra manera más rápida de borrarlo, pero bien, yo voy a ir clic a clic, clic a clic, hasta que se borra. 00:04:33
Ya está. 00:04:40
Bueno, pues empezamos a estudiar esta función. Esta función, como es una función definida a trozos, lo primero que hago, ya lo sé, pues si lo sabes ponlo, pero no lo pongas mal, lo que ya sé seguro es que lo primero que hay que hacer es el dominio. 00:04:40
Bueno, el dominio de esta función es R 00:04:55
¿Por qué es R? 00:04:58
Pues muy fácil 00:05:00
Esto es R porque este primer tramo 00:05:01
Es una función exponencial 00:05:05
No hay un agujerito 00:05:07
Y esto es una parábola 00:05:09
No hay agujerito si el 0 está aquí 00:05:10
Luego no hay ningún agujerito 00:05:12
Luego el dominio es R 00:05:14
Muy bien, el dominio es R 00:05:15
Pues continuamos ahora 00:05:17
Quiero calcular cuál es su derivada 00:05:19
Igualarla a 0 para ver qué valores 00:05:21
son candidatos a máximos y mínimos 00:05:23
como es una función a trozos 00:05:25
lo primero que me tengo que asegurar 00:05:27
es que sea continua para intentar hallar la derivada 00:05:28
¿es una función continua? 00:05:31
pues sí, otra vez sí 00:05:34
porque en el primer tramo 00:05:35
una exponencial continua 00:05:36
y en el segundo tramo, este de aquí 00:05:38
una parábola también continua 00:05:40
luego esta función es continua 00:05:42
en principio, en todo R salvo 00:05:43
en X igual a 0 que lo tengo que estudiar 00:05:46
así que voy a estudiar 00:05:49
la continuidad en x igual a cero. ¿Continuidad en x igual a cero? 00:05:52
Venga, que esto ya estamos saciados de hacerlo. Tengo que estudiar el límite por la izquierda 00:05:59
de f de x cuando x tiende a cero, el límite por la derecha cuando x tiende a cero de f de x 00:06:07
y tengo que estudiar f de cero. Cuando haya estudiado estos tres valores, si existen y coinciden, 00:06:13
Pues diré que la función es continua en cero 00:06:19
Aquí estoy en el primer tramo 00:06:21
Que estamos aquí 00:06:24
Otro puntito, elevado a cero más uno 00:06:25
Dos 00:06:27
Aquí estoy en el segundo tramo, otro puntito 00:06:28
Estoy aquí, cero menos dos al cuadrado 00:06:31
Cuatro menos dos, dos 00:06:33
F de cero, estoy aquí 00:06:35
Dos, bueno pues esto ya me asegura 00:06:36
Que 00:06:41
Este me asegura que 00:06:42
F es 00:06:44
Continua 00:06:46
En x igual a cero 00:06:48
Esto es importante, ¿eh? Muy bien. Como era continuo en x igual a 0, era el único valor conflictivo, pues ya sé que f es continua en r. 00:06:51
Entonces, como sé que es continua en r e incluso en el 0, ya sé que su derivada, salvo en x igual a 0, que no puedo decir nada, acordaros de esto que es muy importante, 00:07:04
en x igual a 0 no puedo decir nada todavía, esta función derivada, la derivada de, otra vez me vengo aquí, este primer tramo, elevado a x más 1 es elevado a x, 00:07:20
y la derivada de una expresión elevada al cuadrado es 2 por x menos 2, elevado a 1 y por 1, como el elevado a 1 y el por 1 no os gusta que lo ponga, 00:07:31
Pues yo tampoco lo pongo muy bien. Esto es elevado a x y x menor que 0 y aquí x mayor que 0. 00:07:40
Vuelvemos a insistir una vez más que aquí no puedo poner el igual, no puedo poner el igual, 00:07:48
no lo puedo poner el igual hasta que no me asegure que el límite por la izquierda y por la derecha en 0 es el mismo. 00:07:57
Así que ahora vamos a estudiar qué pasa, a ver si existe f' de 0. 00:08:04
Para que exista f' de 0 tengo que calcular dos límites. 00:08:08
El límite por la izquierda de la derivada en 0 y el límite por la derecha de la derivada en x. 00:08:12
Si estos dos límites coinciden, a ese valor coincidente le llamo f' de 0. 00:08:20
Aquí estoy en el primer tramo, que es este verde aquí, elevado a 0, 1. 00:08:26
