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Corrección de progresiones - Contenido educativo

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Subido el 8 de mayo de 2024 por Jesús Pascual M.

59 visualizaciones

Corregimos algunos ejercicios de progresiones aritméticas y geométricas

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En este vídeo vamos a corregir los 11 ejercicios que tenemos aquí, 10 de ellos los hemos puesto en clase, pero hay uno que pongo porque mi intención era poner este ejercicio, pero por un par de ratas puse este, así que voy a corregir los dos. 00:00:04
Por último añadiré esos dos de ampliación. 00:00:24
Si habéis perdido los ejercicios, podéis parar la grabación y hacer los que tenéis aquí delante. 00:00:28
Problema número 1, dada la siguiente sucesión, calcular a sub 20 y s20. 00:00:35
Para ello necesitamos calcular a sub 1 y d. 00:00:41
a sub 1 es el primer término, en este caso 3, y d es la diferencia entre el segundo término y el primer término, por eso la derivamos diferencia. 00:00:46
8 menos 3 que es 5, también sería 13 menos 8, 18 menos 13, etc. 00:00:56
bien, antes de calcular a sub 20 00:01:02
vamos a poner la fórmula 00:01:06
a sub n es igual a a sub 1 00:01:07
más n menos 1 por d 00:01:11
recomiendo copiar la fórmula 00:01:13
cada vez que hacemos un problema 00:01:16
porque así nos la vamos aprendiendo de memoria 00:01:17
progresivamente 00:01:20
bueno, de ese modo 00:01:21
tendremos que 00:01:23
a sub 20 es igual 00:01:25
n es igual a 20, obviamente 00:01:27
y tendríamos a sub 1 00:01:29
que es 3, más n-1, pues n-1 es 19, por d, que es 5. Y bueno, pues esto sería 95, 3 en 95 es 98, 00:01:32
y si no lo metemos en la calculadora, obteniendo 98. Lo siguiente que nos piden es S20, S20, 00:01:47
y ponemos la fórmula de S sub n que es a1 más a n por n entre 2. 00:01:56
De ese modo S20 sería a1 más a20 por 20 entre 2 00:02:06
y esto es a1 que hemos dicho que es 3 más a20 que es 98 por 20 entre 2. 00:02:16
Podemos calcularlo de cabeza porque 98 y 3 es 101 y 20 entre 2 es 10 00:02:30
Obviamente todo lo calculado directamente 00:02:38
Y esto nos daría 101 por 10 que es 1010 00:02:41
Así pues tenemos que a sub 20 es 98 y s20 es 1010 00:02:47
En el problema 2, dada la siguiente progresión aritmética, nos piden calcular S18 00:02:58
En primer lugar, necesitamos calcular A1 y D 00:03:08
Sabemos que A1 es el primer término, en este caso 7 00:03:13
y que D es la diferencia de los dos primeros términos 00:03:17
3 menos 7, que es menos 4 00:03:20
Bien, podemos calcular ya S18 00:03:23
Pero para calcular S18 nos hace falta calcular antes A18. En efecto, SN es A1 más AN por N entre 2, de modo que hace falta calcular AN, y sabemos que AN es A1 más N-1 por D. 00:03:28
En este caso queremos calcular a18, donde n es 18, que sería a1, que es 7, más n-1, 18-1 que es 17, por d que es menos 4. 00:03:49
Bueno, y a calcular únicamente 00:04:06
O bien ponemos en la calculadora todo esto 00:04:10
O bien, pues vemos que esto es menos 68 00:04:13
Que es menos 4 por 17 00:04:17
Y 17 menos 68 es igual a menos 61 00:04:18
Bien, ahora ya podemos calcular ese 18 00:04:22
Que sería A1 más A18 por 18 entre 2 00:04:31
Y eso es 00:04:38
¿Cuánto vale A1? 00:04:40
Pues A1 va de 7, A18 hemos visto que es menos 61, podemos restar directamente menos 61 por 18 entre 2. 00:04:41
Y bien podemos poner todo en la calculadora o bien directamente poner, esto es menos 54, 18 entre 2 es 9, con lo cual esto nos daría menos 486. 00:04:53
De modo que tenemos que S18, que es lo que nos piden, es menos 486. 00:05:11
En el problema 3, dada esta progresión aritmética, nos piden calcular S100. 00:05:22
Para ello, en primer lugar, tenemos que calcular, como siempre, A1 y D, sabiendo que A1 es el primer término, que es 8, 00:05:30
y que D es la diferencia de los dos primeros términos, el término 2, que es 8,3, menos el término 1, que es 8, lo que nos da 0,3. 00:05:39
Y ahora para calcular ese 100 hace falta calcular a 100, de modo que ponemos la fórmula de a n igual a a1 más n menos 1 por d y ese n que es a1 más a n por n entre 2. 00:05:48
Recuerdo que conviene escribir cada fórmula al hacer cada problema para que sea mucho más fácil aprender su memoria después. 00:06:09
Bueno, pues sustituimos y ya está. ¿Cuánto vale A100? Pues A1, que es 8, más n-1, que es 99, por 0,3. 00:06:15
Metemos todo en la calculadora y nos da 37,7. También podemos hacer calculado esto, que es 27,3, etc. 00:06:33
Pero bueno, el paso siguiente será calcular S100 y S100 es A1 más A100 por 100 entre 2 y esto es A1 que es 8 más A100 que es 37,7 por 100 entre 2. 00:06:43
Metemos todo en la calculadora y nos da 228,5 00:07:06
De modo que tenemos que lo que nos piden es que S100 es 228,5 00:07:13
En el problema 4 nos dan directamente lo que valen A1 y D 00:07:24
Y nos piden calcular S50 00:07:28
Ahorramos un paso 00:07:30
