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CLASE CCFF 27 DE FEBRERO - Contenido educativo

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Subido el 28 de febrero de 2026 por M.jose S.

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Bueno, vamos a seguir con las funciones. 00:00:00
El otro día, la semana pasada, vimos lo que era el concepto de función. 00:00:03
Una función es una relación entre dos variables. 00:00:08
Una que llamamos X y otra que llamamos Y. 00:00:12
Y es una relación que a cada valor de una de las variables le corresponde el valor de la otra. 00:00:15
Las dos variables decíamos que se llaman variable dependiente y variable independiente. 00:00:24
La independiente es a la que yo doy valores y la dependiente son las que saco los valores. 00:00:29
Por ejemplo, si yo quiero saber la relación entre los kilos de fruta que compro y lo que pago, 00:00:34
pues evidentemente la variable independiente es los kilos de fruta que yo compro. 00:00:42
De eso depende lo que yo pago. 00:00:47
Entonces, es una relación, por lo tanto, en que a cada valor de la variable independiente 00:00:50
le corresponde un valor de la dependiente. 00:00:56
Uno, un solo valor. 00:00:59
Ya vimos también en algunas gráficas que si a un valor de la independiente le corresponden dos, 00:01:01
entonces ya no estoy hablando de funciones, estoy hablando de otras cosas. 00:01:07
Solamente le puede corresponder un valor. 00:01:10
Normalmente, siempre llamamos a la variable independiente, la llamamos x, 00:01:13
y a la variable dependiente 00:01:17
y la relación entre dos variables 00:01:20
se puede expresar de varias maneras 00:01:24
se puede expresar simplemente contándolo 00:01:26
como os lo estoy contando 00:01:27
también se puede expresar mediante tablas 00:01:29
el valor de la 00:01:31
independiente y la de 00:01:33
1, menos 1 00:01:35
2, menos 2 00:01:37
3, 4, 1 00:01:38
0, 2, lo que sea 00:01:41
eso me va diciendo 00:01:43
me relaciona que 00:01:45
el valor que toma la variable dependiente, dependiendo del valor. 00:01:47
De aquí podemos pasar de una función de agarro y antetablas, podemos pasar a la gráfica de una función. 00:01:53
La gráfica de una función se dibuja en un sistema coordenado. 00:02:00
Ya sabéis que en un sistema coordenado son dos ejes perpendiculares entre sí. 00:02:05
Aquí siempre ponemos los valores de la variable independiente 00:02:09
y para ello lo que hacemos es, este eje que se llama el eje de abscisas, 00:02:14
lo dividimos en partes iguales y aquí ponemos los valores de la dependiente, la i, 00:02:20
y este eje se llama eje de orden. 00:02:31
De tal manera que para hacer la gráfica de una función, yo lo que tomo son pares de valores 00:02:34
que son el valor de la independiente y el valor de la dependiente. 00:02:43
Y eso lo convierto en puntos en la gráfica. 00:02:49
Es decir, el 0,3 sería 0x y 3y, es decir, sería ese punto. 00:02:52
Lo veis, ¿no? 00:03:00
El 1,4 sería 1 y 4. 00:03:01
El menos 1,1 sería menos 1, 00:03:06
teniendo en cuenta que el punto donde se cruzan los ejes coordenados 00:03:08
es el punto 0, 0, y por lo tanto las x son positivas del 0 para la derecha y negativas del 0 para la izquierda. 00:03:12
Las y son positivas del 0 hacia arriba y son negativas del 0 hacia abajo. 00:03:21
¿De acuerdo? 00:03:28
De tal manera que yo una gráfica, una relación, una función, la puedo también dibujar, 00:03:29
Dibujar, si esto es menos 1, 1, 2, 2, 0 y menos 2, 2, pues esta gráfica a lo mejor es uno de los puntos y me da un dibujo de la gráfica. 00:03:35
Un dibujo de la gráfica de la cual yo también puedo extraer valores, es decir, a lo mejor no me da en la tabla, pero si me da en la gráfica, 00:03:50
La gráfica, imaginaos que me dan la gráfica de una cosa que es así, esta así, esta así, y yo puedo coger y decir, bueno, pues este punto, ¿cuál es? Pues este punto es este, este, y yo puedo sacar aquí los puntos, puedo seguir sacando puntos de la gráfica y convertirlo en una tabla. 00:03:58
Es decir, si este es el 1, 2, 3, 4, 5, 6, este es el punto aproximadamente, el 6, 3, entonces yo digo, bueno, pues si yo lo quiero pasar a una tabla, pues digo, pues para x, 6, y es 3. 00:04:20
Pues para esto, para x, 1, 2, 3, 4, y es 1, pues para 4, 1, y voy sacando valores de la gráfica. 00:04:37
Es decir, la gráfica y la tabla son, pues a partir de una para hacer el otro. 00:04:44
Lógicamente en la tabla no nos van a dar infinitos valores, nos dan unos cuantos. 00:04:54
Es decir, que es mucho más exacto pasar de una gráfica a una tabla que al revés. 00:04:59
Y por último, hay otra manera de expresar una función que es mediante una fórmula matemática. 00:05:06
La fórmula matemática que siempre va a ser de la forma, nos da la fórmula para sacar el valor de la variable dependiente, pues debe ser 1 partido por x. 00:05:13
de acuerdo 00:05:24
nosotros en principio 00:05:25
aunque ahora 00:05:28
cuando estamos empezando 00:05:30
con las 00:05:32
con las funciones 00:05:33
vemos un poco 00:05:37
las gráficas 00:05:39
las funciones en forma de tabla 00:05:41
en realidad 00:05:42
luego en el examen lo que os va a caer 00:05:44
es una función de esta forma 00:05:46
una función expresada como una fórmula 00:05:48
para nosotros lo que 00:05:51
el trabajo que hacemos nosotros con las funciones es estudiar las funciones a partir de su fórmula. 00:05:52
Pero no está mal empezar trabajando con las gráficas de las funciones y con las tablas 00:05:58
para entender un poco, porque es mucho más fácil entenderlo gráficamente 00:06:03
que entenderlo directamente trabajando con variantes. 00:06:08
¿Cómo se sacan puntos de una función si me dan la fórmula? 00:06:13
Pues igual que con la gráfica paso a la tabla, igual que con la tabla paso a la gráfica, si yo tengo la fórmula, solo tengo que dar valores a la x y sacar valores de la y directamente. 00:06:20
Es decir, que si yo quisiera hacer la tabla que corresponde a esta función, yo cogería y diría, bueno, pues voy a dar valores a la x. 00:06:33
Voy a dar 1, menos 1, 2 y menos 2, por ejemplo. 00:06:41
Pues si x vale 1, y vale 1. 00:06:49
¿No? 00:06:52
¿Sí? 00:06:54
Si x vale menos 1, y vale menos 1. 00:06:55
Si x vale 2, y vale un medio. 00:06:59
Y si x vale menos 2, vale menos un medio. 00:07:02
Y así sucesivamente. 00:07:06
Es decir, que yo sacar valores, hacer una tabla o incluso una gráfica sabiendo los valores, 00:07:07
pues yo puedo coger y decir, bueno, pues para x igual a 1, si vale menos 1, vale menos 1, si vale 2, vale un medio, y si vale menos 2, vale menos un medio. 00:07:14
