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Números Decimales. Conceptos básicos. - Contenido educativo
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En este vídeo vamos a hablar de los números decimales.
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Un número decimal expresa una cantidad comprendida entre dos números enteros.
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Diferenciamos dos partes, a la izquierda de la coma la parte entera y a la derecha de la coma la parte decimal.
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Para leer un número decimal hacemos lo siguiente, leemos la parte entera, 25, leemos la coma,
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Leemos la parte decimal, 345
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Terminamos diciendo el nombre de la posición de la última cifra decimal, milésimas
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25,345 milésimas
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Vamos a recordar el nombre de las posiciones de los decimales
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Todas las posiciones que ocupan las cifras de un número tienen nombre
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Veamos, en esta tabla podemos observar como las cifras que ocupan lugares a la izquierda de la coma
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se les nombra como unidad, decena, centena, unidad de millar
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mientras que las posiciones a la derecha de la coma
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que son las posiciones que ocupan los números decimales
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se llamarán décima, centésima, milésima, diezmilésima, cienmilésima, millonésima y así continuamos.
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De esta manera, este número que aquí tenemos lo leeremos de la siguiente forma.
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478,2309 diezmilésimas.
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Clasificamos los números decimales dependiendo del número de decimales que tienen
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Y así obtenemos los decimales exactos, aquellos que tienen un número limitado de cifras decimales,
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por ejemplo, menos 56,7845 diezmilésimas, decimales periódicos,
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tienen infinitas cifras decimales que se repiten periódicamente.
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Distinguimos dos tipos, los periódicos puros, observad que vienen escritos con tres puntos suspensivos al final
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para indicar que el número continúa hasta el infinito, observar que tenemos la parte entera y en la parte decimal hay un grupo de cifras que se repiten.
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En este caso el bloque de cifras que se repite es 57. Esta es la manera extendida de escribirlo,
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pero se puede escribir de manera abreviada utilizando la parte entera, la coma,
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y ese bloque de cifras que se repite, que es lo que se conoce como periodo, con un gorrito encima.
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También tenemos los periódicos mixtos.
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La apariencia es parecida pero no es igual.
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Mirad, tiene los tres puntos suspensivos, los veis ahí en rojo.
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Tenemos la parte entera, pero hay unas cifras entre la coma y el periodo que no se repiten,
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no pertenecen al bloque de cifras que se repiten.
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Está antes del periodo.
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Esto se puede escribir de manera abreviada como la parte entera, 27 coma.
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Está ese conjunto de cifras que está antes del periodo, 45, y el periodo, 91, bajo el gorrito.
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Fijaos que en este número se ven las partes.
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Estas cifras que están antes del periodo se llaman exactamente así, anteperiodo.
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Y las cifras, ese bloque que se repite, que se conoce como periodo.
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¿Hay más números decimales? Sí, tenemos los irracionales.
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Estos se caracterizan porque tienen infinitas cifras decimales no periodas.
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Algunas veces, como en este caso, en este ejemplo que tenemos,
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vemos una regularidad en las cifras decimales.
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No es un periodo, pero sigue en un patrón.
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Yo puedo saber cómo sigue este número.
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Si observáis, en la parte decimal observa,
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vemos 1, un 0, 1, 1, dos 0, 1, 1, tres 0, 1, 1, cuatro 0.
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Así que detrás del último 1, preveemos que va a haber cinco ceros.
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De esta manera, construyendo así el número, sabemos que ese número no se va a acabar nunca.
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Sabemos que tiene infinitas cifras decimales, por tanto, de las que además no son periódicas.
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Siguen un patrón, pero no son las mismas.
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No siempre son así, no siempre son tan previsibles.
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Ahí está pi, que es un número que conocemos desde hace ya varios años,
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que nosotros siempre trabajamos con una aproximación de pi con 3,14,
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pero que sabemos que este número tiene infinitas cifras decimales que nunca se acaban y que no se repiten.
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Eso nos pasa también con las raíces de los números primos, las raíces cuadradas,
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y con cualquier número que contenga una raíz cuadrada, como en este caso el menos raíz de 2.
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También es un número que tiene infinitas cifras decimales no periódicas.
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Todos los números decimales se van a poder representar, ¿dónde? En la recta real.
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Sabíamos que podíamos representar los naturales, sabíamos que podíamos representar los enteros.
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Bueno, pues entre dos enteros hay un montón de huecos que se completan con todos estos decimales.
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Observad que además, aunque yo tenga dos decimales seguidos, como en este caso que tengo el 3,7 décimas y el 3,8 décimas,
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que son dos números cuyas décimas son consecutivas, siempre puedo coger este segmento de la recta
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hacerle un zoom, ampliarlo y dentro que obtengo más números decimales.
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Observad ahora cómo hemos marcado dentro de estas dos décimas consecutivas
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dos centésimas consecutivas.
