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CLASE CCFF 24 ABRIL - Contenido educativo

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Subido el 24 de abril de 2026 por M.jose S.

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En las clases anteriores hemos estado viendo, vimos lo que era una función, vimos algunas características de las funciones que se podían hacer sin derivar, 00:00:00
hemos aprendido a derivar funciones sencillas, y ahora vamos a ver cómo utilizamos esas derivadas para resolver o analizar las otras características de las funciones 00:00:10
que no habíamos podido analizar sin las derivadas. 00:00:26
Entonces, para entender cómo utilizamos las derivadas es importante, 00:00:30
lo primero, para lo que nos sirven las derivadas es para cuando nosotros tenemos valores de la x, 00:00:35
de la variable independiente, que cuando la metemos queremos saber cuál es el valor de la variable dependiente, 00:00:45
resulta que lo metemos y nos da un valor que no existe matemáticamente, entonces utilizamos las derivadas. 00:00:52
¿Cuáles son los valores que no existen? Es decir, ¿qué nos puede pasar? 00:00:58
Es importante saberse las operaciones con cero e infinito que son las que nos dan esos valores raros que no tienen solución en matemáticas. 00:01:02
Entonces, de toda esta tabla que os di el otro día, lo más importante es, bueno, lo primero, o sea, esto estudiarlo un poco, mirarlo un poco por encima para aprenderos lo más, pues por ejemplo, infinito más infinito es un, esto, ¿veis? 00:01:11
Lo que es importante son las indeterminaciones. Esto que es lo que se conoce como indeterminaciones matemáticas, que son cosas que no se pueden resolver así, o sea, tú no puedes hacer infinito menos infinito igual a cero, eso no existe. 00:01:29
Entonces, de todas estas operaciones con infinito, las que vosotros, a ver, no sé si os pondré en una función muy complicada, pero si os ponéis en una función como la que os he venido poniendo hasta ahora, en realidad, las cosas que tenéis que aprenderos muy bien, muy bien, es, bueno, por supuesto, que 0 partido por un número es 0, este, que muchas veces os equivocáis, cuando un número está dividido entre 0 es infinito, no es 0, 00:01:45
hay muchos que me ponéis, ¿3 entre 0 es 0? No, 3 entre 0 es infinito, ¿vale? 00:02:13
Un número partido por infinito es 0, esa es importante, infinito partido por un número es infinito, 00:02:18
0 partido por infinito es 0, e infinito partido por 0 es infinito, y estas dos. 00:02:27
Fundamentalmente yo creo que si os ponen alguna función en que hay alguna indeterminación matemática 00:02:37
Será una indeterminación del tipo 0 partido por 0 o infinito partido por infinito 00:02:46
En resumidas cuentas, las cosas más interesantes 00:02:52
Bueno, aquí hay algunas, esta por ejemplo 00:02:56
0 por infinito también es una indeterminación 00:02:58
Es más raro que os salgan estas 00:03:01
Estas son más raras porque estas indeterminaciones salen con funciones con expresión bastante complicada. Pero sí que os pueden poner una función racional, es decir, que en el denominador tiene variables, entonces ahí sí que es posible que determinados números cuando los metáis veáis que os da una indeterminación o bien de 0 por 0 o infinito por infinito. 00:03:03
Y luego esto es simplemente sabérselo, todo esto es sabérselo. Pero bueno, todo esto se resume en una cosa muy sencilla, y es que cuando el cero está abajo, entonces el resultado es infinito, y cuando el infinito está abajo, en una fracción, el resultado es cero. 00:03:28
Fíjate que si el cero está arriba, el resultado es cero. Y si el infinito está arriba, el infinito es infinito. 00:03:44
Entonces lo raro es esto, que cuando algo lo tienes dividido por cero ya sea infinito o sea un número, 00:03:52
entonces es infinito a no ser que sea cero partido por cero. Que eso ya es una indeterminación matemática. 00:04:00
Y cuando lo que tienes abajo en el denominador es un infinito, pues esto siempre es cero. 00:04:08
Tenga lo que tenga aquí arriba. 00:04:16
Si tengo aquí un cero partido por infinito, esto es cero. 00:04:18
Pero lo único es cuando tengo un infinito, que también es una indeterminación matemática. 00:04:22
¿De acuerdo? 00:04:28
Bueno, una vez que sabemos cuáles son nuestras indeterminaciones matemáticas, 00:04:29
vamos a ver para qué utilizamos las derivadas. 00:04:33
Las derivadas precisamente se utilizan para cuando yo le meto un valor en una función. 00:04:35
Pues por ejemplo, tengo f de x igual a x cuadrado menos 4 partido por 2x menos 4, por ejemplo. 00:04:41
Bueno, pues yo resulta que si aquí meto un valor 2, si yo pongo x igual a 2, cuando yo esto, esto me da 0 partido por 0. 00:04:55
es decir, que cuando yo fuese 00:05:03
si yo quiero representar 00:05:07
esa función, cuando yo 00:05:09
al valor x partido por 2, aquí 00:05:11
no hay valor 00:05:13
no hay ningún valor 00:05:14
por lo tanto 00:05:17
tengo que saber 00:05:18
o puedo 00:05:20
ver si realmente 00:05:22
esto no tiene valor 00:05:24
o si es simplemente una especie 00:05:27
de truco matemático, pero que 00:05:29
yo puedo, entonces, ¿eso cómo se conoce? 00:05:30
se hace. Entonces cuando yo, al meter un valor, me da una indeterminación matemática, yo 00:05:33
entonces lo que hago es calcular lo que se conoce como el límite de esa función en 00:05:38
ese punto. ¿Qué quiere decir eso? Quiere decir que como no sé cuánto vale la función 00:05:47