Pero bueno, pues esto será, esto se me parece que es así, una cosa así. 00:07:31
Podría dibujar. 00:07:34
El fin último del trabajo con funciones es esto. 00:07:37
Es, me dan una fórmula y yo tengo que dibujar. 00:07:40
Para conseguir eso hay que hacer un estudio de la función previamente para que me dé pistas. 00:07:47
Tengo que buscar pistas de cómo puedo dibujarla. 00:07:54
Vosotros en el examen, yo creo que nunca ha salido dibujar, por ejemplo en la PAU siempre sale una de dibujar la gráfica. 00:07:59
En vuestros exámenes nunca os piden tanto, porque claro, dibujar una gráfica significa estudiar la función, 00:08:06
todos los elementos de la función y a partir de ahí dibujarla. 00:08:14
Lo normal es que lo que sale en el examen vuestro es estudiar una cosa de la función, una o dos cosas. 00:08:18
Nunca han pedido dibujar la función. Dibujar la función significa estudiar todos los elementos de la gráfica hasta conseguir adivinar. No es fácil de adivinar. Una gráfica como esta no es fácil de adivinar. No es inmediata. 00:08:27
Y desde luego el estudio de una función no se saca dando puntos, porque por muchos puntos que tú saques aquí, nunca vas a saber cómo se dibuja. 00:08:47
Tú vas a tener un montón de puntos y luego no sabes cómo se unen esos puntos. 00:08:56
Entonces, hay que estudiar. ¿Qué se estudia? Pues se estudia lo que se conoce como características de la función. 00:09:01
Cada una de las características que vamos a ir viendo se estudia de una determinada manera. 00:09:10
Y entonces, trabajar con funciones significa saber cómo se estudian cada una de sus características. 00:09:15
¿De acuerdo? 00:09:23
Bueno, entonces, empezamos con la primera característica. 00:09:24
La primera característica es el dominio. 00:09:28
El dominio de una función son, es, todos los valores que yo le puedo dar a la variable independiente, 00:09:30
es decir, a la x, y que tiene un valor real de la variable. 00:09:39
Para eso, para entender esto del dominio, hay que tener un conocimiento previo de saber que no todas las operaciones matemáticas se pueden hacer. 00:09:45
Hay que saber que operaciones matemáticas no se pueden hacer. 00:10:00
A ver, yo creo que salía otra algo. 00:10:04
luego os doy el papel 00:10:06
con todas las operaciones matemáticas 00:10:11
que tenéis que aprender 00:10:12
luego os doy el papel 00:10:14
entonces 00:10:17
por ejemplo 00:10:18
hay una operación matemática 00:10:19
que es dividir una cosa por cero 00:10:22
dividir una cosa por cero 00:10:24
en matemáticas no se puede hacer 00:10:26
si yo divido dos entre cero 00:10:27
a pesar de que parezca 00:10:30
o podéis creeros 00:10:32
que eso vale cero, eso no vale cero 00:10:34
Esto vale infinito. 00:10:37
¿De acuerdo? 00:10:38
¿Vale? 00:10:39
¿Cómo? 00:10:41
Y multiplicar. 00:10:41
¿No os iba a ser igual multiplicar tu sueldo por dos que dividirlo entre dos? 00:10:42
No me confundas en una operación con otra porque no tienen nada que ver. 00:10:48
De hecho, son inversas. 00:10:51
O sea que no, no, no. 00:10:52
Multiplicar y dividir no tienen nada que ver. 00:10:54
Evidentemente, cualquier cosa multiplicada por cero es cero. 00:10:56
¿Vale? 00:11:00
Pero, pero, cualquier cosa dividida entre cero es infinito. 00:11:00
¿Vale? 00:11:05
Entonces, ¿qué quiere decir eso? 00:11:06
Que si yo tengo una función, y imaginad la función, 1 partido por x, ¿no? 00:11:09
Y igual a 1 partido por x. 00:11:17
Tú me puedes decir, bueno, pues yo, hablamos del dominio, ¿qué valores le puedo dar a la x? 00:11:20
En principio, todos, los que yo quiera, ¿no? 00:11:25
Yo le puedo dar el 1, el 2, el 3, el 4, pero hay uno que no le puedo dar, que es el 0. 00:11:27
porque si a esto le doy 0 00:11:32
esto ya no es un número 00:11:34
eso es infinito 00:11:36
y eso ya no es un número real 00:11:38
es decir, el dominio 00:11:40
el dominio es 00:11:42
todos los valores que le puedo dar a la x 00:11:44
y que al aplicar 00:11:47
en la fórmula de la función 00:11:49
esos valores me sale un número real 00:11:50
eso es el dominio 00:11:52
¿vale? 00:11:54
hoy vamos a ver un poco 00:11:55
el concepto de talón 00:11:58
Y luego ya veremos cómo se estudia cada una de ellas. 00:12:00
Entonces, el dominio es todos los valores que yo le puedo dar a la x 00:12:04
para que el resultado de hacer la operación que me marca la fórmula de la función me dé un número real. 00:12:09
Por ejemplo, esta función que tenéis aquí. 00:12:16
No sé si la veis. 00:12:24
esta función 00:12:24
fijaros, esta función 00:12:27
tiene esta fórmula 00:12:38
esta fórmula tan rara 00:12:40
ya se os dije que la función 00:12:41
siempre se pone y igual a una fórmula 00:12:44
o f de x 00:12:47
bueno, pues fijaros 00:12:47
que yo, si veo la gráfica 00:12:51
si veo esta gráfica 00:12:53
yo veo que 00:12:54
hay un número, hay un número, que es un valor de x, que es este, donde veis que la y no tiene, no tiene valor. 00:12:56
¿Por qué no tiene valor? Porque si yo aquí meto x igual a menos 1, pues será f de x, será menos 1 menos 1 partido menos 1 más 1. 00:13:08
¿Qué me pasa? Que esto es 0. ¿Lo veis? Simplemente coger el valor de x menos 1, lo meto en la fórmula y ¿qué pasa? Que no me sale un valor real al meter el menos 1. 00:13:20
Y quiere decir que cuando yo llego a menos 1, esto va al infinito, es decir, esto está donde Cristo dio las tres voces, es decir, no hay valor ahí. 00:13:31
Por lo tanto, yo puedo decir que esta función, puedo darle cualquier valor menos x igual a menos 1. 00:13:42
El dominio sería cualquier valor menos el x igual a menos 1. 00:13:52
¿Por qué? Porque si le doy menos 1, eso, la y no me sale un valor real. 00:13:57
Eso es el dominio. 00:14:02
Esta, por ejemplo, tiene cualquier valor que le dé, tiene x. 00:14:03
porque aquí 00:14:11
cuando llego a este valor menos uno 00:14:13
este es el valor, luego cuando es uno y pico 00:14:15
pues ya empieza este, pero cualquier valor 00:14:18
de las x, ¿veis? cualquier valor 00:14:20
que yo coja tiene un valor de las x 00:14:22
aquí, aquí, aquí 00:14:23
aquí, o sea 00:14:26
tienen todos los valores de la x 00:14:27
¿ves? esta está definida 00:14:29
aquí, a esta función 00:14:31
que es esta función definida a trozos 00:14:34
esta función le puede dar cualquier valor 00:14:36
es decir, que yo 00:14:38
Esta no, el dominio de esta función es que le puedo dar cualquier valor. 00:14:40
Esta, por ejemplo, está igual, ¿veis? 00:14:46
Que no, si yo cojo cualquier valor de la X, no hay ninguno que no tenga Y. 00:14:49
¿Lo veis? 00:14:57
Luego, el dominio de esta función sería cualquier valor de la X. 00:14:58