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Tengo el 3,73 centésimas y el 3,74 centésimas.
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Siempre se puede volver a hacer este zoom
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de manera que podemos afirmar que entre dos decimales siempre puedo encontrar otro decimal.
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¿Cómo? Basta con que observe en este segmento y haga un zoom.
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Esto a veces en nuestros dibujos no podemos hacerlo porque tenemos un lápiz y esto es difícil con nuestras herramientas.
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Pero mentalmente lo visualizamos claramente, que siempre puedo hacer un zoom.
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¿Paro en algún momento? No. Puedo hacerlo hasta el infinito.
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El orden en los decimales.
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Sí, efectivamente, si me dan dos números decimales siempre puedo compararlos y decidir quién es el mayor.
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Observad esta colección de números, todos muy parecidos, todos decimales, todos muy parecidos.
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Lo mejor para poder compararlos es que los escriba uno encima de otro poniendo todas las comas unas encima de otras,
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de tal manera que las posiciones de las cifras coincidan.
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Todas las unidades estén con todas las unidades, todas las décimas con todas las décimas
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¿Cómo empezamos? Vamos a empezar comparando la parte entera, toda ella
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Comparamos la parte entera, vemos que todas igual, hay empate
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¿Cómo desempatamos? Mirando la posición siguiente, mirando las décimas
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En las décimas vemos que hay dos valores, el 2 y el 3
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El más pequeño es el 2, así que el número al que pertenezca el 2 ha desempatado y ese es el más pequeño
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Lo colocamos a la izquierda, perdón, a la derecha.
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Vamos a ver las centésimas.
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En las centésimas todos son 5, hay empate.
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Desempatamos con las milésimas, colocamos ese 0 porque no hay nada, pero cuando no hay nada podemos poner un 0.
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Los ceros a la derecha del número detrás de la coma no valen para nada, no aportan nada.
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Se pueden poner o no poner, es lo mismo.
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vale, en las milésimas vemos que el 0 es más pequeño que el 3, más pequeño que el 4
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así que el 72,35 centésimas será el más pequeño
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y el 72,354 milésimas será el mayor de todos
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le ponemos lo más posible a la izquierda
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Vamos a ver qué pasa en las diez milésimas.
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Completamos con ceros donde no haya número y el cero es más pequeño que el cinco, así que ya los tenemos ordenados.
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Ya tenemos todos colocatitos para ordenar números, sean enteros, naturales, decimales.
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Siempre utilizamos los operadores de orden, estos símbolos que me indican quién es mayor que quién.
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Hay que poner cuidado en qué me piden.
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Si me piden colocarlos de menor a mayor o de mayor a menor, no es lo mismo y hay que tener cuidado en los ejercicios.
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Ya hemos dicho que trabajamos siempre con aproximaciones, lo hemos dicho cuando hemos nombrado aquí.
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Así que vamos a ver cómo aproximamos decimales.
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Para aproximar números decimales necesitamos tres cosas.
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El número que queremos aproximar, el orden de aproximación, que es esto, esto es la posición a la que vamos a aproximar,
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es decir, aproximar a las décimas, a las centésimas, a las centenas, a las unidades.
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Y lo último que vamos a necesitar es el método por el que vamos a aproximar.
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Vamos a ver dos métodos, el redondeo o el truncamiento.
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Aunque si no nos dicen nada, si nos dicen que aproximemos sin decir nada, usamos el redondeo, es el más habitual.
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Vamos a explicar el método del truncamiento.
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Me dicen trunca 234,662.834 millonésimas a las milésimas.
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Bien, nos fijamos en el número que vamos a aproximar.
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Vamos a ver cuál es el orden de aproximación.
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Las milésimas, lo marcamos en el número, lo veis ahí en azul.
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El cígito que está colocado en la posición de las milésimas es S2 azul.
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Bien, el método de aproximación ya nos lo han dicho en el enunciado, truncamiento.
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¿Qué vamos a hacer? Vamos a hacer ceros las cifras siguientes a la milésima.
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Ponemos el número igual hasta la milésima pero a partir de ahí el 8 se convierte en un 0, el 3 se convierte en un 0 y el 4 se convierte en un 0.
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Es más, los tachamos, no los vamos a poner.
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Así que la aproximación va a ser 234,662 milésimas.
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Ahí lo tenemos.
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Siempre que hacemos ceros a partir de una cifra, decimos que estamos truncando un número.
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¿De acuerdo?
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Eso es truncar.
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Vamos a ver ahora el mismo ejercicio, pero lo vamos a hacer por el método del remontaje.
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Así que, ¿cuál es la cifra que ocupa el lugar de las milésimas?
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Efectivamente, es el 2.
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Nos vamos a fijar, ya lo hemos marcado, la cifra siguiente, la que ocupa el lugar de las milésimas, es decir, el 8.