aquí, en el x igual a 2, pues yo lo que hago es calcular el valor muy cerquita, por aquí, 00:05:52
Y entonces digo, bueno, pues más o menos se acerca a, simplemente eso, es decir, bueno, no sé cuál es exactamente el valor, pero puedo decir que se acerca a este, eso es lo que se llama el límite. 00:05:58
¿Cómo se calculan límites? 00:06:10
cuando tengo una indeterminación del tipo 0 partido por 0 o infinito partido por infinito 00:06:13
pues el límite cuando x tiende a un número cualquiera de una indeterminación 00:06:25
Tengo aquí, a ver, f de x partido por f de x es igual a el límite cuando x tiende a f' de x partido f' de x. 00:06:33
¿Qué quiere decir esto? 00:06:55
Quiere decir, por ejemplo, imagínate que yo tengo la función de x cuadrado menos x partido por x cuadrado menos... 00:06:56
Cuando yo pongo x igual a 1, esto es 0 y esto es 0. 00:07:12
Por lo tanto, me encuentro que para el valor x igual a 1, esa función tiene una indeterminación matemática. 00:07:19
Entonces yo digo, bueno, pues voy a calcular su límite, límite cuando x tiende a ese valor de f de x. 00:07:27
Entonces, lo que hago es que esto es igual a, derivo arriba y derivo abajo. 00:07:34
Si derivo arriba tengo 2x menos 1 y si derivo abajo tengo 2x menos 3. 00:07:40
Y si ahora calculo esto con x igual a 1, esto sería 2 menos 1 arriba y 2 menos 3 arriba. 00:07:49
Luego esto es 1 partido por menos 1 que es menos 1. 00:07:59
Luego, aunque aparentemente cuando x es 1, esto es una indeterminación matemática, al derivar veo que no. 00:08:04
Que cuando yo pongo en esta función x igual a 1, el valor no es este, es este, menos 1. 00:08:14
¿Cuándo se utiliza esto en funciones? 00:08:25
Vamos a ver, los límites, los límites de valores se utilizan, o bien, cuando, ahora lo veremos, 00:08:28
cuando estoy calculando asíntotas, o bien, o bien, si me lo ponen expresamente. 00:08:36
Te pueden poner un ejercicio que sea cálculo de límites 00:08:42
Es para lo que lo utilizamos 00:08:45
Es decir, te pueden perfectamente poner 00:08:47
Este que diga, por ejemplo 00:08:49
El límite, calcula el límite 00:08:55
Por ejemplo, cuando x tiende a infinito 00:09:00
De x partido el logaritmo neperiano de x 00:09:06
Te pueden poner eso 00:09:10
Entonces, ¿cómo se actúa? Lo primero que haces es poner el valor de la x aquí, si tú pones el valor de la x aquí, si x es infinito, el logaritmo neperiano de x es infinito, esto es infinito partido por infinito, es una indeterminación matemática. 00:09:12
Entonces, ¿qué hago? Hago el límite cuando x tiende a infinito de, derivo x, es 1, derivo el logaritmo neperiano de 1, 1 partido por x, luego esto es 1 dividido entre 1 partido por x, es x, luego esto es, luego esto, cuando x tiende a infinito en esta función, no es esto, es esto. 00:09:27
Si me da una cosa, que es una indeterminación, derivo arriba, derivo abajo, y el valor es ese. 00:09:54
Si me ponen otro, por ejemplo, el límite, voy a hacer otro, 00:09:59
el límite cuando x tiende a infinito, de x cuadrado partido por e elevado a x. 00:10:05
Si yo esto es infinito, esto es infinito partido por infinito, 00:10:16
porque infinito al cuadrado es infinito 00:10:22
y e elevado a infinito es infinito 00:10:24
eso es infinito partido por infinito 00:10:26
entonces lo que hago es que 00:10:29
derivo 00:10:31
límite cuando x tiende a x 00:10:31
de la derivada de x cuadrado 00:10:35
es 2x 00:10:38
y la derivada de e elevado a x es 00:10:38
e elevado a x 00:10:41
¿de acuerdo? 00:10:42
vuelvo a ponerlo 00:10:44
esto es 2 por infinito que es infinito 00:10:45
y e elevado a infinito es infinito 00:10:48
me sigue dando infinito partido por infinito 00:10:50
Vuelvo a derivar. 00:10:52
Yo voy derivando hasta que consiga un valor. 00:10:54
Hasta que consiga un valor. 00:10:58
Un valor que no sea una indeterminación matemática. 00:10:59
Entonces vuelvo a derivar. 00:11:02
Si derivo 2x, esto es 2. 00:11:04
Y si derivo esto, es... 00:11:06
Perdón. 00:11:08
Es e elevado a x. 00:11:10
Si ahora pongo infinito, esto es 2 partido por infinito. 00:11:12
Esto es 0. 00:11:16
Luego, este valor... 00:11:18
Este valor que inicialmente me daba infinito partido por infinito, me ha costado derivar dos veces, pero sé que hay ese valor. 00:11:20
Eso, por ejemplo, si yo tengo, si a ti te piden el límite cuando x tiende a cero de 1 menos e elevado a x partido por e elevado a x por x menos e elevado a x menos 1. 00:11:32
cuando x tiende a 0 00:12:00
intenta hacer 00:12:02
a ver si me escapa una derivada 00:12:03
no te va a salir una así 00:12:05
de ninguna manera 00:12:06
no, a ver 00:12:07
esto es 1 menos 00:12:09
e elevado a 0, ¿cuánto es? 00:12:13
no, cualquier número 00:12:15
elevado a 0 es 1 00:12:17
es verdad 00:12:19
partido, cualquier número elevado a 0 00:12:19
está dando menos 2 abajo 00:12:23
a ver 00:12:24
esto es 1 por 0 00:12:25
Y esto es 1 menos 1. 00:12:29
1 por 0 es 0. 00:12:34
¿Por qué te da menos 2? 00:12:36
Entonces, bueno, claro, entonces esto ya está hecho directamente. 00:12:38
Esto sale menos 2, luego entonces esto es 0 partido por menos 2, que es 0. 00:12:43
¿Vale? 00:12:48
Bueno, vamos a hacer una cosa. 00:12:48
Vamos a decir... 00:12:51
¿Da? 00:12:53
No. 00:12:56
La derivada. 00:12:56
La derivada es, vamos a ver, esto es 0 partido por 0, ¿no? 00:12:57
O sea, porque esto es 1 por 0 menos 1 más 1, luego esto es 0, ¿no? 00:13:01
Entonces voy a derivar el límite cuando x tiende a 0. 00:13:09
La derivada de 1 es 0, o sea que nada. 00:13:15
