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2ºM EJERCICIO 10 PÁGINA 292 - Contenido educativo
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A ver, este ejercicio resuelto que también me pedisteis.
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Pero estoy viendo que este ejercicio, dijéramos, está al revés de lo normal.
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Primero me dicen que dibuje la gráfica.
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Y viendo la gráfica, indicaré dominio, crecimiento, tal.
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Claro, lo normal no es eso.
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Lo normal es al revés.
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Hay dominio, intervalos, asíntotas, y después dibuja la gráfica.
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Eso es lo normal.
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Como tiene valor absoluto, ese valor absoluto hay que quitarlo lo primero de todo.
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Pero como es valor absoluto de x, pues se quita muy fácil.
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Eso se cambia por menos x o por x dependiendo de si ese valor x es menor que 0 o mayor o igual que 0.
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Ahora la tengo ya como una función de dos tratos.
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¿Cuál es el dominio?
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Pensemos un poco.
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¿Cuándo se hace 0 este denominador?
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Cuando la x vale 2.
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Pero x igual a 2 no está en esta definición para los x menor que c.
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Y este otro, cuando la x vale 2, aquí sí.
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Entonces aquí sí que hay que quitar el 2.
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Total, que el dominio, ya puedo escribir, el dominio es todos los reales, excepto el 2.
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Bueno.
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Después, intervalos de crecimiento, decrecimiento y asíntotas
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Bueno, si sigo el orden que me dice, pues venga, intervalos de crecimiento
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Y decrecimiento
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f' de x, pues lo derivamos cada uno de estos dos trozos
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Pero lo voy a hacer aparte, porque aparte que no significa sucio, ¿eh?
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Simplemente, como estoy diciendo, aparte.
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Si esto lo quiero derivar, el primer trozo, voy a hacer una cosa.
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Es que el segundo trozo y el primero, lo único que se diferencian es en este menos.
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Entonces voy a derivar el segundo trozo, que no tiene el menos, y así es más fácil de derivar.
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Y el primero, su derivada es cambiarle de signo, nada más.
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Así que vamos a derivar esto.
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Venga, derivada del numerador, 1, por el denominador sin derivar, pues ya está, menos el numerador sin derivar, x, por la derivada del denominador, pues es menos 1.
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Así que multiplicar por menos 1, pues no lo voy a escribir, multiplicar por menos 1.
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¿Qué me hace multiplicar por menos 1? Por lo que me hace es menos por menos, más.
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Así que ya está resuelto el numerador. Y abajo el 2 menos x lo tengo que elevar al cuadrado. Total que las x se van. Solo me queda el 2 arriba y abajo 2 menos x al cuadrado.
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Bueno, pues ya he hecho la derivada aparte, solo tiene un paso intermedio, y vengo aquí y la escribo.
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Pero el primer trozo hemos quedado que es con un menos, así que es menos 2 partido por 2 menos x al cuadrado.
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Y el segundo trozo, la derivada es 2 partido por 2 menos x al cuadrado.
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Esto es si la x es menor que 0.
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Y esto es si la x es mayor que 0.
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Porque recordad que el 0 va aparte.
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La derivada en el 0 también sale, si hiciéramos el estudio de la derivada en el 0.
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¿Pero cómo hago la tabla de crecimiento y decrecimiento para el estudio de esto?
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¿Dónde tengo que hacer el estudio de la tabla?
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A ver, pues voy a hacer el estudio para cada trozo.
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Entonces, en el primer trozo iría desde menos infinito, ¿hasta dónde?
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Desde menos infinito hasta el cero.
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Pues no tengo que partirlo en nada porque aquí, si hiciéramos esto, va hasta el cero y aquí no hay ningún problema.
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el 2 está fuera
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está fuera del 0
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pues no sé para qué me lo he hecho tan largo
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pues lo borro esto un poco
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y desde menos infinito
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al 0
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digo como es y'
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y por lo tanto
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como va a ser y
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voy a hacer la tabla así
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me está quedando una sapucería, ya lo sé
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pero fijaos que
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lleva tanto tiempo todo esto
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venga, y'
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Y'. ¿Cómo me sale y' hasta el 0? Pues lo de abajo es un cuadrado, es positivo, así que lo de arriba es negativo, pues negativa. Ya está. Decreciente. Se acabó.
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Ahora el segundo trozo. Pues lo pienso igual. A ver, ¿desde dónde hasta dónde tengo que ir? Pues tengo que ir desde el 0 hasta más infinito.
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Pero aquí sí que tengo un punto en el que partirlo
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Porque aquí sí que está el 2
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Y el 2 era un 0 del denominador
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El 2 era el punto donde no tenía función
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Aquí sí que me lo pongo
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Por si acaso
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Venga, la trago
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A ver esta, ¿cómo me queda?
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Pues igual de mal
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Vale
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Bueno
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Venga, I'
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Y por lo tanto I
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Bueno, pues es que tanto de 0 a 2 como de 2 a más infinito
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Esto siempre sale positivo
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Así que aquí es creciente y aquí también
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Pero aquí no existe función
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Y en el 0, pues en el 0 sí que hay función
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Y en el 0 estoy viendo que a su izquierda decrece y continuaría aquí a su derecha decrece, así que en el 0 tengo un, ojo, porque a esto y esto dijéramos está junto, aquí tengo un mínimo.