Ya sabemos que para calcular S50 hace falta calcular primero A50 00:07:32
Así pues ponemos que AN es A1 más N-1 por D y que SN es igual a A1 más AN por N entre 2. 00:07:37
Y así tenemos que A50 es igual a A1 que es un tercio más N-1 que es 49, la anterior a 50, por D que es dos tercios. 00:07:51
Y bien, metemos esto en la calculadora y vemos que nos da, o vemos directamente que esto es 41 entre 1, esto sería 1 tercio más 41 por 2, 98, entre 3, y esto es 99 tercios, que es 33. 00:08:04
Bien, ¿cuánto vale Sn? Pero bien, si metiese esto en la calculadora, vería directamente esto. 00:08:24
Sn sería, perdón, Sn quería decir S50 es igual a A1 más A50 por 50 entre 2 00:08:30
Y esto es A1 que es un tercio más A50 que es 33 por 50 entre 2 00:08:45
Puedes meter todo directamente tal cual en la calculadora 00:08:54
y os da el resultado que se puede convertir en fracción. 00:08:58
O bien, podemos calcularlo directamente. 00:09:01
Vamos a ver, esto es un tercio más treinta y tres, perdón, más noventa y nueve tercios, 00:09:04
que son cien tercios, cincuenta entre dos es veinticinco, 00:09:11
y esto nos da dos mil quinientos partido por tres. 00:09:18
Sería dos mil quinientos entre tres. 00:09:23
de modo que tenemos que S50 es 2.500 entre 3 00:09:26
el problema 5 es un pequeño problema 00:09:34
nos piden que conociendo A7 y A27 00:09:43
calculemos A1 y D 00:09:46
hay al menos dos formas de hacerlo 00:09:48
vamos a verlo 00:09:50
para ello empleamos la fórmula 00:09:52
que AN es igual a 1 más N-1 por D 00:09:54
bueno, pues el primer método sería 00:09:59
sustituir eso en esos dos casos. 00:10:06
Entonces tendríamos que A7 es igual a 1 más 6D 00:10:10
y eso nos han dicho que vale 50 00:10:15
y A27 es igual a 1 más 26D 00:10:18
y eso nos han dicho que vale 190. 00:10:25
Y ya tenemos un sistema de dos ecuaciones 00:10:28
con dos incógnitas. 00:10:31
Por ejemplo, podemos multiplicar la primera ecuación 00:10:35
por menos 1 y obtenemos menos A1 menos 6D es igual a menos 50, dejamos la segunda ecuación 00:10:37
igual y al sumar se vale 1 y nos queda que 20D es igual a 140. Por lo tanto D es igual 00:10:45
a 140 partido por 20 lo que es 7. Nos falta calcular A1 pero para ello podemos coger una 00:10:58
dos ecuaciones, la primera más sencilla, y al tener que a1 más 6d es igual a 50, tenemos 00:11:06
que a1 más 6 por 7 es igual a 50, a1 más 42 es igual a 50, por lo tanto, a1 es igual 00:11:15
a 50 menos 42, que es 8. Y obtenemos, entonces, que a1 vale 8 y que d vale 7. Vamos a ver 00:11:24
el método 2. El segundo método consiste en observar que si yo tengo A7 voy a estar sumando 20 veces D y voy a obtener A27. 00:11:39
Pues si tengo que 27 menos 7 es 20, por lo tanto el número de saltos son 20. ¿Qué tengo entonces? Pues que si yo cojo A7 y sumo 26, perdón, 00:12:02
y sumo 20 veces d, obtengo a 27. 00:12:15
Sustituimos los valores y ya está. 00:12:22
Entonces tenemos que 50 más 20 por d es igual a 190. 00:12:25
Y despejamos d. 00:12:31
20d es 190 menos 50, que es 140. 00:12:34
Por lo tanto, d es igual a 140 entre 20, que es 7. 00:12:39
Nos faltaría nuevamente calcular a1, pero podemos coger directamente la ecuación ya sabiendo que an es igual a a1 más n-1 por d, 00:12:45
a7 es igual a a1 más 6d y esto vale 50, a1 más 6 por 7 es igual a 50, a1 más 42 es igual a 50, a1 es igual a 50 menos 42, 00:12:57
que es 8. Y obtenemos la misma solución. Para acabar, para que se vea claro que hay dos métodos, 00:13:19
vamos a escribir las palabras método 1 y método 2. El problema 6 es igual que el 5, nos dan los términos 00:13:29
y nos piden calcular a 1 y d. Hay un par de diferencias pequeñas, una es que la 30 vale menos que la 5 00:13:45
y eso es porque la d va a ser negativa. Y además van a aparecer fracciones. Igual que antes tenemos dos métodos, 00:13:54
El método 1 y el método 2. En el método 1 tenemos que la fórmula AN igual a 1 más N-1 por D, aplicándola a A15 y A30, nos va a dar dos ecuaciones. 00:14:02
Tenemos que A15 es igual a 1 más 14D, lo cual era igual a 5, y A30 es igual a 1 más 29D, lo cual nos da menos 37. 00:14:21
Y aquí tenemos nuestro sistema. 00:14:37
Multiplicando la primera ecuación por menos 1, obtenemos que menos A1 menos 14D es igual a menos 5. 00:14:42
Y dejando la segunda ecuación igual, obtenemos que A1 más 29D es igual a menos 37. 00:14:50
Sumamos, eso se nos va, y tenemos que 15D es igual a menos 42. 00:15:00
Despejando D, obtenemos que D es igual a menos 42 entre 15 00:15:06
Esta fracción se puede reducir dividiendo entre 23 00:15:12
Y obtenemos menos 14 partido por 5 00:15:17
Aunque calculando esto en la calculadora nos da menos 2,8 que es exacto 00:15:20
Y bueno, nos da igual trabajar con esto que con esto 00:15:26
Va a ser más fácil con decimales, lógicamente 00:15:29
Bueno, voy a resolverlo de las dos formas 00:15:32
Cogemos por ejemplo la primera ecuación, que era a1 más 14d es igual a 5 00:15:35