Aquí estoy en el segundo tramo, 0 menos 2 menos 2 por 2, menos 4. 00:08:31
Muy bien, como no coinciden, importantísimo, f' de 0 no existe. 00:08:34
Luego fijaros que hice muy bien en no poner aquí el signo este igual porque de hecho no existe. 00:08:43
Luego la derivada de esta función es esta, salvo en el 0 que no existe derivada. 00:08:49
Bien, muy bien, bueno, seguimos. 00:08:55
¿Qué nos toca ahora? Pues ahora nos toca averiguar para qué valor desde aquí la derivada se hace 0. 00:08:59
Derivada, ¿dónde estás? Aquí, igual a cero. 00:09:07
Bien, bueno, como la función derivada es una función a trozos, primer trozo igual a cero, segundo trozo igual a cero. 00:09:13
¿Primera ecuación elevada de x igual a cero? Nunca, porque es una exponencial, una exponencial nunca vale cero. 00:09:25
¿Esto, x igual a cero cuando x igual a dos? Muy bien, bueno. 00:09:33
Bueno, antes de remarcar x igual a 2, lo dejo ahí abierto, tengo que asegurarme de algo importante, importante, y es que este valor de aquí, este valor de aquí, tiene que estar en su dominio. 00:09:36
Muy bien, x igual a 2, ¿cumple que está aquí en x mayor que 0? Sí está, bueno, pues como está, sí puede. Así que ya tengo que f' de 2, este valor, cumple que f' de 2 es 0. 00:09:52
bueno, pues con esto 00:10:06
ya puedo 00:10:08
lo voy a poner ahí que se ve muy bien 00:10:09
ya puedo estudiar 00:10:12
el signo de mi derivada 00:10:13
entonces para estudiar el signo de la derivada 00:10:15
acordaros que aquí pongo mi recta real 00:10:17
y aquí señalo los puntos que anulan la derivada 00:10:19
el 2, puede ser posible máximo o mínimo 00:10:22
también tengo que poner los agujeros 00:10:26
del dominio, pero como el dominio es R 00:10:28
no tiene agujeros, pues no pongo ninguno 00:10:30
ahí no va a haber problemas de cambio de signo 00:10:31
pero además 00:10:33
tenemos que 00:10:35
poner esto 00:10:37
para eso está hecho este problema 00:10:38
para eso está hecho este problema 00:10:40
en esta función a trozos 00:10:43
en el cero no es derivable 00:10:45
ahí podría haber un máximo y un mínimo 00:10:47
relativo, todavía no lo sé 00:10:49
muy bien, ¿qué hago? 00:10:50
pues ya sabemos lo que tengo que hacer 00:10:53
tengo que estudiar 00:10:55
el signo de f' 00:10:56
de la derivada y sabiendo 00:10:59
el signo de la derivada 00:11:01
yo sé cuál es el comportamiento 00:11:02
de la función 00:11:06
esta tablita ya no sé si he dicho en este vídeo en otro como he hecho algunos 00:11:07
vídeos y más que vosotros no habéis visto porque los he tenido que repetir 00:11:18
no sé si digo que esta tablita que hacéis en el fondo todos hacemos la 00:11:20
misma tabla pero a lo mejor no nos hace una rayita más una menos pero las tablas 00:11:25
son la misma porque siempre lo mismo estudiar sino de la derivada bien voy a 00:11:29
poner que se de esta tabla de esta tabla sólo sé qué 00:11:33
F' de 2 vale 0, lo aquí te casco en 0, y la otra cosa que sé es esta, que F' de 0 no existe, F' de 0 no existe, no existe, muy bien, vamos a estudiar el signo de la derivada, muy bien, aquí, primer tramo, me voy aquí, valor menor que 0, estoy en la derivada, aquí, primer tramo, aquí, en azul, en verde lo he puesto, bueno, elevado a 0, positivo, muy bien, 00:11:37
Segundo tramo, 0 entre 2. Estoy aquí. Segundo tramo, 0 menos 2 menos 2 por 2 menos 4. Negativo. 00:12:06
Tercer tramo, valores mayores que 2. Cojo el 130. Positivo. ¿Vale? Pues ahora ya contesto lo que sé. 00:12:15
¿Qué significa que el signo de la derivada sea positivo? Que la función crece. 00:12:23
¿Qué significa que el signo de la derivada sea negativo? Que la función decrece y que la función crece. 00:12:27
Con esto ya puedo contestar mucho. 00:12:33