Y la derivada de elevado a x es elevado a x, luego lo de arriba se queda así, ¿no? 00:13:18
Lo de abajo, esto es una multiplicación 00:13:23
¿Te acuerdas cómo se han derivado las multiplicaciones? 00:13:27
Derivada del primero, que es elevada a x, por el segundo sin derivar 00:13:30
Por el segundo sin derivar 00:13:36
Más la derivada del segundo, que es 1, por el primero sin derivar 00:13:39
Y ahora, la derivada de elevada a x, que es e elevada a x, de menos elevada a x 00:13:45
y la derivada de 1, que es 0, ¿vale? 00:13:52
Luego entonces, esto es menos e elevada a x, y esto lo organizo, 00:13:57
esto es e elevada a x por x, y aquí tengo e elevada a x menos e elevada a x, 00:14:03
entonces me va, me queda eso, ¿vale? 00:14:10
Voy a ver ahora cuánto valdría esto, esto es e elevada a 0, que es menos 1, 00:14:13
partido e elevada a 0, que es 1, por 0. 00:14:17
Esto es menos 1 partido por 0, esto es, ya, tengo un resultado. 00:14:21
¿De acuerdo? 00:14:27
¿Vale? 00:14:28
Los límites, si te ponen un problema de límites, que puede ser, o sea, te pueden poner un ejercicio que sea exclusivamente calcular dos límites. 00:14:30
El límite de esto, tú lo que tienes que hacer es derivar. 00:14:40
Derivar arriba, derivar abajo, a todas las veces hasta conseguir aquí un valor. 00:14:42
Un valor que puede ser cero, que puede ser infinito, que puede ser menos infinito, pero saliéndote siempre de la indeterminación matemática. 00:14:46
O sea, quitando el cero partido por cero, el infinito partido por infinito. 00:14:56
¿De acuerdo? 00:15:00
Bueno, esa es la primera aplicación de las derivadas, que es cálculo directo de límites. 00:15:02
Y ahora vamos a ver qué características se pueden estudiar mediante las derivadas de una función. 00:15:06
Entonces, la primera, la primera son crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos. 00:15:14
Entonces, vamos a ver cómo estudiamos esto. 00:15:25
En una función cualquiera, si yo igualo su primera derivada a cero, los valores estos que me den son un máximo o un mínimo. 00:15:28
Y si la segunda derivada es positiva, es un mínimo. 00:15:42
Y si la segunda derivada es negativa, es un máximo. 00:15:55
Entonces, si es un máximo, a la izquierda crece y a la derecha decrece. 00:16:05
¿No es así? 00:16:17
Más o menos es esto. 00:16:19
Y si es un mínimo, es al revés. 00:16:20
A la izquierda de ese valor la función decrece y a la derecha crece. 00:16:23
Voy a hacer un ejemplo y verás que fácil es. 00:16:32
Por ejemplo, f de x, me dan una función, f de x igual a menos x cuadrado menos 2x. 00:16:36
Y me pide estudiar su crecimiento, sus intervalos donde crece, donde decrece, sus máximos y sus mínimos 00:16:49
Bueno, pues lo primero que hago es derivar 00:16:57
Esto es menos 2x menos 2, ¿no? 00:16:59
Y entonces digo, voy a igualar 0, lo igualo a 0 00:17:03
Si lo igualo a 0, esto me quedaría menos 2x igual a 2, x igual a menos 1 00:17:06
Luego, en x menos 1, esa función tiene o un máximo o un mínimo 00:17:14
Entonces, hago la derivada segunda 00:17:20
Es decir, derivo esto otra vez 00:17:23
Y esto me queda menos 2 00:17:26
Como la derivada segunda es menor de 0, esto es un máximo 00:17:28
¿Qué quiere decir eso? 00:17:33
Quiere decir que esta función tiene un máximo en x igual a menos 1 00:17:39
Es decir, en el punto, menos 1, y si meto aquí menos 1, esto es menos 1 al cuadrado que es 1, más 2, menos 1 más 2, 1. 00:17:47
En ese punto. 00:17:58
¿Vale? 00:18:00
Y si tiene un máximo en ese punto, ¿qué quiere decir? 00:18:01
Que si este es el punto, x igual a menos 1, quiere decir que desde aquí hasta aquí, por aquí viene creciendo. 00:18:05
Menos infinito a menos 1, crece. 00:18:13
Y por aquí viene decreciendo de menos 1 al infinito de pi. 00:18:17
Esto es lo que me da. 00:18:28
Una para calcular máximos y mínimos. 00:18:36
Dada la función, lo mismo, me dan una función que es x cubo menos 15x cuadrado más 63x menos 32. 00:18:40
Y me piden lo mismo. 00:18:52
me piden intervalos de crecimiento 00:18:53
máximos y mínimos 00:18:55
en la ecuación de segundo grado 00:18:57
claro 00:19:00
la mía era más fácil porque era 00:19:01
de segundo grado que al derivar me queda de primer grado 00:19:05
entonces es más fácil, pero en tu caso 00:19:07
como es al cubo, pues te va a quedar 00:19:08
en el segundo grado, es decir que vas a tener dos puntos 00:19:10
en vez de uno, vas a tener dos puntos 00:19:13
que van a ser máximos o mínimos 00:19:15
claro, depende de lo 00:19:17
depende, la raíz 00:19:19
¿sabe que no tiene solución? 00:19:20
Pues si no tienes solución quiere decir 00:19:22
Que no hay ni máximos ni mínimos 00:19:26
Es decir, que es una función 00:19:28
O que siempre crece 00:19:29
O que siempre decrece 00:19:31
Entonces, ¿cómo sabes si crece o decrece? 00:19:32
Tienes que calcular 00:19:35
La derivada primera 00:19:36
Esta primera 00:19:39
Le das un valor cualquiera 00:19:40
Y si es positiva, decrece 00:19:42
Si es negativa, decrece 00:19:44
Es una función creciente en todo su dominio 00:19:45
No, me da 12 00:19:49
A ver, esto es la raíz cuadrada 00:19:53
De 30 al cuadrado 00:19:56
Menos 4 por 3 00:19:57
Y por 63 00:20:00
O sea, es de menos 30 00:20:01
Al cuadrado, ¿no? 00:20:02
Porque 15 por 2 son 30 00:20:05
Ah, es la b, había puesto la a 00:20:06
No, no, es la b 00:20:08
Es menos b al cuadrado 00:20:10
O sea, es b al cuadrado 00:20:11
Que es menos 30 al cuadrado 00:20:15
Y esto me da 12 00:20:16
bueno, ya de todas maneras está bien que te hayas equivocado 00:20:19
porque así te das cuenta 00:20:28