Y si lo resuelvo con decimales, tengo que a1 más 14 por menos 2,8 es igual a 5 00:15:44
Eso significa que a1 más, bueno, menos, perdón, calculamos todo esto 00:16:02
Y nos da menos 39,2 00:16:07
Esto es igual a 5 00:16:13
Luego a 1 es igual a 5 más 39,2 00:16:14
Y esto nos da 44,2 00:16:18
Así pues con decimales 00:16:23
Tendríamos que a 1 es igual a 44,2 00:16:26
Y que d es igual a menos 2,8 00:16:32
Ahora, cerrándolo con fracciones, lo que tendríamos es que a1 más 14 por menos 14 partido por 5 es igual a 5. 00:16:36
A ver, un detalle es que que este 5 y este 5 son iguales y que este 14 y este 14 son iguales es pura coincidencia. 00:16:57
Nada más que eso. Bueno, voy a borrar esto y ahora pues tendríamos que a1, otra vez, menos 196 partido por 5 es igual a 5, luego a1 es igual a 5 más 196 partido por 5, 00:17:04
Esto es 25 partido por 5 más 196 entre 5 00:17:30
Y esto nos da 221 partido por 5 00:17:36
Con lo cual también tenemos que A1 es igual a 221 partido por 5 00:17:42
Y D es igual a menos 14 partido por 5 00:17:51
Bien, resolvamos ahora el problema por el método 2 00:17:58
Como 30 menos 15 es 15, sabemos que si tenemos a 15 y sumamos D 15 veces, obtenemos a 30. 00:18:04
De modo que a 15 más 15 veces por D nos da a 30. 00:18:32
Sustituyendo, tenemos que 5 más 15 por D es igual a menos 37. 00:18:41
Por lo tanto, 15D es igual a menos 37 menos 5, que es menos 42, y D es igual a menos 42 partido por 15, que significando es menos 14 quintos y con decimales es menos 2,8. 00:18:48
Igual que antes, podemos calcular A1 sabiendo que, puesto que AN es igual a A1 más N-1 por D, 00:19:12
y que, por ejemplo, A15 es igual a 1 más 14D, bien empleando esto vamos a obtener A15. 00:19:28
Por ejemplo, si utilizamos decimales, tendríamos que 5 es igual a 1 más 14 por menos 2,8. 00:19:45
Y esto es igual a 1 menos 39,2. 00:20:03
Por lo tanto, a 1, pasando, sería igual a 5 más 39,2, lo cual nos da 44,2. 00:20:13
Ya tendríamos la primera solución 00:20:26
Otra forma de hacerlo, con fracciones 00:20:29
Pues sería poner que 5 es igual a 1 más 00:20:36
Y ahora ponemos el d en forma de fracción 00:20:42
Menos 14 partido por 5 00:20:45
Por lo tanto 5 es igual a 1 más 00:20:47
Perdón, menos 196 partido por 5 00:20:57
De modo que a1 es igual a 5 más 196 entre 5, esto es 25 partido por 5 más 196 entre 5, esto es 221 partido por 5. 00:21:02
Y así tenemos la segunda forma de expresar la solución. 00:21:19
Bueno, lo he hecho con fracciones y no solo con decimales, porque en otros casos en que el denominador no sea un 5 o un 2, 00:21:22
pues pueden aparecer, por ejemplo, si aparece un 3, pueden aparecer infinitos y decimales y no sería exacto. 00:21:31
Entonces, mientras no tengamos denominadores que solo tengan 2, 6 y 5, podemos tener resultados más exactos. 00:21:40
Cambiamos ahora tipo de problemas, trabajamos ahora con progresiones geométricas, 00:21:53
es decir, donde cada término es el anterior multiplicado por un número llamado razón. 00:21:57
En el problema 7 nos dan esta progresión geométrica y nos piden calcular a sub 10, p sub 5 y s sub 8 00:22:02
Para ello en primer lugar hay que calcular cuáles son a sub 1 y r 00:22:11
a sub 1 es el primer término, en este caso 1 00:22:16
y r es el cociente entre el segundo término y el primer término 00:22:21
5 partido por 1 que vale 5 00:22:25
También sería 25 entre 5 o 125 entre 25 00:22:28
Bien, pasemos a calcular a sub 10 00:22:34
Para ello escribimos la fórmula 00:22:40
a sub n igual a a sub 1 por r elevado a n menos 1 00:22:42
Recordemos la importancia de escribir siempre las fórmulas en cada problema 00:22:47
para ir aprendiéndolas poco a poco 00:22:51
y así luego es más fácil el sabérselas 00:22:53
En este caso, tenemos que n es igual a 10 y a sub 10 sería a sub 1, que es 1, por r, que es 5, elevado a n menos 1, que es 9. 00:22:56
Y esto es 1.953.125. 00:23:12
Bien, el siguiente término a calcular es p5 y sabemos que p sub n es igual a a sub 1 por a sub n, todo ello elevado a n y a esto le hacemos la raíz cuadrada. 00:23:17
Bueno, pues para calcular p sub n nos hace falta conocer cuánto vale a sub n. 00:23:36
Tenemos que escribir la fórmula que ya está escrita y calcular a sub 5. 00:23:45
Pues a sub 5 es 1, que es a sub 1, por r, que es 5, elevado a n menos 1, que es 4. 00:23:49
Y esto nos da 625. 00:23:58
Por lo tanto, ya podemos calcular p sub n y p sub 5, ¿cuánto vale? 00:24:03
La raíz cuadrada de a sub 1 por a sub 5 elevado a 5. 00:24:08
¿Y esto cuánto es? La raíz cuadrada de a sub 1, ¿cuánto vale? 00:24:13
1. Por a sub 5, 625, todo y elevado a 5 y raíz cuadrada. Bueno, pues o bien metemos 00:24:16
todo en la calculadora esto así o bien pensamos un poco. Yo voy a utilizar la idea de pensar 00:24:24
un poco. A ver, cuando tenemos aquí un 5 y una raíz cuadrada, pues si fuese un número 00:24:31
par, dividiríamos 5 entre 2 y ya está. Pero como es el caso, también podemos cambiar 00:24:35
