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La Teoría del Caos - Álvaro Peligros Martín - Contenido educativo

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Subido el 13 de enero de 2025 por Ies villadevaldemoro valdemoro

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Proyecto de investigación de Álvaro Peligros Martín, alumno de 2º de Bachillerato de Excelencia (curso 2024-25).

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que presentan comportamientos poco comunes y complicados de tratar. 00:00:00
Estos sistemas, para ser caóticos, deben de tener unas características que pasen muy bien. 00:00:03
Primero de todo, deben de ser matemáticamente no lineales, 00:00:08
lo que se puede traducir a que deben de tener un mínimo de complejidad. 00:00:11
Los sistemas lineales no presentan caóticos. 00:00:15
Otra de las características importantes de estos sistemas 00:00:18
es su extrema sensibilidad a las condiciones iniciales. 00:00:20
Es decir, un pequeño cambio en las condiciones iniciales del sistema 00:00:23
puede desembocar en un futuro lejano en situaciones completamente distintas. 00:00:25
Esto sería conocer gracias a un proverbio oriental 00:00:31
el cual dice que la letra de una mariposa puede desembocar un tornado en la tropa roja. 00:00:34
Por último, estos sistemas deben de seguir una regla muy concreta. 00:00:40
En este caso, las leyes de la física. 00:00:43
Por lo tanto, son completamente deterministas 00:00:45
y si fuéramos capaces en dos ocasiones de reproducir exactamente las mismas condiciones 00:00:47
llegaríamos a la misma conclusión. 00:00:52
Cosa que no ocurriría, por ejemplo, en un sistema aleatorio. 00:00:56
En el cual, al ser regido solamente por el azar, no tiene por qué. 00:01:01
Lo importante de la teoría del caos es que parece desafiar al determinismo científico 00:01:06
y a la nera de la ciencia de conocer el pasado, presente y futuro de cualquier sistema. 00:01:10
En los sistemas caóticos, dadas sus características, esto es imposible. 00:01:14
Aunque parezca un contraintuitivo, algunos sistemas caóticos, 00:01:20
Bueno, algunos sistemas caóticos aparentan ser desordenados y impredecibles, pero algunos tienden a valores o conjuntos de valores llamados atractores, los cuales se pueden ver en el espacio de espacios. 00:01:23
Algunos tipos de atractores son los siguientes. 00:01:38
El atractor punto fijo, que podemos ver, por ejemplo, en un péndulo, teniendo un volumen concreto. 00:01:41
El atractor ciclo límite, que podemos ver, por ejemplo, en el oscilador de Van der Poel. 00:01:45
y el atractor extraño. 00:01:49
Nos detendremos en este último puesto que es el más característico de la teoría del caos 00:01:51
y lo veremos con dos sistemas. 00:01:54
El modelo atmosférico simplificado de Edward Norton-Lorenz y el circuito de Chou. 00:01:56
En el modelo atmosférico simplificado de Edward Norton-Lorenz 00:02:01
viene elegido por la siguiente ecuación, 00:02:04
donde X, Y y Z son variables físicas del sistema, 00:02:06
mientras que las letras griegas Rho, Sigma y Beta 00:02:10
son parámetros que determinan el comportamiento de este sistema. 00:02:12
En Rho igual a 28 podemos ver el atractor que vemos en pantalla. 00:02:16
Como podemos ver, tiene forma de mariposa y se le denomina atractor de Lorentz. 00:02:20
Y se cree que es uno de los principales causantes por los que a la teoría del caos se le llame también efecto mariposado. 00:02:24
En cuanto al circuito de Choa podemos ver lo que consiste. 00:02:31
Dos condensadores C1 y C2, una resistencia R, un inductor L y un resistor no lineal N sub R denominado el diodo de Choa. 00:02:33
Las ecuaciones que rigen el comportamiento de este sistema son las siguientes. 00:02:41
donde podemos fijarnos en la primera ecuación en una función gvc1 00:02:45
