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CORRECCION DE LOS EJERCICIOS 15 Y 17 DE INECUACIONES TEMA 3 - Contenido educativo

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Subido el 20 de febrero de 2022 por Pablo V.

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Buenos días a todos. Vamos a resolver el ejercicio 15 del tema 3, que tiene que ver con inequaciones, en concreto los apartados A y B. 00:00:00

El apartado A dice, resuelve las siguientes inequaciones de primer grado y expresa la solución en forma de intervalo. 00:00:11

x-1 partido por 3, menos 2x más 3, menos igual que x, menos 2x menos 1, partido por 4. 00:00:18

Para resolver esta inequación nos vamos a basar en la regla de la suma y del producto, que vimos el último día. 00:00:27

La regla de la suma nos dice que cuando tenemos una inequación podemos sumar o restar en ambos lados de la inequación la misma cantidad 00:00:34

y la inequación se mantiene y además no cambia su sentido. 00:00:42

La regla del producto nos dice lo mismo, pero con la multiplicación por un número positivo, 00:00:48

Que si tenemos una ecuación y multiplicamos el lado izquierdo y el lado derecho por la misma cantidad, la inequación se mantiene. 00:00:53

Pero si multiplicamos por un número negativo, la inequación cambia de sentido. 00:01:01

¿Vale? 00:01:08

Bien, dicho eso, comenzamos. 00:01:09

Y la vamos a resolver como resolvemos, utilizando las mismas técnicas que utilizamos para resolver las ecuaciones normales. 00:01:11

Por lo tanto, yo aquí tengo una inequación de primer grado con denominadores. ¿Qué es lo que hacemos cuando tenemos una ecuación de primer grado con denominadores? Lo primero es quitar los denominadores multiplicando por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores, que en este caso son 3 y 4. 00:01:18

luego el mínimo común múltiplo de 3 y 4, es igual a 12. 00:01:37

Esto se me ha hecho un zoom, voy a darle un botón que no de bien. 00:01:49

Entonces, multiplicamos los dos lados por 12 y nos queda 12 que multiplica a x menos 1 partido por 3, 00:01:53

menos 00:02:03

voy a hacer un poquito de zoom hacia atrás 00:02:04

no, así está mejor 00:02:07

menos 00:02:10

12 que multiplica 00:02:12

a 2x 00:02:14

más 00:02:16

12 por 3 00:02:17

menor o igual 00:02:20

que 12x 00:02:22

menos 12 00:02:23

que multiplica a 2x 00:02:25

menos 1 partido por 4 00:02:27

punto y coma 00:02:30

Bien, entonces 12 entre 3 da 4, que multiplica a x menos 1, menos 24x más 36, menos igual que 12x, y ahora 12 entre 4 da 3, ¿no? 00:02:31

menos 3 que multiplica a 2x 00:02:57

menos 1 00:03:00

¿de acuerdo? 00:03:01

entonces ahora aquí aplico la propiedad distributiva 00:03:04

de la multiplicación y tengo 4x 00:03:06

menos 4 00:03:08

perdón 00:03:09

así, menos 4 00:03:17

menos 24x 00:03:20

más 36 00:03:23

menor o igual que 00:03:24

12x y ahora 00:03:27

La propiedad distributiva aquí también, menos 6x más 3, ¿vale? 00:03:28

Y ahora lo mismo que hacemos con las ecuaciones de primer grado. 00:03:34

Dejamos las x en un lado de la ecuación y los números, los términos independientes, al otro. 00:03:37

Voy, como aquí tengo un menos 24, voy a pasarlo todo al lado de la derecha. 00:03:45

Voy a pasar las x al lado de la derecha. 00:03:51

Por lo tanto, me va a quedar esto es menor o igual que 12x menos 6x más 24x y menos 4x. 00:03:53

Si yo no me he equivocado. 00:04:05

12x menos 6x más 24x menos 4x. 00:04:06

Y esto me queda menos 4 más 36 menos 3. 00:04:11

¿Sí? 00:04:18

Menos 4 más 36 menos 3. 00:04:19

Vale. 00:04:22

Esto es menos 4 más 36 es 32, menos 3, 29, menor o igual que, y ahora aquí tenemos 12x menos 6x, 6x, más 24, 30x, menos 4, 26x. 00:04:23