la raíz cuadrada exponente y poner, bueno, esto es 825, raíz cuadrada elevado a 5, esto 00:24:40
es 25 elevado a 5 y esto es 9.765.625. Y ya está. Bien. Y ya lo siguiente que hay que 00:24:50
calcular sería S8. Ponemos la fórmula Sn es igual a a1 por r elevado a n menos a1 entre r-1. 00:25:06
En nuestro caso n es igual a 8 y S8 es igual a a1 que es 1 por r que es 5 elevado a n que es 8 00:25:20
menos a sub 1 que es 1 entre 5 menos 1 00:25:36
podemos meter todo directamente en la calculadora 00:25:40
o más o menos calcular, bueno, en este caso si se mete todo en la calculadora 00:25:44
cuidado porque aquí hay una fracción y habría que escribirlo así 00:25:47
1, bueno, no me falta ponerlo, pero bueno 00:25:52
por 5 elevado a 8, ya sea con la tecla x elevado a y 00:25:55
que aparece en algunas calculadoras o con la tecla 00:26:00
El circunflejo que aparece en otras calculadoras 00:26:03
Menos 1, usaríamos paréntesis, ponemos la barra y ya el 5 menos 1 00:26:06
Bueno, en este caso un 5 menos 1 podría ir directamente a 4, igual que esto no habría falta ponerlo, pero bueno 00:26:14
Después de todo, si calculamos las cosas en dos pasos, lo pongo en otro color, porque no es imprescindible 00:26:18
Se puede poner directamente en calculadora, sería 3, 9, 6, 2, 5 menos 1 entre 5 menos 1, 4 00:26:27
Y esto ya nos da 390624 entre 4. Y el resultado final es 97656. 00:26:34
De modo que tenemos que A sub 10 es igual a 1.953.125, P sub 5 es igual a 9.765.625 y S sub 8 es igual a 97.656. 00:26:48
En el problema número 8 tenemos la siguiente proyección geométrica y nos piden calcular A sub 8, S sub 10 y S infinito. 00:27:13
Bien, lo primero que necesitamos es conocer cuánto valen a1 y r 00:27:20
a1 es el primer término, 4 00:27:28
mientras que r es el cociente del segundo término entre el primer término 00:27:31
es decir, 4 tercios entre 4 00:27:36
Podemos escribir, si queréis, partido por 1 para que sea un poco más sencillo 00:27:39
y aunque lo mejor es hacer la división directamente poniendo esto 00:27:45
Por si acaso alguno no se lía, voy a hacerlo, poniendo 4 tercios entre 4 partido por 1, que sería 4 partido por 3 por 4, 12, que significando entre 4 es 1 tercio. 00:27:48
Si no sería lo mismo, sería 4 por 1, 4 arriba, y abajo 3 por 4, 12, que es 1 tercio. 00:28:03
Bien, empecemos calculando a sub 8 00:28:09
La fórmula es a sub n igual a a sub 1 por r elevado a n menos 1 00:28:14
En este caso a sub 8 es igual a a sub 1 que es 4 por un tercio elevado a n menos 1 que es 7 00:28:20
A ver, se podría poner también en la calculadora 4 partido por 3 elevado a 7 00:28:32
Y ya está, porque 1 elevado a 7 es 1 00:28:40
Pero bueno, voy a seguir 00:28:42
Si metéis todo en la calculadora, directamente os sale 0,001829 00:28:43
Bien, eso a mí se me ha resultado correcto 00:28:51
Pero bueno, vamos a calcularlo tomando números exactos 00:28:56
Pero eso no será lo de arriba 00:29:00
Vamos a calcular ahora S sub 10 y tenemos que S n sería a sub 1 por r elevado a n menos a sub 1 entre r menos 1 00:29:02
Por lo tanto S sub 10, aquí n vale 10 igual que antes n valía 8, sería a sub 1 que es 4 por r que es un tercio 00:29:16
Todo ello elevado a 10, que es n, menos a 1, que es 4, dividido entre un tercio menos 1. 00:29:33
Aquí, atención, si metéis todo en la calculadora, habría que poner 4 por 1 entre 3, elevado a 10, 00:29:50
o bien podéis utilizar la tecla x elevado a y. 00:30:02
Bueno, voy a ponerlo elevado a 10 diciendo que puede ser o bien un tercio elevado a 10 o bien un tercio elevado a 10 con la tecla X elevado a Y 00:30:05
O también aparece a veces como X elevado a un cuadradito 00:30:23
Bueno, menos 4 y luego dividimos y ponemos un tercio menos 1 00:30:28
Entonces es fundamental poner este paréntesis, este paréntesis, este paréntesis y este paréntesis en la calculadora 00:30:36
Que si no está mal 00:30:43
Porque cuando ponemos una barra grande, de forma invisible o implícita 00:30:45
Estamos poniendo unos paréntesis arriba y abajo 00:30:50
Y si no ponemos estos paréntesis en la calculadora 00:30:52
La calculadora va a interpretar que estamos dividiendo únicamente 4 entre 1 00:30:57
Y luego otra vez entre 3 y seguimos con un tercio 00:31:02
Bueno, sigamos, metemos todo esto en la calculadora y nos da 5,999898, como veis muy cercano a 6, por lo tanto cuando calculemos ese infinito seguramente sea 6. 00:31:07
Ahora, ¿cuánto vale ese infinito? 00:31:26
Pues a sub 1 entre 1 menos r 00:31:30
Sustituimos y tenemos que ese infinito es igual a a sub 1, 4 entre 1 menos 1 tercio 00:31:32
Y aquí hay que calcular normal y corriente 00:31:41
3 tercios menos 1 tercio, 4 entre 2 tercios 00:31:43
Recordamos que esto es 4 partido por 1 00:31:49
Y bien, haciendo la división así o haciendo la división 4 partido por 1 entre 2 tercios, obtenemos 3 por 4 es 12 entre 2 por 1 es 2, que sería 6. 00:31:52
