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Sistemas 3 - Teorema de Rouché-Fröbenius - Contenido educativo

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Subido el 26 de julio de 2018 por Manuel D.

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Se explica el teorema de Rouché - Fröbenius que sirve para discutir un sistema de ecuaciones lineales, es decir, poder distinguir cuándo el sistema es compatible o incompatible, determinado o indeterminado.

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Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo a este curso de matemáticas de segundo de bachillerato. 00:00:02

Vamos a hablar hoy sobre el teorema de Roche-Frobenius. 00:00:11

El teorema de Roche-Frobenius es una manera sencillísima de discutir un sistema. 00:00:14

Esto es, de mirar a ver si tiene o no tiene soluciones y si, en caso de tener soluciones, son infinitas o es una única solución. 00:00:18

¡Comenzamos! 00:00:27

Primero, consideremos un sistema de ecuaciones formado por m ecuaciones y n incógnitas. 00:00:28

Vamos a extraer de él la matriz de coeficientes, por un lado, la columna de términos independientes, 00:00:34

la columna de incógnitas y la matriz ampliada, que consiste en las columnas de la matriz de coeficientes 00:00:41

junto con la columna del término independiente. 00:00:48

El sistema de ecuaciones puede escribirse por columnas de esa forma, 00:00:51

en la que hemos separado las columnas de términos de la primera columna sacando factor común al x1, la segunda columna sacando factor común al x2, etc. 00:00:55

¿Por qué escribimos esto de esa forma? Bueno, pues porque vamos a ver que si suponemos que existe una solución, entonces esa columna de b puede escribirse como combinación lineal 00:01:06

de las columnas de la matriz A. ¿Por qué? Pues porque x1, x2, xn van a ser los coeficientes 00:01:19

de esa combinación lineal. Entonces, ¿eso qué significa? Pues que como B se puede escribir 00:01:25

como combinación lineal de las anteriores columnas, el rango no aumenta al añadir la 00:01:30

columna B. Por tanto, los rangos coinciden. Recordad que el rango es el máximo número 00:01:36

de líneas linealmente independientes. Como B no es independiente respecto de las anteriores, 00:01:42

el rango coincide. Vamos a ver recíprocamente qué ocurre si el rango de A y el rango de 00:01:48

A barra coinciden. Bueno, pues por el mismo razonamiento, la columna B se puede escribir 00:01:54

como combinación lineal de las columnas de la matriz A. Precisamente los coeficientes 00:01:59

de esa combinación lineal es la solución del sistema de ecuaciones. ¿Qué hemos demostrado? 00:02:04

Bueno, pues hemos demostrado el teorema de Rochefrobenius que dice que para que un sistema 00:02:09

sea compatible, es necesario y suficiente que los rangos de la A y de la A barra coincidan. 00:02:13

Bien, esto en resumen, ¿qué significa? Significa que un sistema de ecuaciones será compatible si el rango de A coincide con el de A barra 00:02:19

y será incompatible si no, si el rango de A no coincide con el de A barra. 00:02:26

Vamos a ver cómo se utiliza el teorema de Roche-Frobenius en un ejemplo. 00:02:32

Vamos a considerar ese sistema de ecuaciones, un sistema de ecuaciones de cuatro ecuaciones con tres incógnitas. 00:02:35

Vemos que si lo tuviésemos que resolver a mano sería bastante tedioso y nos podríamos perder, no sabríamos si es compatible o no. 00:02:41

Vamos a verlo utilizando rangos. Para ello, cogemos las dos matrices, la matriz de coeficientes y la ampliada, y vamos a calcular los rangos. 00:02:48

En primer lugar, para calcular el rango de la matriz A, pues partimos de un menor de orden 2, como es distinto de 0, pues el rango como mínimo será 2. 00:02:57

las dos primeras filas o columnas son linealmente independientes. 00:03:04

Orlamos, sacamos menores de orden 3 a partir de este. 00:03:08

El primer menor que sacamos es nulo, así que no nos sirve para calcular o para demostrar al menos que el rango es 3, 00:03:11

pero con el siguiente menor de orden 3 vemos que es distinto de 0 y por lo tanto el rango de la matriz A concluimos que es 3. 00:03:18

Ya tenemos la mitad del ejercicio. 00:03:25

Ahora, ¿qué queda? Pues queda calcular el rango de la matriz A. 00:03:27

barra. Para ello, como es una matriz 4x4 y como sabemos que como mínimo el rango va a ser 3, porque el rango de la matriz A era 3, vamos a ver si puede ser 4. 00:03:31