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La hemos pintado en rojo.
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Vamos a comparar ese 8, esa cifra siguiente al orden de aproximación, con el 5.
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Si esta cifra es menor que 5, entonces la que está en el orden de aproximación, la que está en las milésimas, se deja constar.
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Si esta cifra es mayor que 5, entonces la cifra que ocupa el orden de aproximación se le suma a 1.
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En este caso, como 8 es mayor que 5, entonces la aproximación por redondeo será 234,663 milésimas.
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Al 2 que ocupa las milésimas se le suma 1.
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Bien, me dicen, ¿por qué tengo que comparar con 5?
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¿Por qué comparamos con ese 5?
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Vale, vamos a ver, me dicen en el mismo ejercicio.
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Que redondee el número, que lo aproxime a las milésimas y que lo haga por redondo.
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Bien, este número va a estar entre dos milésimas seguidas.
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Lo vemos en la recta.
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Va a estar entre la milésima, 234,662 milésimas y el 234,663 milésimas.
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Lo que hemos hecho ha sido separar ese espacio en diez partes iguales.
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Así que cada uno de esos puntos es una diez milésima.
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¿Quién está en el centro?
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Efectivamente, en el centro está doscientos treinta y cuatro más seiscientos, seis mil seiscientos veinticinco, diez milésimas.
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¿Qué hacemos?
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Queremos saber si nuestro número está en la primera mitad o en la segunda mitad.
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¿Cómo lo vemos?
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Pues comparando la diez milésima de nuestro número con la diez milésima que se encuentra en el centro, con ese cinco.
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Y obviamente nuestro número va a estar en la segunda mitad.
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Nuestro número va a estar en todo ese espacio.
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No hace falta que haga el dibujo, basta con que compare la cifra del siguiente orden,
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al de aproximación, con el 5.
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Y ya está, ya sé en cuál de las dos mitades está y ya sé de quién está más cerca.
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Realmente nuestro número estaría directamente en este.
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Vamos a ver los tipos de aproximaciones.
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Vamos a ver cuándo una aproximación es por exceso y cuándo una aproximación es por defecto.
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Vamos a aprovechar todo lo que hemos visto hasta ahora porque tenemos un número aproximado por dos métodos diferentes y nos ha dado dos resultados distintos.
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Cuando este número lo aproximábamos por truncamiento nos daba esta aproximación y cuando lo aproximábamos por redondeo nos daba esta otra aproximación.
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Si comparamos el valor real y el valor aproximado, tenemos que en la primera aproximación mi número, el valor real, es mayor que el valor aproximado.
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O sea que el valor aproximado es más pequeño que el valor real.
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Así que la aproximación va a ser por defecto, porque es menor.
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Sin embargo, la otra aproximación es más grande que el valor real.
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Así que el valor aproximado es mayor, la aproximación será por exceso.
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¿De acuerdo?
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Comparando la aproximación con el valor real, va a pasar que esta aproximación es o más grande o más pequeña.
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Cuando es más grande la aproximación es por exceso, cuando es más pequeña la aproximación es por perfecto.
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Cometemos un error al aproximar.
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¿Siempre cometemos un error? Siempre. Vamos a intentar controlar ese error. Sabiendo que se comete, vamos a cuantificarlo.
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Para ello, vamos a llamar error absoluto a la distancia que hay entre el valor real y el valor aproximado.
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El valor real ya sabemos que es este número y el valor aproximado vamos a coger la aproximación que hemos obtenido por redondeo, que es una aproximación por exceso.
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Queremos calcular la distancia entre ambos.
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Para ello hacemos una resta.
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Vamos a restar al valor real el valor aproximado.
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Pero la distancia siempre tiene que ser un número positivo.
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Para asegurarnos de que ese número salga positivo, vamos a usar el valor absoluto.
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Y ya lo tenemos.
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Definimos el error absoluto como el valor absoluto de la diferencia entre el valor real y el valor aproximado.
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Esa es la definición, eso es lo que vamos a calcular.
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Tenemos valor real, el que nos han dado, valor aproximado, el que hemos calculado.
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Vamos a realizar la resta.
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Hacemos esta resta y nos queda que el error absoluto es el valor absoluto de menos 166 millonésimas.
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Quitamos ese signo negativo porque aplicamos el valor absoluto y tenemos que el error que hemos cometido es de 166 millonésimas.
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Es bastante pequeño.
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Bueno, pues hasta aquí el tema.
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- Autor/es:
- Y.Alcántara
- Subido por:
- Yolanda A.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
- Visualizaciones:
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- Fecha:
- 8 de junio de 2020 - 11:11
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES MATEO ALEMAN
- Duración:
- 16′ 37″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
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- Tamaño:
- 79.80 MBytes