Por lo tanto, en este problema tenemos que a sub 8 es 0,01829, que también se puede poner 4 entre 3 a la 7. 00:32:10
Pero bueno, S10 es igual a 5,999898 y por último S infinito que es 6 00:32:27
Y ya hemos terminado el problema 00:32:45
En el problema número 9 nos piden, dada esta progresión geométrica, calcular A sub 10, S sub 12 y S sub infinito 00:32:51
Podemos observar que el primer término es positivo, el segundo es negativo, el tercero es positivo, el cuarto es negativo, etc. 00:33:00
La razón es que, como se verá, la razón de la progresión geométrica es negativa. 00:33:06
Bueno, empecemos calculando a sub 1 y r. 00:33:12
a sub 1 es el primer término, en este caso 10, y r es el cociente entre el segundo término, que es menos 5, y el primer término, que es 10. 00:33:16
Simplificando, esto es menos un medio, que en decimales es menos 0,5. 00:33:25
En este caso particular, nos hace indiferente trabajar con decimales o a trabajar con fracciones 00:33:32
Pero si utilicemos otra fracción distinta, por ejemplo un tercio, no es lo mismo poner un tercio que 0,33 00:33:39
Si quisiéramos trabajar con decimales, tendríamos que poner muchos decimales 00:33:46
Por ejemplo, algo así 00:33:51
Porque cuando tenemos potencias elevadas, el resultado se resiente mucho cuando redondeamos demasiado 00:33:53
Entonces, mejor redondear muy poco y poner muchos decimales si empleamos la forma decimal. 00:34:00
Bueno, voy a borrar esto. Continuamos. Calculamos a sub 10, la fórmula es a sub n igual a a sub 1 por r elevado a n menos 1. 00:34:15
Entonces, utilizando esta fórmula, digo esta forma, quiero decir 00:34:29
Tenemos que a sub 10 sería a sub 1, que es 10, por r, que es menos 0,5 00:34:35
Todo ello le da 9 00:34:42
Y el resultado nos da menos 0,01953 00:34:43
Es muy importante que pongáis y no subáis los paréntesis a la hora de escribir la fórmula 00:34:50
En la calculadora 00:34:54
Con otra forma de escribirlo sería a sub 10 igual a 10 por, y ahora ponemos esto, r que es menos 1 medio elevado a 9, que nos da obviamente lo mismo. 00:34:56
Lo pongo en paréntesis para simbolizar que es otra forma de hacerlo. 00:35:13
Vamos a calcular ahora S sub 12. La fórmula es S sub n igual a A sub 1 por r elevado a n menos A sub 1 entre r menos 1. 00:35:16
Por lo tanto, S sub 12 sería A sub 1, que es 10, por R, que es menos 0,5, elevado a N, que es 12, menos A sub 1, que es 10, todo ello entre R, que es menos 0,5, menos 1. 00:35:33
Bien, y ahora metemos todo en la calculadora. Os recuerdo que al meter las cosas en la calculadora hay que poner un paréntesis aquí y aquí, porque la barra rara de la fracción tiene forma implícita de paréntesis. 00:35:55
No los ponemos porque no hace falta, se sobreentiende, pero ahora que metemos en la calculadora sí que hay que ponerlos. 00:36:12
Entonces en la calculadora escribíamos paréntesis 10 por menos 0,5 elevado a 12 menos 10, cierro paréntesis, barra de fracción, abro paréntesis, menos 0,5 menos 1. 00:36:19
y os recuerdo que esta forma se puede escribir de tres formas 00:36:41
dependiendo de que calculadora 00:36:46
en la calculadora podéis tener la tecla x elevado a y 00:36:47
o bien x elevado a un cuadradito 00:36:51
o bien el circunflejo 00:36:53
bueno pues, después de todo eso 00:36:56
en la calculadora el resultado que obtendríamos sería 00:37:02
6,665039 00:37:06
se acerca mucho a 6,6 periodo 00:37:09
Y yo es porque ese va a ser ese infinito. 00:37:14
Bueno, y con fracción tendríamos S sub 12 es igual a 10 por menos 1 medio elevado a 12 menos 10, todo ello entre menos 1 medio menos 1. 00:37:17
Que en la calculadora sería 10 por menos 1 medio elevado a 12 menos 10 entre menos 1 medio menos 1. 00:37:32
También esto puede estar así 00:37:42
Y esto nos daría obviamente 6,665039 00:37:45
Y lo pongo nuevamente de paréntesis para simbolizar 00:37:52
Que tenemos el mismo resultado y que es otra forma de hacerlo 00:37:55
Vale 00:38:03
Ahora vamos a calcular por último ese infinito 00:38:04
Ese infinito es igual a a sub 1 entre 1 menos r 00:38:08
Por lo tanto, ese infinito es igual a a sub 1 que es 10 entre 1 menos 00:38:12
Y aquí sí que voy a poner la fracción menos 1 medio 00:38:22
Y calculando todo directamente tendríamos 10 entre 00:38:26
Menos por menos más 00:38:31
10 entre 2 medios más 1 medio 00:38:33
10 entre 3 medios 00:38:37
Y como esto es 10 partido por 1, eso sería 10 partido por 1 entre 3 medios, lo que nos da 20 partido por 3. 00:38:41
Que es justamente 6,6 periodo. 00:38:55
Vale. A ver, si metieras en la calculadora esto, seguramente dando una tecla que es cambiar, que suele ser la tecla S, 00:38:58
aparece la fracción también 20 tercios 00:39:14
y si voy a medir todo con fracción 00:39:17
y obtendríais eso 00:39:23
incluso si lo metierais 00:39:25
haciendo 00:39:27
10 entre 1 menos 00:39:28
menos 0,5 00:39:32
ahora bien, acordaos de que 00:39:33
si se mete en la calculadora 00:39:36