muy bien, este punto de aquí 00:12:35
le voy a llamar el punto B 00:12:39
creo que sabéis por qué 00:12:40
este es el punto B, lo que sea 00:12:42
F de 2 00:12:44
venga, ¿cuánto es F de 2? 00:12:45
venga, lo voy a poner en negro, anda 00:12:48
F de 2, como estoy aquí 00:12:49
2 menos 2, menos 2 00:12:52
pues el punto 00:12:54
F de menos 2 es un punto 00:13:00
de derivada 0 que pasa de decrecer 00:13:02
a decrecer 00:13:04
Esto se llama 00:13:05
Mínimo relativo 00:13:07
Muy bien 00:13:10
Mínimo relativo 00:13:11
Muy bien, y ahora mirad que pasa con este punto 00:13:12
Este punto 00:13:15
Que para él se ve la letra A 00:13:16
Es el cero 00:13:19
F de cero 00:13:20
Venga, ¿cuánto vale F de cero? 00:13:23
Cero menos dos, cero 00:13:25
Oye, aquí me he equivocado 00:13:30
Esto es más dos 00:13:35
No me habéis dicho nada 00:13:35
No, a ver 00:13:37
f de 2 menos 2 00:13:39
que estaba bien, perdonadme 00:13:42
pero no lo repito ya, no lo repito 00:13:44
lo siento, vale, 0 00:13:46
estoy en el primer tramo 00:13:48
es elevado, aquí, ahí 00:13:50
elevado a 0, 1 más 1 00:13:52
2, esto es un 2 00:13:54
perfecto, muy bien, bueno 00:13:56
este punto 00:13:58
es un máximo 00:13:59
mirad, porque pasa de 00:14:02
crecer, ahí está creciendo, a decrecer 00:14:04
aquí otra vez, muy bien, pues esto es un máximo 00:14:06
relativo. ¿Por qué es tan importante este máximo relativo? Porque es un máximo relativo 00:14:08
que no tiene derivada, ¿eh? Habéis visto 00:14:15
luego los puntos no derivables también 00:14:18
pueden ser extremos relativos, luego podría preguntaros 00:14:22
venga, este mínimo es absoluto, es relativo, vale, ya lo voy a dejar 00:14:27
aquí, ya se termina, porque aquí 00:14:32
tenemos esto, que es la función 00:14:35
dibujada, ahí está, fantástica la función 00:14:40
fantástica, ahí está la función, bueno, pues esta es la función 00:14:44
a ver que se vea todo ahí 00:14:48
muy bien, ahí está la función, mirad, vamos a enseñar las cosas, mirad 00:14:51
por aquí, esto era elevado a x más 1 00:14:55
por aquí venía, y esta parábola era x menos 2 al cuadrado 00:14:59
menos 2, este es el punto donde se juntan, es continua 00:15:04
pero no derivable, tiene un piquito 00:15:08
y bien 00:15:10
este es un mínimo relativo 00:15:11
que resulta que también es absoluto 00:15:14
¿lo veis? ¿por qué es absoluto? 00:15:17
porque aquí sale una asíntota, ¿veis? 00:15:18
y este punto de aquí 00:15:20
que es el punto para el que 00:15:22
hemos hecho este vídeo tan importante 00:15:24
es un máximo, porque es 00:15:26
mayor que todos estos que tienen aquí 00:15:28
pero en cambio no tiene 00:15:29
tangente horizontal como él 00:15:32
así que ya está 00:15:36
se ha terminado el vídeo 00:15:38
ha salido un poco largo, pero es muy importante 00:15:39
que entendáis este libro 00:15:41
este vídeo 00:15:43
ya me equivoco en las palabras 00:15:44
porque los posibles máximos 00:15:46
y mínimos están en los puntos 00:15:49
en los que la derivada vale cero 00:15:51
pero también puede haber 00:15:53
máximos y mínimos en los puntos 00:15:55
que no tienen derivada 00:15:57
y esto sobre todo va a ser así 00:15:58
o casi siempre en las 00:16:00
funciones definidas a trozos 00:16:03
bien, espero que os haya 00:16:04
interesado el libro, el vídeo, otra vez 00:16:07
dicho vídeo y que os haya gustado. Muchas gracias por haber escuchado. Un saludo. 00:16:09
Subido por:
Esteban S.
Licencia:
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Visualizaciones:
365
Fecha:
9 de noviembre de 2020 - 19:57
Visibilidad:
Público
Centro:
IES SAN JUAN BAUTISTA
Duración:
16′ 15″
Relación de aspecto:
1.85:1
Resolución:
1376x744 píxeles
Tamaño:
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