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Ecuación plano y Producto Vectorial - Contenido educativo

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Subido el 17 de marzo de 2025 por Carolina F.

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A ver, seguimos. Igual que vimos la ecuación de la recta en el espacio, vamos a ver la ecuación del plano. 00:00:00
Pero para no complicarnos, solamente vamos a ver la más sencilla. 00:00:12
Entonces, imaginaos lo que es un plano en el espacio. 00:00:20
Digamos que tiene una dimensión más que una recta. 00:00:27
Entonces, para definir un plano en el espacio, necesitamos un plano que está determinado por un punto que pertenece a ese plano, por un punto P, y en este caso lo que vamos a tener son dos vectores, directores, y dos vectores, que los vamos a llamar U y V. 00:00:29
Por ejemplo, lo que estamos utilizando siempre en nuestro sistema de referencia de los ejes de coordenadas, pues están definidos por un punto, que es el origen de coordenadas, que es el 0,0, y después un vector en este sentido y un vector en este sentido. 00:01:01
entonces con esos tres componentes 00:01:22
ya tenemos un plano 00:01:25
en el plano de la pizarra 00:01:26
plano de la hoja de papel 00:01:29
bueno, pues la ecuación del plano 00:01:31
fijaos, el punto P 00:01:33
está determinado por un vector 00:01:58
que se llama OP 00:02:08
plano de P0 00:02:11
este es el vector 00:02:14
de posición 00:02:18
del punto P 00:02:20
que vamos a usar para definir 00:02:23
el plano 00:02:27
es la distancia desde el origen 00:02:28
al sitio 00:02:35
donde se encuentra el punto P 00:02:37
y como estamos en el espacio pues tendrá 00:02:39
tres coordenadas 00:02:41
sus coordenadas 00:02:42
las vamos a poner con un cero 00:02:46
sus coordenadas serán x cero 00:02:48
y cero y z cero 00:02:50
y es un vector 00:02:52
y los dos vectores que van a delimitar el plano 00:02:55
pues los vamos a llamar u y v 00:03:03
y u va a tener de coordenadas u1, u2 y u3 00:03:08
tres coordenadas 00:03:15
y v es el otro vector y va a tener de coordenadas v1, v2, v3 00:03:16
Entonces, la ecuación vectorial de un plano es la posición de un punto P, cualquiera que pertenece al plano, esto será X y Z. 00:03:29
Cualquier punto de ese plano tiene que ser el resultado de el punto de partida, que es x0, y0, z0, y ahora más un número cualquiera, el que para la recta le llamábamos k, ¿os acordáis? 00:04:11
Pues ahora, como estamos en el espacio, en vez de un número va a haber dos. 00:04:32
Un A que va a multiplicar al vector U y otro número B que va a multiplicar al vector V. 00:04:37
Digamos que esto se parece muchísimo a la ecuación de la recta, pero con un miembro más en la ecuación, porque estamos ahora en tres dimensiones en vez de en dos. 00:04:56
Entonces, cualquier punto perteneciente al plano tiene que salir del primer punto, aplicarle un número A que multiplica al vector director U y un número B que multiplica al vector director V. 00:05:11
Y aquí vamos a añadir que A y B son números pertenecientes a R, números reales. 00:05:29
Bueno, pues solo vamos a escribir esta y la paramétrica 00:05:38
Que la paramétrica es expresarlos por coordenadas 00:05:48
La paramétrica sería x es x sub 0 más a por u sub 1 más b por v1 00:05:56
Y es I0 más A por U2 más B por V2. 00:06:14
Y Z es Z0 más A por U3 más B por V3. 00:06:26
Y ya, esta es la ecuación paramétrica. 00:06:44
No podemos, es imposible dar toda la geometría del espacio ahora. Y esto lo estamos viendo porque justo en el examen del año pasado, del 2024, en uno de los problemas, pedían una cosa y también la ecuación del plano. 00:06:47
Vamos a ver dos cositas más que requieren estudiar. Vamos a ver ahora el producto vectorial. Esto en física se utiliza muchísimo. 00:07:12
Bien, hacemos aquí un inciso para recordar el producto escalar. Imaginaos que tenemos dos vectores, u y v. Vamos a considerar estos dos vectores. 00:08:29
Pues recordad que el producto escalar era un número, ¿eh? El resultado era un número y era, se representa así, u por v y era el módulo de u por el módulo de v por el coseno del ángulo que forman u y v, ¿vale? 00:08:56
Bueno, pues es importante que esto era un punto, ¿vale? Había que poner un puntito así entre ellos. Bueno, pues el producto vectorial le vamos a poner una X. Si veis que hay dos vectores y que están separados por una X pequeña, eso implica que es el producto vectorial. 00:09:22