todo esto tendría que estar 00:39:37
entre paréntesis 00:39:40
de una forma similar a esta 00:39:41
el 10 no porque es un solo número 00:39:44
bueno, pues escribimos la solución 00:39:46
Y damos el problema por terminado. Las soluciones son a sub 10 igual a menos 0,01953, s sub 12 igual a 6,665039 y s infinito es igual a 20 tercios. 00:39:50
El problema que aparece como 10 en la hoja es el que he puesto aquí como 11. 00:40:16
Bueno, la razón es que ese es el que quería poner 00:40:20
Pero enseguida corregimos el otro 00:40:25
En el problema 10 no nos dan los primeros términos de la progresión 00:40:28
Sino directamente a sub 1 y r 00:40:35
Nos piden calcular a sub 40, s sub 50 y s sub infinito 00:40:37
Bueno, pues lo hacemos 00:40:43
Para calcular primero a sub 40 ponemos la fórmula 00:40:44
a sub n igual a a sub 1 por r elevado a n menos 1 00:40:49
De modo que a sub 40 sería 5 por 0,9 elevado a n-1, que es 39. 00:40:55
Y esto nos daría 0,082116. 00:41:07
Para calcular S sub 50 podemos poner la fórmula E sub n es igual a A sub 1 por r elevado a n menos A sub 1 entre r menos 1. 00:41:13
Por lo tanto, tenemos que S sub 50 sería A sub 1, que es 10, perdón, 5, por R, que es 0,9, elevado a 50, menos 5, todo ello dividido, entre R, que es 0,9, menos 1. 00:41:29
Recordemos que para meterlo en la calculadora habría que poner, entre paréntesis, el numerador 5 por 0,9 elevado a 50 menos 5 entre 0,9 menos 1. 00:41:55
Donde esto puede ser o bien la tecla X elevado a Y o bien la tecla X elevado a un cuadradito o bien la tecla circunflejo, dependiendo de la calculadora que tengáis. 00:42:13
Bueno, pues una vez metido en la calculadora esto nos tendría que dar que es 49,742311 00:42:24
Por último nos piden S sub infinito 00:42:33
Y S sub infinito es igual a A sub 1 entre 1 menos R 00:42:39
En este caso, S sub infinito es igual a A sub 1, que es 5 entre 0,9 menos 1 00:42:48
Y esto, en la calculadora nos daría directamente 50 00:43:03
Aunque se puede calcular de cabeza 00:43:10
De cabeza sería 5 entre 0,1, que es lo mismo que 5 por 10, que es 50 00:43:12
De modo que el resultado es a sub 40 igual a 0,082116, s sub 50 igual a 49,742311 y s sub infinito que es 50. 00:43:20
Podéis observar que en otros casos, por ejemplo en el anterior, la s sub 12 está mucho más cerca de s infinito que en este caso. 00:43:46
La razón es porque cuanto más se acerquen las R al 1, más lento se acerca la SN a ese infinito. 00:43:56
Y ya por último, decir que hemos podido calcular ese infinito porque R, en ambos casos, está entre menos 1 y 1. 00:44:09
Bueno, hemos terminado este problema. 00:44:23
En el problema número 11, que es el que aparece como 10 en la hoja y es el que puse por error como aritmética y como D queriendo poner una geométrica con R, pues dándonos estos datos nos piden calcular a sub 40, n sub 50 y e sub infinito. 00:44:25
Bueno, pues empezamos con a sub 40 00:44:43
Para ello ponemos la fórmula 00:44:46
a sub n es igual a a sub 1 más n menos 1 por d 00:44:49
En este caso, a sub 40 es igual a a sub 1 que es 5 más n menos 1 que es 39 por d que es 0,9 00:44:55
Metemos todo tal cual en la calculadora y obtenemos 40,1 00:45:07
Nos piden después e sub 50 00:45:11
Pero para tener ese sub 50 habría que calcular antes a sub 50 00:45:14
No obstante, si ponemos la fórmula de SN 00:45:19
Tenemos que es a sub 1 más a sub n por n entre 2 00:45:21
Y ahora al calcular a sub 50 00:45:31
Tenemos que poner a sub 1 más a sub 50 por 50 entre 2 00:45:35
y veríamos la necesidad de calcular antes a sub 50 00:45:43
de modo que a sub 50 es igual a a sub 1 que es 5 más n menos 1 que es 49 00:45:50
por d que es 0,9 y esto nos da 49,1 00:45:57
y ahora ya podemos calcular a sub 50 es a sub 1 que es 5 más a sub 50 que es 49,1 00:46:03
todo ello por 50 00:46:11
entre 2 00:46:13
lo metemos todo tal cual en la calculadora 00:46:14
y esto nos da 00:46:17
1252.5 00:46:21
a ver, cuando digo que se mete todo en la calculadora 00:46:26
es porque 00:46:29
efectivamente hay un paréntesis largo en la calculadora 00:46:30
pero si se mete tal cual 00:46:33
también le saldría, porque solo tenemos productos 00:46:35
¿vale? arriba 00:46:37
entonces, ahí la cosa funciona 00:46:38
pero si tenemos productos abajo 00:46:40
ojo, habría que tener cuidado 00:46:42
habría que poner un paréntesis 00:46:44
así que ante la duda cuando tengáis una fracción larga 00:46:46
poned paréntesis siempre, arriba y abajo 00:46:49
solo que haya un solo número o lo que sea 00:46:51
no pasaría nada por poner 00:46:53
un paréntesis completo en la calculadora 00:46:55
bueno, terminamos calculando 00:46:57
ese subinfinito 00:46:59
a ver, ese subinfinito 00:47:00
sería pues 00:47:03
si cogemos la sucesión 00:47:04
tendríamos a sub1 00:47:06
le sumamos que es 5 00:47:08
le sumamos 0,9 00:47:10
otra vez le sumamos 0,9 00:47:12
otra vez 0,9 y así infinitas veces. Ese infinito nos va a dar infinito, porque d es mayor que 0. 00:47:14