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Podría haber estudiado en una sola tabla y no a trozos
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Pues perfectamente, me hubiera quedado en una sola tabla así
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Aquí estaría la tabla estudiando todo seguido
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Primer y segundo trozos seguidos
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Que casi queda mejor, ¿verdad?
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Casi que estoy por deshacerme de esto anterior
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Voy a borrar esto, que me queda mejor
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La tabla así toda junta
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Bueno, ahora es cuestión de poner la frase de crece de menos infinito a cero, de cero a más infinito es creciente o crece, excepto en el dos, que en el dos no tengo función, en el cero tengo un mínimo, ¿cuánto vale la función en el cero?
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Bueno, voy aquí y en el 0 sale 0, ¿vale? O sea que en el origen hay que recordar que tengo un mínimo relativo, ¿vale? Y faltarían aquí las frases de crecimiento y crecimiento.
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Perfecto. Bueno, pues vamos con las asíntotas. En el 2 no había función. ¿Por qué? Porque el 2 era un 0 del denominador. Pues eso va a querer decir que tengo asíntota vertical seguro en el 2.
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Vamos a comprobarlo con el límite cuando x tiende a 2 de, ¿cuál es la función que tengo tanto a la izquierda como a la derecha del 2?
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Tanto a la izquierda como a la derecha del 2 mi función es esta, ¿vale?
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Entonces esa es la que tengo que poner. ¿Y qué sale este límite? Un número k partido por cero. O sea que sale infinito. O sea que en efecto voy a tener asíntota vertical. Y estudiamos si tiende a más o a menos infinito por la izquierda y por la derecha. Esto lo de siempre.
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¿Vale? Me lo preparo así de carrilla y a ver qué sale, si más o menos infinito.
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Bueno, pues cuando estoy a la izquierda del 2, este número es más pequeño que 2.
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Esta resta es positiva, esto también, así que esto da más.
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Si estoy a la derecha del 2, este número es un poco más grande que este 2.
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Luego esta resta da negativo. Esta cuenta da negativo.
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¿Vale? Como piden la gráfica, pues no hago dibujo.
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Pero sí que tengo que decir que la recta x igual a 2 es asíntota vertical, ¿vale? Y ya tengo aquí cómo ha de quedar.
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Y luego, ¿asíntota horizontal u oblicua? Desde luego oblicua no, porque mirad la función, mirad los grados, oblicua no tiene, ¿vale? Lo tenemos que poner, no tiene asíntota oblicua, ¿por qué? Por los grados, porque numerador y denominador tienen siempre el mismo grado, entonces no hay asíntota oblicua, habría que explicarlo.
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explicarlo. Y por último, ver si tiene asíntota horizontal. Pero, cuidado, no tengo el mismo
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trozo a la izquierda que a la derecha. Es decir, yo no tengo la misma función si miro
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el límite cuando x tiende a menos infinito que si miro el límite cuando x tiende a más
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infinito. ¿Vale? Cuando tiendo a menos infinito mi función es esta. Y cuando tiendo a más
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infinito, mi función es esta. Y estos límites, bueno, pues son numerador y denominador del
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mismo grado, y entonces el cociente de los coeficientes principales, pues da aquí 1,
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pero aquí 1 entre menos 1 da menos 1. No tengo la misma asíntota horizontal por la
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izquierda que por la derecha. Tengo que poner la recta y igual a 1 es asíntota horizontal por la
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izquierda. Y aquí tengo que decir que la recta y igual a menos 1 es asíntota horizontal por la
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derecha. Esas serían las frases a recuadrar. En este momento que tendríamos resuelto lo he recuadrado
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el dominio, el mínimo relativo más las frases que no he puesto de crecimiento y decrecimiento, el que
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la recta x igual a 2 es asíntota vertical y las dos horizontales que tengo según esté por la izquierda
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o por la derecha. Ahora que tendríamos que ver la posición de la curva respecto de estas dos
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Asíntotas horizontales
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Bueno, ya lo tengo aquí preparado
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Por la izquierda, cuando el límite es hacia menos infinito
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La función es esta
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Y le he restado la asíntota
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Entonces este límite
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Sabemos que es cero
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Pero tenemos que averiguar si es un cero negativo o un cero positivo
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Si hacemos la cuenta, la resta
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Pues luego nos saldrá más fácil
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el averiguarlo del 0, porque estoy viendo que aquí arriba
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lo que me queda es que las x se van
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y solo me queda un menos 2 partido por 2 menos x.
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Yo sé que este límite es 0.
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Si aquí estoy poniendo un número negativo, se convierte en positivo
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y menos entre más, menos. Es un 0 negativo.
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Ahora hacemos este otro límite, cuando la x tiende a más infinito, volvemos a hacer la cuenta, aquí ya la tengo hecha, y este límite es un 0, y cuando la x aquí le ponemos un valor positivo, pues resulta que también da negativo.
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Así que en ambos casos deberíamos concluir aquí con la frase de que la curva, a ver cómo lo resumo, está por debajo de las dos asíntotas, por ejemplo, podría ser así en la frase resumida.
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No hago el dibujo porque ya lo tenéis en el libro que estaba lo primero de todo, en el libro estaba el dibujo, ¿vale?
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- Subido por:
- Jesús A. B.
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- Fecha:
- 13 de marzo de 2021 - 18:49
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- Público
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- 13′ 29″
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