Esta, esta, esta ya, aquí la cosa, aquí, ¿veis? 00:15:02
en este valor de la x 00:15:07
y en este valor de la x 00:15:08
aquí 00:15:10
no tiene y 00:15:12
porque esto se me dispara para el infinito y para el menos infinito 00:15:14
no tiene y 00:15:17
por lo tanto el dominio 00:15:18
de esta función sería 00:15:21
todos los números menos el 2 00:15:22
y el menos 2 00:15:25
porque en el 2 y el menos 2 00:15:26
entender el concepto 00:15:28
yo os diré luego como se calcula el dominio 00:15:30
pero entender el concepto 00:15:32
entender que 00:15:33
que es una cosa importantísima en funciones 00:15:34
es que hay determinadas 00:15:37
operaciones matemáticas 00:15:39
cuyo resultado 00:15:41
no es un número real, en eso se basa 00:15:43
el estudio de las funciones 00:15:46
porque si yo 00:15:47
a la 00:15:49
a la fórmula que me dan 00:15:50
de la función, le puedo poner cualquier 00:15:53
le puedo coger cualquier valor 00:15:55
pues entonces, pues ya está 00:15:57
pues siempre sería 00:15:59
pero el resultado es que hay operaciones 00:16:00
matemáticas que no me dan un valor. 00:16:03
Aprenderse esas 00:16:06
operaciones matemáticas 00:16:07
y saber 00:16:09
cómo se calcula el valor 00:16:11
de la variable dependiente 00:16:13
para esos valores, eso es 00:16:15
el estudio de gráfico. 00:16:17
¿De acuerdo? Bueno. 00:16:19
Eso en cuanto a 00:16:22
al dominio. 00:16:24
Otra cosa que estudiamos 00:16:26
otra cosa que estudiamos 00:16:28
es la continuidad. 00:16:30
es la continuidad de una función 00:16:31
esta 00:16:34
es muy fácil de entender 00:16:36
una función es continua 00:16:39
cuando si yo veo su gráfica 00:16:40
puedo dibujarla sin levantar el lápiz del papel 00:16:42
es decir, no hay saltos 00:16:45
de ningún tipo 00:16:47
esta función por ejemplo, pues no es continua 00:16:47
tiene aquí 00:16:50
en este punto, es discontinua 00:16:52
porque ahí hay un salto 00:16:54
hay un salto, aquí por este lado 00:16:56
vas hasta el infinito 00:16:59
y por este lado vas hacia el menos infinito 00:17:01
es decir, ahí hay un salto 00:17:04
o sea, si yo quiero dibujar esto, cuando llego aquí 00:17:05
tengo que saltar y no puedo seguir dibujando 00:17:07
esta función también 00:17:09
es discontinua, lo veis, ¿no? 00:17:11
porque tiene una discontinuidad 00:17:14
aquí, porque yo vengo por aquí 00:17:15
y cuando llego aquí 00:17:18
¡pum! ¿vale? 00:17:20
esta función 00:17:21
es continua 00:17:22
por muy rara que sea 00:17:25
da igual, pero si yo puedo dibujarla sin levantar el lápiz del papel, la función es continua. 00:17:28
Esta función es discontinua, porque yo esta función tengo, voy aquí, voy aquí, voy 00:17:33
aquí, y aquí, ¡pum!, tengo que saltar y irme aquí. Y por aquí, tengo que saltar 00:17:37
y irme aquí. Es decir, esta función tiene un punto de discontinuidad, pero esta función 00:17:43
tiene dos puntos de discontinuidad. ¿Lo veis? ¿Lo veis o no? ¿De acuerdo? Bueno, 00:17:49
Más cosas. 00:17:58
Fijaros, en la continuidad o discontinuidad de una función, 00:18:01
esto lo veremos más adelante, pero para que no vayáis cogiendo un poco los conceptos, 00:18:07
la continuidad puede ser de tres tipos. 00:18:12
Fundamentalmente son dos. 00:18:15
Este es muy raro. 00:18:17
Este es que toda la función es continua. 00:18:19
Esta es que toda la función es continua menos un puntito. 00:18:23
Hay un punto en que, ¡pum!, salta. Es raro. Eso se llama que la función es una discontinuidad evitable. 00:18:26
Pero los más normales son este y este, que es de salto finito, es decir, que yo voy aquí y cuando llego al punto de discontinuidad hago un salto finito, 00:18:36
es decir, que tiene una medida finita, o la de un salto infinito, claro, porque yo vengo por aquí y aquí me tendría que ir al infinito. 00:18:47
y luego volver del infinito 00:18:54
y bajar por aquí 00:18:57
y esto se dice que es una discontinuidad 00:18:57
de salto infinito 00:19:01
¿de acuerdo? 00:19:03
ya veremos luego cuando estudiemos ya la continuidad 00:19:04
y como se estudia la continuidad 00:19:07
veremos como puedo saber 00:19:09
que tipo de funciones tiene 00:19:11
la discontinuidad finita o infinita 00:19:13
pero vais entendiendo 00:19:15
las cosas que yo 00:19:17
esto lo tenéis que tener clarísimo y lo tenéis que saber 00:19:18
las cosas que se tienen que estudiar 00:19:21
y como se estudia 00:19:23
porque, insisto, os van a pedir 00:19:24
eso. O sea, han salido 00:19:26
muchos ejercicios, por ejemplo, de estudiar 00:19:28
de decir cuál es el dominio de una función. 00:19:30
Solo te piden eso. 00:19:33
No te piden más, pero tienes que saber el dominio. 00:19:34
Otros, a veces, has leído 00:19:36
el dominio y los 00:19:38
puntos de discontinuidad. O sea, 00:19:40
te piden cosas. ¿Vale? A ver, 00:19:42
por ejemplo, 00:19:44
seguimos con la continuidad. ¿Veis? 00:19:46
Esta, esta, esta 00:19:48
función es discontinua 00:19:49
y tiene un salto infinito. 00:19:52
es aquí en este valor santa aquí al infinito por aquí esto es un salto infinito mientras que este 00:19:54
es un salto finito porque yo veo aquí y no me tengo que ir al infinito y luego volver 00:20:04
no hay salto 00:20:11
pero es cuando tengo que levantar el papel a lo mismo que esto sea así 00:20:17
contarte que no tenga que levantar el lápiz 00:20:22
no es que sea recto 00:20:25
la continuidad 00:20:27
una cosa que no es 00:20:31
curvo, no tiene nada que ver 00:20:34
hay muchas funciones 00:20:36
curvas que son continuas 00:20:38
¿de acuerdo? 00:20:40
que esto cambie de dirección 00:20:41
no significa que no sea continuo 00:20:43
¿de acuerdo? 00:20:46
ya te enseñaré 00:20:46
cómo se calcula 00:20:47
Es decir, si a ti te diesen, si a ti en el examen te diesen la gráfica, lo ves clarísimo. 00:20:51
Pero no te la dan con el dinero amarillo o sí? 00:20:59
No te dan nada. A ti te van a dar esto. 00:21:01
El problema es que te dan eso, si te diesen la gráfica, no, ya está, si te dan la gráfica, ahora veremos cómo, si me dan la gráfica, yo puedo decir cuáles son todas las características que tiene la función, porque ya me las están dando dibujado. 00:21:04
pero el problema es que no te lo dan dibujado, te dan la fórmula y tú tienes que adivinar, bueno adivinar no calcular, todas las cosas para llegar a saber cómo es esta gráfica, ahí está la dificultad por así decirlo, dificultad que no es tal, lo único es que se requieren, por ejemplo, cada una de las cosas se estudian de una determinada manera, 00:21:17
Entonces, es una cantidad bastante grande de datos, de cosas que hay que hacer y de operaciones especiales. 00:21:41