de que si 00:20:29
si esta ecuación 00:20:30
que te da aquí al igualar a cero 00:20:34
no tiene solución, es que siempre crece 00:20:36
o siempre decrece, no tiene ni máximos 00:20:38
ni mínimos, ¿cómo sabes si crece o decrece? 00:20:40
pues si 00:20:43
le hagas un valor a esto y esto 00:20:44
es positivo, crece, y si esto 00:20:46
es negativo, decrece para cualquier valor. Y si tiene máximos y mínimos es que quiere 00:20:48
decir que va cambiando. Y entonces ahí es cuando ya tienes que dar los intervalos. Venga, 00:20:53
vamos a ver los intervalos. 7 y 3. Pues entonces vamos a ver cuál es un mínimo y cuál es 00:20:57
un máximo. Volvemos a derivar, metemos esos valores y vemos si es negativo la segunda 00:21:03
derivada es un máximo. Si es positivo, vuelves a derivar. Exactamente igual. O sea, ahora 00:21:12
En vez de derivar la de arriba, vuelves a derivar esta. 00:21:17
¿Van a salir otros dos? 00:21:23
No, no, no, no, no, no. 00:21:24
Tú derivas 6x menos 30, ¿vale? 00:21:27
Y ahora pruebas el 7 y el 3. 00:21:31
7 por 6 es 42. 00:21:36
El 7 es positivo. 00:21:38
Te da positivo. 00:21:41
Luego es un mínimo. 00:21:42
Y el 3 te da negativo. 00:21:43
Luego es un más. 00:21:46
Ya en la segunda deriva pruebas. 00:21:47
No igualas hacemos 00:21:48
Entonces, ¿qué quiere decir? 00:21:50
Intervalos de crecimiento 00:21:52
Si esto es un mínimo 00:21:54
Quiere decir que 00:21:56
Por aquí viene decreciendo 00:21:58
En el 7 00:22:00
Y si esto es un máximo 00:22:02
Quiere decir que en el 3 00:22:04
Viene creciendo luego 00:22:05
De menos infinito a 3 00:22:08
Crece 00:22:10
¿Vale? 00:22:12
Entre 3 y 7 00:22:15
Decrece 00:22:17
Y de 7 hasta el infinito, si yo tengo el 3 y el 7, si este es el 3 y este es el 7, esto es un máximo y esto es un mínimo. 00:22:17
Luego, del menos infinito a 3 crece, de 3 a 7 decrece, ¿de acuerdo? 00:22:33
Sí. 00:22:38
Es muy facilito. 00:22:40
Sí, pero que un poco lío. 00:22:41
Es que hay que tener, es que es muy, son muchas cosas. 00:22:43
Sí, eso sí. 00:22:46
Son muchas cosas, yo vengo diciéndolo siempre que lo de las funciones no es difícil, pero son muchas cosas, es mucho conocimiento. 00:22:47
No sé, al final haciendo cosas con lo que estamos haciendo aquí me estoy alterando, pero así de primeras pillarlo... 00:22:55
Sí, es un poco complicado, vamos, complicado, es que es ya tío es farragoso, pero nada más. 00:23:00
Eso es una de las cosas que hacemos con las derivadas, al calcular máximos y mínimos y con los máximos y mínimos intervalos de crecimiento y decrecimiento. 00:23:05
Otra cosa que hacemos son puntos de inflexión y concavidad y convexidad. 00:23:14
Esto se hace con la segunda derivada. 00:23:27
Vamos a hacer el anterior. 00:23:30
A ver cómo lo he hecho. 00:23:32
A calcularlo con este. 00:23:33
Seguimos con la misma. 00:23:38
F de X es igual a X. 00:23:39
Es otra vez, yo x menos x cuadrado, f de x igual a x a la quinta menos 2x cubo, ¿vale? 00:23:44
Bueno, pues, esta se hace con la segunda derivada. 00:23:57
Primero derivo, 5x cuarta menos 6x cuadrado. 00:24:01
Segunda derivada, 20x cubo menos 12x, ¿vale? 00:24:06
Y aquí hago lo mismo, para igualo la segunda derivada a 0 y de aquí saco los puntos de inflexión. 00:24:14
entonces si yo igualo esto a 0 00:24:26
esto es 20x cubo menos 12x igual a 0 00:24:30
esto es x por 20x cuadrado menos 12 00:24:37
igual a 0 de donde x es 0 00:24:42
o 20x cuadrado menos 12 igual a 0 00:24:46
Y aquí sale que X es igual a 12 partido por 20 raíz cuadrada. 00:24:54
Esto es lo mismo que la raíz cuadrada de, si la entre 4 son 3 quintos, que la raíz cuadrada de 3 quintos. 00:25:01
Luego esta función tiene dos puntos de inflexión. 00:25:12
Un punto de inflexión es donde una curva pasa de cóncava a convexa o al revés, ¿vale? 00:25:18
Entonces, tiene dos puntos de inflexión, que son x cero y x raíz cuadrada de tres quintos, ¿vale? 00:25:31
Entonces, ahora, yo sé, yo sé que en x cero y en x raíz cuadrada de tres quintos, raíz cuadrada de tres quintos, 00:25:42
Bueno, pues imagínate que es esto, ¿no? Raíz cuadrada de tres quintos. 00:25:51
Pues yo sé que aquí y aquí va a haber un cambio. 00:25:56
Si viene así, ahí va a cambiar y al revés, ¿no? 00:26:01
Vamos a ver si cambia de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. 00:26:07
Entonces, hay que comprobar, hay que comprobar si la derivada segunda es positiva o negativa para, para eso, para antes de esos dos valores o después de esos dos valores. 00:26:11
Entonces, si la derivada segunda, si la derivada segunda es, a ver, si es positiva, si es positiva es convexa y si es negativa es cóncava, ¿vale? 00:26:24
entonces, yo cojo y digo 00:26:38
a ver, a la izquierda 00:26:41
estos son los puntos de inflexión 00:26:43
entonces, desde menos infinito 00:26:45
a cero, voy a coger 00:26:47
un número, menos uno 00:26:49
si yo lo meto aquí 00:26:51
si yo lo meto aquí 00:26:52
esto es 00:26:54
veinte por menos uno, menos veinte 00:26:56
es negativa, como es negativa 00:26:59
es, yo tengo una dislexia 00:27:01
con la cúbica de lo convexo 00:27:03
que es un problema 00:27:04
hemos dicho que si es positiva 00:27:06
que si es positiva es 00:27:08
convexa, ¿no? 00:27:10
es convexa, si es positiva 00:27:13
si es positiva es convexa 00:27:14
es decir, aquí es convexa 00:27:17
ahora 00:27:19
entre 0 y raíz cuadrada 00:27:20
de 3 quintos 00:27:24
esta raíz cuadrada de 3 quintos 00:27:25
no sé cuánto es 00:27:27
es 0,1 00:27:28
lo meto aquí 00:27:32
lo meto aquí 00:27:33