Y el producto vectorial no es un número, es otro vector, ¿vale? Lo voy a apuntar aquí. El resultado es un vector y un vector necesita que digamos tres cosas. 00:09:45
El módulo, o sea, el valor de ese vector va a ser el módulo de un vector por el módulo del otro vector, pero ahora en vez de por el coseno, ahora es por el seno, ¿vale? 00:10:04
O sea, muy parecido, el producto escalar y el producto vectorial. Pero ahora estamos hablando solo del módulo. El módulo es el módulo de u por el módulo de v por el seno del ángulo que forman los dos vectores. 00:10:28
la dirección que tiene este vector 00:10:44
perpendicular a los otros dos 00:10:49
al plano formado por los otros dos 00:10:54
y el sentido se determina 00:10:56
con el avance que haría un sacacorcho 00:11:15
se llama la regla del sacacorcho 00:11:26
que gira de U a V 00:11:28
O sea, el que ponemos primero al que ponemos segundo. Luego no es conmutativo. Nos da lo mismo u por v que v por u. Eso, si me saliese dibujarlo en dos dimensiones, pues imaginaos. Imaginaos que este es el vector u y este es el vector v. 00:11:42
Pues el producto vectorial, recordad, en este caso es un nuevo vector, que es este. Es perpendicular a los dos. 00:12:01
Y la dirección, si yo giro un sacacorchos desde u hasta v, os tenéis que imaginar mentalmente que estamos girando en este sentido, desde u hasta v. 00:12:19
Pues el sagacocho se está saliendo. El sagacocho sale para afuera. Por eso la flechita va para arriba y no para abajo. 00:12:31
Bueno, pero lo más importante, sobre todo para nosotros, ¿cuál es el sentido físico del significado del producto vectorial? 00:12:44
Pues el producto vectorial nos da el área del paralelogramo encerrado por los dos vectores. 00:13:01
Es decir, ¿cómo nos vamos a encontrar nosotros en el ejercicio? Pues como os enseño el que salió el año pasado, en las pruebas de acceso, ¿vale? Cuando terminéis de copiar, me lo decís. 00:13:30
Y valía ni más ni menos que 2,5 puntos 00:14:06
Y decía, dado los vectores U con estas coordenadas 2, 1,5, menos 1 y V, 0, 3, menos 5 00:14:41
Y apartado A calcula el área del paralelogramo que tiene como dos de sus lados los vectores U y V 00:14:50
O sea, nos están diciendo que amamos el producto vectorial de estos dos vectores 00:14:58
Luego nos piden el perímetro, el dicho paralelogramo 00:15:03
Entonces ahí se convierte en un problema como el primero que hacíamos en la clase 00:15:08
Y aquí es donde iba yo 00:15:13
Dice, escribe la ecuación del plano 00:15:15
Que pasa por el punto este y contiene al paralelogramo 00:15:18
Entonces acabamos de ver cómo es la ecuación general de un plan 00:15:23
Y nos da justamente un punto y estos dos vectores 00:15:27
entonces por lo menos la ecuación vectorial y la paramétrica 00:15:30
ya la podríamos saber dibujar 00:15:34
más cosas, pues acordáis 00:15:37
he guardado por aquí el ejercicio 1 00:15:41
¿os acordáis que en este ejercicio de la hoja 3 00:15:45
el enunciado dice que calculemos 00:15:50
el área de este 00:15:53
Pues, si cogemos dos vectores cualquiera, por ejemplo, el AB y el AC, y hacemos el producto vectorial, calcularíamos el área del paralelogramo. 00:15:56
Y luego la dividiríamos por dos y nos daría directamente, si cogemos el AB y el AC, nos daría el área de este paralelogramo. 00:16:11
Entonces, el área del triángulo es la mitad. Y lo mismo en el otro ejercicio, en este, que pedía el área del rectángulo. 00:16:26
Nosotros lo hemos hecho con el producto escalar porque era así relativamente fácil, pero lo podíamos haber hecho también con el producto vectorial, el 1 y el 2. 00:16:44
Vamos a hacer un ejercicio ahora para aplicar todo esto. 00:16:53
Posible ejercicio de examen. 00:17:11
Vamos a hallar el área del triángulo de vértices. 00:17:16
Vamos a hacer en el espacio. 00:17:43
Menos 1, 2, 3. 00:17:49
Este es el punto A. 00:17:57
B, 1, menos 2, 1, y C, 2, 1, menos 4. 00:17:59
Recordad, solo se pide el área. 00:18:34
Entonces, solamente tenemos que hacer el producto vectorial y eso nos daría el área del paralelogramo. 00:18:38
Entonces hay que dividirla por 2. 00:18:46
hay que acordarse de hacer eso porque me piden 00:18:48
el área de un triángulo 00:18:51
bueno, pues 00:18:52
¿qué es lo que me falta? 00:18:57
lo de siempre, si me dan puntos 00:19:00
tengo que saber vectores 00:19:01
imaginaos, esta vez no lo voy a hacer 00:19:03
no tengo aquí 00:19:06
la posibilidad de hacer tres dimensiones 00:19:08
voy a poner los puntos 00:19:10