Para ello calculamos el determinante, que es el único menor de orden 4. Entonces, ese determinante, como es un determinante de orden 4, no se puede calcular tal cual. 00:03:42

Vamos a tener que hacerlo haciendo ceros y desarrollando por los elementos de una fila o columna. Para ello, ¿qué es lo que hemos hecho ahí? 00:03:52

Y como veis, pues es a la tercera fila restarle la segunda y a la cuarta fila restarle el doble de la segunda. 00:04:00

Y así hemos obtenido una columna que tiene solo un 1 y el resto ceros. 00:04:07

Desarrollamos por esa columna y eso a la postre lo que significa es que vamos a calcular un determinante de orden 3. 00:04:12

Lo calculamos, vemos que vale 43, por lo tanto no es 0 y deducimos que el rango de la matriz ampliada es 4. 00:04:18

no coincide con el rango de la matriz A y por tanto podemos demostrar, hemos demostrado de hecho, que el sistema de ecuaciones no tiene soluciones incompatibles. 00:04:29

Bueno, vamos a pasar ahora a analizar el caso de los sistemas compatibles cuando son indeterminados y cuando son determinados en función del rango de la matriz de coeficientes 00:04:40

y de la matriz ampliada. 00:04:49

Analicemos el caso de los sistemas compatibles. 00:04:51

Imaginemos que tenemos un sistema que tiene m ecuaciones y n incógnitas. 00:04:55

Imaginemos que el rango de la matriz de coeficientes y el de la ampliada vale k. 00:04:59

Imaginemos que ese k son las formadas por las k primeras filas, 00:05:05

de manera que ahí tenemos un menor principal de orden k que no se anula, que no vale 0. 00:05:10

Entonces eso significa que las K primeras ecuaciones son independientes y que significa también que las últimas M menos K ecuaciones nos podemos olvidar de ellas porque sobran en el sentido de que dependen de las anteriores y no aportan soluciones nuevas. 00:05:17

Por lo tanto, las podemos eliminar. 00:05:35

Bueno, pues tenemos ahora un sistema formado por k ecuaciones linealmente independientes y con n incógnitas. 00:05:38

Si la k coincide con la n, eso da lugar a un sistema cuya matriz es cuadrada y de determinante no nulo. 00:05:45

Es decir, es un sistema de Cramer, que por tanto podemos resolver utilizando la regla de Cramer 00:05:52

y obtenemos un sistema que es compatible, determinado, con solución única. 00:05:57

Si en cambio la k es menor que la n, tenemos que buscar un menor de orden máximo no nulo. Imaginemos que está formado por las k primeras columnas. Entonces las otras m menos k, las otras n menos k, las tenemos que despejar a la derecha. 00:06:02

Entonces pasan con signo cambiado al lugar de los términos independientes. 00:06:19

¿Y eso qué significa? 00:06:23

Bueno, pues ahora sí que tenemos una matriz cuadrada de orden máximo, 00:06:25

es una matriz de dimensión k por k, y su determinante es no nulo, 00:06:30

porque el rango de la matriz es k. 00:06:33

Entonces, ahora sí tenemos un sistema de Cramer, 00:06:36

pero ahora tenemos una serie de incógnitas n menos k, 00:06:38

que son parámetros porque sus valores son libres, no tienen ninguna restricción. 00:06:43

Entonces, lo que tenemos es un sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones. 00:06:48

Bueno, llegados a este punto, vamos a hacer una recapitulación, una conclusión, un resumen de todo lo visto en el vídeo. 00:06:54

Si tenemos m ecuaciones y n incógnitas, podemos tener un sistema que sea compatible o puede ser incompatible. 00:07:01

Si es compatible, puede ser indeterminado o determinado, es decir, con una solución única o con infinitas. 00:07:08

Para que el sistema sea compatible, el rango de la matriz tiene que coincidir con el de la ampliada 00:07:13

Y para que sea incompatible, el rango de A tiene que ser distinto del rango de la ampliada 00:07:18

Para que el sistema sea compatible y determinado, los rangos deben coincidir con el número de incógnitas 00:07:23

Mientras que para que el sistema sea compatible e indeterminado, estos rangos coinciden 00:07:29

Pero su valor es menor del número de incógnitas 00:07:34

Bueno, y esto ha sido todo por este vídeo 00:07:39

En próximos vídeos vamos a analizar qué significa eso de que un sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones y cómo encontrar todas ellas. 00:07:41

De momento lo dejamos aquí. Un saludo, espero que os haya gustado. ¡Hasta luego! 00:07:49

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