¿De acuerdo? Bueno, seguimos. 00:21:48
Monotonía, crecimiento y decrecimiento. Esta es otra cosa de las que se estudian. 00:21:50
Se dice que una función es creciente cuando su gráfica va hacia arriba. 00:21:56
Es decir, que si una gráfica va hacia arriba, como esta, ¿qué quiere decir? 00:22:01
Que a medida que aumento el valor de la X, va aumentando el valor de la Y. 00:22:06
Es decir, crece. 00:22:13
Y se dice que decrece cuando es al revés. 00:22:15
A medida que voy aumentando el valor de la X, voy disminuyendo el valor de la Y. 00:22:18
Es decir, que esta gráfica es creciente. 00:22:24
Esta gráfica se dice que es constante, porque veis que ni crece ni decrece, 00:22:28
sino que siempre 00:22:34
para todos los valores que le voy dando a la X 00:22:36
me sale el mismo valor de la Y 00:22:39
esta gráfica 00:22:41
las gráficas 00:22:43
no siempre son 00:22:45
todo creciente o todo decreciente 00:22:46
puede haber partes 00:22:49
zonas en las que crece 00:22:50
y zonas en las que decrece 00:22:52
esta por ejemplo 00:22:53
a medida que voy avanzando con la X 00:22:54
voy bajando con la Y 00:22:57
esa parte es decreciente 00:22:59
y sin embargo cuando llego aquí 00:23:01
a medida que voy avanzando, voy avanzando con la y, es decir, esta función es decreciente hasta este valor, hasta x igual a 2, y luego decrece a partir de x igual a 2. 00:23:03
¿Lo veis? ¿No? ¿Lo veis? ¿No? ¿Por qué? 00:23:17
No, no lo veis. 00:23:19
O sea... 00:23:21
No, no, lo mismo dos veces. A ver. 00:23:23
Las funciones... 00:23:25
Hasta y desde. 00:23:26
Claro, hasta y desde. 00:23:29
Es decir, aquí hay un salto. 00:23:31
¿No? O sea, esta función 00:23:33
es discontinua en x igual a 2. 00:23:35
Ahí hay un salto, salto infinito 00:23:38
en x igual a 2. 00:23:40
Entonces, tengo que estudiar lo que pasa 00:23:41
a este lado y a este lado. 00:23:43
A este lado de la función, es decir, a este lado, para valores más pequeños que 2, tened en cuenta que las x van creciendo hacia allá y disminuyendo hacia allá. 00:23:45
Entonces, para valores más pequeños que 2, la función es decreciente, porque si yo las cojo, la función siempre hay que cogerla de izquierda a derecha. 00:23:57
O sea, desde aquí hasta aquí, ¿veis? Yo voy decreciendo. Y sin embargo, de esto hacia allá, yo la cojo de izquierda a derecha y también va decreciendo. 00:24:06
¿Lo veis, no? O sea, que es decreciente aquí y es decreciente aquí. Es decreciente hasta este punto y luego es decreciente, ¿por qué? 00:24:18
¿Por qué lo hago en dos partes? 00:24:29
Porque ahí la función no está definida por lo que hablábamos. 00:24:30
Ahí tiene un punto de dividir. 00:24:36
Esta función, fijaros, esta función, si yo empiezo de izquierda a derecha siempre, 00:24:37
voy por aquí, voy por aquí, voy por aquí, voy por aquí, 00:24:42
y hasta aquí, ¿qué está haciendo? ¿Creciendo o decreciendo? 00:24:44
Creciendo. 00:24:47
Y si en el malo cuando llego aquí, ¿qué hace? 00:24:47
Pues decrece. 00:24:51
Es decir, es una función creciente hasta x igual a cero, 00:24:53
pues este es x igual a cero, 00:24:56
crece y luego decrece. 00:24:58
Quiere decir que el crecimiento y el decrecimiento de una función 00:25:01
no es siempre igual en toda la función, 00:25:05
dependiendo, porque si yo, imagínate que tengo todavía una más rara, 00:25:09
que tengo una que es así, 00:25:13
tú fíjate aquí si hay sitios donde crece y sitios donde decrece, 00:25:16
esta crece hasta este punto, luego decrece, luego vuelve a crecer, 00:25:19
luego vuelve a decrecer, luego vuelve a crecer y así sucesivamente. 00:25:24
Ya te diré cómo se crea. 00:25:27
No tengo la risa, no tengo la risa. 00:25:29
Pero bueno, aquí hay una primera. 00:25:31
Es creciente hasta x igual a cero. 00:25:34
Y luego decrece a partir de x igual a cero. 00:25:38
¿De acuerdo? 00:25:43
Vale. 00:25:44
Entonces, una función, como crece, las funciones, 00:25:49
hay partes en que crecen y partes en que no crecen, 00:25:52
Eso da lugar a otra cosa que también se estudia a partir de eso, que son los máximos y los mínimos. 00:25:55
Si una función como esta, por ejemplo, esta que tenemos aquí, hay partes crecientes y partes decrecientes, 00:26:02
hay un punto en el que eso cambia, es decir, si va variando es porque hay un punto en que cambia, 00:26:09
que está creciendo y pasa a decrecer, o al revés. 00:26:15
Entonces, si una función viene decreciendo y de pronto cambia a creciente, 00:26:18
esto, ese punto donde cambia, se le llama mínimo. Y sin embargo, si viene creciendo 00:26:23
y de pronto decrece, se le llama máximo. Una función puede tener muchos mínimos y 00:26:31
máximos relativos, que se llaman, que es que esta función que tiene, esto es un mínimo 00:26:37
y esto es un mínimo, tiene dos mínimos relativos. Y esta función tiene dos máximos. Luego 00:26:43
tendrá un mínimo absoluto y un máximo absoluto, que normalmente no os los piden, eso es una 00:26:49
cosa rara, puede ser cualquiera. Entonces, ese máximo sería, es el valor, el máximo 00:26:55
que coja, y este, el mínimo que coja, esos serían los absolutos. Normalmente, si las 00:27:01
funciones son normales, los máximos y los mínimos absolutos son el infinito, es lo 00:27:07
que se calcula normalmente, es los máximos y mínimos relativos. ¿Cómo va variando 00:27:11
los intervalos de crecimiento 00:27:17
y decrecimiento 00:27:21
esto va totalmente unido 00:27:22
el cálculo de máximos y mínimos 00:27:23
va unido totalmente al crecimiento y decrecimiento 00:27:25
¿vale? 00:27:28
por ejemplo 00:27:30
esta gráfica 00:27:32
esta función 00:27:34
es de creciente hasta x igual a 2 00:27:35
y creciente 00:27:38
a partir de x igual a 2 00:27:41
y tiene un mínimo 00:27:43
relativo en x igual a 2 00:27:45
en el punto 2 menos 1 00:27:47
¿lo veis? 00:27:50
es decir 00:27:52
si yo cogiese esta función 00:27:53
olvidándome de la 00:27:56
de la 00:27:58
olvidándome de esto 00:27:59
de la fórmula 00:28:03
si a mi me diese la gráfica 00:28:05
solo la gráfica yo podría decir 00:28:07
dentro de lo que vamos mirando 00:28:09
yo podría decir que esta función 00:28:10
su dominio es decir 00:28:13
le puedo dar cualquier valor de x 00:28:14
Porque ya veo que no hay ningún punto raro donde se parta, donde no haya 00:28:16
Yo puedo seguir dándole valores y ya está 00:28:21
El dominio de esta función sería todos los interés, todos los interés 00:28:24
Es una función continua 00:28:29
¿Lo veis? Que no tiene ningún salto de continuidad 00:28:32
Es continua, se dice es continua en todo su dominio 00:28:35
¿Lo veis, no? 00:28:39