donde a mí me dé la gana 00:19:11
pero por ejemplo 00:19:13
puedo coger el vector 00:19:17
AB, sería este 00:19:19
y el vector AC sería este 00:19:21
¿estamos? 00:19:28
entonces, el producto vectorial 00:19:34
me daría el área de todo esto 00:19:36
y yo la tengo que dividir por 2 00:19:40
¿vale? 00:19:44
o sea, sería el área del paralelogramo 00:19:44
partido por 2 00:19:49
entonces voy a hacer el producto vectorial de AB por AC 00:19:54
¿cuál es el problema? 00:20:03
que me falta saber cuánto vale el ángulo 00:20:15
cuánto vale el ángulo A para poder hacerle el seno del producto 00:20:19
y entonces eso sé que lo puedo sacar del producto escalar 00:20:26
entonces, primer paso 00:20:32
Vamos a calcular los vectores 00:20:37
¿Cómo hacemos AB? 00:20:40
Ya lo sabemos hacer 00:20:47
La primera coordenada de B menos la primera coordenada de A 00:20:48
1 menos 1 es 2 00:20:51
Menos 2, menos 2, menos 4 00:20:55
Y 1 menos 3, menos 2 00:20:59
¿Cómo hacemos el otro vector? 00:21:04
a c 00:21:09
pues es 2 00:21:10
menos menos 1 00:21:13
es 2 más 1, 3 00:21:15
1 menos 2 00:21:16
menos 1 00:21:19
y ahora menos 4 00:21:20
menos 3, menos 7 00:21:25
ya tenemos los vectores 00:21:28
vamos a hacer 00:21:40
los módulos 00:21:47
voy a intentar hacerlo en pequeñito aquí 00:21:49
el módulo de ab 00:21:56
es la raíz cuadrada 00:21:58
de 2 al cuadrado 00:22:01
más 4 por 4 00:22:04
más 2 por 2 00:22:07
esto como son al cuadrado 00:22:11
siempre positivos 00:22:13
aunque veáis que son aquí 00:22:15
negativos 00:22:17
y esto es 00:22:20
16 más 4 es 20 00:22:21
la raíz de 24 00:22:24
es 4 por 9 00:22:25
Y el módulo de AC es la raíz cuadrada de 3 por 3, 9, más 1, y 7 por 7, 49. 00:22:31
Entonces la raíz de 59 es 7 con 68. 00:22:47
Bueno, ya tengo los módulos pero no tengo el seno porque no conozco el ángulo 00:23:01
¿Cómo puedo conocer el ángulo? Pues recurro al producto escalar 00:23:10
Porque yo sé que el producto escalar, el que se representa con un puntito en vez de una X 00:23:22
De AB por AC es 00:23:38
Las primeras coordenadas, 2 por 3 00:23:43
Más el producto de las segundas coordenadas 00:23:49
Menos 4 por menos 1 00:23:54
Más el producto de las terceras coordenadas 00:23:56
Menos 2 por menos 7 00:24:02
Por un lado 00:24:04
Que es 6 más 4 más 14 00:24:07
Y por otro lado sé que es los módulos por el coseno 00:24:19
del ángulo 00:24:27
y los módulos ya los tengo 00:24:29
4,9 00:24:32
por 7,68 00:24:33
por el coseno 00:24:36
de A 00:24:39
entonces si igualo estas dos cosas 00:24:40
y despejo el coseno de A 00:24:44
es 24 00:24:48
partido de 00:24:49
4,9 por 7,68 00:24:51
Entonces, ese coseno es 0, 6, 3, 8, redondeando, y el arco coseno me da 50,37. 00:24:55
¿Vale? Entonces, cuando me piden un ejercicio así, el producto escalar me sirve para sacar el ángulo, pero la operación cuyo sentido es lo que estoy buscando, el área del paralelogramo, es el producto vectorial. 00:25:49
Y el producto vectorial era el módulo de 1, 4,9, por el módulo del otro, 7,68, por el seno, de 50,37. 00:26:15
Y si hacemos esto con la calculadora, pues da 29. 00:26:35
Pero recordad, 29 es el área del paralelogramo encerrado. 00:26:40
Como es un triángulo, lo que me piden, hago 29 entre 2 y me da 13 unidades al cuadrado. 00:26:46
Si no me dicen nada. 00:26:57
Lo último es el producto vectorial. 00:27:11
De AB por AC. 00:27:16
que son los módulos 00:27:21
de AC y el seno 00:27:24
del ángulo que son 00:27:26
y esto me da el valor 00:27:27
luego la dirección 00:27:32
y el sentido no me sirven para nada 00:27:34
cuando lo que busco es eso 00:27:36
bueno, vamos a ver una cosa 00:27:37
que 00:27:56
es lo último ya 00:27:58
que os meto 00:28:00
de geometría 00:28:02
y que 00:28:03
podría salir en un examen 00:28:05
porque no es difícil 00:28:08
tiene que ver con todo esto 00:28:10
y el cálculo no es excesivamente complicado 00:28:13
vale 00:28:16
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Geometría
Niveles educativos:
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Carolina F.
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Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
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Fecha:
17 de marzo de 2025 - 20:33
Visibilidad:
Clave
Centro:
CEPAPUB SIERRA DE GUADARRAMA
Descripción ampliada:
×
Duración:
28′ 25″
Relación de aspecto:
1.82:1
Resolución:
866x476 píxeles
Tamaño:
390.98 MBytes

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