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Métodos para calcular determinantes - Contenido educativo

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Subido el 8 de octubre de 2020 por Ana Maria R.

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Bien, veamos un resumen de los métodos que hemos aprendido para calcular determinantes. 00:00:00
Vale, el primero, por la definición, por los adjuntos, recordad que un determinante se definía como la suma de todos los elementos de una fila o columna cualquiera multiplicados por sus respectivos adjuntos, para cualquier fila o para cualquier columna. 00:00:07
Bueno, pues bien, este método es especialmente útil cuando la fila o la columna por la que se desarrolla tiene muchos elementos nulos. 00:00:23
En esta línea podemos describir una guía práctica para calcular el determinante de una matriz cuadrada. 00:00:31
Entonces podríamos decir que si el determinante es de orden 2 o de orden 3, se puede aplicar Sarros directamente. 00:00:40
Incluso alguna propiedad si vemos alguna característica especial en ese determinante. 00:00:45
Si el determinante es de orden 3 o mayor de orden 3, podemos transformar la matriz en otra de igual determinante. 00:00:52
con varios ceros en una fila o una columna 00:01:00
y desarrollar por esa fila o esa columna. 00:01:03
¿Qué transformaciones voy a poderle hacer al determinante? 00:01:07
Para que no varíe, sumarle o restarle otra línea, 00:01:11
es decir, otra fila o columna paralela 00:01:15
y que esté multiplicada por un número. 00:01:18
Venga, calculamos el valor de este determinante. 00:01:23
Vale, yo podría elegir, por ejemplo, la fila 2 o la columna 2 00:01:26
y desarrollar por adjuntos, multiplicando cada uno de los elementos no nulos por su adjunto. 00:01:30
Obtendría tres sumandos, pero pienso, bueno, pues a lo mejor me interesa aprovechar esta columna 00:01:36
que ya tiene un cero, intentar hacer más ceros por transformaciones, 00:01:41
intentar hacer más ceros en esa columna y desarrollar por esa columna. 00:01:45
Vale, estas formaciones que hacen que el determinante esté invariante 00:01:50
es que a una fila o a una columna le sumo o le resto otra multiplicada por un número, 00:01:53
otra paralela multiplicada por un número. 00:02:01
Entonces, por ejemplo, yo me fijo que a esta fila de aquí, a la primera fila, la fila 1, 00:02:03
le puedo sumar la fila 3 multiplicada por 2 y entonces al sumarlo aquí se me haría un 0. 00:02:13
O sea, que la fila 1 la transformo como la fila 1 más dos veces la fila 3. 00:02:22
¿Vale? Si yo hago esto, me queda, en la fila 1 me quedaría la fila 1 más dos veces la fila 3, me queda aquí un 0 también. 00:02:30
La fila 1 más dos veces la fila 3, me queda aquí un 0. 00:02:39
La fila 1 más 2 veces la fila 3, 2 menos 6, me queda menos 4, y menos 4 más 6, me queda 2. 00:02:43
Vale, aquí ya tengo 0, pues esta la voy a dejar aquí igual, menos 4, 0, 1, menos 7. 00:02:55
Esta la dejamos como el 1 00:03:03
Y lo que voy a intentar es hacer aquí un 0 00:03:06
Menos 3, 3 00:03:09
Vale, quiero hacer aquí un 0 00:03:13
Bueno, pues puedo decir 00:03:16
A ver, ¿cómo transformamos esta fila? 00:03:19
Vale, la fila 00:03:24
Lo puedo hacer también por filas y por columnas 00:03:26
Pues podría decir 00:03:28
que a la fila 4 lo que hago es 00:03:31
a la fila 4 le resto 5 veces la fila 3 00:03:40
a la fila 4 le resto 5 veces la fila 3 00:03:47
luego sería a la fila 4 9 menos 15 00:03:52
y esto me queda menos 6 00:03:56
9 menos 15, menos 6, 5 menos 5, ya tengo aquí un 0, 2 más 15, 17, y 8 menos 15, luego menos 7, ¿vale? 00:03:59