Luego es decreciente hasta x igual a 2 00:28:42
y creciente a partir de x igual a 2 00:28:46
y por lo tanto 00:28:48
tiene un mínimo relativo 00:28:50
en el punto 2 menos 1 00:28:51
¿de acuerdo? 00:28:53
esas son las características 00:28:56
cuando, insisto 00:28:57
no os van a dar la gráfica 00:28:59
o sea, estudiar 00:29:01
las características 00:29:03
de una función 00:29:06
dándote la gráfica 00:29:07
es una cosa de segundo de la ESO 00:29:11
en segundo de la ESO 00:29:12
cuando se empieza a estudiar funciones, se estudia así, te dan la gráfica y dices eso, 00:29:15
simplemente tienes que mirar y contar, pero luego ya claro, a medida que vamos avanzando, 00:29:20
la dificultad, insisto, está en que no te dan la gráfica, lo que te dan es esto, ¿de acuerdo? 00:29:26
Bueno, esta otra, esta igual, esta función, ¿qué dominio tiene? 00:29:37
¿Hay algún punto en que no está definida? 00:29:47
No. 00:29:51
Luego tiene, domino, se dice, 00:29:52
cuando el 3 siempre, se dice que es toda la recta real. 00:29:54
Cualquier número que le des a la x, 00:29:57
me vale. 00:29:59
¿Es creciente o decreciente? 00:30:02
Creciente y decreciente. 00:30:07
¿Hasta dónde? 00:30:08
Me tenéis que decir hasta dónde. 00:30:09
Hasta x menos 1 y más. 00:30:11
Y luego, claro, entonces, 00:30:13
esto sería, 00:30:15
se habla, se dicen 00:30:16
las zonas crecientes 00:30:18
y luego las zonas decrecientes 00:30:20
es decir, aquí creciente 00:30:22
creciente es esto 00:30:24
y esta 00:30:26
¿no es así? 00:30:28
entonces yo diría 00:30:31
esta función crece 00:30:32
de menos infinito a menos uno 00:30:33
y de cero a uno 00:30:37
¿lo veis? 00:30:40
y decrece 00:30:43
de menos uno a cero 00:30:44
y de uno 00:30:46
a infinito, más infinito 00:30:48
porque estamos hablando siempre de las x 00:30:50
estamos hablando de las x, ¿eh? 00:30:52
o sea, según yo le vaya dando valores a las x 00:30:54
ahí va saliendo 00:30:56
decreciente 00:30:57
¿es continua? 00:30:59
sí, no tiene ningún punto de discontinuidad 00:31:02
¿de acuerdo? 00:31:04
esta, por ejemplo, esta 00:31:05
esta función 00:31:06
a ver, esta función 00:31:11
se supone que esto 00:31:14
va hacia allá 00:31:15
y eso va hacia acá 00:31:16
y esto viene hacia acá 00:31:18
y eso sube aquí 00:31:20
a ver, ¿hay puntos en que no está definida la función? 00:31:21
¿cuál es? 00:31:27
no, menos 3 no 00:31:30
es 2 00:31:31
es menos 2 00:31:32
es decir 00:31:34
el dominio de esta función 00:31:37
sería todos los números 00:31:41
menos el 2 y el menos 2 00:31:42
¿vale? 00:31:45
¿Es continua o discontinua? 00:31:46
Es discontinua en 2 y menos 2. 00:31:52
¿Y en menos 2 qué tipo de salto tiene? 00:31:58
¿Finito o infinito? 00:32:00
Infinito. 00:32:02
¿Y en el 2? 00:32:02
Infinito también. 00:32:04
Es decir, tiene dos discontinuidades en dos puntos y las dos discontinuidades son de salto infinito. 00:32:05
¿Vale? 00:32:11
Luego, intervalos de crecimiento. 00:32:11
Venga, contadme. 00:32:14
No. 00:32:15
vengo por aquí, ahí 00:32:16
bueno, más o menos 00:32:18
a menos tres y medio 00:32:21
¿vale? ¿lo veis, no? 00:32:22
crece de menos infinito 00:32:25
luego, ¿dónde más crece? 00:32:27
bueno, tres y medio, más o menos 00:32:30
al fin, ¿lo veis, no? 00:32:31
pero eso lo tenéis que hacer siempre de izquierda a derecha 00:32:35
miradlo siempre de izquierda a derecha 00:32:37
o sea, pasar por encima 00:32:40
de la gráfica de izquierda a derecha 00:32:41
entonces, tendríamos dos 00:32:43
dos intervalos de crecimiento, que es menos infinito a este menos tres y medio y del tres 00:32:45
y medio hasta el infinito. Y por lo tanto decrece ¿desde dónde hasta dónde? No, a 00:32:51
menos dos, siempre es el valor de las X. Es de menos tres y medio a menos dos, ¿vale? 00:32:58
Luego, desde menos dos hasta dos. Pero no sería constante en eso. Es que no llega a 00:33:07
ser constante no llega a ser constante es que está la gráfica eso pero no es 00:33:12
constante es más lo que yo he dibujado pero que se 00:33:18
ve en el rojo vale y luego vuelve a decrecer de 2 a 3 00:33:23
más y más y mínimos venga tiene que tiene algún máximo o algún mínimo 00:33:32
No, no. Máximos y mínimos no son saltos, es cuando cambia. 00:33:39
Aquí, ¿esto qué es? Un máximo, porque es cuando cambia, no cuando hay salto. 00:33:45
Si hay salto, no hay ni máximo ni mínimo. Si hay salto, quiere decir que eso no vale. 00:33:51
Está fuera del dominio, está fuera de todo. 00:33:58
Entonces, máximo aquí, en este punto, que es menos tres en medio. 00:34:01
¿Y mínimo? Bueno, bueno, bueno, podríamos decir que a lo mejor aquí hay uno y aquí hay otro, podríamos decir, el que sí es claro es este, ¿lo veis? ¿No? Eso es un mínimo, ¿de acuerdo? 00:34:06
Esta, venga, contadme 00:34:25
Dominio 00:34:28
Dominio 00:34:29
Todos 00:34:31
No hay salto, no hay nada, por lo tanto todos 00:34:32
Continuidad 00:34:36
Continua 00:34:39
Se dice 00:34:41
Intervalos de crecimiento 00:34:43
Intervalos de crecimiento 00:34:46
¿Dónde crecen? 00:34:48
Desde menos 2 hasta 0 00:34:49
Hasta 0 con 00:34:51
Menos 1 casi 00:34:53
Sí, menos 1 y 1 00:34:55
Ah, pero aquí estaba como en 5 00:34:57
Y luego ¿dónde más? 00:34:58
Desde 0 a 1 00:35:01
No, desde 0 a 00:35:03
0,5 hasta aquí 00:35:04
Y luego 00:35:07
De 1 en 5 00:35:08
Si yo tuviese que dar los intervalos de crecimiento 00:35:09
Diría de menos infinito 00:35:13
A aproximadamente 00:35:16
Menos 1,5 00:35:18
¿Vale? 00:35:19
de 0 00:35:20
aproximadamente 00:35:24
a 0,5 00:35:26
y de 1 00:35:27
a infinito 00:35:29
eso sería mi sinfónico 00:35:31
es que no es la y 00:35:32
es la x 00:35:36
siempre estoy hablando de x, quiere decir 00:35:37
que yo, por más que venga 00:35:39
hasta el infinito 00:35:41
esto sigue creciendo 00:35:43
los infinitos son siempre las x 00:35:45
en funciones 00:35:47
lo importante son los valores 00:35:49
o sea, siempre se referencia a todos los valores 00:35:50
de las series 00:35:53
no de las series 00:35:53
no, es que no es recta 00:35:55
por lo tanto, sabiendo esos 00:35:58
intervalos, ¿dónde decrece? 00:36:03
eso es donde crece, ¿dónde decrece? 00:36:05
entonces, decrece de 00:36:08
menos infinito 00:36:10
a menos dos 00:36:11
cuatro y medio 00:36:13
no, que hablamos de decrece 00:36:15
De menos uno con cinco a cero y de cero con cinco a uno. 00:36:16
¿De acuerdo? 00:36:28
Si estudiáis en los intervalos de crecimiento y decrecimiento, tendréis que poner crece y decrece. 00:36:30
¿De acuerdo? 00:36:36
Y por lo tanto, ¿cuántos mínimos relativos tiene? 00:36:37
Tres. 00:36:41
Tres. 00:36:42
¿En qué puntos? 00:36:43
Menos dos. 00:36:44