Si no me he equivocado, esto es 6x, 30x, 26x, sí, está bien. 00:04:43

Y ahora, como me tengo que deshacer de este 26, va a pasar dividiendo hacia el lado de la izquierda. 00:04:50

Y como es una cantidad positiva, es decir, yo voy a dividir entre 26, el sentido de la inequación no varía. 00:04:58

Es decir, 29 dividido entre 26 es menor o igual que x. 00:05:05

Luego yo ya tendría mi inequación resuelta. 00:05:13

¿Vale? Pero como me la piden en forma de intervalo, ¿no? Dice en forma de intervalo, esto se expresaría así, x pertenece al intervalo mayor, x tiene que ser mayor o igual que esto, 29, 26 agos más infinito. 00:05:17

perdón, este de aquí es cerrado 00:05:43

es un corchete 00:05:47

es un corchete porque 00:05:48

puede tomar 00:05:51

el valor 00:05:53

ese valor, ¿vale? 00:05:55

esa sería la solución 00:05:58

bien, continuamos con el apartado B 00:05:59

este era el A 00:06:03

que no lo he puesto, apartado A 00:06:05

y ahora el apartado B 00:06:07

entonces tenemos 00:06:12

Ahora los denominadores son 3, 2 y 6. Luego el mínimo común múltiplo de 3, 2 y 6 es 6, ¿no? Pues multiplico todo por 6. Voy a copiar esto, voy a hacer un poquito de zoom aquí para poder copiarlo. 00:06:14

Entonces aquí 6 por 3 menos 6 por 2 que multiplica a 1 menos 3x dividido entre 3 más 6 que multiplica a 3 medios de x mayor que 2x. 00:06:35

perdón, perdón, ya me comía el 6 00:06:59

mayor que 6 que multiplica a 2x 00:07:02

bueno, voy a poner ya directamente 12x 00:07:05

porque si no, 6 por 2x 00:07:07

menos 6 que multiplica a 5x 00:07:13

menos 1 partido por 6, ¿vale? 00:07:17

bien, entonces esto es 6 por 3, 18 00:07:21

menos 6 entre 3 a 2 por 2, 4 00:07:24

4 que multiplica a 1 menos 3x 00:07:28

Más 6 entre 2 a 3 por 3, 9 por x, 9x 00:07:31

6 entre 2 a 3 por 3, 9 por x, 9x 00:07:37

Mayor que 12x 00:07:41

Y ahora 6 con 6 se va 00:07:43

Y me queda menos paréntesis 5x menos 1 00:07:44

Punto y coma 00:07:50

Bien 00:07:50

Y ahora esto es 00:07:53

18 menos 4, y ahora cuidado, que es menos por menos más, 4 por 3, 12x, más 9x, mayor que 12x, menos 5x, más 1, bien, ahora, ¿qué tenemos por aquí?, por aquí ahora tenemos que dejar las x en un lado y los números en otro, 00:07:55

Pero como aquí tengo un 12x y un 12x, los puedo simplificar. 00:08:22

Voy a pasar, en este caso, las x al lado de la izquierda, porque aquí tengo el 9x. 00:08:26

Luego el menos 5x pasa sumando. 00:08:32

9x más 5x va a ser mayor que 18, pasa restando. 00:08:36

Menos 18 más 4 más 1, punto y coma. 00:08:42

9x más 5x, 14x, mayor que menos 18, más 5, menos 13. 00:08:50

Luego x mayor que menos 13, catorceavos. 00:09:02

Y si lo expresamos como intervalo, x pertenece al intervalo abierto en este caso. 00:09:08

Y como es mayor, va a ir hasta el más infinito, menos trece catorceavos coma más infinito, ¿vale? 00:09:18

Porque es para todos los mayores, para x mayor, que menos trece cuartos, no mayor o igual. 00:09:29

Por eso aquí ponemos intervalo abierto, ¿vale? 00:09:36

Esta sería la solución. 00:09:41

Bien, vamos ahora con el ejercicio 17 apartados a y b. 00:09:48

Dice, resuelve las siguientes inequaciones polinómicas de segundo grado. 00:09:53

El apartado A nos pide resolver la ecuación x cuadrado más 2x menos 15 menor que 0. 00:09:59