Ya he encontrado una columna donde tengo todos los ceros menos un elemento, pues desarrollo por la segunda columna, desarrollo por la segunda columna, vale, pues empezaríamos, si lo hacemos por ejemplo con la alternancia de signos, más, menos, más, menos, pues empezaríamos con menos 1, el elemento 1, por el determinante de orden 3, 00:04:18
que se forma eliminando los elementos de la segunda columna, 00:04:51
tercera fila, luego me queda 0, menos 4, 2, menos 4, 1, menos 7, 00:04:57
y menos 6, 17, menos 7. 00:05:04
Vale. 00:05:10
Esto también podría seguir desarrollando, 00:05:11
y podría desarrollar por esta... 00:05:14
Bueno, voy a desarrollar por esta columna de aquí. 00:05:19
Quedaría menos 1 por el primer elemento 0, positivo. 00:05:25
¿Esto es negativo? Pues menos 4 por el menor que se forma de eliminar esta fila y esta columna. 00:05:34
Es decir, menos 4, 2, 17, menos 7. 00:05:42
Más, menos, más, luego menos 6 00:05:46
Y por el determinante que se forma al eliminar esta columna y esta fila 00:05:50
Menos 4, 2, 1, menos 7 00:05:55
Cierro corchete y me queda 00:05:58
Esto multiplicado por menos 1, cambiamos de signo 00:06:01
Menos por menos más, por menos menos 00:06:04
4 que multiplica a 28 menos 34 00:06:07
menos por menos más 6 que multiplica a 28 menos 2, 28 menos 2 00:06:14
luego me queda menos 4 por menos 6 y más 6 por 6, por 26, perdón 00:06:26
luego me queda menos 24 más 6 por 6, 36, llevo 3, 156 00:06:36
no, menos no, más 24 más 156 00:06:46
luego me queda 180 00:06:51
este determinante es 180 00:06:53
bien, cuando la matriz sea triangular 00:06:56
una matriz especial 00:07:01
entonces el determinante de esa matriz 00:07:04
es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. 00:07:06
Calcula el determinante de esta matriz triangular. 00:07:13
Desarrollamos por Sarrus, 2 por 2, 4 por 3, 12, 00:07:16
más 0 por 0 y por 7, 0, más 5 por 4 y por 0, 0, 00:07:21
menos 7 por 2 y por 0, 0, 4 por 0, menos 4 por 0 y por 2, 0, 00:07:28
y menos cinco por cero y por tres, cero. 00:07:34
Luego, realmente, el determinante de un áudio triangular 00:07:39
es el producto de los elementos de la diagonal. 00:07:43
Y entonces, en vista a lo fácil que es calcular el determinante de un áudio triangular, 00:07:47
es bastante interesante calcular entonces el determinante por el método de Gauss. 00:07:54
Entonces, el método de Gauss consiste en estos casos, 00:07:59
en el caso de los determinantes, en transformar la matriz de nota triangular 00:08:03
aplicando transformaciones cuyos efectos sobre el determinante conozcamos 00:08:07
y ya calcular el determinante de la matriz triangular multiplicando los elementos de la diagonal principal. 00:08:11
Entonces, tenemos que tener muy claras las transformaciones elementales 00:08:17
que efectos producen sobre los determinantes. Esto es lo que se deduce de todas las propiedades. 00:08:20
Por ejemplo, si intercambiamos dos filas o dos columnas, 00:08:27
tenemos que tener claro que lo que vamos a hacer es cambiar el signo del determinante. 00:08:30
Que se multiplique una fila en una columna por un número, pues el determinante quedará multiplicado por ese número. 00:08:34
Que si a una columna o a una fila le sumamos otra multiplicada por un número, el determinante no varía. 00:08:40
Que si transponemos la matriz, el determinante tampoco va a variar. 00:08:47
Y que si sumamos a una fila o a una columna una combinación lineal de sus paralelas, el determinante no varía. 00:08:51
Calcula este determinante de orden 4 00:08:58
Este determinante lo vamos a calcular por el método de Gauss 00:09:02
Es decir, vamos a hacer 0 por debajo de la diagonal principal 00:09:05
Para que sea mucho más fácil en los cálculos 00:09:09
La manera de hacer 0 es intentar que en la primera fila haya un 1 00:09:13
La primera fila haya un 1 00:09:18