la cual es no lineal y propicia el comportamiento caótico de este sistema. 00:02:50
En este caso variaremos el valor de la resistencia para ver los diferentes casos que nos propicia este sistema. 00:02:55
En R igual a 1300 ohmios podemos ver el primero de los atractores de este sistema 00:03:01
que se denomina tipo Rosler. 00:03:05
Si seguimos variando el valor de la resistencia hasta R igual a 1423,78 ohmios 00:03:07
veremos el segundo tipo de atractor, que se le denomina doble scroll o doble drift. 00:03:12
Para ver la extrema sensibilidad a las condiciones iniciales de este sistema, 00:03:17
con solo variar una centésima el valor de la resistencia, 00:03:21
volveremos a ver el primer atractor en lugar del segundo. 00:03:24
Aparte de atractores, algunos gráficos de sistemas caóticos 00:03:28
presentan otro tipo de objetos matemáticos llamados fractales, 00:03:31
los cuales son característicos por su dimensión fraccionaria, 00:03:34
también calculada en el proyecto, y mediante dos métodos. 00:03:37
en función de su autosemejanza, que es otra característica de estos objetos, 00:03:39
las partes se parecen al objeto en completo, 00:03:43
y en función de su capacidad para cubrir espacio. 00:03:47
Algunos de los fractales que hemos tratado en el proyecto son los siguientes. 00:03:51
El conjunto de Cantor, que hemos calculado su dimensión fractal con los dos métodos, 00:03:55
la curva e isla de Koch, esta última con perímetro infinito y área finita, 00:04:00
y el triángulo de Sierpinski, que también hemos calculado su dimensión fractal. 00:04:04
En cuanto a la parte práctica, en este proyecto hemos tratado las células de convección de Rayleigh-Bennard, 00:04:08
tanto de manera experimental como a modo de simulación. 00:04:16
El experimento consiste en calentar un recipiente con las paredes aislantes por debajo y tapado por encima, 00:04:19
en el cual dentro hay un fluido viscoso y si se dan las condiciones ideales, 00:04:26
el calor pasa de transmitirse por conducción, que es cuando el fluido está completamente quieto, a por convección. 00:04:34
En la convección el fluido forma una especie de rodillos, como ven en pantalla, 00:04:43
en los cuales se denominan células de convección. 00:04:47
Estos rodillos se forman dado que el fluido de la base es calentado y que es de densidad, 00:04:50
por lo tanto sube a la parte superior del recipiente para posteriormente enfriarse, ganar densidad y volver a bajar. 00:04:56
Este fenómeno se repite de manera indefinida sin ningún cambio en las condiciones del sistema. 00:05:03
Cuando se llega a este fenómeno se le dice que ha llegado al estado de estación. 00:05:09
Las ecuaciones que rigen el comportamiento de este experimento son muy complicadas y algunas han sido nombradas en el proyecto. 00:05:13
En este caso nos detendremos en una igualdad que responde al nombre del número de Rayleigh. 00:05:20
El número de Rayleigh es un número dimensional, es decir, que carece de unidades de medidas que responden a la siguiente igualdad. 00:05:25
El número de Rayleigh indica una relación entre los factores a favor de la convección, 00:05:34
como puede ser, por ejemplo, la diferencia de temperaturas, o los que están en contra, como puede ser, por ejemplo, la viscosidad. 00:05:39
Lo importante del número de Rayleigh es que para algunos valores tiene asociado un fenómeno. 00:05:46
El que buscamos está en Rayleigh igual a 1.708 aproximadamente. 00:05:49
La relación entre la teoría del caos y este experimento es que podemos ver perfectamente la transición del orden, que es cuando el fluido está en reposo, a pasar a un estado de caos, que es cuando se empieza a calentar y se alborota hasta llegar al estado estacionario que vuelve a ser el orden. 00:05:54
En cuanto a la simulación, ha sido realizada con el programa OpenFOAM 00:06:09