¿Menos dos? 00:36:45
Cero y uno. 00:36:46
¿Y cuántos máximos relativos tiene? 00:36:49
Dos. 00:36:51
¿Este? 00:36:53
Uno en medio y uno en medio. 00:36:54
¿De acuerdo? 00:36:58
Y esta. 00:36:59
Venga, ¿qué dominio tiene? 00:37:00
¿Cómo se decía? 00:37:04
Toda la recta real. 00:37:05
¿Veis? No tiene saltos, por lo tanto, toda la recta real. 00:37:07
Es continua en todo su dominio. 00:37:12
¿Vale? 00:37:14
¿Intervalos de crecimiento? 00:37:16
Menos infinito a cero 00:37:18
Crece 00:37:21
Y también crece de uno con algo 00:37:21
A infinito 00:37:25
Vale, y decrece 00:37:26
De cero a uno 00:37:28
¿De acuerdo? 00:37:30
¿Vale? ¿Está claro? 00:37:33
Por lo tanto, máximos relativos 00:37:34
De cero 00:37:37
En x igual a cero 00:37:40
Y mínimo relativo 00:37:42
Bueno, otra cosa que se estudia 00:37:43
Esto nosotros lo vamos a trabajar poco 00:37:51
Porque esta característica vale sobre todo para dibujar 00:37:54
Como nosotros no vamos a dibujar, esto es raro 00:38:00
Lo veremos, pero hay algunas funciones cuya gráfica es simétrica 00:38:02
Sabéis lo que es una simetría 00:38:07
Simetría es, tienes un eje, si tú doblas por ahí, los dos lados coinciden. 00:38:09
Entonces, hay dos tipos de simetría. 00:38:14
Una simetría que se llama par, que es cuando a cualquier valor de la x le corresponde una y 00:38:17
que es exactamente igual, que es el mismo valor pero en negativo. 00:38:24
Es decir, que si yo hago x igual a 1 y x igual a menos 1, el valor de y es el mismo. 00:38:27
¿Veis? Que es esto. 00:38:36
con 1 tiene este valor y con menos 1 00:38:37
también tiene este valor 00:38:40
eso es, la simetría es muy fácil 00:38:41
sobre todo la par 00:38:44
y la simetría impar 00:38:45
que es 00:38:48
son gráficas 00:38:48
que son simétricas 00:38:51
con respecto al origen 00:38:54
que ser respecto al origen 00:38:55
significa que son simétricas 00:38:58
con respecto a los dos ejes 00:38:59
es decir, si yo doblo por el eje X 00:39:01
y luego por el eje Y 00:39:04
las gráficas coinciden 00:39:05
En este caso, en este caso es al revés, es al revés, es decir, si yo hago x igual a 1 y x igual a menos 1, si x igual a 1 vale y, x igual a menos 1 vale menos y. 00:39:07
Es decir, claro, si x es igual a 1, esto vale 1, pero si es igual a menos 1, esto vale menos 1. 00:39:30
Y eso significa que es, como podéis ver, también se ve muy fácilmente la simetría. 00:39:38
Gráficas simétricas son casi las parábolas y poco más. 00:39:44
La periodicidad, esto también es una característica que se da muy pocas veces, poquísimas veces. 00:39:48
Una cosa periódica es una cosa que se repite, es una gráfica que se repite. 00:39:56
Si tú coges un trozo de gráfica, por ejemplo, de aquí a aquí, ves que esto lo llevas ahí y se va repitiendo. 00:40:02
Entonces, esto se repite, esto se repite, esto se repite. 00:40:08
Entonces, esto sí que no lo vamos a estudiar, porque en realidad gráficas periódicas solamente son las de la vida. 00:40:12
si tú haces la gráfica de la función seno, te sale esto, y de la función coseno también, pero son las únicas, son las nuevas, a lo mejor hay algunas, pero van a ser rarísimas, rarísimas, rarísimas, pero bueno, que lo sepáis, ¿vale? 00:40:19
bueno 00:40:35
entonces, repito 00:40:36
cosas características de las funciones 00:40:39
vamos a hacer un cuadro 00:40:42
para 00:40:44
hemos dicho 00:40:44
que vamos a estudiar 00:40:48
dominio 00:40:50
continuidad 00:40:51
que vamos a estudiar 00:40:56
crecimiento 00:41:01
y de aquí 00:41:03
los máximos y los mínimos 00:41:07
y del dominio de la continuidad 00:41:10
y aquí vamos a sacar 00:41:16
el cortes 00:41:18
con los ejes 00:41:19
y signo de la continuidad 00:41:21
y una cosa más rara 00:41:26
que es 00:41:27
asíntota 00:41:29
y vamos a escribir concavidad 00:41:31
esto 00:41:36
asíntota 00:41:43
asíntota 00:41:46
ya veremos si aquí lo vemos 00:41:47
vale 00:41:49
fijaros 00:41:51
eso es, cóncava es 00:41:53
por ejemplo, esta 00:41:55
aquí 00:41:57
las cosas que hemos visto hasta ahora 00:41:59
es esta función 00:42:01
está definida en todos los puntos 00:42:03
no tiene discontinuidades 00:42:06
por lo tanto es continua en todo su dominio 00:42:07
tiene 00:42:11
un intervalo de crecimiento 00:42:13
de crece de menos infinito a cero 00:42:15
y crece de cero a infinito 00:42:18
Tiene un mínimo relativo en el punto X igual a 0 00:42:20
Y luego las cosas que ha añadido en esa lista son 00:42:25
El punto de corte con los ejes 00:42:31
Entonces esta gráfica corta a los ejes en este punto 00:42:34
Solo en ese punto, es decir, lo corta en el punto X 0 y 0 00:42:39
¿De acuerdo? 00:42:43
y luego otra cosa que he añadido 00:42:45
es el signo 00:42:47
el signo es 00:42:50
para todos los valores de x 00:42:52
la función es positiva 00:42:54
¿lo veis? 00:42:56
porque le de el valor que le de 00:42:58
siempre las x son positivas 00:43:00
es decir, es positiva 00:43:02
es una función positiva en todo 00:43:04
en todos los valores de x 00:43:06
tiene un mínimo 00:43:09
como hemos dicho en el punto 0,0 00:43:12
que es el punto de corte con los ejes, y además es una función cóncava, en toda su reposo. 00:43:14
Si vamos a una más rara, una que tenga cosas más raras, de las que hemos visto antes, esta por ejemplo. 00:43:23
Esta, si vamos a esta, bueno el dominio sigue siendo toda la recta real, como veis, 00:43:33
esta es una función continua en todo su recorrido, tiene dos intervalos de crecimiento que es de menos infinito a menos 1 y de 0 a 1 00:43:39
y decrece de menos 1 a 0 y de menos 1 a infinito, ¿lo seguís? 00:43:52
Tiene dos máximos relativos que son en el punto menos 1 y en el punto x igual a 1 00:44:00
Y un mínimo relativo en el 0,0. Corta los ejes. ¿Dónde corta los ejes? Pues corta al eje X, le corta en tres puntos. En este, en este y en este. ¿Lo veis? Esto tendría que ver, bueno, pues será menos 1 y pico y este es 1 y pico. 00:44:07
Es una función simétrica con respecto al eje Y, lo veis, ¿no? 00:44:26
Porque si yo lo doblo por el eje Y, coincide. 00:44:30
Es una función que no tiene periodicidad, ya os he dicho que es rarísimo. 00:44:34
Y luego es una función que es positiva entre este punto y este, 00:44:38
entre menos uno y pico y uno y pico, veis que esto es positivo, 00:44:44
y es negativo de menos infinito a este punto y de este punto a infinito. 00:44:48
¿De acuerdo? 00:44:54
Es una función que es cóncava desde el menos uno hasta el uno y convexa en el otro, en los otros, ¿de acuerdo? 00:44:54
Bueno, o tiene, podríamos decir que tiene un intervalo de convexa hasta cero y es convexa también desde cero y es cóncavo, ¿sí? 00:45:06