Luego lo que vamos a hacer es intercambiar 00:09:21
Vamos a intercambiar, por ejemplo, la segunda fila con la primera fila. 00:09:23
O sea, intercambiamos primera y segunda fila. 00:09:30
Al intercambiar hemos visto, al permutar, el determinante cambia de signo. 00:09:34
Luego el determinante ya no va a ser el mismo, sino que será con signo negativo. 00:09:39
Un menos, el determinante, 1, 2, menos 1, 2, 2, 3, 1, 0, 3, 1, 0, 10, menos 1, 0, 2, 3 00:09:43
Vale, menos 00:09:56
Y ahora lo que vamos a hacer es ceros por debajo de la diagonal 00:09:59
Vamos, la primera fila la dejamos fija 00:10:02
Y ahora lo que quiero hacer, la segunda fila, ¿cómo la transformo? 00:10:05
Pues la segunda fila va a ser la segunda fila menos dos veces la primera 00:10:10
Segunda fila menos dos veces la primera 00:10:16
2 menos 2, 0 00:10:19
3 menos 4, menos 1 00:10:21
1 más 2, 3 00:10:23
Y 0 menos 4, menos 4 00:10:27
La tercera fila 00:10:30
La tercera fila va a ser la tercera menos tres veces la primera 00:10:32
3 menos 3, 0 00:10:38
1 menos 6, menos 5 00:10:41
0 más 3, 3 00:10:44
Y 10 menos 6, 4 00:10:49
Y ahora la cuarta fila va a ser la cuarta más la primera 00:10:52
Menos 1 más 1, 0 00:10:58
0 más 2, 2 00:11:01
2 menos 1, 1 00:11:02
3 más 2, 5 00:11:05
Vale, ahora vamos a intentar conseguir aquí ceros 00:11:07
Pues venga 00:11:11
Menos el determinante, la primera columna se queda igual 00:11:12
La primera fila también 00:11:17
La segunda fila también 00:11:19
Y lo que vamos a hacer es intentar poner aquí un cero 00:11:23
¿Cómo consigo un cero? 00:11:27
¿Qué es lo que hago? 00:11:29
La tercera fila la voy a transformar como la tercera 00:11:31
Menos cinco veces la segunda 00:11:34
La tercera, menos cinco veces la segunda, menos cinco más cinco, cero. 00:11:36
Tres menos quince, menos doce. 00:11:43
Cuatro más veinte, veinticuatro. 00:11:48
Y la cuarta fila. 00:11:53
La cuarta fila, yo quiero ir a un cero, la voy a transformar como la cuarta fila, más dos veces la segunda. 00:11:55
Dos menos dos, cero. 00:12:04
1 más 6 00:12:07
y 5 00:12:12
menos 8 00:12:15
menos 3 00:12:17
y ahora lo que voy a hacer 00:12:18
quiero aquí un 0 00:12:21
pues entonces dejamos fijas 00:12:23
vamos a ponerlo un poquito 00:12:25
voy a borrar 00:12:26
vamos a poner aquí esto seguido 00:12:29
F3 igual a F3 00:12:31
menos 3 F1 00:12:33
y F4 00:12:34
Igual a F4 más F1 00:12:37
Entonces, ahora, menos 00:12:40
Ya la primera fila se queda igual, invariante 00:12:45
La segunda también 00:12:48
0 menos 1 00:12:51
3 menos 4 00:12:52
La tercera también 00:12:54
Bueno, podríamos hacer, para hacer más fácil 00:12:56
Vamos a hacer antes una transformación 00:13:02
Lo que voy a sacar es factor común el menos 12 00:13:03
¿Vale? 00:13:06
Entonces, si saco factor común el menos 12 00:13:06
Aquí me queda un 1 00:13:08
Y aquí me queda 1 menos 2 00:13:10
Venga, de momento no transformo nada 00:13:15
El determinante ha salido el factor común 00:13:17
Vale, menos menos más 00:13:20
Luego 12, que multiplica 00:13:22
1, 2, menos 1, 2 00:13:24
0, menos 1, 3, menos 4 00:13:27
0, 0, 1, menos 2 00:13:30
Y ahora vamos a transformar la cuarta fila 00:13:34
Como la cuarta fila, menos 7 veces 00:13:37
La tercera 00:13:40
Luego 0, 0 00:13:42
7 menos 7, 0 00:13:45
Menos 3 más 14, 11 00:13:48
Luego, ¿qué me queda? 00:13:52
12 por el determinante de una base triangular 00:13:55
Es decir 00:13:58
Autor/es:
ANA MARIA RUBIO VILLANUA
Subido por:
Ana Maria R.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
45
Fecha:
8 de octubre de 2020 - 3:04
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES VILLABLANCA
Duración:
14′ 05″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
1.24

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