que es un programa que realiza una simulación del comportamiento temporal del fluido 00:06:16
dados una serie de parámetros como por ejemplo las propiedades del fluido o el número de rayos a simular 00:06:22
El programa como respuesta calcula una diferencia de temperaturas para cumplir con ese rayo deseado y simula 00:06:27
A continuación veremos una de las simulaciones que hemos realizado con un raíz igual a 1800 y una incidencia de temperatura de 20 grados. 00:06:35
Cabe mencionar que se ven un poco más las fechas del campo de evolución. 00:06:44
Como podemos ver, mientras que se forman los rodillos por los laterales, en el centro hay una situación completamente caótica hasta que se forman todos los rodillos. 00:06:49
Podemos confirmar que se ha llegado a la convicción cuando se empiezan a formar esta especie de múltiplos, 00:06:57
los cuales, si fuese con un raíz más alto, tendrían forma de ser. 00:07:02
En cuanto a la parte experimental, ha sido realizada y financiada por la Universidad de Juan Carlos. 00:07:07
Aquí podemos ver un croquis hecho a mano por mí de la situación experimental, 00:07:12
la cual nos ayudó tanto a la compra de los materiales como a montar la situación experimental. 00:07:16
Cabe mencionar que debido a que era imposible medir la temperatura del fluido con el termopar 00:07:24
y a la vez mantener el recipiente cerrado, hemos tenido que prescindir de la tapa. 00:07:30
Y en lugar de la convección de la líquida, hemos hecho la convección de marangón, que en esencia es un ámbito. 00:07:34
Tras una serie de intentos fallidos con problemas como que el líquido en recipientes pequeños se calentaba muy rápido 00:07:40
y todo tenía su completitud, el hornillo era muy potente 00:07:47
o que el fluido comenzaba a hervir, conseguimos ver por primera vez lo que podían ser las células de convicción, 00:07:52
con el problema de que el hornillo no calentaba el recipiente de manera uniforme 00:07:58
y se puede ver perfectamente la zona de la resistencia del hornillo. 00:08:02
Tras comenzar a hervir el fluido, lo tuvimos que retirar del hornillo para enfriarlo. 00:08:07
Tras unos segundos, el calor residual almacenado en el vidrio y la mesa hizo que se repartiera de manera uniforme. 00:08:13
Por lo tanto, tienen las condiciones ideales para que se pudiera ver el fenómeno, casi de manera fortuita. 00:08:20
Como podemos ver, cada uno de estos círculos es una célula de convección. 00:08:24
En el centro podemos ver el fluido caliente y ascendente con un color más oscuro, 00:08:29
mientras que en los bordes de cada célula podemos ver el fluido descendente y más frío con un color más oscuro. 00:08:33
En cuanto a las conclusiones, en este proyecto hemos tratado la teoría del caos desde numerosos puntos de vista, 00:08:42
desde calcular la dimensión de un fractal 00:08:47
hasta ver la transición de orden al caos 00:08:49
y nuevamente al orden con las células de conversión 00:08:51
de Rayleigh-Mennon. Siempre intentando 00:08:53
explicarlo de una manera sencilla de entender. 00:08:55
Por último, agradecer 00:08:58
a la Universidad de Ares Juan Carlos y en especial 00:08:59
al profesor Agustín Villa, el cual 00:09:01
ha estado involucrado en toda la parte experimental. 00:09:03
Muchas gracias 00:09:07
por su atención y queda a su disposición 00:09:08
para cualquier pregunta que nos surja. 00:09:09
Idioma/s:
es
Materias:
Física, Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Álvaro Peligros Martín
Subido por:
Ies villadevaldemoro valdemoro
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
77
Fecha:
13 de enero de 2025 - 12:18
Visibilidad:
Público
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Centro:
IES VILLA DE VALDEMORO
Duración:
09′ 11″
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