No te creas, ¿eh? Yo ahí tengo dislexia, ¿eh? 00:45:22
No, sí, cóncavo, cóncavo. 00:45:26
Yo, a mí no, me haces durar, me haces durar. 00:45:28
Yo lo recuerdo de biografía, que me están explicando que los... 00:45:31
Los valles son cóncavos y los picos son convexos, ¿no? No sé si... 00:45:33
Una vez me dijeron en mate que se podía decir de cualquier forma, 00:45:38
entonces a veces ponían cóncavo hacia arriba o hacia abajo y ya. 00:45:41
Yo ahí tengo una dislexia. 00:45:44
Pero lo que ha sido el año pasado, sí. 00:45:46
Pues ves, es que yo soy medio dislexica. 00:45:47
En eso, míramelo. Anda, míramelo que es cóncavo y lo que es convexo. 00:45:49
Ahí siempre me equivoco. 00:45:53
Era al revés. 00:45:58
Es al revés. ¿Ves? 00:45:59
Sí, pero cóncavo suena... 00:46:01
Claro, yo... Bueno, pues es al revés. 00:46:03
Entonces, esto sería cóncavo, estos dos, y convexo sería esto. 00:46:05
Es como el vagón y estribor de los barcos, que siempre me equivoco. 00:46:10
Que tampoco lo sé, uno suena estribor, debería ser la izquierda, ¿no? 00:46:14
No sé por qué, pero esta que estima es la derecha. 00:46:17
Ah, claro, es que depende de cómo lo veas. 00:46:20
Por ejemplo, si es como el lado con K1 es de arriba y el lado con B sería el de abajo. 00:46:22
Ya, ya, ya, te lo estoy entendiendo. 00:46:27
Le da la vuelta más, le da la vuelta más. 00:46:29
Bueno, mira, de verdad, hay cosas que a mí eso no me trae a la cabeza. 00:46:31
Así que bueno, lo iremos repasando. 00:46:36
Bueno, estas son todas las cosas que vamos a estudiar. 00:46:40
¿De acuerdo? Entonces, si queréis, empezamos con las... 00:46:44
Vamos a empezar con el dominio. 00:46:48
A ver, en principio, todas las funciones, siempre hay que partir de la base de que todas las funciones, en general, su dominio, que se escribe D, es igual a la recta real. 00:46:56
Eso me sería así 00:47:10
Quiere decir que le puedo dar cualquier valor a la x 00:47:11
En general siempre son esas 00:47:14
Solamente hay tres aspectos 00:47:17
La primera es 00:47:19
Cuando un denominador se hace cero 00:47:20
La segunda 00:47:23
Es cuando una raíz 00:47:26
De índice par 00:47:30
Se hace negativa 00:47:33
Y la tercera 00:47:34
Es cuando un logaritmo se hace cero 00:47:36
solamente hay estos tres casos. En el resto de las funciones, en el resto de las funciones, siempre el dominio es tomado. 00:47:39
Entonces, por ejemplo, si yo tengo, si yo tengo una función que sea igual a 3x cuadrado menos 5, 00:47:50
esto 00:48:05
¿tiene un denominador que se pueda hacer cero? 00:48:07
¿tiene una raíz de índice par? 00:48:12
¿tiene un logaritmo? 00:48:15
¿un logaritmo? 00:48:17
un logaritmo es una operación matemática 00:48:23
es como una raíz 00:48:25
es como se lo dimos en este logaritmo 00:48:26
es un cálculo 00:48:29
que se hace cuando tú 00:48:31
es la base a la que hay que elevar el exponente para que nos dé un número. 00:48:33
Es decir, el logaritmo en base 2 de 3, o sea, de 8, por ejemplo, es 3. 00:48:39
¿Por qué? Porque 2 elevado a 3 es el logaritmo que nos da en base 4. 00:48:48
Por lo tanto, esta función, yo diría que el dominio de esta función es igual a todo el lado. 00:48:54
Vamos con, por ejemplo, yo tengo, por ejemplo, f de x igual a menos 3 partido por x. 00:49:00
Entonces, yo cuando calculo el dominio siempre lo que hago es, miro y digo, ¿hay alguno de los presupuestos? 00:49:21
En este caso sí, tengo un denominador. 00:49:29
Entonces, para saber cuándo se hace cero esto, yo lo que tengo que hacer es x igual a cero. 00:49:31
Es decir, que en x igual a cero, en x igual a cero, sale del dominio. 00:49:37
Por lo tanto, el dominio de este hueso es toda la recta real menos el cero. 00:49:44
Si se escribiese, por ejemplo, esto es otra función típica, esta es otra función en que el denominador se puede hacer cero. 00:49:49
Entonces yo igualo el denominador a cero 00:50:13
Por lo tanto, el dominio es toda la recta real 00:50:16
Menos, esto es un punto, menos dos 00:50:23
No, es que los palitos es valor absoluto, no lo podéis poner así 00:50:26
Es una llave 00:50:30
En este caso hay dos valores que hacen cero el denominador 00:50:32
Entonces esos dos valores están fuera del denominador 00:50:38
este, ¿cuál sería el dominio de este? 00:50:41
yo lo que hago es igualar el denominador a cero 00:50:47
esto no existe 00:50:49
por lo tanto 00:50:53
no hay ningún número que me haga el denominador cero 00:50:55
luego a pesar de tener un denominador 00:50:58
el dominio de esta función 00:51:00
es toda la recta real 00:51:02
porque no hay ningún número 00:51:04
ningún valor que yo le pueda dar a esa x 00:51:07
para que me dé 0 el denominador 00:51:10
¿de acuerdo? 00:51:12
o sea que no creáis que a veces 00:51:14
incluso abriendo denominadores 00:51:16
os sale que el dominio es toda la recta real 00:51:17
porque no siempre 00:51:20
le puedo dar yo valores 00:51:22
como en este caso a la x para que se haga 00:51:23
0 el denominador 00:51:25
¿vale? 00:51:28
otra 00:51:30
por ejemplo 00:51:31
¿qué dominio tiene esa función? 00:51:32
menos 6, claro 00:51:43
Yo lo que hago es igual el denominador a cero, y la de 2x igual a menos 4, x igual a menos 2. 00:51:44
Luego el dominio es toda la recta real menos ese número, que es así. 00:51:55
¿Vale? Vamos a ver cuando hay una raíz. 00:52:03
Cuando hay una raíz, por ejemplo, si yo tengo f de x igual a x más... 00:52:07
Aquí la cosa se nos complica un poco. 00:52:14
Porque aquí lo que tenemos que saber es cuándo es negativo lo de... 00:52:18
Tenemos una raíz de índice par, ¿no? 00:52:21
Esta raíz cuadrada. 00:52:24
Entonces, tengo que saber cuándo 3x más 2 es negativo. 00:52:25
Entonces, para hacer esto, lo que se hace es... 00:52:34
Podéis utilizar las desigualdades 00:52:41
Lo que pasa es que 00:52:44
Las desigualdades, si aquí dentro 00:52:45
Hay una expresión que no sea 00:52:47
De índice 00:52:50
De grado 1 00:52:52
Sino de grado 2 o grado 3, la cosa se complica 00:52:54
Entonces vamos a hacerlo de la siguiente manera 00:52:56
Yo, para saber cuándo se hace eso 00:52:57
Positivo o negativo, yo lo igualo a 0 00:53:00
Igual que aguante, que he dicho antes 00:53:02
Y despejo el valor de la X 00:53:04
¿De acuerdo? 00:53:06
Y ahora 00:53:11
Cojo un valor de la X más pequeño y otro valor mayor a este 00:53:11
Y entonces veo si ahí la Y se me hace positiva o negativa 00:53:19
Es decir, un valor más pequeño que X 00:53:24
Por ejemplo, menos 2 tercios, pues menos 2 00:53:26
Es un valor más pequeño, ¿no? 00:53:32
Y un valor mayor que esto es 0, por ejemplo 00:53:33