0,1 00:27:35
esto me va a dar negativo 00:27:36
Me da bar negativo. Luego aquí es cóncava. Bueno, aparte de que es evidente que si aquí hay un punto de inflexión y aquí viene convexa, va a ser cóncava. 00:27:38
Y luego de raíz cuadrada de tres quintos a más infinito, vuelve a ser convexa. ¿De acuerdo? 00:27:48
O sea, es lo mismo, es exactamente lo mismo, pero con la derivada segunda. 00:27:57
Con la derivada primera saco los máximos y los mínimos y luego al derivar, al volver a, y con la derivada segunda saco por un lado los intervalos de crecimiento y decrecimiento, aunque pasa lo mismo que aquí, cuando yo estoy aquí sé que aquí en el 3 hay un máximo, por lo tanto viene decreciendo, viene creciendo, luego entre este y este tiene que decrecer y luego volver a subir. 00:28:00
Es decir, si hay cambios, quiere decir que si empieza creciendo, decrece y luego vuelve a subir. 00:28:27
Igual que aquí, si a la izquierda de aquí es convexa, luego entre estos dos tiene que ser cóncava y luego vuelve a ser convexa, porque si no, no habría cambio. 00:28:32
¿De acuerdo? Vale. Bueno, y ya lo último. Sé que es mucho, pero te lo voy a meter. 00:28:44
Mejor, primero. 00:28:49
Sí, sí. A ver, bueno, y por último, la otra cosa que se hace derivando es el cálculo de las asíntotas. 00:28:50
¿Qué es una asíntota? Una asíntota en una función es una recta, ya sea horizontal, vertical o inclinada, 00:29:02
puede ser de las tres maneras, en que la función se acerca mucho a ella, pero no la toca. 00:29:21
Por ejemplo, esto es una asíntota horizontal y eso es una asíntota vertical. 00:29:33
Esto se acerca mucho a ella, pero nunca la toca. 00:29:39
Se va acercando y no la toca nunca. 00:29:43
Una inclinada, pues sería, ¿ves? 00:29:46
Esta, por ejemplo, también puede ser así. 00:29:48
Y lo mismo, esta sería una asíntota horizontal y esta sería una asíntota inclinada. 00:29:51
Esta es una asíntota vertical porque la curva se acerca mucho, no, eso es la definición de asíntota. 00:29:56
Entonces, las asíntotas hemos dicho que pueden ser horizontales, verticales o inclinadas. 00:30:03
Entonces, la asíntota horizontal se busca haciendo el límite cuando x tiende a infinito de la función. 00:30:10
Calculas ese límite y ves si el valor de la función en ese punto, si te da un número real, es una asíntota. 00:30:21
La asíntota vertical es cuando f de x se hace infinito. 00:30:33
Cuando la y se hace infinito. 00:30:43
pero eso solamente se puede dar 00:30:45
cuando tengo funciones racionales 00:30:48
si no, no hay asíntota vertical 00:30:53
y la inclinada 00:30:55
la inclinada es una recta de la forma 00:30:58
f de x más n 00:31:01
siendo m es el límite 00:31:04
cuando x tiende a infinito 00:31:08
de f de x 00:31:14
partido por x 00:31:16
y n es el límite 00:31:18
cuando x 00:31:21
tiene infinito 00:31:22
de f de x 00:31:23
menos m de x 00:31:25
a ver, ¿qué quiere decir? 00:31:28
todo este lío 00:31:31
voy a hacerte una y verás que 00:31:32
tenéis que aprender esto 00:31:35
sí, voy a borrar esto 00:31:36
la mx es como una función 00:31:39
es una recta 00:31:41
entonces tienes que calcular m y n 00:31:42
M se calcula así y N se calcula así 00:31:45
Bueno, voy a decirte uno 00:31:48
Por ejemplo 00:31:50
Por ejemplo, una función 00:31:51
Una función racional 00:31:53
Para ver si tiene 00:31:54
Para que pueda tener vertical 00:31:55
Esto es igual a 00:31:57
X cuadrado partido de X cuadrado 00:32:00
Empezó con las horizontales 00:32:04
La horizontal es el límite 00:32:07
Cuando X tiene infinito 00:32:10
De la función 00:32:14
X cubo partido de X cuadrado más 2X menos 5. 00:32:14
Si yo meto aquí el infinito, esto me da infinito partido por infinito. 00:32:21
Y tengo que hacer lo que hemos visto antes. 00:32:27
Para calcular ese límite, derivo lo de arriba, 3X cuadrado, y derivo lo de abajo, 2X más 2. 00:32:29
Esto sigue siendo infinito partido por infinito. 00:32:39
vuelvo a derivar 00:32:41
esto es igual a 6x 00:32:44
partido por 2 00:32:46
esto es infinito 00:32:48
¿vale? 00:32:51
luego el límite ese es infinito 00:32:52
como esto no me ha dado 00:32:54
un número real 00:32:56
no tiene asíntota horizontal 00:32:57
para que tenga asíntota 00:33:01
esto me tiene que dar un número 00:33:07
¿en las 3 tiene que dar un número real? 00:33:09
no, ahora lo vemos 00:33:13
Sí, las tres tienen que dar un número real para que tenga asíntota. 00:33:15
Entonces no tiene asíntota horizontal. 00:33:20
Estas son las horizontales. 00:33:25
Verticales. 00:33:28
Las asíntotas verticales son las que hacen esto infinito. 00:33:29
Para que esto sea infinito, f de x es igual a infinito cuando el denominador es cero. 00:33:34
porque una cosa dividida entre 0 es infinito 00:33:41
entonces voy a ver cuando hace esto infinito 00:33:51
entonces esto lo resuelvo 00:33:56
y entonces esto sería 00:33:58
menos 2 más menos raíz cuadrada de 4 00:33:59
2 más menos 8 partido por 2 00:34:04
y esto es 00:34:07
menos 2 más 8 son 6 que son 3 00:34:08
menos 10 menos 5 00:34:11
luego fíjate me dan dos valores 00:34:12
Luego hay dos asíntotas verticales, y igual a 3, no, y igual a 3 no, x igual a 3, x igual a 3, y x igual a menos 5. 00:34:15
Estas dos rectas son asíntotas verticales de esa función. 00:34:31
Y por último, asíntotas, vamos a ver las asíntotas oblicuas. 00:34:36
las asíntotas oblicuas 00:34:41
oblicuas 00:34:42
hemos dicho que va a ser de la forma 00:34:45
igual a f de x más m 00:34:46
es el límite 00:34:50
cuando x tiende a infinito 00:34:52