Para ello, tal y como ya dijimos, lo primero que tenemos que hacer es factualizar este polinomio. 00:10:08

Es un polinomio de grado 2, por lo tanto es una ecuación de segundo grado si la igualamos a 0. 00:10:14

Para hallar las raíces, x cuadrado más 2x menos 15 igual a 0 00:10:20

Algunos de vosotros ya conocéis las identidades de cada novieta 00:10:29

Pero bueno, no las vamos a utilizar, aquí se ven fácilmente cuáles son las raíces 00:10:34

Vamos a resolver la ecuación x es igual a menos b 00:10:39

Que sería menos 2 más menos la raíz cuadrada de b al cuadrado 00:10:43

que sería 4 menos 4 por a, que es 1, que es 1, por c, que es menos 15, dividido entre 2a, que es 2. 00:10:48

Luego esto sería igual a x igual a menos 2 más menos la raíz de 4 más 60, 64, eso es 64 partido por 2, por lo que es lo mismo, menos 2 más menos 8 dividido entre 2. 00:11:04

Y eso me da x1, x1 que es igual a menos 2 más 8, 6 entre 2 a 3. 00:11:25

y x sub 2 que sería con el signo menos 00:11:34

menos 2 menos 8 menos 10 entre 2 menos 5 00:11:37

por lo tanto si yo tengo de raíces 00:11:41

3 y menos 5 los factores acordaros 00:11:44

que eran x menos 3 00:11:53

y x más 5 00:11:57

por lo tanto este polinomio se puede escribir así 00:12:01

x cuadrado más 2x menos 15 es igual al coeficiente principal, que en este caso es 1, ¿vale? 1 por x menos 3 y por x más 4, ¿de acuerdo? 00:12:05

Y tal y como vimos el último día, para ver dónde ese polinomio de segundo grado es menor que 0, 00:12:23

tendríamos que hacer lo siguiente. Escribir los factores. 00:12:35

x menos 3. Podemos poner como paréntesis o no. 00:12:41

x más 4 y una última fila con el producto x menos 3 por x más 4. 00:12:45

que es el polinomio factorizado 00:12:53

y ahora aquí escribimos siempre 00:12:54

menos infinito 00:12:56

luego la primera raíz 00:12:58

que es menos 5 00:12:59

la escribimos en orden 00:13:01

eso es importante 00:13:03

la primera es menos 5 00:13:04

y luego 3 00:13:05

porque menos 5 es menor que 3 00:13:07

y luego más infinito 00:13:09

¿vale? 00:13:11

más infinito 00:13:12

y ahora trazo las rectas horizontales 00:13:13

y vamos a ver 00:13:17

el signo de cada uno de los factores 00:13:18

y del polinomio factorizado finalmente. 00:13:22

Entonces, en este intervalo de aquí, entre menos infinito y menos 5, 00:13:26

el factor x menos 3 tiene signo negativo. 00:13:31

Entre menos 5 y 3 sigue teniendo valor negativo, signo negativo. 00:13:35

En 3 se hace 0. 00:13:39

Y a partir de 3 ya es positivo. 00:13:41

Para las x mayores que 3, el factor x menos 3 es positivo. 00:13:43

Bien, ahora pasamos al siguiente factor, x más 4. 00:13:48

Para el intervalo, menos infinito menos 5 es negativo. 00:13:52

Esto lo he puesto mal. 00:13:59

No me habéis dicho nada. 00:14:01

Esto, no sé por qué he puesto yo un 4. 00:14:04

Esto es x más 5. 00:14:07

x más 5. 00:14:11

Y esto es... 00:14:14

¿Por qué habría hecho eso? 00:14:16

Esto es x más 5. 00:14:24

x más 5. 00:14:28

Cuando la x vale menos 5, el factor x más 5 se hace 0. 00:14:31

Y a partir de aquí ya es positivo. 00:14:35

Si no lo veis, pues da por ejemplo aquí el valor 0. 00:14:38

0 más 5 ya es positivo y en todos estos sitios es positivo. 00:14:41

¿Y cuál será el signo del producto de los dos factores? 00:14:46

Pues el producto de los signos menos por menos, más. 00:14:49

Aquí será 0. 00:14:53

Menos por más, menos. 00:14:55

Y aquí será 0. 00:14:57

y en el intervalo 3 más infinito es más por más, más 00:14:58

y a mí que me están pidiendo donde el polinomio es menor que 0 00:15:03

de manera estricta, sin incluir los extremos 00:15:08

es decir, la solución será x perteneciente al intervalo abierto 00:15:12

porque me han dado el menor estricto, no el menor igual 00:15:18

x perteneciente al intervalo abierto, menos 5, 3 00:15:23

Esa sería la solución a este apartado A. 00:15:28

Si en vez de pedirlo como un intervalo nos lo hubieran pedido como una expresión algebraica, 00:15:34