De modo que las soluciones son a sub 40 es igual a 40,1, s sub 50 es igual a 1252,5 y s infinito es igual a infinito. 00:47:32
A ver, por eso quería poner yo la geométrica, si no, no hubiera pedido así subinfinito, porque para poner infinito, pues, no hay que calcular nada. 00:47:54
Bueno, pues ya con esto hemos terminado todos los problemas que son obligatorios. 00:48:04
Vayamos con los de ampliación. 00:48:10
El problema número 1 es similar a los problemas 5 y 6 de la hoja, solo que en vez de tener progresiones aritméticas, tenemos una progresión geométrica. 00:48:13
Dados los términos de dicha progresión, nos piden calcular a sub 11. 00:48:21
Haremos una cosa y es primero calcular lo que valen a sub 1 y r y con esto calcularemos a sub 11. 00:48:27
Hay dos formas de calcular a sub 1 y r. 00:48:35
Igual que antes, una forma sería decir que si yo tengo a sub 8 y yo paso a tener a sub 13, 00:48:37
como 13 menos 8 es 5, eso significa que yo he tenido que multiplicar por r 5 veces. 00:48:43
De modo que tendríamos que a sub 8 por r elevado a 5 es a sub 13. Es decir, que 1024 por r elevado a 5 es igual a 32.768. 00:48:52
De ese modo, r elevado a 5 es igual a 32.768 00:49:12
Dividido entre 1024 00:49:17
Lo metemos en la calculadora y obtenemos 32 00:49:20
Ya sabemos lo que es r, porque 32 es 2 elevado a 5 00:49:24
De modo que r tiene que valer 2 00:49:29
Pero bueno, también podemos poner que r es la raíz quinta de 32 00:49:31
Y esto es 2 00:49:37
Y ya está 00:49:40
otra forma de hacerlo 00:49:41
sería con ecuaciones 00:49:44
pero es un poquito más compleja 00:49:45
lo dejamos para el final 00:49:47
nos falta lo que vale a sub 1 00:49:47
pues tenemos que 00:49:51
a sub 8 00:49:52
vamos a hacerlo con otro color 00:49:53
para que sea más claro 00:49:55
a sub 8 es igual a 00:49:56
bueno, pongo la fórmula antes 00:50:00
a sub n es igual a 00:50:02
a sub 1 por r elevado a n-1 00:50:07
luego 00:50:08
a sub 8 es igual a 00:50:10
a1 por r que es 2 elevado a 7 y esto es igual a 1024. Por lo tanto a1 multiplicado por 2 elevado a 7 es 128 es igual a 1024 y a1 es igual a 1024 entre 128 lo que nos da 8. 00:50:13
Así pues, hemos obtenido que a sub 1 vale 8 y r vale 2. 00:50:42
Nos falta calcular a sub 11. Bueno, pues ¿cuánto vale a sub 11? 00:50:57
Tenemos ya la fórmula y a sub 11 sería a sub 1, que es 8, por r, que es 2, elevado a n menos 1, que es 10. 00:51:01
Y eso, si lo metemos en la calculadora, obtendríamos 8192. 00:51:12
Bueno, ¿cómo se puede hacer con las ecuaciones el cálculo de a sub 1 y r? 00:51:21
Pues igual, tenemos esta fórmula, entonces tendríamos que a sub 8 es igual a a sub 1 por r elevado a 7, 00:51:35
y esto nos daría 1024, a sub 13 es igual a a sub 1 por r elevado a 12, y esto es 32.768. 00:51:46
Entonces, pues hay que calcular a sub 1, por ejemplo, se puede hacer con, aunque haya fracciones o lo que sea, 00:52:06
los métodos que se pueden estudiar son los mismos, sustitución, se pueden dividir cosas, etc. 00:52:12
Voy a hacerlo, por ejemplo, con el método de igualación. Aquí voy a poner que a1 es igual a 1024 partido por r elevado a 7 y aquí voy a poner que r elevado a 12 es igual a 3768 entre r elevado a 12. 00:52:16
Y con esto tendríamos que 1024 elevado a 7 es igual a A1 que es igual a 32.768 elevado a 13. 00:52:45
Entonces al coger esta ecuación multiplicando el producto tendríamos que elevado a 13 por 1024 es igual a elevado a 7 por 32.768. 00:52:58
Pasando las áreas a un lado, la redividiendo. 00:53:11
r elevado a 13 entre r elevado a 7 es igual a 32.768 entre 1.024 00:53:14
esto operando sería r elevado a 5 y esto operando sería 32 00:53:22
y aquí tendríamos que r es la raíz quinta de 32 que es 2 00:53:29
también se puede hacer con sustitución 00:53:33
y también obteníamos lo mismo 00:53:37
y también se podía dividir directamente las dos expresiones 00:53:39
Bueno, al final, pues calculamos a sub 1 por otro medio, igual que antes, por ejemplo, despejándolo de aquí 00:53:45
a sub 1 es igual a 1024 entre r a la 7, que es 1024 entre 2 a la 7 00:53:52
1024 entre 128, que es 8 00:54:00
Y ya tendríamos el resultado de que a sub 1 vale 8 y que r vale 2 00:54:05
y con esto hemos terminado el problema 00:54:11
pero bueno, la solución ya estaba dada aquí 00:54:15
y para que no quede duda ponemos 00:54:17
otra forma de calcular 00:54:23
a sub 1 y r 00:54:28
pero parece mucho más fácil la fórmula anterior 00:54:31
la forma anterior 00:54:35
bien, en el problema número 2 de ampliación 00:54:37
nos dan esta progresión aritmética 00:54:43
Y nos piden calcular esta suma. 00:54:44
Bueno, tenemos dos formas de hacerlo. 00:54:47
Una un poco más sencilla y otra un poco más complicada. 00:54:50
La más sencilla es la siguiente. 00:54:53
A ver si yo cojo a sub 1 más a sub 2 más a sub 3, etc. 00:54:56
Más a sub 30 más a sub 31 más a sub 32 más a sub 100 que tengo. 00:55:02