de f de x 00:34:55
partido por x 00:34:57
es decir 00:34:59
en este caso de x cubo 00:35:01
partido de 00:35:03
x cuadrado 00:35:05
más 2x 00:35:06
y esto dividido 00:35:08
¿Cómo divido esto? Esto se divide cruzado, ¿no? Luego esto es x cubo partido x por esto, x cubo más 2x cuadrado menos 5. 00:35:09
Y ahora hago esto entonces, m es el límite cuando x tiende a infinito de x cubo partido por x cubo, esto es infinito partido por infinito, luego derivo arriba y abajo. 00:35:21
Y entonces esto es 3x cuadrado partido por 3x cuadrado más 4x. 00:35:39
Esto sigue siendo infinito partido por infinito. 00:35:52
Vuelvo a derivar. 00:35:55
6x partido por 6x más 4. 00:35:57
Esto sigue siendo infinito partido por infinito. 00:36:01
Me parece que en x arriba y abajo, como x es infinito, pues esto va a ser infinito. 00:36:03
vuelvo a derivar 6 partido por 6, esto es 1, luego m es 1, ¿de acuerdo? Y luego, por último, n es el límite cuando x tiene infinito de f de x menos m por x. 00:36:07
En este caso, como m me ha dado 1, pues n es igual al límite, cuando x tiene infinito, de f de x, que hemos dicho que era x cubo menos x cuadrado más 2x menos 15 menos 1 por x menos 6. 00:36:30
aquí la cosa se complica 00:36:53
para hacer esta resta 00:36:56
es lo que os decía siempre 00:36:58
que hay que trabajar mucho con polinomios 00:36:59
para hacer esta resta 00:37:01
multiplico esto por esto y lo resto 00:37:02
es decir, esto sería 00:37:06
x cubo y ahora menos 00:37:07
esto por esto, menos x cubo 00:37:09
esto por esto 00:37:12
menos 00:37:13
2x cuadrado 00:37:15
y esto por esto 00:37:18
más 00:37:20
partido por x cuadrado 00:37:20
esto se me va con esto 00:37:24
y esto es igual a menos 2x cuadrado 00:37:25
más 15x 00:37:28
partido por x cuadrado 00:37:30
más 2x 00:37:32
menos 15 00:37:34
luego en realidad la n 00:37:35
es el límite 00:37:37
cuando x tiene infinito 00:37:39
de menos 2x cuadrado 00:37:42
más 15x 00:37:45
partido por x cuadrado 00:37:47
más 2x menos 15. 00:37:51
Esto es infinito partido por infinito. 00:37:55
Nada, derivo. 00:37:58
Esto es igual a menos 4x más 15 00:37:59
partido por 2x más 2. 00:38:02
Esto es infinito partido por infinito. 00:38:07
Vuelvo a derivar. 00:38:10
Esto es menos 4 partido por 2. 00:38:10
Luego es menos 2. 00:38:13
Luego n es menos 2. Por lo tanto, hay una asíntota oblicua en la recta y igual a 1 por x menos... 00:38:14
A ver, este ejercicio es complicado. Es un ejercicio de selectividad. No es un ejercicio de... 00:38:25
¿Por qué no me lo pongas? Por favor. 00:38:31
Claro, a ver, voy a hacer otro que sea, a ver, os pusieron uno en un examen, 00:38:33
la materia de los exámenes que han caído de funciones en años. 00:38:42
Mira, en el tercero, en el tercero, en el tercero hay una de cálculo de la sinteta, ¿lo ves? 00:38:48
Calcula su dominio de definición y calcula sus asuntos. 00:38:59
¿Lo ves, no? 00:39:02
No sé si se ha de escapar. 00:39:03
Vamos a intentarlo, venga. 00:39:04
no sé cómo tengo todo el proceso copiado que no lo voy a entender ni yo cuando llegue a casa 00:39:05
vale, pero ahora verás como sigo 00:39:10
inténtalo 00:39:12
dos minutos 00:39:15
no, la vertical es igualar a cero 00:39:17
es cuando se hace infinito 00:39:28
es decir, cuando el denominador es claro 00:39:29
para que una cosa sea infinito 00:39:31
o sea, una cosa dividida entre otra 00:39:32
igualar solo el denominador a cero 00:39:34
porque es cuando se hace infinito 00:39:37
porque si divides una cosa entre cero 00:39:40
entonces si al resolver eso te da un valor 00:39:42
pues esa es una asíntota 00:39:45
x igual a eso 00:39:46
hombre claro que es más facilito 00:39:48
el que yo me he puesto es que era de sencillez 00:39:50
no era de eso 00:39:52
dividir entre x ya si que no se 00:39:55
bueno la resta es la x y ya 00:40:02
Dividir entre X es multiplicar 00:40:04
O sea, si tú divides entre X 00:40:07
Si tú divides una cosa entre X 00:40:09
Es como 00:40:11
Esto es X partido por 1 00:40:13
Es decir, esto por 1 y esto por X 00:40:15
¿Eso es un número real? 00:40:17
Dos tercios 00:40:19
Ah, vale, es que yo lo de los números reales ya lo hago 00:40:19
Pues los números no reales 00:40:22
Son solamente infinitos 00:40:25
Ah, solo infinitos 00:40:27
Y entonces lo 00:40:28
Mejor no me lio más 00:40:30
una cosa es una indeterminación matemática 00:40:33
que es infinito partido por infinito 00:40:35
o cero partido por cero 00:40:37
y otra cosa son un número idómeno 00:40:38
como que racionales y irracionales 00:40:40
eso no entra nada 00:40:43
no, pero racionales y irracionales 00:40:44
los racionales son las raíces 00:40:46
y los irracionales son los que 00:40:47
los que no tienen 00:40:50
que no existen 00:40:52
los irracionales no existen 00:40:54
eso me lo tenía que haber aprendido 00:40:56
segundo a eso 00:40:59
el menos 00:41:00
el menos x es más complicado 00:41:06
menos x para restar 00:41:08
esto 00:41:10
tienes que hacer 00:41:12
si esto es a y esto es b 00:41:13
o sea esto sea un polinomio o lo que sea 00:41:15
tienes que hacer 00:41:16
a menos x por b 00:41:18
es decir multiplicar esto por esto y ahí 00:41:21
y abajo por b 00:41:22
o sea tienes que multiplicar 00:41:23
la x por el denominador 00:41:27
y quitárselo al número 00:41:28
sea, vale, lo multiplica y luego, o sea, multiplicas por el denominador y luego, y luego el denominador 00:41:30
menos lo que tienes, que tienes x cuadrado 2 partido por x cuadrado menos 4, menos x, 00:41:36