se podría decir que, o como una desigualdad, podríamos decir que se podría escribir como los valores de x comprendidos entre menos 5 y 3. 00:15:46

Es decir, para todas aquellas x mayores en sentido estricto que menos 5 y menores que 3, ¿vale? 00:15:59

Bien, el siguiente apartado nos pide resolver la inequación 2x cuadrado más x menos 3 mayor que 0. 00:16:09

Es un polinomio de grado 2, por lo tanto procedemos como hemos hecho anteriormente 00:16:21

y resolvemos la ecuación de segundo grado para ver dónde están las raíces 00:16:27

y factorizar el polinomio, por lo tanto igualamos a 0 00:16:32

y resolvemos la ecuación de segundo grado 00:16:36

x es igual a menos b, que es menos 1 00:16:39

que queda menos 1, más menos la raíz cuadrada de b cuadrado 00:16:41

que es 1 menos 4 por 2 y por menos 3 00:16:46

3 menos 4ac partido por 2a, que es 2, 2 por 2. 00:16:55

Y esto es igual a menos 1 más menos la raíz cuadrada de 1 menos por menos más 4 por 2, 8 por 3, 24, partido por 4. 00:17:02

Es decir, x es igual a menos 1 más menos 5 partido por 4. 00:17:17

Y eso nos da un x1 y un x2. 00:17:26

x1 es menos 1 más 5, 4 entre 4, a 1. 00:17:31

x2 es menos 1 menos 5 menos 6 entre 4, menos 6 cuartos, que es igual a menos 3 medios. 00:17:36

Bien, por lo tanto el polinomio factorizado quedaría así, 2x cuadrado más x menos 3 es igual, no nos olvidemos del coeficiente principal, que hay que ponerlo aquí, 2 que multiplica a x menos 1 por x más 3 medios. 00:17:46

Si alguien no se acuerda por qué, el coeficiente principal hay que ponerlo aquí, que revise el tema de factorización de polinomios, ¿vale? Porque eso siempre lo poníamos. ¿De acuerdo? Aquí no he hecho la tabla de las raíces y los factores porque creo que ya lo sabéis, ¿vale? 00:18:09

Entonces, ahora vamos a hacer la tabla de los signos. 00:18:27

Como el 2 es positivo, no voy a incluir aquí el factor, ¿vale? 00:18:35

El factor 2. Esto sería x menos 1, x más 3 medios, y esto sería 2 que multiplica a x menos 1 por x más 3 medios. 00:18:41

¿Sí? Y aquí tendríamos menos infinito. La primera raíz, ¿cuál sería? Uno o menos tres medios. Menos tres medios, porque va antes. Menos tres medios, y luego uno, y luego más infinito. ¿Vale? 00:18:59

Hacemos la tabla que ya conocéis. Y ahora empezamos a estudiar los signos. ¿Cuál sería el signo del factor x menos uno entre menos infinito y menos tres medios? Pues negativo, como está claro. 00:19:20

Y entre menos tres medios y uno, pues negativo también. 00:19:34

En uno sería cero y a partir de aquí sería positivo. 00:19:37

El signo del factor x más tres medios entre menos infinito y menos tres medios es negativo. 00:19:41

En menos tres medios es cero y a partir de menos tres medios se hace positivo siempre. 00:19:47

¿Y ahora cuál sería el signo del polinomio factorizado? 00:19:55

Pues el producto de todos los signos de los factores anteriores 00:20:00

Menos por menos, más 00:20:04

Aquí como hay un cero, el signo va a ser cero 00:20:05

Menos por más, menos 00:20:08

Signo no, quería decir el valor 00:20:10

Aquí va a valer cero y aquí va a ser positivo 00:20:12

Y como me pedían en qué intervalos 00:20:16