Toda esta suma que tenemos aquí sería S sub 100 00:55:11
Hasta aquí tendríamos S sub 30 00:55:18
Y esto sería X que es lo que me piden 00:55:26
Por lo tanto lo que me piden es X igual a S sub 100 menos S sub 30 00:55:29
Para ello voy a calcular ambos 00:55:36
En primer lugar, esta es la sucesión, la progresión 00:55:41
Pues ponemos que a sub 1 es el primer término, que es 4, y d es el segundo término, que es 7, menos el primer término, que es 4, y eso es 3. 00:55:44
Ahora tenemos que a sub n es igual a a sub 1 más n menos 1 por d. 00:55:55
De modo que A sub 30 es igual a A sub 1 que es 4 más 29 por 3 y esto nos da 91. 00:56:03
A sub 100 es igual a A sub 1 que es 4 más N-1 que es 99 por 3 y esto nos da 301. 00:56:23
Nos falta calcular cuánto valen S100 y S30. 00:56:34
SN es igual a 1 más AN por N entre 2. 00:56:44
Por lo tanto, S30 sería A1 más A30 por 30 entre 2 y S100 sería A1 más A100 por 100 entre 2. 00:56:53
sustituyendo los datos que tenemos 00:57:07
tendríamos que a sub 1 es 4 00:57:09
a sub 30 es 91 00:57:13
por 30 entre 2 00:57:15
y esto nos da 1425 00:57:18
esa 100 sustituyendo sería a sub 1 que es 4 00:57:23
a sub 100 que es 301 00:57:26
por 100 entre 2 00:57:29
y esto nos da 15250 00:57:31
Por lo tanto, X, que es lo que estamos buscando, sería S100 menos S30 y sería 15.250 menos 1.425 y esto es 13.825. 00:57:36
Ya tendremos la solución. La solución sería que a sub 31 más a sub 32 más a sub 100 es igual a 13.825. 00:57:58
Este ha sido el método 1, que es el más claro. El segundo método es un poco más complicado y puede liar el Google. 00:58:17
Así que, si lo ha parecido el anterior complicado, el siguiente mejor que ni lo vea. 00:58:26
Y si no, pues que lo vea. 00:58:31
Cogemos el método 2 y le des la siguiente. 00:58:35
Vamos a ver, si yo tengo la progresión a sub 1, a sub 2, luego tengo a sub 30, a sub 31, a sub 32, a sub 33, etc. 00:58:39
A sub 100, etc. 00:58:49
Entonces, yo voy sumando aquí todo el rato más d, etc. 00:58:53
Más d, más d, más d, más d, etc. 00:58:58
¿Qué ocurre? Que si yo empiezo una nueva progresión, por ejemplo aquí, y yo llamo a la progresión donde B1 es A31, pues sabemos que B2 es la anterior más D, B3 es la anterior más D, y así sucesivamente. 00:59:03
entonces, empezar la nueva progresión aquí 00:59:27
es otra nueva progresión aritmética 00:59:32
entonces, el primer término, ¿cuál sería? 00:59:35
pues, b1, el segundo, b2 00:59:40
bueno, vamos a ver alguna cosilla 00:59:44
vamos a ver, tendríamos 00:59:47
b1, b2, b3, etc. 00:59:51
fijaos aquí tenemos 00:59:57
aquí tenemos 31 menos 00:59:59
entonces es un salto de 30 01:00:01
b sub 1 es igual a 01:00:04
a sub 31 01:00:07
b sub 2 es igual a a sub 32 01:00:08
b sub 3 es igual a a sub 33 01:00:10
pues en general tenemos que 01:00:13
el b sub 2 es restar de 30 ahí 01:00:15
¿cuál será 01:00:19
a sub 100? 01:00:20
pues ahora hay que quitarle 30 01:00:22
será b sub 70 01:00:23
Tenemos que 31 menos 30 igual a 1, 32 menos 2, perdón, menos 30 igual a 2, 33 menos 30 igual a 3, hasta que 100 menos 30 es 70. 01:00:25
Muy bien, ¿cuánto vale en la nueva progresión b sub 1? 01:00:49
Pues b sub 1 es igual a a sub 31 01:00:55
Y d es la misma 01:00:59
D vale lo que hemos calculado antes 01:01:01
3, o sea, en la progresión como hemos visto antes 01:01:04
Que a sub 1 es igual a 4, esto no lo cambiamos 01:01:07
Y d es igual a 7 menos 4 que vale 3 01:01:11
Con lo cual necesitamos calcular a sub 31 01:01:14
Como tenemos que a sub n es igual a a sub 1 más n menos 1 por d 01:01:19
a sub 31 sería a sub 1 que es 4 más n menos 1 que es 30 por d que es 3 01:01:25
eso sería 94 01:01:35
entonces tenemos que b sub 1 es 94 y d es la misma, 3 01:01:37
ahora, s vamos a llamarle s sub b o s prima 01:01:41
¿cuánto vale s sub prima 70? 01:01:47
pues b sub 1 más b sub n 01:01:50
bueno, vamos a poner con la fórmula n 01:01:53
por n partido por 2. Por lo tanto, S' sub 70 sería B1 más B70 por 70 partido por 2. 01:01:57
De modo que nos hace falta calcular B70. ¿Cuánto vale B70? Pues tenemos que Bn es igual a B1 01:02:16
más n-1 por d. b sub 70 sería b sub 1, que es 94, más n-1, que es 69, por d, que es 3. 01:02:27
Y esto nos da 300 01:02:44
De este modo, esto sería B1, que es 94, más B70, que es 301, por 70 entre 2 01:02:49
Y si lo calculamos obtenemos lo mismo, que es 13.825 01:03:04
Se puede ver que los cálculos no son exactamente iguales, aunque bueno, se podría ver que son los mismos esencialmente 01:03:11
Y la dificultad es similar, teóricamente es más sencillo el método 1 01:03:19
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Jesús P Moreno Damas
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
59
Fecha:
8 de mayo de 2024 - 23:21
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LA ESTRELLA
Duración:
1h′ 03′ 31″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
610.81 MBytes

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