entonces tú haces arriba, te dejas esto, más 2, menos, que ahora multiplicas esto por esto, 00:41:43
x cubo, ¿entiendes lo que he hecho? He multiplicado lo de abajo por x, x cubo menos 4x, y se lo 00:41:52
resto y ahora esto sí que lo hago esto sí que lo hago yo me quedaría ordenando 00:42:00
menos x cubo más x cuadrado más 4 x más 2 00:42:10
ahora tienes que hallar el límite de estos límites cuando x tiene infinito 00:42:17
entonces claro tienes que esto es infinito va a tener un infinito que 00:42:25
tienes que ir derivando, no lo sé 00:42:28
¿cuánto te ha dado m? 00:42:29
dos tercios 00:42:32
aquí tienes que multiplicar, que es menos m 00:42:34
si valía, ¿no? 00:42:37
te da infinito 00:42:39
al final, vale 00:42:41
entonces como te da infinito, la n no existe 00:42:43
no existe 00:42:45
porque infinito no es real, entonces 00:42:47
sería igual a 00:42:48
dos tercios por x 00:42:51
¿pero por qué te da 00:42:53
dos tercios? 00:42:55
A ver, las hago 00:42:56
¿Lo hago? 00:42:59
A ver 00:43:00
La función es 00:43:01
f de x 00:43:04
igual a x cuadrado 00:43:06
más 2 partido 00:43:09
x cuadrado menos 4 00:43:10
Empiezo con las horizontales 00:43:12
f de x 00:43:15
el límite 00:43:16
cuando x tiene infinito 00:43:18
Entonces 00:43:21
esto es igual 00:43:22
esto es infinito partido por infinito 00:43:23
Si derivo, esto son 2x partido por 2x, que es 1. 00:43:25
Luego, hay una asíntota horizontal en y igual a 1. 00:43:30
¿Vale? ¿Sí o no? 00:43:37
Sí. 00:43:38
O sea, si yo meto aquí el límite cuando x tenga infinito, 00:43:42
esto es infinito, infinito. 00:43:44
Entonces derivo 2x partido, esto me da 1. 00:43:47
Sí, claro, ya he derivado mal, lo vuelvo. 00:43:49
Sí. 00:43:51
Vale, que si sigues, esto es infinito partido por infinito, 00:43:53
pero si sigues derivando, es 2 partido por 2, que es 1. 00:43:55
¿Vale? Verticales. Lo que hago es calcular x cuadrado menos 4, lo igual a 0, es lo que me va a hacer que esto sea infinito. 00:43:58
Luego, x cuadrado igual a 2, x igual a más menos 2. 00:44:13
Luego, en x igual a 2 y en x igual a menos 2, tiene 2, porque esto es más menos 2, 00:44:19
No sé si haces la vez cuadrada. 00:44:28
Tiene dos asíntotas verticales en esas dos. 00:44:29
Sí, es llamado oblicuas. 00:44:32
¿Vale? 00:44:33
Y luego, ahora, las oblicuas. 00:44:34
Yo primero, esto será igual a MX más N. 00:44:39
Entonces, M es el límite cuando X tiene infinito de F de X dividido entre X. 00:44:44
Entonces, si yo divido x cuadrado más 2 partido por x cuadrado menos 4, lo divido entre x, es como multiplicarlo de abajo, es decir, x cuadrado más 2 partido por x cubo menos 4 es x cuadrado más 2 partido por x cubo. 00:44:55
Esto es infinito partido por infinito, ¿no? 00:45:15
Entonces derivo 2x partido 3x cuadrado menos 4. 00:45:18
Esto vuelve a ser infinito partido por infinito. 00:45:25
Vuelvo a derivar. 00:45:27
Esto es 2 partido por 6x. 00:45:28
Esto es 2 partido por infinito, que es 3. 00:45:32
Había derivado mal, había puesto 3x sobre el ojo derivado. 00:45:35
Ah, claro. 00:45:39
Bueno, pues resulta que si m es 0 00:45:40
No hay asíntota 00:45:43
Esta función tenía una asíntota horizontal en y igual a 1 00:45:45
Y dos verticales en x igual a 2 00:45:51
De todas maneras, una cosa 00:45:54
Si una función tiene asíntotas horizontales 00:45:57
No tiene oblicuas 00:46:01
O sea, que si tú cuando haces una, una, una, el estudio de las asíntotas de una función, 00:46:05
la función tiene unas asíntotas horizontales, ya puedes decir, bueno, es fácil calcular 00:46:13
las horizontales primero, si lo intentas directamente. 00:46:19
¿De acuerdo? 00:46:21
Sí. 00:46:22
Bueno, pues, a ver, bueno, a ver, este es un resumen de las funciones. 00:46:23
Entonces, ahora que ya lo hemos visto todo, vamos a ver el resumen. 00:46:36
¿De acuerdo? 00:46:41
Empezamos. 00:46:42
Las cosas que hay que estudiar en una función. 00:46:43
Aquí habla de representación. 00:46:46
Nosotros ya te digo que no vamos a construir las cosas. 00:46:48
Simplemente nunca lo vamos a construir. 00:46:51
Alguna cosa de estas. 00:46:54
Entonces, empezamos. 00:46:55
Recordamos, el dominio. 00:46:56
Dominio, si la función es un polinomio, el dominio es toda la red cerrada. 00:46:59
Si la función tiene cocientes, el dominio es toda la recta menos los puntos que anulan el denominador. 00:47:05
Si es una raíz de índice par, el dominio es cuando lo de dentro de la raíz es positivo. 00:47:11
Y si es de índice impar, toda la recta real. 00:47:19
si es un logaritmo es todo el dominio 00:47:23
menos cuando lo de dentro del logaritmo 00:47:26
no, perdón 00:47:30
el dominio es 00:47:32
solamente cuando lo de dentro es positivo 00:47:33
y bueno 00:47:36
si es exponencial 00:47:39
es todo el dominio 00:47:40
y estas, bueno, están aquí 00:47:42
pero estas no, yo creo que no os van a caer 00:47:44
pero bueno, si las quieres 00:47:46
te la dejo ahí 00:47:47
siguiente cosa que vimos 00:47:48
puntos de corte con los ejes 00:47:52
con el eje X lo que hago es 00:47:54
igualar la Y a 0 00:47:56
y con el eje Y igualar la X a 0 00:47:58
esto es un resumen 00:48:01
si quieres echas un vistazo 00:48:03
a los ejercicios y verás 00:48:05
cómo lo hacemos 00:48:06
bueno, si Petria nosotros no lo hemos estudiado 00:48:08
es rarísimo que lo pongan porque 00:48:10
una función simétrica no te van a poner 00:48:12
bueno, puede, pero es rarísimo 00:48:15
signo 00:48:17
acuérdate 00:48:18
para los signos 00:48:19
