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Teorema del cateto y teorema de la altura - Contenido educativo

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Subido el 13 de agosto de 2022 por Jose Ignacio N.

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Con este vídeo vamos a ver las consecuencias más importantes de los 00:00:00
criterios de semejanza de triángulos. Entre ellos se encuentran el teorema de altura y 00:00:08
el teorema del cateta. Como veis hemos dibujado aquí un triángulo rectángulo 00:00:12
con vértice recto en el vértice A y hemos trazado su altura. Al trazar la 00:00:18
altura de este triángulo pues hemos subdividido el triángulo en dos 00:00:25
triángulos más y observamos que tanto el triángulo ABH como el triángulo AHC 00:00:29
también son triángulos rectángulos, es decir que el original y los dos que se 00:00:37
han formado son triángulos rectángulos. ¿En qué consiste el teorema de la altura? 00:00:42
El teorema de la altura nos dice que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la 00:00:48
altura sobre la hipotenusa coincide con el producto de las proyecciones de los 00:00:53
catetos sobre la hipotenusa. Vamos a ver qué quiere decir eso. 00:00:58
Si damos aquí pues podemos ver el desarrollo de este teorema. ¿Qué es este 00:01:03
teorema que nos dice? Que el triángulo ACH, ACH, es decir, este triangulito de aquí, 00:01:09
rectángulo, es semejante al triángulo BAH, BAH, es decir, este triángulo y este de aquí son 00:01:16
semejantes. ¿Por qué son semejantes? Pues porque, como hemos visto anteriormente, 00:01:26
porque tienen los mismos ángulos. Si os fijáis este triángulo, el recto aquí, 00:01:29
aquí tiene un ángulo en color azul que es 40,9 grados y aquí tiene un ángulo en 00:01:34
color rosado que es 49,1 grados. Y este de aquí que tiene un ángulo recto, un ángulo 00:01:40
en color azul, exactamente el mismo color que éste, que es de 41,9 grados, y este de 00:01:47
aquí que es de 49,1 grados en color rosado igual que éste. Entonces, como veis, 00:01:53
tienen los mismos ángulos. Al tener los mismos ángulos quiere decir que son 00:01:58
semejantes. Si yo este punto lo moviera, pues veis que aunque los ángulos cambien 00:02:03
se seguiría cumpliendo que este ángulo es igual que éste y este ángulo de aquí es 00:02:09
igual que éste. Por lo tanto, esto siempre se va a cumplir, que son dos triángulos 00:02:13
semejantes. En dos triángulos semejantes se cumplen que los lados son 00:02:18
proporcionales. Entonces, mirad, 7,44 que es la altura, en este caso, si lo divido 00:02:22
entre este trocito de aquí, que es n, pues tiene que dar exactamente lo mismo 00:02:31
que si en este otro triángulo divido 9,1 entre la altura, que es 7,44, debido a la 00:02:36
semejanza de triángulos. Y, de hecho, esto podría ser que ocurriera solo en este 00:02:42
triángulo, pero dibuje el triángulo que yo dibuje, esa relación se cumple 00:02:47
siempre. Incluso aunque éste lo moviera, da exactamente igual. Por lo tanto, en 00:02:52
general, se va a cumplir que h, que es la altura, dividido entre n, que es la 00:02:58
proyección desde este punto hasta aquí, es igual a m, que es la proyección desde 00:03:03
este punto hasta aquí, va a dar partido por h, da esta relación. Entonces, de aquí yo 00:03:09
podría despejar y veis que obtengo que h cuadrado es m por h. Esta n pasa allí 00:03:15
multiplicando. O, con los números que tenemos ahora mismo, pues éste por éste al 00:03:21
cuadrado da lo mismo que éste número por éste. Entonces, el teorema cátedro que me dice 00:03:25
que si yo hago h al cuadrado, va a dar lo mismo que multiplicar m por n. 00:03:29
O, lo que es lo mismo que h dividido por n, da lo mismo que m dividido por h. 00:03:38
Ese es el teorema de la altura. Vamos a ver ahora el teorema del cateto. El teorema del cateto nos 00:03:44
dice que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al 00:03:50
producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre la 00:03:55
hipotenusa. Vamos a ver ahora su comprobación. En este caso, ¿qué se cumple? 00:03:59
Pues se cumple que el triángulo ACH, ACH, es semejante al BCA. BCA es el mayor. 00:04:05
El mayor, si os fijáis, tiene también los mismos ángulos, porque tiene aquí un 00:04:15
ángulo recto, aquí un ángulo en color azul, y otro en color rosado, que son los 00:04:19
mismos ángulos que comparten con los otros dos. Por eso se cumplen estas dos 00:04:25
relaciones de semejanza. Si comparo primero este con este de aquí, obtengo 00:04:29
esta relación, y si comparo este con este, obtengo esta otra relación por 00:04:35
semejanza, igual que hemos hecho antes. Entonces, se cumple en general, como 00:04:39
veis aquí, b por b es b cuadrado, b cuadrado es igual a por m, y se cumple que c por c es c 00:04:45
cuadrado, a por n. Luego, en general, en cualquier triángulo de igual este, o yo 00:04:51
pusiera otro distinto, se va a cumplir también ese teorema. 00:04:58
Este es el término del cateto. ¿En general qué me dice? Que este cateto, porque del 00:05:03
triángulo original este es su cateto, que este cateto elevado al cuadrado va a dar 00:05:08
lo mismo que la hipotenusa multiplicada por la proyección m, que es esta de aquí. 00:05:13
¿Y qué se va a cumplir en el otro caso? Pues se va a cumplir que c al cuadrado, que 00:05:21
es este de aquí, c al cuadrado, el otro cateto, va a ser igual a toda la hipotenusa por la 00:05:27
otra proyección de aquí. Entonces, el teorema del cateto en realidad tiene dos versiones, 00:05:34
esta y esta otra. En cambio, el teorema de altura solo tiene una versión en concreto. 00:05:39
Podéis aquí mover este punto, podéis mover este otro punto, y veréis que siempre se 00:05:45
va a hacer de la misma manera. Este punto no vais a poderlo mover porque, tal y como 00:05:51
he hecho la construcción de la figura, pues no se puede mover, pero en cualquier caso, 00:05:59
al mover este punto y este de aquí, puedo dibujar cualquier tipo de triángulo o rectángulo 00:06:03
y se puede poner en cualquier sitio. Al moverle este también se mueven los demás. Bueno, 00:06:10
pues espero que lo hayáis entendido y nos vemos en el siguiente vídeo. Venga, hasta 00:06:17
luego. 00:06:22
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Idioma/s:
es
Autor/es:
José Ignacio Nieto Acero
Subido por:
Jose Ignacio N.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
22
Fecha:
13 de agosto de 2022 - 21:12
Visibilidad:
Público
Centro:
EST ADMI D.G. DE BILINGÜISMO Y CALIDAD DE LA ENSEÑANZA
Duración:
06′ 24″
Relación de aspecto:
1.82:1
Resolución:
1904x1044 píxeles
Tamaño:
293.68 MBytes

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