¿No? Y veo que, si esto es menos 2 tercios, cojo este valor y este valor. 00:53:37
Luego, si yo aquí pongo menos 2, ¿esto es positivo o negativo? Negativo. 00:53:49
Luego, hacia acá es negativo. 00:53:54
Y si yo aquí pongo 0, ¿eso es positivo o negativo? Positivo. 00:53:57
¿Vale? Luego, esto es negativo para todos los valores que son más pequeños que menos dos tercios. 00:54:01
Por lo tanto, el dominio de esta función es, aquí es negativo, ¿no? 00:54:12
Entonces el dominio es de aquí para allá, es decir, de menos dos tercios a infinito. 00:54:20
pongo donde es esto. Bueno, yo creo que lo hago así. Hay gente que lo hace como un 8 00:54:31
así, yo qué sé, yo lo hago así. Pero se entiende que es un infinito, ¿no? No, porque 00:54:35
no se aprendía a hacerlo así con la niña y ya lo dejaba así de por vida. Ya no voy 00:54:41
a cambiar. Ya a mis años ya no cambio. ¿Vale? Pero vamos, que sí es verdad que normalmente 00:54:46
el infinito es más un 8 tumbado, es más así, ¿no? ¿Vale? Venga, uno a vosotros. Decidme 00:54:52
El dominio de f de x igual a la raíz cuadrada de 5x menos 2. 00:55:00
Venga. 00:55:09
Me tienes que decir a qué lado es positivo y a qué lado es negativo. 00:55:10
Coge un valor más alto y un valor más grande y otro más pequeño. 00:55:16
Es decir, uno a la izquierda y otro a la derecha del valor que te ha dañado. 00:55:19
Yo puedo poner uno y es positivo también. 00:55:23
Sí, pero con cero, que es más pequeño. 00:55:27
y si pones cero, ponme un cero ahí 00:55:30
si me pones aquí un cero 00:55:34
o sea, si a ti 00:55:36
¿qué es lo que yo estoy haciendo? 00:55:37
¿qué es lo que os he dicho que hagáis? 00:55:40
fíjate, yo digo 00:55:42
yo cojo, yo 00:55:43
a ver, moviólo, empezamos desde 00:55:45
desde aquí, para 00:55:48
yo digo, me dan esta función y me dicen 00:55:49
cuál es su dominio, entonces yo 00:55:52
lo primero que digo es, a ver, entra 00:55:54
es dentro de alguno de los supuestos 00:55:56
del dominio, tiene un denominador 00:55:57
no. ¿Tiene una raíz 00:55:59
de índice par? Sí, pues ahí 00:56:02
me preocupará, porque sé que entonces 00:56:03
puede ser, no tiene por qué, 00:56:05
pero puede ser que el dominio 00:56:08
haya que quitarle trozos a ese dominio 00:56:09
porque no. ¿Qué trozos van a ser 00:56:12
esos? Aquellos que 00:56:14
cuando yo le den valor a la x 00:56:15
esto me quede negativo. 00:56:18
¿Por qué? Porque las 00:56:20
raíces de índice par de números negativos 00:56:21
en matemáticas no se pueden calcular, 00:56:24
no existen. Entonces, 00:56:26
digo, bueno, pues voy a hacer una cosa. 00:56:28
En vez de calentarme la cabeza para ver cuándo es negativo y cuándo es positivo, 00:56:29
yo cojo y digo, fijaros, imaginaros que la gráfica de esto fuese así. 00:56:34
Cuando x, cuando esto sea cero, es porque pasa de ser positivo a negativo o al revés, 00:56:42
de negativo a positivo, ahí hay un cambio. 00:56:52
Si pasa por y igual a cero, es que está pasando de positivo a negativo. 00:56:54
Por eso lo igualo a cero. 00:57:00
Digo, bueno, pues vamos a ver dónde está el cambio de positivo a negativo. 00:57:02
El cambio de positivo a negativo será cuando esto sea cero. 00:57:06
Siempre cuando paso de positivo a negativo o al revés, paso por el cero. 00:57:09
Es obligatorio. 00:57:14
Entonces, este es el paso. 00:57:15
Entonces, esto x es igual a dos quintos. 00:57:17
Es decir, yo sé que si estos son dos quintos, a un lado va a ser positivo o negativo y al otro al contrario. 00:57:20
Voy a buscar dónde es negativo. 00:57:29
Y digo, bueno, pues voy a coger un número mayor. 00:57:31
Mayor que dos quintos es el uno. 00:57:33
Si yo meto aquí un uno, esto es positivo. 00:57:35
Luego quiere decir que hacia acá es positivo. 00:57:38
No, porque estoy buscando un número mayor que dos quintos. 00:57:41
Al buscar un número mayor que dos quintos, cojo el uno. 00:57:44
y ahora digo, voy a coger un número más pequeño que dos quintos 00:57:46
pues entonces cojo el menos uno 00:57:50
o sea, el cero, por ejemplo, que es más pequeño 00:57:53
y esto me da negativo, es decir, que hacia acá es negativo 00:57:55
luego, ¿qué pasa? 00:57:59
que el dominio 00:58:01
ahora ya no es todo menos un número 00:58:02
ahora es desde aquí hacia allá 00:58:07
y es positivo, es decir, es de dos quintos 00:58:10
hasta infinito 00:58:13
Ojo, porque os pueden poner, por ejemplo, el cálculo del dominio ha salido ya dos o tres veces, haremos los ejercicios de ello, ojo porque os pueden poner, por ejemplo, esto, ojo, ¿este entra dentro de algún supuesto? 00:58:15
No, porque es una raíz y entonces esto, el dominio, es todo. 00:58:39
Pero si no lo ponen, mejor caso tampoco. 00:58:47
No, pero os lo digo, que a pesar de ser una cosa tan extraña, resulta que el dominio de esta función es toda la recta real. 00:58:50
¿Por qué? Porque a pesar de ser una raíz, no es una raíz de índice par. 00:58:58
Es una raíz de índice impar. 00:59:03
Las raíces de índice par, su dominio es toda la recta real. 00:59:04
¿Puede ser un 4? 00:59:08
Ya no. 00:59:09
Lo harías exactamente igual. 00:59:11
Si yo tuviese que hacer 00:59:13
el dominio, por ejemplo, 00:59:15
de la raíz cuarta 00:59:18
de 3x menos 5, 00:59:19
pues lo haría exactamente igual. 00:59:23
Porque es de índice par. 00:59:25
Me da igual que sea un 2, un 4, un 8, 00:59:26
pero siempre que sea par. 00:59:28
¿Y cómo calculo 00:59:31
cuándo sé 00:59:32
que si esto es positivo o negativo? 00:59:35
Pues yo lo calculo cuando es cero y luego ya pruebo, a la izquierda y a la derecha. 00:59:36
Yo sé que cuando eso se hace cero, cuando una cosa se hace cero, en la i, cualquier gráfica que vosotros tengáis, 00:59:41
en el momento en que pase por i cero, aquí hay un cambio de signo. 00:59:50
Hay un cambio, si pasa por aquí, pasa por aquí y por aquí, ¿veis? 00:59:55
pasa de ser positivo 00:59:59
a negativo 01:00:01
y aquí pasa de negativo 01:00:02
a positivo y otra vez a negativo 01:00:05
¿de acuerdo? 01:00:07
bueno, lo vamos a dejar aquí 01:00:09
el próximo día seguimos calculando dominios 01:00:10
nos vamos a quedar a la semana 01:00:13
que el próximo día, el viernes 01:00:15
terminamos con los logaritmos 01:00:16
y hacemos todos los dominios 01:00:18
y hacemos los ejercicios de dominio 01:00:20
¿vale? 01:00:21
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
M.jose S.
Licencia:
Dominio público
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Fecha:
28 de febrero de 2026 - 11:09
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB CANILLEJAS
Duración:
1h′ 00′ 28″
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