se calculan los puntos que no pertenecen al dominio, ya los tenemos calculados, y los puntos de corte con el eje X, es decir, cuando Y es 0, se calculan estos, los puntos de corte cuando Y es 0, ¿vale? 00:48:22
Y entonces lo que hacía yo, ponía así, decía, a ver, este está fuera del dominio, este es un punto de corte, es un punto de corte. 00:48:38
Entonces yo lo que hacía era, a ver, de aquí para acá, ¿cómo es? ¿Positiva o negativa? 00:48:46
Le daba un valor y miraba si era positiva o era negativa. 00:48:51
Y iba haciéndolo por intervalos, ¿vale? 00:48:54
Entonces aquí ves, dice estos puntos, dividen a la recta real en partes 00:48:56
y tomando un punto en cada intervalo se obtiene el signo de la función. 00:49:00
O sea, esto lo divides en partes, coges un punto cualquiera de aquí y dices si es positivo o no, ¿vale? 00:49:04
más 00:49:10
asíntotas, aquí tienes las asíntotas 00:49:13
entonces, las verticales 00:49:16
puntos donde la función se va 00:49:18
al infinito, entonces dice 00:49:20
si la función es inconsciente 00:49:22
son los puntos que anulan el denominador 00:49:24
si es un logaritmo 00:49:26
los puntos que anulan lo dentro del logaritmo 00:49:27
¿vale? 00:49:30
y luego, nada, esto aproximación a la asíntota 00:49:31
¿vale? 00:49:34
horizontales 00:49:37
el cálculo, ya lo ves 00:49:37
es, el cálculo es 00:49:39
el límite de cuando 00:49:41
x tiende a infinito 00:49:43
bueno, esto de la aproximación 00:49:45
esto no te lo voy a pedir 00:49:47
lo voy a quitar, cuando suba 00:49:48
voy a quitar esto 00:49:51
asíndotas oblicuas, aquí la tienes 00:49:52
igual a mx más n 00:49:54
la m es el límite cuando x tiende a infinito 00:49:56
de f de x partido por x 00:50:00
y la n es 00:50:01
lo que hemos hablado, y esto de la aproximación 00:50:03
también lo podemos contar 00:50:05
¿vale? 00:50:06
Siguiente 00:50:08
Crecimiento, decrecimiento 00:50:12
Y máximos y mínimos 00:50:16
Se calculan los puntos que no pertenecen al dominio 00:50:18
Eso ya los tenemos calculados 00:50:22
Se resuelve la ecuación 00:50:23
La primera derivada igual a cero 00:50:25
Y estos puntos dividen 00:50:27
Y se sustituye 00:50:29
Y se obtiene el signo de la función 00:50:31
Si el signo de la función 00:50:32
Es positivo, la función es suficiente 00:50:35
Y los máximos 00:50:37
Los máximos son, bueno, a ver, esto es que lo hace distinto, esto, él lo hace así, pero esto, aquí, pone aquí, derivada segunda, lo que hemos puesto aquí, mayor que cero es un mínimo, pero menor que cero es un máximo. 00:50:39
También lo puedes hacer como dice este, coges y calculas los máximos y los mínimos, haces la primera derivada, la igualas a cero, primera derivada a cero, y entonces coges los intervalos donde te de los máximos y mínimos, y entonces dices, aquí creciente o decreciente, si la primera derivada es positiva es creciente, si no, coges un punto aquí y así sucesivamente. 00:51:01
Y entonces luego sabes que si viene así, este punto es un máximo 00:51:27
Y si viene así, este punto es un mínimo 00:51:31
Curvaturas, puntos de inflexión 00:51:34
Ahora con la segunda, resuelvo 00:51:36
La segunda derivada, la igual a cero, esos son los puntos de inflexión 00:51:38
¿Vale? Y aquí sí, aquí cojo el punto de inflexión 00:51:43
Cojo el punto de inflexión 00:51:47
Imagínate que el punto de inflexión está aquí 00:51:50
Y digo, derivada segunda 00:51:52
cojo un punto de aquí 00:51:54
derivada segunda, si la derivada 00:51:57
segunda es positiva, es con 00:51:59
algo, si es negativa es con 00:52:01
y ya está, ¿de acuerdo? 00:52:02
vale 00:52:06
eso es esto 00:52:06
y esto fue la 00:52:08
¿vale? entonces, y esto ya es 00:52:09
directamente 00:52:12
¿cómo se hace? si es una función 00:52:16
polinómica, es decir 00:52:18
que es un polinomio 00:52:20
así se hace 00:52:21
se calcula el dominio que es directamente R 00:52:23
puntos de corte 00:52:26
pues eso, en uno hacemos 00:52:28
y igual a cero y en otro x igual a cero 00:52:30
eso como siempre 00:52:32
no tiene asíntotas 00:52:33
o sea, una función polinómica 00:52:35
no te puede pedir asíntotas y si te las pide 00:52:37
las contestaciones no tienen asíntotas 00:52:39
puedes calcular 00:52:41
la crecimiento y decrecimiento 00:52:43
como hemos dicho, la curvatura 00:52:45
y luego ya la 00:52:47
Y funciones racionales, que son las que tienen denominador, yo creo que estas no, los he quitado de ahí porque estas no te van a caer. 00:52:50
Representación de funciones racionales, es decir, del tipo esto, fg partido, entonces, el dominio, ya sabemos que es toda la recta real menos los puntos que hacen el denominador cero. 00:53:03
los puntos de corte se calculan como siempre 00:53:13
se calculan las asíntotas 00:53:16
que estas sí tienen asíntotas 00:53:18
la monotonía y la curva 00:53:20
¿de acuerdo? 00:53:22
y el próximo día 00:53:25
haremos algún ejercicio de estos 00:53:26
y os enseñaré ya lo último 00:53:27
que es 00:53:29
que da nada más que ese día 00:53:31
¡ay madre mía! 00:53:32
¿vale? ¿de acuerdo? 00:53:35
ahora quitaré esas cosas 00:53:37
y lo subiré a... 00:53:39
¿vale? 00:53:41
Y ya estamos en capilla. 00:53:43
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
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M.jose S.
Licencia:
Dominio público
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Fecha:
24 de abril de 2026 - 13:29
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB CANILLEJAS
Duración:
53′ 48″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
106.02 MBytes

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